九年级数学下学期-圆内接四边形(A)

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A L 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：(1)OA=OB=OC定在三角形内部(1)(2)OABAC心在三角形内部2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行（或重合）的直线与⊙O 有公共点, 设OP=x ，则的取值范围是（ ）.A ．－1≤≤1B ．≤≤C ．0≤≤ D ．＞【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP 的值． 【答案】C ；【解析】如图，平移过P 点的直线到P′，使其与⊙O 相切，设切点为Q ，连接OQ ，P x x x 2x 2x 2由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ．∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ ． ∵ ，∴ ．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ． »»CFCB =»»CBGB =»»CFBC =»»CF GB =»»CBBG =»»CBCF =»»»CF BC BG ==∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ ，， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ ，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ ，．∴ ，． ∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ． 又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系12BN BF =12CD CG =»»CFBC =»»BGBC =»»»CF BG BC ==»»BF CG =ON OD=123．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3()332844AB cm ∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2019•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，⊙CD是⊙O切线，⊙OD⊙CD，⊙OA=CD=2，OA=OD，⊙OD=CD=2，⊙⊙OCD为等腰直角三角形，⊙⊙DOC=⊙C=45°，⊙S阴影=S⊙OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，⊙AB是⊙O直径，⊙⊙ADB=⊙ADM=90°，又⊙=，⊙ED=BD，⊙MAD=⊙BAD，在⊙AMD和⊙ABD中，，⊙⊙AMD⊙⊙ABD，⊙DM=BD，⊙DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2019•贵阳）如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊙AB，垂足为点O，连接AF 并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，⊙B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）⊙OF⊙AB，⊙⊙BOF=90°，⊙⊙B=30°，FO=2，⊙OB=6，AB=2OB=12，又⊙AB为⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙AC=AB=6；（2）⊙由（1）可知，AB=12，⊙AO=6，即AC=AO，在Rt⊙ACF和Rt⊙AOF中，⊙Rt⊙ACF⊙Rt⊙AOF，⊙⊙FAO=⊙FAC=30°，⊙⊙DOB=60°，过点D作DG⊙AB于点G，⊙OD=6，⊙DG=3，⊙S⊙ACF+S⊙OFD=S⊙AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．»ABC D BC DB DC DA+=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2.已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO=3，则直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相切或相交3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=110°，则∠ADE的度数为（）A．55° B．70° C．90° D．110°5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7．（2019•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．38．如图所示，AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是( )．A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50°二、填空题9.如图，在⊙O中，半径OA垂直弦于点D．若∠ACB=33°，则∠OBC的大小为度．10．如图所示，EB、EC是⊙O是两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A的度数是________________.11.在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= ．12．（2019•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2019•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝13∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2.【答案】D；3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4.【答案】D；【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠B=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B．∵∠B=110°，∴∠ADE=110°．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).6．【答案】C.【解析】本题借助图形来解答比较直观.要判断两圆公切线的条数，则必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，所以AB=5，而两圆半径为和，且，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，共有3条公切线.7．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．8．【答案】C；【解析】连接OC、OB，则∠BOC＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P在优弧上时，∠BPC ＝∠BOC＝65°；点P在劣弧上时，∠BPC＝180°-65°＝115°．主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题9.【答案】24.10．【答案】99°；【解析】由EB=EC，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°，在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A=180°-81°=99°.11.【答案】83.12【解析】以CQ 为直径作⊙O，当⊙O 与AB 边相切动点P 时，CQ 最短，∴OP⊥AB，∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠POA=60°，∵OP=OQ，∴△POQ 为等边三角形，∴∠POQ=60°，∴∠APQ=30°，∴设PQ=OQ=AP=OC=r ，3r=AC=ABsin 30︒=4，∴CQ=83，∴CQ 的最小值为83．12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】； ；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL，∴ ，，即正八边形的边长为．．1)a 22)a 2x 22x x a ⨯+=1)x a =1)a 2222241)]2)AEL S S S a x a a a =-=-=-=△正方形正八边形15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为． 本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为，，…，， 则，∴ n 条弧长的和为．16.【答案】4.【解析】解：过点O 作OC⊥AB 于C ，交⊙O 于D 、E 两点，连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图， ∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S 四边形MANB =S △MAB +S △NAB ，∴当M 点到AB 的距离最大，△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值=S 四边形DAEB =S △DAB +S △EAB =AB•CD+AB•CE=AB （CD+CE ）=AB•DE=×2×4=4．(2)1801(2)3602n n -=-121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-1α2αn α12(2)180n n ααα+++=-…°1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴ ∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC， ∵DC=DE， ∴DC=DE=EC，∴△DCE 是等边三角形，»»BFFC∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵ ∠BON ＝90°，∴ ∠1+∠2＝90°． ∵ ∠3+∠2＝90°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝90°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． 如选命题③．证明：在图(3)中，∵ ∠BON ＝108°，∴ ∠1+∠2＝108°． ∵ ∠2+∠3＝108°，∴ ∠1＝∠3．又∵ BC ＝CD ，∠BCM ＝∠CDN ＝108°， ∴ △BCM ≌△CDN ，∴ BM ＝CN ． (2)①答：当∠BON ＝时结论BM ＝CN 成立．②答：当∠BON ＝108°时．BM ＝CN 还成立． 证明：如图(4)，连接BD 、CE 在△BCD 和△CDE 中，∵ BC ＝CD ，∠BCD ＝∠CDE ＝108°，CD ＝DE ， ∴ △BCD ≌△CDE ．∴ BD ＝CE ，∠BDC ＝∠CED ，∠DBC ＝∠ECD ． ∵ ∠CDE ＝∠DEN ＝108°， ∴ ∠BDM ＝∠CEM ．∵ ∠OBC+∠OCB ＝108°，∠OCB+∠OCD ＝108°． ∴ ∠MBC ＝∠NCD ．又∵ ∠DBC ＝∠ECD ＝36°， ∴ ∠DBM ＝∠ECM ． ∴ △BDM ≌△CEN ， ∴ BM ＝CN ．(2)180n n°。

专题：四点共圆巧解中考题考点解析四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位,都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查,重在考查学生对知识的应用能力.考查的基本类型有:利用四点共圆证相似,利用四点共圆求最值,这些问题大都利用转化思想,将问题转化为四点共圆问题,使题目更容易求解.深度建构例1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ．若AC ＝2，BC ＝4，则DE AD的最小值为（ ） A ．215- B ．1 C ．25 D ．215+ 例2．如图，在正方形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，点P 在线段OD 上，连接AP 并延长交CD 于点E ，过点P 作PF ⊥AP 交BC 于点F ，连接AF 、EF ，AF 交BD 于G ，证明以下结论：①AP ＝PF ；②PB －PD ＝2BF ．例3．如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且DE ＝2CE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，求OF 的长．学海拾贝总结纠错总结反思1．四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆，简称为“四点共圆”. 2.四点共圆的性质（1）共圆的四个点所连成的同侧共底的两个三角形的顶角相等. （2）圆内接四边形的对角互补.（3）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 3.四点共圆的判定 （1）用“角”判定:①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上;②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上;③如果两个三角形有一条公共边,且位于公共边同侧的两个角相等,则这两个三角形的四个顶点在同一个圆上. （2）“等线段”判定:四顶点到同一点的距离相等，若OA ＝OB ＝OC ＝OD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆. （3）用“比例线段”判定：若线段AB ，CD （或其延长线）交于点P ，且PA ·PC ＝PB ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆.自我提升1．如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC 的度数等于（ ） A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°1题图 2题图2．如图，⊙A 经过平面直角坐标系的原点O ，交x 轴于点B （﹣4，0），交y 轴于点C （0，3），点D 为第二象限内圆上一点．则∠CDO 的正弦值是（ ） A ．53B ．43C ．43 D ．543．如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC ＝CD ，∠DAC ＝35°，∠ACD ＝45°，则∠ADB 的度数为（ ） A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°3题图 4题图 5题图4．如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果AB ＝4，AO ＝62，那么AC 的长等于 ．5．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C 为直角，延长CA 至D ，以AD 为直径作圆，连BD 与圆O 交于点E ，连CE ，CE 的延长线交圆O 于另一点F ，那么CFBD的值等于 ． 6．如图，AB 为⊙O 的直径，AD ，BC 为圆的两条弦，且BD 与AC 相交于点E ．求证：AC ·AE ＋BD ·BE ＝AB 2．7．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，且∠EAF ＝45°，AE 交BD 于M 点，AF 交BD 于N 点．（1）若正方形的边长为2，则△CEF 的周长是 ． （2）连接MF ，求证：△AMF 为等腰直角三角形．8．在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．求这两个正三角形的边长．9．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．10．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．。

10．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°， ∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD； 证明：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ADC＝180°－∠B＝130°. ∵∠ACD＝25°， ∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°. ∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.
则 AE＝( )
A．3
B．3 2
C．4 3
D．2 3
【点拨】连接 AC，如图， ∵BA 平分∠DBE，∴∠1＝∠2. ∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5. ∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°， ∴AE＝ AC2－CE2＝ 52－（ 13）2＝2 3.
【答案】D
12．如图，点 O 为线段 BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的距离 相等，若∠ABC＝30°，则∠ADC 的度数是( C ) A．130° B．140° C．150° D．160°
14．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 M 是 AC 的中点， 以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BM 于点 D，E.连接 DE， 使四边形 DEBA 为⊙O 的内接四边形．
(1)求证：∠A＝∠ABM＝∠MDE； 证明：∵∠ABC＝90°，点 M 是 AC 的中点， ∴AM＝CM＝BM. ∴∠A＝∠ABM.
1．[中考·兰州]如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的度数为( C ) A．45° B．50° C．60° D．75°
2．[中考·黄石]如图，已知⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆，O 为
圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O 的半径长为

九年级数学下学期期中调研测试题时间：120分钟 总分：150分一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项．．．．是符合题目要求的,请将正确选项的代号填涂在答题纸对应的位置上．1． 今年一月的某一天，南通市最高温度为5℃，最低温度是－2℃，那么这一天的最高温度比最低温度高（ ）A ．7℃B ．3℃C ．－3℃D ．－7℃ 2． 计算（x 4）2的结果是（ ）A ．x 6B ．x 8C ．x 10D ．x 16 3． 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）4． 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为S 甲2=0.56，S 乙2=0.60，S 丙2=0.50，S 丁2=0.45，则成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 5． 如图，l 1∥l 2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3等于（ ）A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°6． 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．(a ＋b )2=a 2＋2ab ＋b 2B ．(a －b )2=a 2－2ab ＋b 2C ．a 2－b 2=(a ＋b )(a －b )D ．(a ＋2b )(a －b )=a 2＋ab －2b 27．关于x 的一元二次方程x 2―mx ＋2m ―1=0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 12＋x 22=7，则(x 1―x 2)2的值是（ ）A ．13或11B ．12或－11C ．13D ．128．反比例函数ky x在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49． 如图，在等边△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC ，EF ⊥AB ，FD ⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ）a a bba bb图甲 图乙第6题图A ．B ．C ．D ． l 1 l 2 12 3 第5题图第10题图小推车 左视图 50cm40cm主视图 50cm40cm100cmA ．1∶3B ．2∶3C ．3∶2D ．3∶310．清晨，食堂师傅用小推车将煤炭运往锅炉间，已知小推车车厢的主视图和左视图如图所示，请你算一算，这辆推车一趟能运多少煤炭（ ）A ．0.15m 3B ．0.015 m 3C ．0.012m 3D ．0.12m 3二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将最后结果填在答题纸对应的位置上． 11．函数y =24x -中，自变量x 的取值范围是 ． 12．分解因式2(2)(4)4x x x +++-= ．13．如图，已知AB =AD ，∠BAE ＝∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是（写出一个即可）．14．市实验初中举行了一次科普知识竞赛，满分100分，学生得分的最低分31分．如图是根据学生竞赛成绩绘制的频数分布直方图的一部分（每个分组包括右端点，不包括左端点））．参加这次知识竞赛的学生共有40人，则得分在60~70分的频率为 ．15．如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．16．在圆内接四边形ABCD 中，则∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠D ＝ 度． 17．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13m ，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为 m ．18．已知直线y 1=x ，y 2=13x ＋1，y 3=－45x ＋5的图象如图所示，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，则y 的最大值为 ．第9题图 D C E F A BBCDA成绩/分 人数/人 40 60 50 90 70 80 510 15第14题图 0 30 100 A C E BD 第13题图 yy 1y 2O B A HD C第15题图 1 2 2 1 O y x 第8题图三、解答题：本大题共10小题，共96分．解答时，请在答题纸的相应的位置上写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．（本题满分8分）（1）计算049(2010)----π+3tan30°；（2）解不等式5x －12≤2(4x －3)，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（本题满分8分）为了进一步了解八年级500名学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50名学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下所示：请结合图表完成下列问题：（1）表中的a =________，次数在140≤x ＜160这组的频率为_________； （2）请把频数分布直方图补充完整；（3）这个样本数据的中位数落在第__________组；（4）若八年级学生一分钟跳绳次数(x )达标要求是：x ＜120不合格；x ≥120为合格， 则这个年级合格的学生有_________人． 21．（本题满分8分）4·14 青海玉树地区地震发生后，某厂接到上级通知，在一个月内（30天）需赶制3.6万顶加厚帐篷支援灾区． （1）写出每天生产加厚帐篷w （顶）与生产时间t （天）之间的函数关系式；（2）在直角坐标系中，画出（1）中函数的图象；（3）由于灾情比较严重，10天后，厂家自我加压，决定在规定时间内，多制6000顶加厚帐篷，且提前4天交货， 那么该厂10天后，每天要多做多少顶加厚帐篷？22．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ． 求证：（1）BE =BC ； （2）AE 2=AC ·EC ．组别 次数x 频数(人数)第l 组 80≤x ＜1006 第2组 100≤x ＜1208 第3组 120≤x ＜140a 第4组 140≤x ＜160 18 第5组 160≤x ＜180 6 AEDt w O 第21题图A O P x y第24题图- 3 - 323．（本题满分10分）周六下午，小刚到小强家玩．休息之余，两人进入校园网，研究起了本校各班的课程表…… 现已知初一（1）班周四下午共安排数学、生物、体育这三节课．(1)请你通过画树状图列出初一（1）班周四下午的课程表的所有可能性；(2)小刚与小强通过研究发现，学校在安排课务时遵循了这样的一个原则——在每天的课表中，语文、数学、英语这三门学科一定是安排在体育课之前的．请问你列出的初一(1)班周四下午的课程表中符合学校课务安排原则的概率是多少?24．（本题满分10分）已知抛物线2y ax bx =+经过点(33)A --，和点P （t ，0），且t ≠ 0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A ，如图，请通过观察图象，指出此时y 的最小值，并写出t 的值； （2）若4t =-，求a 、b 的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直．接．写出使该抛物线开口向下的t 的一个值．25．（本题满分10分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，∠DBC ＝∠A ．（1）求证：BC 与⊙O 相切； （2）若OC ⊥BD ，垂足为E ，BD =6，CE =4，求AD 的长．26．（本题满分10分） （1）如图（1），点M ，N 分别在等边△ABC 的BC ，AC 边上，且BM =CN ，AM ，BN 交于点Q ．求证：∠BQM ＝60°． （2）判断下列命题的真假性：①若将题（1）中“BM =CN ”与“∠BQM ＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题（1）中的点M ，N 分别移动到BC ，CA 的延长线上，是否仍能得到∠BQM ＝60°？（如图2） ③若将题（1）中的条件“点M ，N 分别在正△ABC 的BC ，AC 边上”改为“点M ，N 分别在正方形ABCD 的BC ，CD 边上”，是否仍能得到∠BQM ＝60°？（如图3）在下列横线上填写“是”或“否”：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ．并对②，③的判断，选择其中的一个给出证明．ABC D E O第25题图27．（本题满分12分）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量y （万件）随销售单价x（元）增大而减小，且年销售量y （万件）与销售单价x （元）之间存在着一次函数关系y =120kx +b ，其中整数．．k 使式子11k k ++-有意义．经测算，销售单价为60元时，年销售量为50000件． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该产品的年获利z （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式（年获利=年销售额―年销售产品总进价―年总开支）．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求这个最大值； （3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元．请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？ 28．（本题满分12分）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得 △ APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四 边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.A C N QMB第26题图1AD N C B Q 第26题图3 M Oxy ABC DE第28题图数学试题参考答案及评分标准21．（1）tw 36000； …………………2分 （2）略； …………………4分 （3）675顶。

五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。

判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。

【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例2 如图所示，ABC 是等边三角形，D 是BC 上任一点．求证：DB+DC=DA ．A· ABDO例3、如图7-103，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P，求证：E，D，P，F四点共圆．例4、如图7-104，四边形ABCD内接于⊙O，过AB延长线上一点E作EF∥AD，且与DC延长线交于F，证明四边形BEFC为圆内接四边形．例5、如图7-105，△ABC内接于⊙O，D点在⊙O上，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC延长线于F．求证：BE=CF．例6、如图7-106，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，△ABD的外接圆交BC于E．求证：AD=EC．例8、如图7-107，⊙O中，两弦AB∥CD，M是AB的中点，过M点作弦DE．求证：E，M，O，C四点共圆．例9、如图7-108，M，N分别是△ABC中AB，AC的中点，过M作AB的垂线交AC于D，过N作AC的垂线交AB于E．求证：B，C，D，E四点共圆．例10、如图7-109，四边形ABCD 内接于圆，AC 平分∠BAD ，延长DC 交AB 的延长线于E 点．若AC=EC ，求证：AD=EB ．【考点速练】1．圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角． 2．已知四边形ABCD 内接于⊙O ，则∠A:∠B:∠C:∠D=3:2: :7，且最大的内角为 ． 3．如右图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CD 于E ，若∠ABC=︒130，则∠DAE= ．4．已知圆内接四边形ABCD 的∠A 、∠B 、∠C 的外角度数比为2:3:4，则∠A= ，∠B= ．5．圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 ．6．若E 是圆内接四边形ABCD 的边BA 的延长线上一点，BD=CD ，∠EAD=︒55，则∠BDC= ． 7．四边形ABCD 内接于圆，∠A 、∠C 的度数之比是5:4，∠B 比∠D 大︒30，则∠A= 。

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在学生小组讨论环节，我尝试提出一些开放性的问题，引导学生思考和探究。从成果分享来看，学生们对于圆内接四边形在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现部分学生的思考深度和广度仍有待提高。在接下来的教学中，我会进一步加强引导，培养学生独立思考和批判性思维的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆内接四边形的基本概念。圆内接四边形是指四边形的四个顶点都在同一圆上的四边形。它是几何学中的一个重要概念，因为它具有独特的性质和广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆内接四边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆内接四边形的基本概念、性质和判定定理，以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对圆内接四边形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.圆内接四边形的判定定理：四边形ABCD内接于圆O的充分必要条件是它的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。

《初三下学期数学知识点归纳》初三下学期是初中学习的关键时期，数学作为重要学科之一，知识点的归纳和掌握对于中考至关重要。

以下是对初三下学期数学知识点的详细归纳。

一、二次函数1. 二次函数的概念一般地，形如\(y = ax² + bx + c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a≠0\)）的函数，叫做二次函数。

其中\(x\)是自变量，\(a\)、\(b\)、\(c\)分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

2. 二次函数的图象和性质二次函数的图象是一条抛物线。

当\(a>0\)时，抛物线开口向上，有最低点；当\(a<0\)时，抛物线开口向下，有最高点。

对称轴公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。

顶点坐标为\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b²}{4a})\)。

3. 二次函数的解析式（1）一般式：\(y = ax² + bx + c\)。

（2）顶点式：\(y = a(x - h)² + k\)，其中顶点坐标为\((h,k)\)。

（3）交点式：\(y = a(x - x₁)(x - x₂)\)，其中\(x₁\)、\(x₂\)是抛物线与\(x\)轴交点的横坐标。

二、相似三角形1. 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2. 相似三角形的判定（1）两角对应相等的两个三角形相似。

（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

3. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等。

（2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的周长比等于相似比。

（4）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

三、锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义在直角三角形中，锐角\(A\)的正弦、余弦、正切分别定义为：\(\sin A=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)；\(\cosA=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)；\(\tanA=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)。

24.3 第2课时圆内接四边形-2022-2023学年九年级下册初三数学(沪科版)一、知识回顾在前面的学习中，我们已经学习了关于圆的知识，包括圆的定义、圆心、半径以及圆上的弧和圆心角等概念。

本节课我们将学习圆内接四边形的性质。

1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四个边都是圆的弦。

2. 圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的两对对角线互相垂直。

（2）圆内接四边形的两对对边相等。

（3）圆内接四边形的对角线交点与圆心在一条直线上。

二、圆内接四边形的证明1. 圆内接四边形的两对对角线互相垂直的证明设圆内接四边形的对角线交点为O，圆心为C，四边形的顶点分别为A、B、D、E。

根据圆的性质，圆内接四边形的两条对角线都是圆的弦，所以OA、OB、OD、OE都是圆的直径，而直径的特点是与圆心连线垂直。

所以，根据直径的性质可知，圆内接四边形的两对对角线互相垂直。

2. 圆内接四边形的两对对边相等的证明在证明这个性质之前，我们先引入一个重要概念——切线。

切线的定义在平面几何中，给定一个圆以及一个点P，如果从点P到圆的圆心C的距离等于圆半径r，那么称线段PC为圆的切线。

现在，我们回到圆内接四边形的性质证明上。

以圆心为原点建立坐标系，设圆的半径为r，则圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。

设四边形的顶点A、B、D、E的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、D(x3,y3)、E(x4, y4)。

由圆内接四边形的定义可知，四个点都在圆上，即满足圆的方程。

分别代入圆的方程可以得到以下方程组：x1^2 + y1^2 = r2 x22 + y2^2 = r2 x32 + y3^2 = r2 x42 + y4^2 = r^2将以上方程相减，可以得到以下方程：x1^2 + y1^2 - (x2^2 + y2^2) = 0 x2^2 + y2^2 - (x3^2 + y3^2) = 0 x3^2 + y3^2 - (x4^2 + y4^2) = 0 x4^2 + y4^2 - (x1^2 + y1^2) = 0将上述方程两边同时乘以2，然后相加，可以得到以下等式：2(x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2) = 2(x1^2 +y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2)即：2(x1^2 + y1^2) + 2(x2^2 + y2^2) + 2(x3^2 + y3^2) + 2(x4^2 + y4^2) =2(x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2)化简后可得：x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2 = x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + x3^2 + y3^2 + x4^2 + y4^2即：0 = 0这说明方程成立。

[例3]
如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P
是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C， ⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.
求证：PM⊥CD.
[思路点拨] ⊙O1与⊙O2相交，
考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考 虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑 证角相等．
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆． 解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确， 因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误， 只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正 多边形的中心到各顶点的距离相等．
4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证： (1)D、E、F、G四点共圆； (2)G、B、C、F四点共圆．
∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC 相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分
∠CDF.
(1)求证：AB＝AC； (2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm， 求DE的长．
解：(1)证明： ∵∠ABC＝∠2， ∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC＝∠4. ∴AB＝AC. (2)∵∠3＝∠4＝∠ABC， ∠DAB＝∠BAE， ∴△ABD∽△AEB. AB AD ∴AE＝ AB. ∵AB＝AC＝3，AD＝2， AB2 9 ∴AE＝ AD ＝ . 2 9 5 ∴DE＝ －2＝ (cm). 2 2
证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距 离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那 么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角 等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如

九年级数学：圆内接四边形练习（含答案）1．圆内接四边形的对角________．2．圆内接四边形的外角等于内对角．A组基础训练1．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠C＝80°，则∠A等于( )A．120° B．100° C．80° D．90°第1题图2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝80°，则∠ABC的度数为( )第2题图A．100° B．120° C．140° D．160°3．圆内接四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C＝1∶2∶5，则∠D等于( )A．60° B．120° C．140° D．150°4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BOD＝120°，则∠BCD的度数为( ) A．120° B．90° C．60° D．30°第4题图5.如图，已知∠BAE＝125°，则∠BCD＝________度．6．平行四边形ABCD 为圆内接四边形，则此平行四边形是________． 7．⊙O 的内接四边形ABCD ，∠AOC ＝140°，∠D ＞∠B ，则∠D ＝________．8．如图，已知四边形ABCD 内一点E ，若EA ＝EB ＝EC ＝ED ，∠BAD ＝70°，则∠BCD ＝________．第8题图9．如图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，与△ABC 的外接圆交于点D. (1)求证：DB ＝DC ；(2)若过D 作DP⊥AC 于点P ，DQ ⊥BA 于点Q ，求证：△CDP≌△BDQ.第9题图10．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于点E ，交BC ︵于点D. (1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)连结CD ，设∠CDB ＝α，∠ABC ＝β，试找出α与β之间的一种关系式，并予以证明．B 组 自主提高8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连结CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连结AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )第11题图A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD 的度数为________．第12题图13．如图所示，AB ＝AC ，AB 为⊙O 的直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE. (1)试判断DE 与BD 是否相等，并说明理由； (2)如果BC ＝6，AB ＝5，求BE 的长．第13题图C组综合运用14.如图，正方形ABCD，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P.(1)BE、CF有怎样的数量关系和位置关系？(2)判断点P，F，A，B共圆吗？(3)直接写出∠FPA相等的角．(4)求证：AP＝AB.第14题图3．6 圆内接四边形【课堂笔记】 1．互补 【课时训练】 1－4.BCBA 5. 125 6. 矩形 7.110° 8.110°9．(1)∵AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC ＝∠DAE.∵四边形ABCD 内接于圆，∴∠DCB ＝∠DAE，∵∠DAC ＝∠DBC，∴∠DCB ＝∠DBC，∴DB ＝DC ； (2)∵AD 平分∠EAC，DP ⊥AC ，DQ ⊥BA ，∴DP ＝DQ ，又∵DB＝DC ，∴△CDP ≌△BDQ(HL)．10．(1)不同类型的正确结论有：①BE＝CE ；②BD ︵＝CD ︵；③∠BED＝90°；④∠BOD ＝∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE 2＋BE 2＝OB 2；⑧S △ABC ＝BC·OE；⑨△BOD 是等腰三角形等； (2)α与β的关系式主要有如下两种形式：①α－β＝90°.证明如下：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠ABC＝90°①.又∵四边形ACDB 为⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠CDB＝180°②.②－①，得∠CDB－∠ABC＝90°，即α－β＝90°. ②α>2β.证明如下：∵OD＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠OBD＝∠ABC＋∠CBD，∴∠ODB>∠ABC.∵OD ⊥BC ，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴∠CDO ＝∠ODB＝12∠CDB ，∴12∠CDB>∠ABC ，即α>2β.11．B 12．60°13．(1)连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即AD⊥BC，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD，即∠EAD＝∠BAD，∴DE ＝BD ； (2)∵AD⊥BC，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴ADAB 2－BD 2＝4，∵S △ABC ＝12×BC ·AD ＝12AC ×BE ，∴12×6×4＝12×5×BE ，∴BE ＝245.14．(1)BE ＝CF ，BE ⊥CF ，理由：证△BCE≌△CDF(SAS)得BE ＝CF ，∠CBE ＝∠DCF，∵∠DCF ＋∠BCF＝90°，∴∠CBE ＋∠BCF＝90°，即BE⊥CF； (2)点P ，F ，A ，B 共圆．理由：∵BE⊥CF，∠A＝90°，∴点P，F，A，B共圆．(3)∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC.(4)证明：∵∠FPA＝∠FBA＝∠FCD＝∠EBC，∴∠APB＝90°－∠FPA＝90°－∠EBC＝∠ABP，∴AP ＝AB.。

辽宁省丹东市第五中学2023-2024学年九年级下学期3月开学摸底考试数学试题一、单选题1．3-的相反数是（ ） A ．3B ．13C ．3-D ．13-2．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是一个几何体如图水平放置，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ） A ．3254m m m -= B ．4520m m m ⋅= C ．()23264m n m n -=-D ．()326m m -=-4．有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的( ) A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差5．不等式组()2160.510.5x x ⎧+<⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，在圆内接四边形ABCD 中，若∠C=80°，则∠A 等于（ ）A ．120°B ．100°C ．80°D ．90°7．如图，BD AC 、是四边形ABCD 的对角线，E ，F ，G ，H 分别是BD BC AC AD ，，，的中点，下列条件中，能判定四边形EFGH 为菱形的是（ ）A ．AB CD = B ．AC BD ⊥ C ．AD BC = D ．AC BD =8．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB =，8BC =，点E 是AB 上一点，点F 是BC 上一点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点G 正好落在AD 的中点处，则AE 的长为（ ）A ．53B ．1310C ．512D ．1259．在反比例函数2y x=-（k 为常数）的图象上有三点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，1230x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．231y y y <<10．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点，且对称轴1x =，点B 坐标为()10-，，则下面的四个结论：①20a b +=；②420a b c -+<；③0ac <；④当0y <时，1x <-或2x >．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11x的取值范围是：．12．2024年元旦假期，哈尔滨文旅市场持续火爆．据哈尔滨市文化广电和旅游局提供大数据测算，截至元旦假日第3天，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元．将数据59.14亿用科学记数法表示为．13．已知关于x的一元二次方程2430-+=有两个不相等的实数根，则实数m的取值范mx x围是．14．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的积是．15．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在对角线AC上，且BF EF⊥，连接BE交AC于点G．若4AB=，则线段FG的长为．三、解答题16．计算：112tan30(2024π)3-⎛⎫︒--+ ⎪⎝⎭；(2)先化简，再求值：2344111x xxx x-+⎛⎫-+÷⎪++⎝⎭，其中3x=．17．为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装48间教室比甲公司安装同样数量的教室多用4天，求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？18．某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动．策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如下统计图（均不完整）．请根据统计图，回答下列问题：(1)这次抽样调查的总人数为______人．(2)在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为______．(3)若该校共有1500名学生，则最想参加“唱歌”的约有______人．(4)活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出4名同学（两男两女），并准备从中随机选取2名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率．19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是弧AC的中点，E为OD延长线上一点，且2CAE C∠=∠，AC与BD交于点H，与OE交于点F．(1)求证：AE AB⊥；(2)求证：2=⋅；DF FH FC20．小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：模型建立：（1）请将以上调查数据在草稿纸上按照一定顺序重新整理，分析数据的变化规律，请求出日销售量y（盆）与售价x（元/盆）间的关系；模型应用：（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于80%，当每盆售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元？21．在学习镜面反射后，小明知道了当入射光线与镜面垂直时，反射光线将与入射光线重合，沿原路返回，他利用此现象设计了一个测量物体高度的工具．在一次实际测量过程中，小明DM=米，请计算建筑物MN的高度（结果精确到0.1测得测高工具与建筑物的水平距离8.5≈）．1.73测量工具横截面图直角三角形中点，在点装轮子，方便移动，支架的高度（包含轮子的高度）测量示意在建筑物忽略不计，将测高工具放置在与建筑物同一平面上，在地面动工具，当红外线灯照射到点（22．【建立模型】（1）在数学课上，老师出示这样一个问题：如图1，在Rt ABC△中，90ACB AC BC∠=︒=，，直线l经过点C，AD l⊥，BE l⊥，垂足分别为点D和点E，兴趣小组很快发现：ADC CEB△≌△（此处不需证明）．【类比迁移】（2）勤奋小组在这个模型的基础上，继续进行探究问题，如图2，在平面直角坐标系中，直线33y x=-+的图象与y轴交于点A，与x轴交于点C，将线段AC绕点C顺时针旋转90︒得到线段CB，反比例函数kyx=的图象经过点B，请直接写出反比例函数的解析式；【拓展延伸】（3）创新小组受到勤奋小组的启发，请你结合抛物线的图象继续深入探究下面的问题并给出解答：综合与探究：如图3，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A B 、两点，()1,0A -，与y 轴交于点C ，其对称轴（直线l ）为1x =交x 轴于点D ．①求抛物线的函数表达式及B C 、两点的坐标；②点P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接PC ，PD ，设点P 的横坐标为m ，求PCD △的面积的最大值以及此时点P 的坐标；③如图4，在②的条件下，连接CP ，在抛物线是否存在点E ，使得45PCE ∠=︒？若存在，请直接写出所有点E 的坐标；若不存在，请说明理由．23．问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC V 和DFE △，其中90ACB DEF A D ∠=∠=︒∠=∠，．将ABC V 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合（标记为点B ）．当ABE A∠=∠时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的DBE V 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC V 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC ∠=∠时，过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC ∠=∠时，过点A 作AH DE ⊥于点H ，若34BC AC ==，，求AH 的长．。

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，∴x=18°，∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，∴∠D=180°一36°＝144°．说明：①巩固性质；②方程思想的应用．例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，又∠CBD=∠DAC ，∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．典型例题四例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HADABCD EAB C DEO︒=∠∴60D ，由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .求证：CD PM ⊥.分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形..,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE.90.90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM即CD PM ⊥.说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .求证：（1）DC DB =；（2）.2DN CM DC ⋅=分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2DN CM DC ⋅=，只须证比例式DC CM DN DC =，也即CNCMDN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明 （1）连结DC.∵AD 平分EAC ∠，∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DNCMCN CM DN DC ==. ∴.2DN CM DC ⋅=说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DCBCFD AB =. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴.∴ DAB ACB ∠=∠.∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴DCBCFD AB =. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.解 连结OD ，BD .∵DC AD =，的度数AOD ∠=.∴.//BC OD∴EBEOBC OD =. .24,16.8.3212,12,==∴=∴=∴===EB AB OD OD BCBOAO EA ΘABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EBEDEC EA BC AD ==. 设y ED x DC AD ===,，则有yx y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆∴.BCABCF AD =即.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴∴（1）.APD APC ∠=∠（2）.180︒=∠+∠APD APC（如图中虚线所示）.选择题1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）A．30°B．60°C．90°C．120°2．四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：123.四边形ABCD内接于圆，A∠、B∠、C∠、D∠的度数比依次可以是（）A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:44.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒=∠110BOD，那么BCD∠的度数为（）A．︒125B．︒110C．︒55D．︒705. 如图，⊙1O与⊙2O交于A、B两点，且⊙2O过⊙1O的圆心1O，若︒=∠40M，则N∠等于（）A．︒40B．︒80C．︒100D．︒706. 圆内接平行四边形一定是（）（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕49、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三角形( )（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对11．如图，在ABC∆，AD是高，ABC∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CDBDAD⋅=2；（2）AEEGBE⋅=2；（3）ACABADAE⋅=⋅；（4）CGBGEGAG⋅=⋅.其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知：如图，劣弧，那么DB∠+∠的度数是（）ACDPQA ．320°B ．160°C ．150°D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）A ．三角形内B ．三角形外C ．三角形的边上D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）A ．互相垂直B ．互相垂直平分C ．相等D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====BE AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）A ．DCE ABE ∆≅∆B ．︒=∠45BDAC ．5.24=ABCD S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对答案：1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.填空题1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则所对的圆心角的度数是 度．3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且=4:3:2:1，则圆内接四边形ABCD 的最大角是_________5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则______=∠D ，______=∠A6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则______=∠A ，______=∠D7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α=︒=∠=ACBADADAB,30,，则四边形ABCD的面积为________.11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5=BC，则折痕在ABC∆内的部分DE长为_______.答案：1. 60°；2. 72°；3.160°;4. ︒126 5. ︒105，︒87，︒90，︒45;6. ︒100，︒757. 等腰，矩形.8．90 9．120°10．243a11．310.判断题1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）3. 直角所对的弦是直径；（）4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）5. 弓形含的圆周角为︒120，则弓形弧也为︒120；（）6. 四边形的对角互补.（）答案:1. ×2. ×3. ×4. √5. ×6. ×.解答题1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBACBE∠=∠，求证：BDECBEAD⋅=⋅BCDO4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=25．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

圆周角、圆内接四边形【十大题型】【题型1 圆周角的运用】 ................................................................................................................................... 2 【题型2 圆内接四边形的运用】........................................................................................................................ 6 【题型3 利用圆的有关性质求值】 ................................................................................................................... 11 【题型4 利用圆的有关性质进行证明】 ...........................................................................................................16 【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】 .......................................................................................................24 【题型6 利用圆的有关性质求最值】 ...............................................................................................................29 【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】 .......................................................................................................34 【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】 ....................................................................................38 【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】 ................................................................................................46 【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 . (52)【知识点1 圆周角定理及其推论】O 的直径AB 所对的圆周角O 的直径【题型1 圆周角的运用】【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，⊙O的直径是AB，∠BPQ=45°，圆的半径是4，则弦BQ的长是（）．A．4√3B．4√2C．2√3D．2√2【答案】B【分析】如图：连接AQ，由圆周角定理可得∠BAQ=∠BPQ=45°、∠AQB=90°，然后再说明AQ=QB，最后根据勾股定理即可解答．【详解】解：如图：连接AQ，∵∠BPQ=45°，∴∠BAQ=∠BPQ=45°，∵⊙O的直径是AB，圆的半径是4，∴∠AQB=90°，AB=8∴∠ABQ=90°−∠QAB=45°，∴∠ABQ=∠QAB=45°，∴AQ=QB,∵AB=√AQ2+BQ2=√2BQ2，∴8=√2BQ2，解得：BQ=4√2．故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，则BC=．【答案】√13【分析】连接BD，先由三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据直径所对圆周角为直角，进而求出∠ABD= 30°，即有AD=1AB=2，灵活运用勾股定理即可作答．2【详解】解：连接BD，如图，∵在△ABC中，∠B=55°，∠C=65°，∴∠A=60°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∴在△ABD中，∠ABD=30°，∵AB=4，AB=2，∴AD=12∴在Rt△ABD中，BC=√CD2+BD2=√13，故答案为：√13．【点睛】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，△ABC内接于☉O，AC=BC，连接OB，若∠C=52°，则∠OBC的度数为．【答案】26°/26度【分析】延长BO交⊙O于点E，连接CE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ECB=90°，从而可得∠ECA= 48°，进而利用同弧所对的圆周角相等可得∠ECA=∠EBA=48°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A=∠ABC=64°，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答．【详解】解：延长BO交⊙O于点E，连接CE，如图，∵BE是⊙O的直径，∴∠ECB=90°，∵∠ACB=52°，∴∠ECA=∠ECB−∠ACB=38°，∴∠EBA=∠ECA=38°，∵AC=BC，（180°−∠ACB）=64°，∴∠A=∠ABC=12∴∠OBC=∠ABC−∠ABE=64°−38°=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，AB为半圆的直径，AB=10，点O到弦AC的距离为4，点P从出发沿BA方向向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP，当△APC为等腰三角形时，点P运动的时间是()A．145或4B．145或5C．4或5D．145，4或5【答案】D【分析】过点O作OD⊥AC于点D，根据垂径定理，以及勾股定理求得AC的长，然后分三种情形讨论，分别求得PB的长，即可求解．【详解】解：如图所示，过点O作OD⊥AC于点D，∴AD=DC，在Rt△ADO中，AO=5,OD=4，∴AD=√AO2−DO2=3，∴AC=2AD=6，①当CP=CA时，如图，过点C作CE⊥AB于点E，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵D是AC的中点，O是AB的中点，∴BC=2OD=8∴CE =AC×BC AB=6×810=245，在Rt △ACE 中，AE =√AC 2−CE 2=185，∵AE =PE ， ∴BP =AB −2AE =145，∴t =145(s)，②当PA =PC 时，则点P 在AC 的垂直平分线上，所以点P 与点O 重合，PB =5，此时t =5(s)； ③当AP =AC =6时，PB =AB −AP =4，此时t =4(s)， 综上所述，t =145或4或5，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理、等腰三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．【知识点2 圆内接四边形】 【题型2 圆内接四边形的运用】【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ．⊙O 是△ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：∠B =2∠ACD ；(2)若∠ACD =35°，求∠DAE 的度数．四边形O 的内接四边形︒(2)∠DAE =105°【分析】（1）证明AC⌢=2AD ⌢，可得∠B =2∠ACD ； （2）先求解∠B =70°，可得∠BCD =70°+35°=105°，再利用圆的内接四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵D 为弧AC 的中点， ∴AD⌢=CD ⌢，AC ⌢=2AD ⌢， ∴∠B =2∠ACD ；（2）∵∠ACD =35°，∠B =2∠ACD ， ∴∠B =2×35°=70°， ∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB =70°， ∴∠BCD =70°+35°=105°， ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠BAD =180°−∠BCD =75°， ∴∠EAD =180°−75°=105°．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理与圆的内接四边形的性质并灵活应用是解本题的关键．【变式2-1】（2023春·陕西西安·ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°【答案】D【分析】根据内接四边形的性质，得到∠BCD +∠BAD =180°，进而得到∠BAD =60°，再根据圆周角定理得到∠BOD =120°，即可求出∠DOE 的度数．∵∠BCD=2∠BAD，∴∠BAD=60°，∴∠BOD=120°，∴∠DOE=180°−∠BOD=60°，故选D．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握内接四边形的对角互补，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E=α，∠F=β，且α≠β，则∠A=（用含有a、β的代数式表示）．.【答案】180°−α−β2【分析】连接EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2∠A+∠AEB+∠AFD+∠1+∠2=180°,即2∠A+α+β= 180°，再解方程即可．【详解】解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∴∠A=180°−α−β．2.故答案为：180°−α−β2【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．(1)求证：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．【答案】(1)证明见解析(2)83【分析】（1）由四边形ABED内接于⊙O，得出∠DEC=∠A，根据已知OD∥BC，得出∠C=∠ADO，又OA=OD，得出∠A=∠ADO，等量代换得出∠C=∠DEC，根据等角对等边，即可得证；（2）根据AB为直径，得出∠AEB=90°，根据已知以及（1）的结论，得出AC=2AD=8，AB=BC=12，设CE=x，则BE=12−x，在Rt△ACE,Rt△ABE中，根据AE相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠DEB+∠A=180°，又∠DEB+∠DEC=180°∴∠DEC=∠A，∴∠C=∠ADO，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠C=∠DEC，∴CD=DE；（2）解：如图所示，连接AE，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，∴∠CAE+∠C=90°，∠AED+∠DEC=90°，由（1）CD=DE，∠C=∠DEC，∴∠CAE=∠AED，∴AD=DE，∴AD=DC，∴AC=2AD=8，由（1）可得∠BAC=∠ADO，∠C=∠ADO，则∠C=∠BAC，∴AB=BC=12，设CE=x，则BE=12−x，∵AC2−CE2=AB2−BE2，，∴82−x2=122−(12−x)2，解得：x=83∴CE=8．3【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判【题型3 利用圆的有关性质求值】【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F．连接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，则CF的值为（）．A．√10B．2√2C．2√3D．3【答案】A【分析】由四边形BCDE内接于⊙O知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC，由EF是⊙O的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE，再根据四边形BECF是⊙O的内接四边形知∠AEC=∠BFC，从而证△ACE≌△BCF得AE=BF，根据Rt△ECF是等腰直角三角形知EF2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，∴∠EFC=∠ABC=180°−∠EDC=45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰三角形，∴AC=BC，又∵EF是⊙O的直径，∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≅△BFC(ASA)，∴AE=BF，Rt△BEF中，EF2=BF2+BE2=BE2+AE2=42+22=20，Rt△ECF中，∠EFC=45°，∴CE=CF，∴CE2+CF2=2CF2=EF2=20，∴CF2=10，∴CF=√10，故选:A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（）A．20°B．50°C．40°D．25°【答案】A【分析】连接OC【详解】连接OC，∵OA⊥BC，∠B=50°，∴∠AOB=90°−50°=40°，∠AOB=∠AOC=40°，∴∠D=1∠AOC=20°，2故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握定理是解题的关键．【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．(1)求证：BE=BF；(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．【答案】(1)见解析(2)2:3【分析】（1）根据圆心角定理得到∠ABE=90°，根据等角的余角相等证明结论；（2）过点B作BH⊥EA，根据勾股定理求出AE，根据三角形面积公式求出BH，根据勾股定理计算即可．【详解】（1）∵直径AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∠ABE=90°∴∠BAE+∠AEB=90°，∵AD⊥BC，∴∠DAE+∠AFD=90°，∴∠AEB=∠AFD∵∠AFD=∠BFE，∴∠BFE=∠BEF，∴BE=BF．（2）过点B作BH⊥EA，在RtΔEBA中，根据勾股定理得EA=√BE2+BA2=5√5∵BE⋅BA2=EA⋅BH2∴BH=2√5在RtΔBHE中，根据勾股定理得EH=√BE2−BH2=√5∵BE=BF，BH⊥EA∴EF=2√5∴AF=3√5∴EF:AF=2:3．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和勾股定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的知识是解题的关键．【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E 为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.(1)求证：AB=AC；(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA=度；（直接写答案）(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.【答案】(1)见解析(2)60(3)√5【分析】（1）根据角平分线的定义∠EDA=∠ADC，再根据圆内接四边形的任一外角等于它的内对角以及圆周角定理证得∠ABC=∠ACB，进而利用等腰三角形的判定可得结论；（2）根据等边三角形的性质和圆内接四边形的任一外角等于它的内对角得到∠EDA =∠ACB 即可求解；（3）先根据等弦对等弧和垂径定理的推论得到AH ⊥BC ，BH =CH ，再证明四边形AEBH 是矩形，得到BH =AE ，进而求得BC =4，在Rt △DBC 中利用勾股定理求得CD =2√5可求解．【详解】（1）证明：∵AD 平分∠EDC ，∴∠EDA =∠ADC ，∵四边形ADBC 是圆⊙O 内接四边形，∴∠EDA =∠ACB ，又∠ADC =∠ABC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴AB =AC ；（2）解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ACB =60°,又∵四边形ADBC 是圆⊙O 内接四边形，∴∠EDA =∠ACB =60°，故答案为：60；（3）解：在图2中，连接AO 延长交BC 于H ，交⊙O 于K ，∵AB =AC ，∴AB ⌢=AC ⌢，则BK ⌢=CK ⌢，∴AH ⊥BC ，BH =CH ，∵CD 为直径，∴∠DBC =90°，又AE ⊥BD ，∴∠AEB =∠EBC =∠AHB =90°，∴四边形AEBH 是矩形，∴BH=AE，∵DB=AE=2，∴BH=2，则BC=2BH=4，在Rt△DBC中，CD=√BD2+BC2=√22+42=2√5，∴⊙O的半径为√5．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理的推论、圆内接四边形的性质、等弦对等弧、等边三角形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识的联系与运用是解答的关键．【题型4 利用圆的有关性质进行证明】【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠ECB=120°．⌢所对圆心角的度数；(1)求AB(2)连DB，DA，求证：DA=DB；(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)120°(2)见解析(3)CB=CD+CA，证明见解析【分析】（1）先由邻补角的定义可得∠ACB=60°，再由同弧所对的圆周角相等可推出∠ADB=∠ACB=60°，最后利用圆周角定理即可求解；（2）根据角平分线的定义可得∠DCB=1∠ECB=60°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DCB=∠DAB=260°，得出△ADB是等边三角形，即可得证；（3）延长CD 至F ，使DF =CA ，连接BF ，证明△CAB ≌△FDB (SAS )，继而得出△CBF 是等边三角形，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，连接OA,OB ，∵∠ECB =120°，∴∠ACB =180°−120°=60°，∵AB⌢=AB ⌢， ∴∠ADB =∠ACB =60°，∴AB⌢所对圆心角∠AOB =2∠ADB =120°； （2）证明：∵CD 是△ABC 的外角∠ECB 的角平分线，∠ECB =120°，∴∠DCB =12∠ECB =60°， ∵DB⌢=DB ⌢， ∴∠DCB =∠DAB =60°，又∠ADB =60°，∴△ABD 是等边三角形，∴DA =DB ；（3）CB =CD +CA ，证明：如图，延长CD 至F ，使DF =CA ，连接BF ，∵四边形ABDC是圆内四边形，∴∠CDB+∠CAB=180°,∵∠CDB+∠FDB=180°，∴∠FDB=∠CAB,由（2）知△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∴△CAB≌△FDB(SAS)，∴∠ACB=∠F=60°，CB=BF,∴△CBF是等边三角形，∴CF=BC=CD+DF=CD+AC,即CB=CD+CA．【点睛】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．【答案】证明见解析【分析】先利用垂径定理证得AC=AD=CD，进而证得△ACD是等边三角形，则∠FCD=30°，根据含30度角的直角三角形的性质得到OE=1OC即可证得结论．2【详解】证明：连接AC，如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC⌢=AD ⌢， ∴AC =AD ，∵过圆心O 的CF ⊥AD ，∴AC⌢=CD ⌢ ∴AC =CD ，∴AC =AD =CD ．则△ACD 是等边三角形，又CF ⊥AD ，∴∠FCD =12∠ACD =30°， ∴在Rt △COE 中，OE =12OC ，∴OE =12OB ， ∴点E 为OB 的中点．【点睛】本题考查垂径定理、等弧所对的弦相等、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理和等边三角形的判定与性质是解答的关键．【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：关于圆的引理10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图1，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，在弦AB 上取点E ，使DE =AD ，点F 是BĈ上的一点，且CF̂=CA ̂，连接BF ，则BF =BE ． 小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接CA ，CE ，CF ，BC ，∵CD ⊥AB 于点D ，DE =AD ，∴CA =CE ．∴∠CAE =∠CEA ．∵ CF̂=CA ̂， ∴CF =CA （依据1），∠CBF =∠CBA ．∵四边形ABFC 内接于⊙O ，∴∠CAB +∠CFB =180°．（依据2）……(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为 ；(2)将上述证明过程补充完整．【答案】(1)在同圆中相等的弧所对的弦相等，圆内接四边形的对角互补(2)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的判定和圆内接四边形的性质解答即可；（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论．【详解】（1）解：上述证明过程中的依据1为：在同圆中相等的弧所对的弦相等，依据2为：圆内接四边形的对角互补．（2）解：证明：如图2，连接CA ，CE ，CF ，BC ，∵CD ⊥AB 于点D ，DE =AD ，∴CA =CE ．∴∠CAB =∠CEA ．∵ CF̂=CA ̂， ∴CF =CA ，∴∠CBF=∠CBA．∵四边形ABFC内接于⊙O，∴∠CAB+∠CFB=180°，∵∠CEA+∠CEB=180°，∴∠CFB=∠CEB，在ΔCFB和ΔCEB中，{∠CFB=∠CEB∠CBF=∠CBABC=BC，∴ΔCFB≅ΔCEB(AAS),∴BF=BE．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆心角、弦、弧之间的关系定理、三角形全等的判定和性质以及线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD．(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．①求证：△ABC为直角三角形；②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明．【答案】(1)①见解析；②254(2)QC2=2QD2+QA2，证明见解析【分析】（1）①根据已知条件结合等边等角，三角形内角和定理可得∠ACB=90°，即可证明△ABC为直角三角形；；②连接OA,OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4−x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；（2）延长QA 交⊙O 于点F ，连接DF,FC ，由已知可得∠DAC =∠DCA =45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA =∠E =∠DCA =45°,∠DFC =∠DAC =45°，由于△ADQ 与△ADE 关于AD 对称，于是∠DQA =∠E =45°，则得△DQF 为等腰直角三角形，△QFC 为直角三角形；利用勾股定理可得：QC 2=QF 2+CF 2,QF 2=2DQ 2；利用△QDA≌△FDC 得到QA =FC ，等量代换可得结论．【详解】（1）①证明：∵AD =CD,BD =AD ，∴DB =DC ．∴∠DAC =∠DCA,∠DCB =∠DBC∵∠BAC +∠ACB +∠B =180°∴ ∠DAC +∠DCA +∠DCB +∠DBC =180°∴∠DCA +∠DCB =90°即∠ACB =90°∴△ABC 为直角三角形；②解：连接OA,OD ，如图，∵AD =CD ，∴AD⌢=CD ⌢， ∴OD ⊥AC 且AH =CH ，∵⊙O 的半径为4，∴OA =OD =4．设DH =x ，则OH =4−x ，∵AH 2=OA 2−OH 2，AH 2=AD 2−DH 2，∴52−x 2=42−(4−x )2．解得：x =258． ∴DH =258．由①知：BC ⊥AC ，∵OD⊥AC，∴OD∥BC．∵AH=CH，∴BC=2DH=254．（2）解：QC2=2QD2+QA2，证明如下：延长QA交⊙O于点F，连接DF,FC，如图，∵∠ADC=90°,AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=45°．∴∠DFA=∠E=∠DCA=45°,∠DFC=∠DAC=45°．∴∠QFC=∠AFD+∠DFC=90°．∴QC2=QF2+CF2．∵△ADQ与△ADE关于AD对称，∴∠DQA=∠E=45°，∴∠DQA=∠DFA=45°，∴DQ=DF．∴∠QDF=180°−∠DQA−∠QFD=90°．∴DQ2＋DF2=QF2．即QF2=2DQ2．∵∠QDF=∠ADC=90°，∴∠QDA=∠CDF．在△QDA和△FDC中，{∠QAD=∠DCF∠DQA=∠DFC=45°DA=DC，∴△QDA≌△FDC．∴QA=FC．∴QC2=2QD2+QA2．【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，将⊙O 上的BC⌢沿弦BC 翻折交半径OA 于点D ，再将BD ⌢沿BD 翻折交BC 于点E ，连接DE ． 若AD ＝2OD ，则DE AB 的值为（ ）A ．√36B ．√63C ．√33D ．√66 【答案】D【分析】如图，连接AC ，CD ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ．设OA ＝3a ，则AB ＝6a ．首先证明AC ＝CD ＝DE ，求出AC （用a 表示），即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC ，CD ，OC ，过点C 作CH ⊥AB 于H ．设OA ＝3a ，则AB ＝6a ．∵在同圆或等圆中，∠ABC 所对的弧有AC⌢，CD ⌢，DE ⌢， ∴AC ＝CD ＝DE ，∵CH ⊥AD ，∴AH ＝DH ，∵AD ＝2OD ，∴AH ＝DH ＝OD ＝a ，在Rt△OCH中，CH＝√OC2−OH2=√(3a)2−(2a)2=√5a，在Rt△ACH中，AC＝√AH2+CH2=√a2+(√5a)2=√6a，∴DE AB =ACAB=√6a6a=√66．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．【变式5-1】（2023春·湖北恩施·九年级期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【答案】B【分析】如图，取AB⌢中点M，连接OM，连接DB、OB、OA、AM，由题意知OM⊥AB，且O、D、M在一条直线上，AD=AM=BD，OA==OC，知∠MOC=90°，根据圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等可求∠MAC，∠BAC，∠BOC，∠OAC，∠OBA，∠OBC的值，进而求解∠ABC的值．【详解】解：如图，取AB⌢中点M，连接OM，连接DB、OB、OA、AM由题意知OM⊥AB，且O、D、M在一条直线上，AD=AM=BD，OA=OB=OC∴∠MOC=90°∴∠MAC=12∠MOC=45°∵AD=AM=BD，OM⊥AB∴∠MAB=∠DAB=1∠MAD=22.5°2∴∠BOC=2∠BAC=45°∵OC∥AB∴∠OAC=∠OCA=∠DAB∴∠OAB=∠OBA=∠OAC+∠DAB=45°=67.5°∴∠OBC=∠OCB=180°−∠BOC2∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=112.5°故选B．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角，等边对等角，三角形内角和定理，折叠性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=．【答案】40°【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻⌢所对的圆周角，进一步计算即可得解．折的性质得到ABC【详解】解：如图，连接BC，∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BAC +∠B =90°，∵∠BAC =25°，∴∠B =90°−∠BAC =90°−25°=65°，根据翻折的性质弧AC 所对的圆周角为∠B ，ABC⌢所对的圆周角为∠ADC ， ∴∠ADC +∠B =180°，∵∠ADC +∠CDB =180°，∴∠B =∠CDB =65°，∴∠DCA =∠CDB −∠BAC =65°−25°=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．【变式5-3】（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．(1)如图1，若点D 与圆心O 重合，AC =√3，求⊙O 的半径r ；(2)如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC =20∘，请求出∠DCA 的度数．(3)如图2，如果AD =6，DB =2，求AC 的长．【答案】(1)1(2)∠DCA =50∘(3)2√14【分析】（1）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接DF ，交AC 于点E ，则DE =EF,DF ⊥AC,AE =EC ，根据勾股定理，得r 2−(r 2)2=(√32)2计算即可．（2）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接AF ，CB ，得CB =CF =CD ，因为AB 为直径，所以∠ACB =90∘,∠B =∠CDB =70∘，利用∠DCA =∠CDB −∠BAC 计算．（3）连接OC ，CB ，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，确定BG =DG =12DB =1，AB =AD +DB =6+2=8，从而得到所以r ，计算CG ，AG ，AC =√AG 2+CG 2．【详解】（1）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接DF ，交AC 于点E ，则DE =EF,DF ⊥AC,AE =EC ，因为AC =√3，所以AE =EC =√32， 设DE =EF =r 2，则AD =DF =r ，根据勾股定理，得r 2−(r 2)2=(√32)2，解得r =1，故圆的半径r 为1．（2）设点D 关于弦AC 的对称点为F ，连接AF ，CB ，根据题意，得∠BAC =∠FAC =20∘，CD =CF ，所以CB =CF =CD ，所以∠B =∠CDB ；因为AB 为直径，所以∠ACB =90∘,∠B =∠CDB =70∘，所以∠DCA =∠CDB −∠BAC =70∘−20∘=50∘．（3）如图，连接OC，CB，过点C作CG⊥AB于点G，根据（2）得到CB=CD，所以BG=DG，因为AD=6，DB=2，DB=1，AB=AD+DB=6+2=8，所以BG=DG=12所以r=OC=1AB=4，2所以OD=AD−OB=6−4=2，OG=OD+DGB=1+2=3，所以CG=√OC2−DG2=√42−32=√7，AG=AD+DG=6+1=7，所以AC=√AG2+CG2=√72+(√7)2=2√14．【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握圆的性质，勾股定理是解题的关键．【题型6 利用圆的有关性质求最值】【例6】（2023春·浙江衢州·△ABC中，AB=2√3，∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则∠BAC=；EF的最小值为．【答案】45°/45度3√22【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，根据圆周角定理得到∠EOF＝90°，再计算出EF＝√2OE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN，从而得到OE的最小值，然后确定EF长度的最小值．【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=75°，∠ABC=60°，∴∠BAC=180°−75°−60°=45°连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，∵∠EOF＝2∠BAC＝2×45°＝90°，而OE＝OF，OM⊥EF，∴∠OEM＝45°，EM＝FM，在Rt△OEM中，EF＝√2OE，当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，即AD的长最小，∵AD的长度最小值为AN的长，AN=√32AB=√32×2√3=3∴OE的最小值为32，∴EF长度的最小值为32√2，故答案为：32√2．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形，推出EF＝√2OE是解题的关键．【变式6-1】（2023春·北京密云·九年级统考期末）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB= 30°,∠ADC=15°．①⊙O的半径长为．②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是．【答案】 2 2√3【分析】①连接OA,OB，易证△AOB是等边三角形，弦AB长为2，OA=OB=2，即可得到答案；②先证∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°，延长BO交⊙O于点E，连接AE交CD于点P，连接BP,则此时PA+ PB=PA+PE=AE，即PA+PB的最小值是AE的长，再用勾股定理求出AE即可．【详解】解：①连接OA,OB，∵∠ADB=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵弦AB长为2，∴OA=OB=2，即⊙O的半径长为2，故答案为：2②∵∠ADC=15°，∴∠AOC=2∠ADC=30°,∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°，延长BO交⊙O于点E，连接AE交CD于点P，连接BP,则此时PA+PB=PA+PE=AE，即PA+PB的最小值是AE的长，∵∠BAO=60°，∴∠OAE=∠AEB=30°，∴∠BAE=∠BAO+∠OAE=90°，∴AE=√BE2−AB2=√42−22=2√3，即PA+PB的最小值是2√3．故答案为：2√3【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．【变式6-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF=x，EP=y，则√x2+y2的最小值是（）A．2√3−1B．4−2√3C．2√5−1D．2√5−2【答案】D【分析】由题意，四边形AFEP为矩形，x2+y2=AE2，所以当AE最小时，即O,E,A三点共线时，x2+y2最小，利用勾股定理进行计算，即可得解．【详解】解：连接OE，AE，AO∵四边形ABCD为正方形，AB=4，CD为圆O直径，∴∠BAD=∠CDA=90°,CD=AB=AD=4,OD=2，∵EF⊥DA，EP⊥AB，∴四边形AFEP为矩形，∵OE+AE≥AO∴当O,E,A三点共线时，x2+y2最小，OE=OD=2，则：OA=√OD2+AD2=√22+42=2√5，∴AE=AO−OE=2√5−2，∴√x2+y2=AE=2√5−2，故选：D．【点睛】本题考查圆上的动点问题，正方形的性质，矩形的判定和性质．熟练掌握圆外一点与圆心和圆上一点三点共线时，圆外一点到圆上一点的距离最大或最小是解题的关键．【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC 中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC=6，则CD的最小值为．【答案】3√5−3【分析】如图所示，连接AB，AC，以AB为斜边作等腰直角三角形AB O′，则∠AO′B=90°，得出点D在以点⌢上运动，因为两点之间线段最短，即为最短CD，连接B O′，因为BC=6，所O′为圆心，A O′长为半径的AB以B O′=3，由勾股定理有O′C=√BO′2+BC2=3√5，CD=O′C−O′D=3√5−3．【详解】解：如图所示，连接AB，AC，以AB为斜边作等腰直角三角形AB O′，则∠A O′B=90°，∵BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，∴∠BPA=45°，△ABC是等腰直角三角形，∵BC=6，∴AB=3√2,∴O′B=O′A=3，又∵AD⊥AP，∴∠DAP=90°，∴∠PDA=45°，∠ADB=135°，⌢上运动，∴点D在以点O′为圆心，A O′长为半径的AB⌢为点D，此时CD为最短，连接O′C交AB∵∠O′BA=45°,∠ABC=45°，∴∠O′BC=90°，在△BCO′中，BO′=3,BC=6，O′C=√BO′2+BC2=3√5∴CD=O′C−O′D=3√5−3．故答案为：3√5−3【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键．【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】【例7】（2023春·湖北武汉·九年级校考期末）如图，△ABC的两个顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为2，∠BAC=90°，AB=AC，若动点B在⊙O上运动，OC=m，则m的取值范围是．【答案】2√2−2≤m≤2+2√2【分析】连接OA，作∠NAO=90°，且AN=AO=2，连接OB，ON，CN，证明△ABO≌△ACN(SAS)得到CN= OB=2，再根据勾股定理求得ON=2√2，然后根据两点之间线段最短求解即可．【详解】解：如图，连接OA，作∠NAO=90°，且AN=AO=2，连接OB，ON，CN，∵∠BAC=∠NAO=90°，∴∠BAO=∠CAN，在△ABO 和△ACN 中，{AB =AC∠BAO =∠CAN AN =AO∴△ABO ≌△ACN (SAS )，∴CN =OB =2，在Rt △AON 中，ON =√OA 2+AN 2=2√2，根据两点短得ON −CN ≤OC ≤ON +OC ，∴2√2−2≤m ≤2+2√2，故答案为：2√2−2≤m ≤2+2√2．【点睛】本题主要考查了圆的有关概念、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、等角的余角相等，添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，弧BE 是半径为6的圆D 的14圆周，C 点是BE⌢上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A ．12＜P ≤18B ．18＜P ≤24C ．18＜P ≤18＋6√2D ．12＜P ≤12＋6√2【答案】C【详解】∵△ABD 是等边三角形，∴AB +AD +CD =18，得P ＞18，∵BC 的最大值为当点C 与E 重合的时刻，BE =√62+62=6√2，∴P 的取值范围是18＜P ≤18+6√2．故选C ．【变式7-2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，⊙O 的直径为10，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个动点，且AB ＝6，CD ＝8，若点E 、F 分别是弦AB 、CD 的中点，则线段EF 长度的取值范围是（）A ．1≤EF ≤7B ．2≤EF ≤5C ．1＜EF ＜7D ．1≤EF ≤6【答案】A【分析】连接OE 、OF 、OA 、OC ，由垂径定理得OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，AE=12AB=3,CF=12CD=4，由勾股定理得OE =4，OF =3，当AB ∥CD 时，E 、O 、F 三点共线EF 取最值，其中当AB 、CD 位于O 的同侧时，线段EF 的长度最短，此时EF =OE -OF=1，，当AB 、CD 位于O 的两侧时，线段EF 的长度最长，此时EF =OE+OF=7，即可得出结论．【详解】连接OE 、OF 、OA 、OC ，如图所示：∵⊙O 的直径为10，∴OA =OC =5，∵点E 、F 分别是弦AB 、CD 的中点，AB =6，CD =8，∴OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，AE=12AB =3，CF=12CD=4，∴OE=√OA 2-AE 2=√52-32=4，OF =√OC 2-CF 2=√52-42=3当AB ∥CD 时，E 、O 、F 三点共线，EF 取得最值：①当AB 、CD 位于O 的同侧时，线段EF 的长度最短，此时EF =OE -OF=1，②当AB 、CD 位于O 的两侧时，线段EF 的长度最长，此时EF =OE+OF=7，∴线段EF 的长度的取值范围是1≤EF ≤7，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径是1．过⊙O 上一点P 作等边三角形PDE ，使点D ，E 分别落在x 轴、y 轴上，则PD 的取值范围是 ．【答案】√3−1≤PD ≤√3+1【分析】找到最大值与与最小值位置，分别进行解题求出取值范围的临界值即可．【详解】解：如图，过点P 作PM ⊥DE 于点M ，连接OM ，设DP =DE =a ，∵△PDE 为等边三角形，PM ⊥DE ，∴∠DPE =60°,∠DPM =30°，M 为DE 中点，∴DM =12a,OM =12a ， 根据勾股定理可得PM =√DP 2−DM 2=√a 2−14a 2=√32a ， ∵PM +OM ≥1，∴√32a +12a ≥1，解得：a ≥√3−1；如图，过点P 作PM ⊥DE 于点M ，连接OM ，。

一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。

2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。

难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。

这个圆叫做该正多边形的外接圆。

② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。

AOB 叫做这个正五边形的中心角。

A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。

（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。

D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。

典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。

则∠1=__1_20º,∠B=__6_0º.
A
A
O
1
D
2
E
B
C B
C
图1
图2
学习目标
1.理解圆的内接四边形的性质定理。 2.会推导圆的内接四边形的性质定理。 3.会运用圆的内接四边形的性质定理解决问题。
探究新知
自学课本第30页内容并回答： 1.圆的内接多边形及多边形的外接圆的概念是什 么？ 2.一个圆有多少个内接四边形？所有的四边形都 有外接圆吗？ 3.圆的内接四边形的性质定理是什么？如何证明？ 用几何语言怎么描述？
5、圆内接菱形一定是 正方 形。
当堂检测
1.如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为 直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已 知⊙O的半径为2 3． （1）求证：△CDE∽△CBA； （2）求DE的长．
当堂检测
2.如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线 CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于点D。经过点B的直 线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
A
(2)若点E是圆O上异于B,D的动点，求 ∠BED的度数
O
B
D
2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=
C
2:3:4,则∠A= 60º∠B= 90º∠C=120º∠D= 90º
A 3、如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠DCE=75º，
则∠BOD= 150º
O
B
D
CE
巩固练习:
4、圆内接平行四边形一定是 矩形。
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心 A
角的和是周角
∴∠A＋∠C＝ 180°
B

北师版九年级数学下册《圆周角定理的推论和圆的内接四边形》培优训练一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中合格的是()2. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A．110°B．120°C．135°D．140°3. 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是( )A．58°B．60°C．64°D．68°4. 如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是()A．130°B．140°C．150°D．160°5．如图，经过原点O的⊙P与x，y轴分别交于A，B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB的度数是( )A．80°B．100°C．90°D．无法确定6．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°7．如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB ︵上一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径长为( )A ．6B ．5C ．3D ．3 28. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD ＝120°，则∠BOD 的大小是( )A ．80°B ．120°C ．100°D ．90°9. 如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径长为( )A ．322B ．62C ．32D ．23310．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点．在下列判断中，不正确的是( )A ．当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形B ．当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥ACC ．当PO ⊥AC 时，∠ACP ＝30°D ．当∠ACP ＝30°时，△BPC 是直角三角形二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 如图，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC＝____________.12．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，若∠BOD＝100°，∠BAD＝___________，∠BCD ＝___________.13．如图，在⊙O中，弦CD垂直直径AB于点E，若∠BAD＝30°，且BE＝2，则CD＝__________.14．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是____________．15. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝________°.17. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为________．18. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与CD 的延长线交于点F ，∠DCE ＝80°，∠F ＝25°，则∠E 的度数为________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，已知∠EAD 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，并且BD ︵＝DC ︵.20．(6分) 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P .求证：AD·DC ＝PA·BC.21．(6分) 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CE ＝13，求AE 得值.22．(6分)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O 的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B＝∠D；(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．23．(6分)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB，OC，延长CO交弦AB 于点D，若△OBD是直角三角形，求弦BC的长．24.(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．25．(8分) 如图，四边形APBC 是⊙O 的内接四边形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接PA ，PB ，PC.(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ；(2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠PAB 的值．参考答案：1-5CDABC 6-10 BCBDC11. 70°12. 50°，130° 13. 4 314. 平行15. 52°16. n17．30°18．45°19. 解：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD ＝∠DCB.又∵BD ︵＝DC ︵，∴∠DAC ＝∠DCB.∴∠EAD ＝∠DAC ，∴AD 平分∠EAC20. 证明：连接BD.∵DP ∥AC ，∴∠PDA ＝∠DAC.∵∠DAC ＝∠DBC ，∴∠PDA ＝∠DBC.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠DAP ＝∠DCB.∴△PAD ∽△DCB.∴PA ∶DC ＝AD ∶BC ，即AD·DC ＝PA·BC21. 解：如图，连接AC.∵BA 平分∠DBE ，∴∠1＝∠2.∵∠1＝∠CDA ，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA. ∴AC ＝AD ＝5.∵AE ⊥CB ，∴∠AEC ＝90°.∴AE ＝AC 2－CE 2＝52－（13）2＝2 3.22. 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC.∵CD ＝CB ，∴AD ＝AB ，∴∠B ＝∠D(2)设BC ＝x ，则AC ＝x －2.在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴(x －2)2＋x 2＝42，解得x 1＝1＋7，x 2＝1－7(舍去)．∵∠B ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴CD ＝CE.∵CD ＝CB ，∴CE ＝CB ＝1＋723. 解：如图①，当∠ODB ＝90°，即CD ⊥AB 时，可得AD ＝BD ，∴AC ＝BC.又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∴∠DBO ＝30°.∵OB ＝5，∴BD ＝32OB ＝532. ∴BC ＝AB ＝2BD ＝5 3. 如图②，当∠DOB ＝90°时，可得∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形．∴BC ＝2OB ＝5 2.综上所述，弦BC 的长为53或5224. (1)证明：∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ，∵AE ＝EF ，∴四边形ABFC 是平行四边形，∵AC ＝AB ，∴四边形ABFC 是菱形(2)解：设CD ＝x.连接BD.∵AB 是直径，∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°，∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2，∴(7＋x)2－72＝42－x 2，解得x ＝1或x ＝－8(舍弃)，∴AC ＝8，BD ＝82－72＝15，∴S 菱形ABFC ＝815，S 半圆＝12·π·42＝8π 25. 解：(1)∵BC ︵＝BC ︵，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴∠PAC ＝90°，在Rt △PAC 中，∠ACP ＝30°，∴AC ＝3AP(2)如图，连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC. ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF.∵点P 是AB ︵的中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF.∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425. 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a.∴OF ＝7a ，AF ＝32a ，在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AC ＝40a ，在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝EG AE ＝FC AC， ∴EG 32a －EG ＝24a 40a，∴EG ＝12a. ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB ＝EF CF ＝12a 24a ＝12。

数一数： 图中有多少对相等的角？
找一找： 图中有没有互补的角？
想一想：Βιβλιοθήκη EADM OB C
A
A A B
D DD
B
OOO
D
C
BB
C
C
C
（1）什么叫三角形的外接圆？ 什么叫圆的内接三角形？
（2）图中四边形ABCD与⊙O 有什么关系呢？
（3）左图中的四边形是否为圆 的内接四边形？
【安然无恙】原指人平安没有疾病，后泛指平平安安没有受到任何损伤。 【安如磐石】安如泰山。 【安如泰山】形容安稳牢固，不可动摇。也说安如磐石、 稳如泰山。 【安设】动安装设置：～空调器｜在山顶上～了—个气象观测站。 【安身】∥动指在某地居住和生活（多用在困窘的环境下）：无处～｜我有 了～之地，母亲也就放心了。 【安身立命】生； 压缩机冷冻油 压缩机冷冻油 ；活有着落，精神有所寄托：～之所。 【安神】∥动使心神安 定。 【安生】?形①生活安定：过～日子。②安静；不生事（多指小孩子）：睡个～觉｜这孩子一会儿也不～。 【安适】形安静而舒适：～如常｜心里～｜ 病员在疗养院里过着～的生活。 【安睡】动安静地睡觉；安歇：夜深了，人们都已～。 【安泰】形平安；安宁：阖家～。 【安恬】形安逸恬适；安静：～
从容不迫；稳重：面容～｜举止～｜老人～地坐在靠椅里。 【安享】动安安稳稳地享受或享用：～清福｜～晚年。 【安歇】动①上床睡觉：天已不早，大家 该回房～了。②休息：走得太累，先找个地方～一下。 【安心】∥ī动存心；居心：～不善｜谁知他安的什么心？ 【安心】ī形心情安定：～工作｜家里事多， 在外也难～。 【安逸】形安闲舒适：老人晚年在乡下过着～的生活。 【安营】∥ī动（队伍）架起帐篷住下。 【安营扎寨】原指军队架起帐篷、修起