目录
第一节等腰三角形 (1)
第二节直角三角形 (7)
第三节线段的垂直平分线 (12)
第四节角平分线 (16)
第五节一元一次不等式 (20)
第七节一元一次不等式组 (30)
第八节一元一次不等式组的应用 (33)
第十节图形的平移与旋转 (44)
第十一讲中心对称 (49)
第十二讲本章复习 (54)
第一节等腰三角形
知识点一：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等（简写成“等边对等角”）
例1. 等腰三角形的一个角是70°，它的一个底角的度数是。
例2. 已知等腰三角形两边长为4 和3，则周长为。
例3. 如图1，△ABC 中，AB=AC=BD，DA=DC，则∠BAC 的度数是。
图1 图2
知识点二：等腰三角形的三线合一即等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
例4. 如图2，在三角形ABC 中，AB=AC。
若AD⊥BC，则，；
若BD=CD，则，；
若AD 平分∠BAC，则，；
例5. 如图3，在△ABC 中，AB=AC，AD 是BC 边上的中线，BE⊥AC 于点
E．求证：∠CBE=∠B AD．
知识点三：两边相等证等腰三角形
例6. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。
求证：△ABF 是等腰三角形．
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知识点四：两角相等证等腰三角形（等角对等边）
例7. 如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，
且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A. 6 个
B. 7 个
C. 8 个
D. 9 个
例8. 如图，点D，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F，∠1=∠2；AD=BE。
求证：△ABC 是等腰三角形．
知识点五：角平分线+平行线=等腰三角形
例9. 在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E，过点E 作MN∥BC 交AB 于M，交AC 于N，求证：BM+CN=MN
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知识点六：等边三角形的边都相等，角都相等，并且每一个角都等于60°。
例10. 如图，△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 上，连接CE，求证：BD=CE．
知识点七：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
例11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，CD⊥AB，BD=2，则BC= ，CD= ，AC= ，AD= 。
知识点八：等边三角形的证明
例6. 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
例7. 如图，已知△ABC 是等边三角形，D 是边AC 的中点，连接BD，EC⊥BC 于点C，CE=BD．求证：△ADE 是等边三角形．
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【巩固训练】
1.等腰三角形的一个角是100°，它的一个底角的度数是（）
A. 100°
B. 40°
C. 100°或40°
D. 80°
2.已知实数x，y 满足，则以x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）
A．30 或39 B．30 C．39 D．以上答案均不对
3.如图1，D、E、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF 的形状
是（）
A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形
4．下列命题中真命题的个数有（）
①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形都是锐角三角形；④等边三角形是等腰三角形；
⑤有一个角是60°的三角形是等边三角形.
个B．2 个C．3 个D．4 个
5.如图2，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是线段BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）
A．3.7 B．4 C．5 D．7
图1 图2 图3
6.如图3，下列条件不能得到△ABC 是等腰三角形的是（）
A．∠B=∠C B．AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
C．AD⊥BC，∠BAD=∠ACD D．AD⊥BC，BD=CD
7.如图4，△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD，则∠A= 。
8.如图5，在△ABC 中，BC=5cm，BP、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE 的周长是cm．
9.如图6，ΔABC是等边三角形，D 为BA 的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF//AB，AE=1，则AD= ，ΔEFC的周长= 。
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图4 图5 图6
10.如图，点E，F 在BC 上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF 与DE 交于点O．
（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF 的形状，并说明理由．
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【家庭作业】
1.等腰三角形的周长为14，其一边长为4．那么它们的底边长为（）
A．5 B．4 C．6 D．4 或6
2.如图1，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 边上，AB=AC，BE=BC，AE=DE=DB，
那么∠A= 度．
3.在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点A（1，2），在y 轴的正半轴上确定点P，
使△AOP 是以OA 为腰的等腰三角形，则点P 的坐标为。
4.如图2，在△PAB 中，PA=PB，M，N，K 分别是PA，PB，AB 上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠ MKN=44°，则∠P 的度数为。
图1 图2
5.已知，如图在△ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E，∠ACB 的补角∠ACD 的平分线为CG，EG∥BC 交AC 于F，EF 会与FG 相等吗？为什么？
6.如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，求证△ADE 是等边三角形。
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