初中数学精品微课教案--圆内接四边形(四点共圆)的判定__第2课时

第2课时圆内接四边形教师备课素材示例●情景导入如图，在这个圆形人工湖边上造4个休息亭(即A，B，C，D)，用仪器测得∠A＝75°，∠B＝65°，能求出另两个角∠C和∠D 的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？【教学与建议】教学：通过导入人工湖建休息亭建立圆内接四边形数学模型，激发学生学习兴趣．建议：从圆内接四边形的定义出发，引导学生发现四边形的四个内角都是圆周角．●置疑导入(1)什么是圆心角、圆周角？(2)同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？(3)圆周角定理的推论是什么？(4)如图，AD所对的圆心角是__∠AOD__，所对的圆周角有__∠ABD，∠ACD__，∠ABD__＝__∠ACD，它们都等于∠AOD度数的__一半__．【教学与建议】教学：置疑圆心角、圆周角相关问题导入课题．建议：学生回答问题后相互点评．利用圆内接四边形的对角互补探索角相等或互补关系．【例】(1)若ABCD为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是(B) A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶3∶2(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝115°，则∠BOD等于__130°__．(3)如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D.求证：DB＝DC.证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC＝∠DAE.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝∠DAE＋∠BAD＝180°，∴∠DCB＝∠DAE.∵圆周角∠DBC和∠DAC所对的弧都是CD，∴∠DBC＝∠DAC，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.高效课堂教学设计1．掌握圆内接多边形、多边形的外接圆的概念．2．理解圆内接四边形的性质．3．通过探究讨论，培养学生的推理能力．▲重点圆内接四边形性质的探究及运用．▲难点圆内接四边形性质的灵活运用以及几何图形中辅助线的添加．◆活动1 新课导入1．圆周角定理及其推论．2．如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB.若∠ABO＝25°，则∠C ＝__65°__．（第2题图）（第3题图）3．如图，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．◆活动2 探究新知1．教材P87思考．提出问题：(1)图24.1－17中，∠A是圆周角吗？∠ABC，∠C，∠ADC呢？(2)∠A与∠C，∠ABC与∠ADC之间有什么关系？用圆周角定理尝试证明；(3)由此你能得出圆内接四边形的什么结论？学生完成并交流展示．◆活动3 知识归纳1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做__圆内接多边形__，这个圆叫做这个多边形的__外接圆__．2．圆内接四边形的对角__互补__．◆活动4 例题与练习例1 在圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比是3∶2∶7，求四边形各内角的度数．解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为3x，2x，7x.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，即3x＋7x＝180°，∴x＝18°，∴∠A＝3x＝54°，∠B＝2x＝36°，∠C＝7x＝126°.又∵∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－36°＝144°.例2 如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC＝BC.求证：DC平分∠BDE.解：∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDA＋∠ABC＝180°，又∵∠3＋∠CDA＝180°，∴∠3＝∠ABC.又∵AC＝BC，∴∠1＝∠ABC，∴∠1＝∠3.又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，即DC平分∠BDE.练习1．教材P88练习第2，5题．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 等于( C )A．45°B．50°C．60°D．75°（第2题图）（第3题图）3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为__128°__．4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A的度数．解：∵在△BCD中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，∴∠C＝180°－∠CBD－∠BDC＝130°.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＝180°－∠C＝50°.◆活动5 课堂小结圆内接四边形的对角互补．1．作业布置(1)教材P90习题24.1第7题；(2)对应课时练习．2．教学反思。

圆内接四边形初中数学第六册教案圆内接四边形执教者：刁正久一、教学目标：掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理二、教学重点和难点：重点：圆内接四边形的性质定理难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用三、教学过程：1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念2、利用几何画板：①②（1）探索：如图点D在⊙O上（和A、C不重合）移动试讨论∠D和∠B的大小关系（学生对第一种情况比较熟悉但对于第二种情况做适当的提示：利用几何画板把D点在圆上移动！）通过学生的思维可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补利用此时的几何图形由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳从而得到定理：圆内接四边形的对角互补（书写符号语言）（2）对定理进行巩固①如图四边形ABCD为⊙O的内接四边形已知∠BOD=140°则∠BAD=°∠BCD=°②如图已知AB是圆O的直径∠BAC=40°D是弧AB上的任意一点那么∠D的度数是°（3）外角的引入紧接着前面的练习和学生共同研究探索题：（对于上面的探究性应用题针对不同层次的学生都可以得到一定的发挥）当学生最后得到∠E的度数后立即提问：从∠A=70°到求出∠E=110°在整个过程中个角起了关键的作用从而把学生的注意力转向外角∠DCF（目的是让学生明白学习定理的原因）并且引导学生讨论∠DCF和∠A的大小关系从而得到∠DCF=∠A 的结论利用几何画板的优势隐藏⊙O2和线段DE、EF得到外角的基本图形再引导学生得出外角和内对角的定义让学生把刚才的结论归纳成定理即：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角（书写符号语言）（4）对定理进行必要的巩固练习如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点图中有两组相等的角每组有三只角相等你发现了（5）讲解例题：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点经过点A的直线与⊙O1相交于点C与⊙O2相交于点D,经过点B的直线与⊙O1相交于点E与⊙O2相交于点F.试猜想CE和DF有何特殊的位置关系并加以证明（突出作辅助线的必要性并在黑板上书写过程）3、课堂小结：通过本节课的学习你学会了那些知识点（学生完成）4、课堂练习：①②（1）如图已知∠BAE=125°则∠BCD=°∠BOD=°（2）如图已知在圆的内接四边形中AB=ACE是CD延长线上一点你能猜想出∠ADE和∠ADB的大小关系并证明（3）探索：圆内接平行四边形特殊的四边形（给学生一定的时间思考然后充分利用几何画板让学生自己上前去操作电脑拖动鼠标移动平行四边形调动学生思维的积极性并且让学生的思维得到了充分的展示）思考：你能说出下面图中有几对相似三角形并说出其中一对相似三角形的证明过程（4）5、布置作业：P86—15、16、17注：参加xx年12月区评优课比赛并获一等奖圆内接四边形执教者：刁正久一、教学目标：掌握圆内接四边形的相关概念以及圆内接四边形的性质定理二、教学重点和难点：重点：圆内接四边形的性质定理难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用三、教学过程：1、带领学生复习圆内接三角形和三角形的外接圆的概念2、利用几何画板：①②（1）探索：如图点D在⊙O上（和A、C不重合）移动试讨论∠D和∠B的大小关系（学生对第一种情况比较熟悉但对于第二种情况做适当的提示：利用几何画板把D点在圆上移动！）通过学生的思维可归纳出∠D和∠B的大小关系是互补利用此时的几何图形由学生模仿圆内接三角形的定义得到圆内接四边形的概念并用电脑加以显示立即让学生利用给出的圆内接四边形的定义把刚才的结论重新归纳从而得到定理：圆内接四边形的对角互补（书写符号语言）（2）对定理进行巩固①如图四边形ABCD为⊙O的内接四边形已知∠BOD=140°则∠BAD=°∠BCD=°②如图已知AB是圆O的直径∠BAC=40°D是弧AB上的任意一点那么∠D的度数是°（3）外角的引入紧接着前面的练习和学生共同研究探索题：（对于上面的探究性应用题针对不同层次的学生都可以得到一定的发挥）当学生最后得到∠E的度数后立即提问：从∠A=70°到求出∠E=110°在整个过程中个角起了关键的作用从而把学生的注意力转向外角∠DCF（目的是让学生明白学习定理的原因）并且引导学生讨论∠DCF和∠A的大小关系从而得到∠DCF=∠A 的结论利用几何画板的优势隐藏⊙O2和线段DE、EF得到外角的基本图形再引导学生得出外角和内对角的定义让学生把刚才的结论归纳成定理即：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角（书写符号语言）（4）对定理进行必要的巩固练习如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点图中有两组相等的角每组有三只角相等你发现了（5）讲解例题：如图⊙O1和⊙O2都经过A、B两点经过点A的直线与⊙O1相交于点C与⊙O2相交于点D,经过点B的直线与⊙O1相交于点E与⊙O2相交于点F.试猜想CE和DF有何特殊的位置关系并加以证明（突出作辅助线的必要性并在黑板上书写过程）3、课堂小结：通过本节课的学习你学会了那些知识点（学生完成）4、课堂练习：①②（1）如图已知∠BAE=125°则∠BCD=°∠BOD=°（2）如图已知在圆的内接四边形中AB=ACE是CD延长线上一点你能猜想出∠ADE和∠ADB的大小关系并证明（3）探索：圆内接平行四边形特殊的四边形（给学生一定的时间思考然后充分利用几何画板让学生自己上前去操作电脑拖动鼠标移动平行四边形调动学生思维的积极性并且让学生的思维得到了充分的展示）思考：你能说出下面图中有几对相似三角形并说出其中一对相似三角形的证明过程（4）5、布置作业：P86—15、16、17注：参加xx年12月区评优课比赛并获一等奖圆内接四边形——初中数学第六册教案。

数学教课方案－圆的内接四边形_九年级数学教课方案 _模板1. 知识结构2. 要点、难点分析要点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中研究角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．难点：定理的灵巧运用．使用性质定理时应注意察看图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应地点．3. 教法建议本节内容需要一个课时．（ 1）教师的要点是为学生创建一个研究问题的情境（参看教课方案示例），组织学生自主察看、分析和研究；（2）在教课中以“发现——证明——应用”为主线，以“特别——一般”的研究方法，指引学生发现与证明的思想方法．一、教课目的：（一）知识目标（1）认识圆内接多边形和多边形外接圆的看法；（2）掌握圆内接四边形的看法及其性质定理；（3）娴熟运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．（二）能力目标（ 1）经过圆的特别内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的研究，培育学生察看、分析、归纳的能力；（2）经过定理的证明商讨过程，促使学生的发散思想；（3）经过定理的应用，进一步提升学生的应用能力和思想能力．（三）感情目标（1）充散发挥学生的主体作用，激发学生的研究的热忱；（2）浸透教课内容中广泛存在的相互联系、相互转变的看法．二、教课要点和难点 :要点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵巧运用．三、教课过程（）设计（一）基本看法假如一个多边形的所有极点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD 叫做⊙ O 的内接四边形，而⊙O 叫做四边形 ABCD 的外接圆．（二）创建研究情境问题：一般的圆内接四边形拥有什么性质？研究：圆的特别内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）教师组织、指引学生研究．1、边的性质：（ 1）矩形：对边相等，对边平行．（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．（三）证明猜想教师指引学生证明．（参看思路）思路 1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠ A与∠ B均为平角∠ BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只需把圆心O 与一组对极点B、 D 分别相连，能获取什么结果呢 ?∠A= ，∠ C=∴∠ A+∠C=思路 2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各极点相连，与各边所成的角均方 45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各极点相连，能获取什么结果呢?这时有 2( α+β+γ+δ)=360°因此α+β+γ+δ=180°而β+γ=∠ A ，α+δ=∠C，∴∠ A+ ∠ C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补．（四）性质及应用定理：圆的内接四边形的对角互补，而且随意一个外角等于它的内对角．（对 A 层学生应知，逆定理建立， 4 点共圆）O1 交于点C，例已知：如图，⊙O1 与⊙ O2 订交于 A 、B 两点，经过 A 的直线与⊙与⊙ O2 交于点 D ．过 B 的直线与⊙ O1 交于点 E，与⊙ O2 交于点 F．求证： CE ∥DF．（分析与证明学生自主达成）说明：①连结AB 这是一种常有的引协助线的方法．对于这道例题，连结AB 此后，可以结构出两个圆内接四边形，而后利用圆内接四边形的对于角的性质解决．②教师在讲堂教课中，擅长调换学生对例题、要点习题的分析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培育学生发散思想，勇于创新．稳固练习：教材P98 中 1、 2．（五）小结知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质．思想方法：① “特别——一般”研究问题的方法；②结构圆内接四边形；③一题多解，一题多变．（六）作业：教材P101 中 15、 16、 17 题；教材P102 中 B 组 5 题．研究活动问题：已知，点 A 在⊙ O 上，⊙ A 与⊙ O 订交于 B、C 两点，点 D 是⊙ A 上（不与 B 、 C 重合）一点，直线 BD 与⊙ O 订交于点 E．试问：当点 D 在⊙ A 上运动时，可否判断△CED 的形状？说明原因．分析要判断△CED 的形状，当运动到 BD 经过⊙ A 的圆心 A 时，此时点 E 与点 A 重合，能够发现△CED 是等腰三角形，进而猜想对一般状况能否也能建立，进一步察看可发此刻运动过程中∠ D 及∠ CED 的大小保持不变，△CED 的形状保持不变．提示：分两种状况（1）当点 D 在⊙ O （2）当点 D 在⊙ O 外时．证明△CDE ∽△ CAD ’即可内时．利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE ∽△ CAD ’即可说明：（1）此题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角极点地点，进行角的变换；（2）此题为图形形状判断型的研究题，结论的研究相同运用图形运动思想，证明结论将一般地点转变成特别地点，同时获取添协助线的方法，这也是添协助线的常用的思想方法；（3）一般地，有时对几种不一样地点图形研究获取相同结论，但不一样地点的证明方法不同时，也要进行分类议论．此题中，假如将直线 BD 运动到使点 E 在 BD 的反向延伸线上时，△CDE 仍旧是等腰三角形．华师大九年级第21 章分式所有教课方案（11 节）华师大九年级第21 章分式所有教课方案（11 节）第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）教课目的：（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；（2）培育学生实验、察看、发现新问题，研究和解决问题的能力；（3）经过教课内容向学生浸透事物之间可相互转变的辩证唯心主义教育，浸透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．教课要点、难点：要点：圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．难点：从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培育．教课活动设计教课内容设计（一）圆的对称性和旋转不变性学生着手画圆，对折、察看得出：圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.引出圆心角和弦心距的看法：圆心角定义：极点在圆心的角叫圆心角．弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系应用电脑动画（实验）察看，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培育学生察看、比较、分析和归纳知识的能力，又能够充分调换学生的学习的踊跃性.定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．（三）分析定理得出推论问题 1：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，不然也不必定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论 .（学生疏小组议论、沟通）举出反例：如图，∠AOB= ∠COD ，但 AB CD ， .（加强对定理的理解，培育学生的思维批评性 .）问题 2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又如何呢？（学生疏小组议论、交流，老师与学生沟通对话），归纳出推论.推论：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量都分别相等．（推论包括了定理，它是定理的拓展）（四）应用、稳固和反省例 1、如图，点O 是∠ EPF 的均分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点 A 、B 和 C、 D，求证： AB=CD.解（略，教材87 页）例题拓展：当P 点在圆上或圆内能否还有AB=CD 呢？（让学生自主思虑，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）练习：（教材 88 页练习）1、已知：如图，AB 、 CD 是⊙ O 的两条弦， OE、 OF 为 AB 、 CD 的弦心距，依据本节定理及推论填空：．（1）假如 AB ＝ CD，那么 ______， ______， ______；（2）假如 OE＝ OG，那么 ______， ______， ______；（3）假如 = ，那么 ______， ______， ______；（4）假如∠ AOB ＝∠ COD ，那么 ______， ______， ______．（目的：稳固基础知识）2、（教材 88 页练习 3 题，略．定理的简单应用）（五）小结：学生自己归纳，老师指导．知识：①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反应出在圆中相等量的灵巧变换．能力和方法：①增添了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、察看、发现新问题，研究和解决问题的能力．（六）作业：教材P99 中 1（ 1）、 2、 3．第二课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）教课目的：（1）理解 1°弧的看法，能娴熟地应用本节知识进行相关计算；（2）进一步培育学生自学能力，应用能力和计算能力；（3）经过例题向学生浸透数形联合能力．教课要点、难点：要点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．难点：理解1°弧的看法．教课活动设计：（一）阅读理解学生独立阅读P89 中， 1°的弧的看法，使学生从感性的认识到理性的认识．理解：（ 1）把极点在圆心的周角均分红360 份时，每一份的圆心角是 1°的角．（ 2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此整个圆也被均分红360 份，这时，把每一份这样获取的弧叫做1°的弧．（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．（二）看法稳固1、判断题：（ 1）等弧的度数相等（）；（ 2）圆心角相等所对应的弧相等（）；（ 3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（）2、解得题：（1）度数是 5°的圆心角所对的弧的度数是多少 ?为何 ?（2） 5°的圆心角对着多少度的弧？5°的弧对着多少度的圆心角 ?（3） n°的圆心角对着多少度的弧 ? n°的弧对着多少度的圆心角 ?（三）疑难解得对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要实时解得．特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，必定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不一样的看法，不可以比较和胸怀．（四）应用、归纳、反省例 1、如图，在⊙O 中，弦 AB 所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求 AB 的长．学生自主分析，写出解题过程，沟通指导．解：（参看教材P89）注意：学生常常重视计算结果，而忽视推理和解题步骤的严实性，教师要特别关注和指导．反省：向学生浸透数形联合的重要的数学思想．所谓数形联合思想就是数与形相互转变，图形带有直观性，数则有精准性，二者有机地联合起来才能较好地达成这个例题．例 2、如图，已知AB 和 CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE∥ AB ，=40°，求∠ BOD 的度数．题目从“分析——解得”让学生踊跃主动进行，此时教师只需重申停题要规范，书写要准确即可．（解答参照教材P90）题目拓展：1、已知：如上图，已知AB 和 CD 是⊙ O 的两条直径，弦CE∥ AB ，求证：＝．2、已知：如上图，已知AB 和 CD 是⊙ O 的两条直径，弦＝，求证：CE∥AB．目的：是培育学生发散思想能力，由学生自己分析证明思路，指引学生思虑出不一样的方法，最后沟通、归纳、归纳方法．（五）小节（略）（六）作业：教材P100 中 4、 5 题．研究活动我们已经研究过：已知点O 是∠ BPD 的均分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点直线分别交于点A、 B 均分线 .A 、B 和 C、 D，则 AB=CD ；此刻，若⊙ O 与∠ EPF 的两边所在的和C、 D，请你联合图形，增添一个适合的条件，使 OP 为∠ BPD 的解（略）①AB=CD ；② = ．（等等）课题二次函数y=ax2 的图象（一）一、教课目的1．使学生初步理解二次函数的看法。

初中数学拓展课程精品教案
四点共圆的判定方法
一、知识准备
圆内接四边形的概念、性质
二、拓展导学
【问题呈现】
如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ，F 为AE 中点，
连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 【思路点拨】 在矩形ABCD 中，∠BCD=90°,如果能证B 、C 、D 、F 四点共圆，则由四点共圆（圆内接四边形）的性质即可得∠BFD=90°.那么如何证B 、C 、D 、F 四点共圆呢？
【知识背景】
1. 圆内接四边形（四点共圆）的判定方法
判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。

判定方法（2）：如果线段同侧的二点到线段两端点连线的夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。

2. 四点共圆判定方法（1）的证明 判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。

已知：四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（A ，B ，C ，D 四点共圆）。

《圆内接四边形》教学设计一、教学目标1.理解圆内接多边形的定义，掌握圆内接四边形的概念和性质；2.能运用圆内接四边形的性质证明和计算；3.经历圆内接四边形的性质的探究与证明，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法；4.通过学生自主探究、合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.二、教学重难点重点：圆内接四边形的概念及性质.难点：圆内接四边形与圆周角性质的综合应用.三、教学用具多媒体课件四、教学过程设计【回顾】同学们上一节课我们学习了圆周角定理及其推论，一起回顾一下吧.教师并提出问题，引导学生回顾上节课的内容，教师追问：直径是特殊的弦，它所对的圆周角相等，都是90°，那对于一般的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？也就是说，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？【合作探究】猜想：∠B=∠E，∠D=∠F追问1：能否验证你的猜想呢？预设答案：∵∠B，∠E所对的弧都是AC；∠D，∠F所对的弧都是ABC；根据同弧所对的圆周角相等，得：∠B=∠E，∠D=∠F教师PPT展示，任意作出弦AC所对的4个圆周角，引导学生发现，根据角的顶点在弦的上方还是下方，把4个角归为两类，让学生提出猜想，并验证，最终教师PPT展示验证的过程.追问2：∠B=∠D吗？预设答案：不一定相等.教师提出问题后，引导学生先观察图形：不难发现，∠B是锐角，∠D是钝角.显然不相等.并进一步引导学生发现，若AC是直径，则它所对的圆周角∠B=∠D，从而得出结论：∠B=∠D不一定相等.追问3：∠B和∠D有什么数量关系呢？教师引导学生把问题转化为四边形的一组对角的数量关系，进一步让学生观察这个四边形有什么特点，引导学生发现四边形的四个顶点都在圆上，从而引出圆内接四边形的概念.如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.如上图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆.追问3就转化为了：圆内接四边形的一组对角有什么关系？猜想：互补验证：连接OA ，OC .∵1=12B ∠∠，1=22D ∠∠又∵∠1+∠2=360° ∴∠B +∠D =()11+22∠∠=180° 同理：∠A +∠C =180°教师引导学生猜想，然后学生自主验证、小组交流后，尝试用语言归纳总结出所得结论.教师汇总并补充.圆内接四边形的对角互补.追问4：现在，你能回答课程刚开始的问题了吗？同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？预设答案：同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.教师提出问题，引导学生回顾刚才探究的过程，然后得出结论，需要提醒的是，前面只探究了同弦所对的圆周角，对于同圆或等圆中等弦的情况，学生可自行探究.【延伸】预设答案：相等.证明：∵∠BCE+∠BCD=180°，∠BCD+∠A=180°∴∠BCE=∠A教师引导学生自主探究，小组交流后，尝试用语言总结出所得结论，选代表回答，教师补充.圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.圆内接四边形也可扩展到圆内接多边形.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，且ABCD是平行四边形.求证：四边形ABCD是矩形．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图在圆内接四边形ABCD中，（1）若∠B=30°，则∠D=＿＿.（2）若∠A∶∠C=5∶4，则∠A=＿＿.答：（1）150°；（2）100°.2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69° B．42°C．48° D.38°答：A.3.若ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( )A. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 1∶2∶3∶4B. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 2∶1∶3∶4C. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 3∶2∶1∶4D. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶3∶2∶1 答：B.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第88页练习第2、5题.。

数学教案－圆的内接四边形一、教学目标1.让学生理解圆的内接四边形的定义及判定定理。

2.培养学生运用圆的内接四边形的性质解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

二、教学重点与难点重点：圆的内接四边形的性质及判定定理。

难点：运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课师：同学们，我们先来回顾一下圆的性质。

请大家说出圆的几个重要性质。

生1：圆的直径所对的圆周角是直角。

生2：圆的半径垂直于弦，则这条弦被半径平分。

生3：圆的弦所对的圆周角等于弦所对的圆心角的一半。

师：很好，那么我们今天要学习的是圆的内接四边形，请大家思考一下，什么是圆的内接四边形呢？2.探索新知师：我们先来观察一个图形，请大家看大屏幕。

这是一个圆，圆内有四条弦，它们分别连接圆上的四个点，构成了一个四边形。

我们称这个四边形为圆的内接四边形。

师：那么，圆的内接四边形有什么性质呢？请大家根据图形，尝试找出一些性质。

生1：我发现，圆的内接四边形的对角互补。

生2：我还发现，圆的内接四边形的对边平行。

师：很好，同学们已经找到了圆的内接四边形的一些性质。

下面我们来看一下圆的内接四边形的判定定理。

定理：一个四边形是圆的内接四边形，当且仅当它的对角互补。

师：请大家理解定理的内容，然后思考一下，如何证明一个四边形是圆的内接四边形？3.课堂练习师：下面我们来做一个练习题。

请大家看大屏幕，这是一个圆的内接四边形ABCD，已知∠BAC=60°，求∠BCD的度数。

生1：根据圆的内接四边形的性质，我们知道∠BAC和∠BCD互补，所以∠BCD=180°-∠BAC=180°-60°=120°。

师：很好，同学们已经掌握了圆的内接四边形的性质。

下面我们来解决一些实际问题。

4.实际问题师：请大家看大屏幕，这是一个实际问题。

在一个圆形花坛中，有四条小路相交于圆心O，其中两条小路的延长线分别交圆于A、B 两点，另外两条小路的延长线分别交圆于C、D两点。

圆的内接四边形数学教案
标题：圆的内接四边形数学教案
一、教学目标
1. 理解并掌握圆的内接四边形的概念。

2. 掌握圆的内接四边形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。

3. 培养学生的空间想象能力，提升对几何图形的理解。

二、教学重点与难点
重点：圆的内接四边形的定义及性质
难点：如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题
三、教学过程
1. 导入新课：
通过回顾圆的相关知识（如半径、直径等），引出圆的内接四边形的概念。

2. 新课讲解：
(1) 定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形就叫做圆的内接四边形。

(2) 性质：
a. 圆的内接四边形的对角互补。

b. 圆的内接四边形的任意两边之积等于其它两边之积。

c. 圆的内接四边形的外接圆直径必过对角线的交点。

3. 实例解析：
分析一些具体的实例，让学生理解和掌握如何应用上述性质解决问题。

4. 练习巩固：
设计一些练习题，让学生自己动手解答，以检验他们是否真正理解了所学的内容。

5. 小结：
回顾本节课的主要内容，强调圆的内接四边形的性质及其应用。

6. 作业布置：
设计一些相关的作业题，让学生在课后继续巩固所学的知识。

四、教学评价
通过对学生课堂参与度、回答问题情况以及作业完成情况进行评价，了解学生对圆的内接四边形概念和性质的理解程度。

五、教学反思
在教学结束后，对整个教学过程进行反思，找出教学中的优点和不足，以便于改进今后的教学。

圆内接四边形的性质与判定定理【教学目标】1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质与判定定理，会运用圆的内接四边形的性质与判定定理证明和计算一些问题。

2．通过圆内接四边形的判定定理掌握反证法证题的思路和一般步骤。

3．在探究圆内接四边形的判定定理的过程中，体会数学证明方法的多样性。

【教学方法】首先复习圆内接三角形的知识，再利用几何图形，类比圆内接三角形探究圆内接四边形的性质；对于圆内接四边形的判定定理，要结合点与圆的位置关系，分类加以研究，所采用的方法称为反证法，理解反证法证题的思路和一般步骤，即先假设结论不成立，再推导出矛盾，从而肯定原结论。

【教学过程】材料：如图2-2-1，在⊙Ｏ中，A、B、C、D都在同一个圆上，图2-2-1问题：①指出图中圆内接四边形的外角有几个？②∠DCH的内对角是哪些角，∠DBG呢？③与∠DEA互补的角是哪个角？④∠ECB+（）=180°。

导入：观察图形发现结论。

一、新课教学：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。

圆内接四边形性质定理圆内接四边形对角互补圆内接四边形判定定理 对角互补的四边形内接于圆如果 n(n ∈N*，n ≥4) 个点在同一个圆上，也称这 n 个点共圆，一个四边形内接于圆也称这个四边形的顶点四点共圆例1.如图，⊙O1与⊙O2交于点M 、N ，直线AB 过M 与⊙O1与⊙O2 分别交于点A 、B ，直线CD 过N 与⊙O1与⊙O2 分别交于点C 、D ，求证：AC//BD例2.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，⊙O1经过点B 、D ，交AB 于另一点E ，⊙O2 经过点C 、D ，交AC 于另一点F ，⊙O1与⊙O2 交于点G ，求证：（1）∠BAC+∠EGF ＝180°例3.如图，以锐角三角形ABC 的三边为边向外作三个等边三角形ABD 、BCE 、CAG ，求证：△ABD 、△BCE 、△CAG 的外接圆⊙O1 、⊙O2、⊙O3交于一点二、课堂练习：1．如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=o ，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =。

24.3 圆周角第2课时圆内接四边形1．理解圆内接多边形的概念；2．掌握圆内接四边形的性质，并能够运用其进行简单的计算与证明(重点、难点)．一、情境导入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？二、合作探究探究点：与圆内接四边形有关的计算【类型一】利用圆内接四边形的性质进行计算如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC ＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.方法总结：解决圆中角度计算问题关键是掌握弧的角度、弧所对圆心角的度数和弧所对圆周角度数之间的关系，巧妙地利用弧的度数作桥梁进行转化，找出相应的等量关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用圆内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．方法总结：在运用圆的内接四边形进行解题时，要牢记圆内接四边形的对角互补．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题三、板书设计1．圆的内接多边形2．圆的内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角．教学过程中，以学生为主体，让学生自己探究圆内接四边形的性质，在探究的过程中体会转化思想．在解决问题时能通过联想进行转化，提升学生的逻辑思维能力.。

数学教案：圆的内接四边形一、教学目标1.知道什么是圆的内接四边形；2.掌握圆的内接四边形的性质和定理；3.能够应用圆的内接四边形解决实际问题。

二、教学重点和难点重点1.圆的内接四边形的性质；2.圆的内接四边形的定理；3.圆的内接四边形的实际应用。

难点1.圆的内接四边形问题的解决方法和步骤；2.圆的内接四边形问题的实际应用分析。

三、教学内容圆的内接四边形的定义圆的内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在圆上，且四个顶点能够围成一个四边形。

圆的内接四边形的性质1.圆的直径是内接四边形的一个对角线。

2.内接四边形的对角线相交于一点，该点是对角线的中点连线所在直线与圆的交点。

3.内接四边形的两对对边互相平行。

圆的内接四边形的定理•定理1：如果一个四边形是内切于一个圆的，那么相对的角和等于180度。

•定理2：如果两个内接四边形的一对对边互相平行，则这两个内接四边形是相似的。

圆的内接四边形的应用圆的内接四边形在实际生活中具有广泛的应用，比如说：1.定义圆心、半径；2.计算圆的周长、面积；3.利用内接四边形的性质判断实际问题。

四、教学方法1.课前预习，了解相关定义、性质和定理；2.课堂讲解，帮助学生认识圆的内接四边形；3.课堂讨论，让学生相互交流和探讨圆的内接四边形问题；4.课后习题，巩固学生的掌握程度。

五、教学过程1. 引入通过引入圆的内接四边形的概念，来激发学生的学习兴趣。

2. 讲解讲解圆的内接四边形的定义、性质和定理，重点讲解定理和应用，帮助学生掌握圆的内接四边形的基础知识。

3. 练习让学生通过练习习题，熟练掌握圆的内接四边形的应用。

4. 交流通过课堂集体讨论，让学生相互交流和探讨圆的内接四边形问题。

5. 总结通过总结，让学生加深对圆的内接四边形的理解和掌握。

六、教学评价教学评价可以从以下方面进行：1.学生参与度；2.学生的成绩进步；3.学生的思维能力和解决问题的能力。

七、教学反思针对本次教学，可以从以下几方面进行反思：1.教学内容是否符合学生的年龄和认知水平；2.如何更好地组织课堂授课和互动；3.如何更好地引导学生灵活运用圆的内接四边形的知识。

圆的内接四边形教案教案：圆的内接四边形教学目标：1.理解什么是圆的内接四边形，以及它的特点。

2.掌握圆的内接四边形的性质和相关公式。

3.能够解决与圆的内接四边形相关的问题。

教学准备：1.教学用板书：圆的内接四边形2.教学资源：教材、课件、多边形模型、圆规、分度器等工具。

教学过程：Step 1: 导入新知识 (10分钟)1.通过观察多边形模型引入圆的内接四边形的概念。

2.引导学生观察、探索圆内接四边形与圆、多边形之间的关系。

3.提问：在一个圆内，如何作一个四边形？该四边形有什么特点？Step 2: 理解和讨论圆的内接四边形的性质 (20分钟)1.引导学生观察、分析圆的内接四边形的特点：四个顶点都位于圆上，并且四条边都切割圆。

2.结合多边形模型和教材中的图例，让学生讨论圆的内接四边形的性质。

3.提问：圆的内接四边形的对角线是否有特殊关系？如何证明？Step 3: 讨论圆的内接四边形的公式 (20分钟)1.通过快速复习周长和面积的相关公式，引导学生思考和总结圆的内接四边形的相关公式。

2.学生自主提出圆的内接四边形的周长公式和面积公式。

3.教师进行讲解和订正，确保学生正确理解公式的推导过程。

Step 4: 解决问题和练习 (30分钟)1.教师提供一些练习题，引导学生运用所学知识解决与圆的内接四边形相关的问题。

2.学生自主解答问题，并与同伴进行讨论和交流。

3.教师逐一解答问题，并帮助学生理解解题思路和方法。

Step 5: 拓展探究 (20分钟)1.引导学生思考进一步的问题和应用：a.是否存在特殊的圆的内接四边形？b.圆的内接正方形、圆的内接六边形等是否具有特殊性质？2.学生自主探究并给出相关结论。

3.教师进行总结和讲解，帮助学生理解拓展问题的解决思路。

Step 6: 小结和评价 (10分钟)1.教师对学生本堂课的表现进行评价，鼓励积极参与学习的学生。

2.学生自主总结本堂课的重点内容和学到的知识和技能。

3.教师进行总结和回顾，强调圆的内接四边形的重要性和应用。

圆的内接四边形与四点共圆教学设计与反思
E 教师点拨问题解答思路
例1、
例2、 例3、 例4、
例题1、在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK 。

求证：∠DMA ＝∠CKB 。

（教师引导分析，学生完成证明）
课堂练习2正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989CM 2 , P 为
正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14。

则PB=__________。

（教师引导分析，学生完成证明）
分析：连接OA ，OB.易知O ，P ，A ，B 。

四点共圆，则有∠APB=∠AOB=90°。

故
PA 2+PB 2=AB 2=1989。

由于
PA:PB=5:14，可求PB 。

答案是PB
=42㎝。

通过教师讲授，学生倾听方式认识新知识。

通过教师指导运用合情推理与演绎推理认知新事物，构建新知识。

通过定理的应用，进一。

圆内接四边形——初中数学第六册教案一、教学目标1.知识与技能：掌握圆内接四边形的性质，能够运用性质解决相关问题。

2.过程与方法：通过探究活动，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度价值观：激发学生对几何学习的兴趣，培养学生合作学习的精神。

二、教学重难点1.重点：圆内接四边形的性质及运用。

2.难点：圆内接四边形性质的证明及实际问题中的应用。

三、教学过程1.导入新课（1）回顾旧知：引导学生回顾圆的性质，如圆的周长、面积等。

（2）提出问题：在圆内，是否存在特殊的四边形？它们有什么性质？2.探究新知（1）引导学生观察圆内的四边形，发现其中一些特殊的四边形。

（2）引导学生通过测量、画图等方式，探究这些特殊四边形的性质。

（3）引导学生尝试证明圆内接四边形的性质。

（2）引导学生举例说明圆内接四边形的性质。

4.应用性质（1）引导学生运用圆内接四边形的性质解决实际问题，如求解四边形的面积、判断四边形的形状等。

（2）举例讲解：已知圆内接四边形ABCD，求证∠B+∠D=180°。

5.练习巩固（1）布置练习题：让学生运用圆内接四边形的性质解决问题。

（2）课堂反馈：教师批改练习题，了解学生的掌握情况。

（2）鼓励学生提出疑问，共同探讨解决。

四、课后作业1.复习圆内接四边形的性质。

2.完成课后练习题，巩固所学知识。

五、教学反思本节课通过探究活动，让学生发现并掌握圆内接四边形的性质，培养了学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

在教学中，要注意引导学生积极参与，鼓励学生提出疑问，共同探讨解决。

同时，要关注学生的个体差异，给予不同的学生不同的关注和指导，提高教学效果。

重难点补充：一、教学重点1.通过实例引入圆内接四边形的定义，强调“四边形的所有顶点都在圆上”这一关键特征。

2.对话示例：教师问：“同学们，你们能在黑板上画出一个四边形，并且确保它的所有顶点都在同一个圆上吗？”学生甲回答：“我画了一个梯形，但是发现无法让所有顶点都在圆上。

圆内接四边形与圆的性质教学设计本文通过教学设计的形式，探究圆内接四边形和圆的性质，并介绍相关的应用。

本教学设计适用于初中数学教学，适合在圆的相关知识已经学习的基础上展开。

一、教学目标1. 知道什么是圆内接四边形。

2. 熟悉圆内接四边形和圆的性质。

3. 能够应用圆内接四边形和圆的性质解决相关问题。

二、教学内容1. 圆的相关知识回顾。

2. 圆内接四边形的定义和性质。

3. 圆内接四边形的相关应用。

三、教学重难点1. 圆内接四边形的定义和性质。

2. 圆内接四边形和圆的关系应用。

四、教学过程1. 导入环节：观察和分析出示一个圆内接四边形的图形，要求学生描述图形的性质和特点，从而引出圆内接四边形的定义。

2. 概念讲解：分组探究教师将学生分成小组，每组分别探究圆内接四边形的定义和性质。

教师在分组之后提供相关的材料并指导学生进行相关的讨论，鼓励学生踏实和认真，切实在小组内掌握圆内接四边形的相关知识。

3. 实验探究：奥儒的定理教师通过幻灯片或者黑板依据圆内接四边形的图形进行讲解，重点讲解奥儒的定理，即对于一个圆内接四边形，对角线积的一半等于其相邻两边的积和圆的面积。

讲解完之后，设计相应的实验练习，让学生在实践中深化这个定理的理解。

4. 进一步延伸：圆内接四边形的相关应用在学生对圆内接四边形的理论有了一定的掌握，并且奥儒的定理有了一定的熟悉之后，教师可以引导学生将所学知识应用到具体的问题当中。

比如可以让学生在实际的建筑设计中思考如何应用圆内接四边形的知识来解决问题。

五、教学评价教师应该建立多元的评价机制。

具体可以表现为：1. 以学生为中心的评价机制，关注学生的学习情况。

2. 引导学生互相评价，学会自我评价。

3. 重视过程性评价，关注学生的思考和表达能力。

4. 实施阶段性评价，及时发现问题并改进教学。

六、教学总结本教学设计通过理论讲解、实验探究、相关应用等形式来教学圆内接四边形和圆的性质，说理深入而且贴近实际应用。

通过循序渐进的方式的教学方式，能够使学生对于圆内接四边形及其相关知识有一个较全面透彻的了解。