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第十九章一次函数19.1 函数1．常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为__________．（1）变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．（2）“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．（3）变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．（4）判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．2．函数的定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有__________确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．对函数定义的理解，主要抓住以下三点：（1）有两个变量．（2）函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．（3）函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．3．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体叫做__________的取值范围．当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．4．函数解析式及函数值函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的__________．（1）函数解析式是等式．（2）函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．（3）用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b 叫做自变量x的值为a时的函数值．5．函数的图象及其画法一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．K知识参考答案：1．常量2．唯一3．自变量4．解析式K—重点常量与变量的判断，函数自变量取值范围的确定，函数解析式及函数值的确定，函数的图象及其画法K—难点函数的定义的理解K—易错求自变量的取值范围时，考虑不周出错一、常量和变量常量和变量不是绝对的，必须根据具体的变化过程进行判断．【例1】在圆的面积公式S=πr2中，是常量的是A．S B．πC．r D．S和r 【答案】B【解析】在圆的面积公式S=πr2中，π是常量，S、r是变量，故选B．二、函数的定义判断一个关系是不是函数关系的方法：第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中是不是有两个变量；第三要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 【例2】下列变量之间的关系中，具有函数关系的有①三角形的面积与底边；②多边形的内角和与边数；③圆的面积与半径；④y =21x -中的y 与x ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】对于①，设三角形的面积为S ，底边为a ，高为h ，则有S =12ah ，由于h 为变量，故不满足函数关系； 对于②，设多边形的内角和为y ，边数为n （n ≥3且n 为整数则有y =（n -2）⨯180°，满足函数关系；对于③，设圆的面积为S ，半径为r ，则有S =πr 2，满足函数关系；对于④，21y x =-满足函数关系，故具有函数关系的有三个，故选C ．三、自变量取值范围的确定函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况，不要出现遗漏．【例3】函数y =3x -+12x -中自变量x 的取值范围是 A ．3x ≤B ．3x <且2x ≠C ．3x ≤且2x ≠D ．2x ≠【答案】C【解析】由题意，得3020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≤3且x ≠2，故选C ．四、函数解析式及函数值（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的．（2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的．（3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可．【例4】在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=3t2+2t+1，则当t=4时，该物体所经过的路程为A．28米B．48米C．57米D．88米【答案】C【解析】把t=4代入s=3t2+2t+1，得s=3×42+2×4+1=57（米）．故选C．五、函数的图象（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式．（2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上．（3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势．【例5】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度，下面是小明离家后他到学校剩下的路程s关于时间t的图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是A．B．C．D．【答案】D【解析】因为开始以正常速度匀速行驶---停下修车---加快速度匀驶，可得s先缓慢减小，再不变，在加速减小．故选D．【例6】如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是A．第3分时汽车的速度是40千米/时B．第12分时汽车的速度是0千米/时C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时【答案】C【解析】横轴表示时间，纵轴表示速度．当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A 对； 第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B 对；从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40×120=2千米，C 错； 从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D 对．综上可得：错误的是C ．故选C ．1．在三角形面积公式S =12ah ，a =2中，下列说法正确的是 A ．S ，a 是变量，12，h 是常量 B ．S ，h 是变量，12是常量 C ．S ，h 是变量，12，a 是常量D ．S ，h ，a 是变量，12是常量2．某市居民用电价格是0.58元/度，居民应付电费为y 元，用电量为x 度，其中 A ．0.58，x 是常量，y 是变量 B ．0.58是常量，x ，y 是变量 C ．0.58，y 是常量，x 是变量D ．x ，y 是常量，0.58是变量3．关于变量x ，y 有如下关系：①x -y =5；②y 2=2x ；③：y =|x |；④y =3x．其中y 是x 的函数的是 A ．①②③B ．①②③④C ．①③D ．①③④4．下列关系式：①x 2-3x =4；②S =3.5t ；③y =32x -；④y =5x -3；⑤C =2πR ；⑥S =v 0t +12at 2；⑦2y +y 2=0，其中不是函数关系的是 A ．①⑦B ．①②③④C ．④⑥D ．①②⑦5．函数2y x =+的自变量的取值范围是A ．x ≥-2B ．x <-2C ．x >-2D ．x ≤-26．一根弹簧长8 cm ，它所挂物体的质量不能超过5 kg ，并且所挂的物体每增加1 kg ，弹簧就伸长0.5 cm ，则挂上物体后弹簧的长度y （cm ）与所挂物体的质量x （kg ）（0≤x ≤5）之间的关系式为A．y=0.5（x+8）B．y=0.5x-8 C．y=0.5（x-8）D．y=0.5x+87．小明同学准备从家打车去南坪，出门后发现到了拥堵使得车辆停滞不前，等了几分钟后他决定步行前往地铁站乘地铁直达南坪站（忽略中途等站和停靠站的时间），在此过程中，他离南坪站的距离y（km）与时间x（h）的函数关系的大致图象是A．B．C．D．8．如图是某市某一天的温度随时间变化的图象，下列说法错误的是A．15点时温度最高B．3点时温度最低C．最高温度与最低温度的差是12 °CD．21点时的温度是30 °C9．小亮帮母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小亮家4月初连续8天每天早上电表显示的读数：日期/日 1 2 3 4 5 6 7 8电表读数/度21 24 28 33 39 42 46 49 表格中反映的变量是__________，自变量是__________，因变量是__________．10．函数y=23xx-+的自变量x的取值范围是__________．11．已知点M（3，5）在函数y=ax2-2x+2的图象上，则a等于__________．12．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45 L，当行驶150 km时，发现油箱余油量为30 L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式；（2）当x=280 km时，求剩余油量Q的值．13．在等腰△ABC中，底角x为（单位：度），顶角y（单位：度）．（1）写出y与x的函数解析式；（2）求自变量x的取值范围．14．已知两个变量x，y之间的变化情况如图所示，根据图象回答下列问题：（1）写出y的变化范围；（2）求当x=0，-3时，y的对应值；（3）求当y=0，3时，对应的x的值；（4）当x为何值时，y的值最大？（5）当x在什么范围内时，y的值在不断增加？15．已知函数y=212xx-+，当x=a时的函数值为1，则a的值为A．3 B．-1 C．-3 D．116．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△PDB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图②所示，则AC的长为A．14 B．7 C．4 D．217．长方形的周长为20，一边长为x，另一边长为y，写出y随x变化的函数表达式__________．18．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC-CD-DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.如果y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是__________．19．已知如图，一天上午6点钟，言老师从学校出发，乘车上市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程s（km）（即离开学校的距离）与时间（时）的关系可用图中的折线表示，根据图中提供的有关信息，解答下列问题：（1）开会地点离学校多远？（2）请你用一段简短的话，对言老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述．20．（2018·湖南岳阳）函数y3x=-中自变量x的取值范围是A．x>3 B．x≠3C．x≥3D．x≥021．（2018·湖南永州）函数y13x=-中自变量x的取值范围是A．x≥3B．x<3 C．x≠3D．x=322．（2018·内蒙古赤峰）有一天，兔子和乌龟赛跑．比赛开始后，兔子飞快地奔跑，乌龟缓慢的爬行．不一会儿，乌龟就被远远的甩在了后面．兔子想：“这比赛也太轻松了，不如先睡一会儿．”而乌龟一刻不停地继续爬行．当兔子醒来跑到终点时，发现乌龟已经到达了终点．正确反映这则寓言故事的大致图象是（）A．B．C．D．23．（2018·广东韶关）如图，点P是菱形ABCD边上的一动点，它从点A出发沿在A B C D→→→路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为A．B．C．D．24．（2018·宁夏）如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是A．B．C．D．25．（2018·黑龙江齐齐哈尔）如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是A．0点时气温达到最低B．最低气温是零下4 °CC．0点到14点之间气温持续上升D．最高气温是8 °C26．（2018·浙江丽水）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元)与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是A．每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C．每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱D．每月上网时间超过70 h时，选择C方式最省钱27．（2018·辽宁辽阳）晓琳和爸爸到太子河公园运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，晓琳继续前行5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家，晓琳和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论：①两人同行过程中的速度为200米/分；②m的值是15，n的值是3000；③晓琳开始返回时与爸爸相距1800米；④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米，其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个28．（2018·江苏镇江）甲、乙两地相距80 km，一辆汽车上午9：00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：5029．（2018·四川攀枝花）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B． C．D．30．（2018·湖北咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米，其中正确的结论有A．1个B．2个C．3个D．4个31．（2018·湖南长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是A．小明吃早餐用了25 min B．小明读报用了30 minC．食堂到图书馆的距离为0.8 km D．小明从图书馆回家的速度为0.8 km/min32．（2018·四川巴中）函数y=112xx-+-中自变量x的取值范围是__________．33．（2018·湖北恩施州）函数y=213xx+-的自变量x的取值范围是__________．34．（2018·山东枣庄）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P 运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是__________．35．（2018·吉林）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min．小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示（1）家与图书馆之间的路程为多少米，小玲步行的速度为多少；（2）求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）求两人相遇的时间．36．（2018·黑龙江牡丹江）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）请写出甲的骑行速度为__________米/分，点M的坐标为__________；（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．37．（2018·辽宁本溪）“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）求步行同学每分钟．．．走多少千米？（2）如图是两组同学前往水洞时的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象．完成下列填空：①表示骑车同学的函数图象是线段__________；②已知A点坐标（30，0），则B点的坐标为（__________）．38．（2018·山东日照）“低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x （h ）变化的函数图象大致如图所示．（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为__________km /h ；（2）当1.5≤x ≤2.5时，求出路程y （km ）关于时间x （h ）的函数解析式，并求乙地离小红家多少千米？39．（2018·黑龙江绥化）端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m 千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程(km)y 甲，(km)y 乙与时间(h)x 之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息，解决下列问题：（1）图中E 点的坐标是__________，题中m __________km/h ，甲在途中休息__________h ； （2）求线段CD 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20 km ？1．【答案】C【解析】在三角形面积公式S=12ah，a=2中，S，h是变量，12，a是常量，故选C．2．【答案】B【解析】某市居民用电价格是0.58元/度，0.58是常量；居民应付电费为y元，用电量为x度，其中x，y是变量，故选B．3．【答案】D【解析】y是x函数的是①x-y=5；③y=|x|；④y=3x．当x=1时，在y2=2x中y=±2，则不是函数，故选D．4．【答案】A【解析】函数是指两个变量之间的关系，而①⑦只有一个变量，故①⑦不是函数；②③④⑤都有两个变量，并且给等号右边的变量一个确定的值，等号左边的变量都只有唯一的值与之对应，所以②③④⑤都是函数；⑥是以后将要学习的一个物理公式，对于一个确定的运动过程而言，v0和a都是不变的，只有S和t两个变量，并且满足一一对应，故⑥也是函数，故选A．5．【答案】A【解析】二次根式有意义的条件是根号下被开方数非负，所以x+2≥0，即x≥-2，故选A．6．【答案】D【解析】∵挂上1 kg的物体后，弹簧伸长0.5 cm，∴挂上质量为x kg的物体后，弹簧伸长0.5x cm，∴弹簧的长度y=0.5x+8，故选D．7．【答案】D【解析】小明同学出校门后发现道路拥堵使得车辆停滞不前，等了几分钟，他离南坪站的距离没有变化，然后她步行前往地铁站他离南坪站的距离y（km）随时间x（h）的增大而减小，最后她乘地铁直达南坪站他离南坪站的距离y（km）随时间x（h）的增大而减小，并且增加的速度更快了，符合以上的图象是D．故选D．8．【答案】C【解析】横轴表示时间，纵轴表示温度．A、温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值：为15时，38 °C．故本选项正确；B、温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与y值：为3时，22 °C，故本选项正确；C、这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38-22=16 °C，故本选项错误；D、从图象看出，这天21时的温度是30 °C，故本选项正确．故选C．9．【答案】日期和电表读数，日期，电表读数【解析】表格中反映的变量是：日期和电表读数，自变量为日期，因变量为电表读数．故答案为：日期和电表读数，日期，电表读数．10．【答案】x≥2【解析】根据题意可得：2030xx-≥⎧⎨+≠⎩，解得x≥2，故答案为：x≥2．11．【答案】1【解析】∵函数y=ax2-2x+2过M（3，5），∴5=9a-2×3+2，解得a=1，故答案为：1．12．【解析】（1）该车平均每千米的耗油量为（45-30）÷150=0.1（L/km），行驶路程x（km）与剩余油量Q（L）的关系式为Q=45-0.1x．（2）当x=280时，Q=45-0.1×280=17．故当x=280 km时，剩余油量Q的值为17 L．13．【解析】（1）由题意得：x+x+y=180，∴y=180-2x．（2）由y>0得：x<90，又x>0，故0<x<90．14．【解析】（1）根据函数图象可得：y的变化范围为-2～4．（2）当x=0时，y=3；当x=-3时，y=1．（3）当y=0时，x1=-2.5，x2=-1.5，x3=3.5．当y=3时，x1=0，x2=2．（4）当x=1时，图象有最高点，此时y最大．（5）当x在-2～1时，函数图象上升，y的值在不断增加．15．【答案】A【解析】∵函数y=212xx-+中，当x=a时的函数值为1，∴2112aa-=+，∴2a−1=a+2，∴a=3，故选A．16．【答案】C【解析】如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，则S△DPB=12BP·DE，即12y=DE·x，由题图②中的信息可知，当点P运动到点C时，y最大=7，此时x=BC=7，即12DE×7=7，解得DE=2，∵在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，∴CD=DB，又∵DE⊥BC于点E，∴CE=BE，又∵点D是AB边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AC=2DE=4，故选C．17．【答案】y=10-x（0<x<10）【解析】设长方形的另一条边长为y，则y=2022x-，即y=10-x，∵y>0，∴10-x>0，x<10，∵x>0，∴0<x<10．∴y关于x的函数解析式是y=10-x，x的取值范围是0<x<10．故答案为：y=10-x（0<x<10）．18．【答案】10【解析】由题可知点P的运动过程分三种情况：P在BC上；P在CD上；P在AD上，该三种情况对应图象上的三段线段，由此可知P在第一段的运动路程为4，第二段的运动路程为9-4=5，即AD=BC=4，CD=AB=5，∴1=2ABCS BC AB⨯⨯△=1452⨯⨯=10，故答案为：10．19．【解析】（1）开会地点离学校有60千米．（2）答案不唯一，如：言老师上午6点钟从学校出发，开车走普通公路，出发1小时后，车坏了，半小时后修好了以原速度继续前进，8点钟准时赶到了会场，开会持续了3小时结束，会后改走高速公路，12点钟到学校．20．【答案】C【解析】由题意得：x-3≥0，解得x≥3，故选C．21．【答案】C【解析】根据题意得：x-3≠0，解得：x≠3，故选C．22．【答案】D【解析】乌龟运动的图象是一条直线，兔子运动的图象路程先增大，而后不变，再增大，并且乌龟所用时间最短．故选D．23．【答案】B【解析】设菱形的高为h，有三种情况：①当P在AB边上时，如图1，y=12AP·h，∵AP随x的增大而增大，h不变，∴y随x的增大而增大，故选项C不正确；②当P在边BC上时，如图2，y=12AD·h，AD和h都不变，∴在这个过程中，y不变，故选项A不正确；③当P在边CD上时，如图3，y=12PD·h，∵PD随x的增大而减小，h不变，∴y随x的增大而减小，∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，∴P在三条线段上运动的时间相同，故选项D不正确，故选B．24．【答案】D【解析】已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满，因为长方体是均匀的，所以初期的图象应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的图象也是直线，但斜率小于初期，综上所述选D．25．【答案】D【解析】A．根据图象4时气温最低，故A错误；B．最低气温为零下3 °C，故B错误；C．0点到14点之间气温先下降后上升，故C错误；D描述正确，故选D．26．【答案】D【解析】观察函数图象，可知：每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱，结论A正确；观察函数图象，可知：当每月上网费用大于等于50元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论B正确；设当x≥25时，y A=kx+b，将（25，30）、（55，120）代入y A=kx+b，得253055120k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得345kb=⎧⎨=-⎩，∴y A=3x-45（x≥25），当x=35时，y A=3x-45=60>50，∴每月上网时间为35 h时，选择B方式最省钱，结论C正确；设当x≥50时，y B=mx+n，将（50，50）、（55，65）代入y B=mx+n，得50505565m nm n+=⎧⎨+=⎩，解得3100mn=⎧⎨=-⎩，∴y B=3x-100（x≥50），当x=70时，y B=3x-100=110<120，∴结论D错误．故选D．27．【答案】C【解析】①4000÷20=200米/分，∴两人同行过程中的速度为200米/分，①正确；②m=20-5=15，n=200×15=3000，②正确；③晓琳开始返回时，爸爸和晓琳各走5分钟，爸爸返回的速度为100，所以他们的距离为：300×5=1500（米），③不正确；④设爸爸返回的解析式为y2=kx+b，把（15，3000）（45，0）代入得153000 450k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1004500kb=-⎧⎨=⎩，∴y2=-100x+4500，∴当0≤x≤20时，y1=200x，y1-y2=900，∴200x-（-100x+4500）=900，∴x=18，当20≤x≤45时，y1=ax+b，将（20，4000）（45，0）代入得204000450a ba b+=⎧⎨+=⎩，∴1607200kb=-⎧⎨=⎩，y1=-160x+7200，y1-y2=900，（-160x+7200）-（-100x+4500）=900，x=30，∴④正确，故选C．28．【答案】B【解析】由图象知走前一半路程用的时间为1小时，所以走前一半路程时的速度为40 km/h，因为匀速行驶了一半的路程后将速度提高了20 km/h，所以以后的速度为20+40=60 km/h，时间为4060×60=40分钟，故该车到达乙地的时间是当天上午10：40，故选B．29．【答案】C【解析】如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°，∵∠DCA+∠DAC=90°，∴∠DCA=∠OAB，又∵∠CDA=∠AOB=90°，∴△CDA∽△AOB，∴OB OA ABDA DC AC===tan30°，则313xy=-，故y=3x+1（x>0），则选项C符合题意．故选C．30．【答案】A【解析】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16-4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400-（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．31．【答案】B【解析】小明吃早餐用了（25-8）=17 min，A错误；小明读报用了（58-28）=30 min，B正确；食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2 km，C错误；小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08 km/min，D错误，故选B．32．【答案】x ≥1且x ≠2【解析】由题意得1020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥1且x ≠2，故答案为：x ≥1且x ≠2． 33．【答案】x ≥-12且x ≠3 【解析】根据题意得2x +1≥0，x -3≠0，解得x ≥-12且x ≠3．故答案为：x ≥-12且x ≠3． 34．【答案】12【解析】根据题意观察图象可得BC =5，点P 在AC 上运动时，BP ⊥AC 时，BP 有最小值，观察图象可得，BP 的最小值为4，即BP ⊥AC 时BP =4，又勾股定理求得CP =3，因点P 从点C 运动到点A ，根据函数的对称性可得CP =AP =3，所以ABC ∆的面积是1(3+3)42⨯⨯=12，故答案为：12． 35．【解析】（1）结合题意和图象可知，线段CD 为小玲路程与时间函数图象，折线O -A -B 为为小东路程与时间图象，则家与图书馆之间路程为4000 m ，小玲步行速度为2000÷10=200 m /s ． （2）∵小东从离家4000 m 处以300 m /min 的速度返回家，则x min 时，∴他离家的路程y =4000-300x ，自变量x 的范围为0≤x ≤403． （3）由图象可知，两人相遇是在小玲改变速度之前，∴4000-300x =200x ，解得x =8，∴两人相遇时间为第8分钟．36．【解析】（1）由题意得：甲的骑行速度为：10202114-=240（米/分）， 240×（11-1）÷2=1200（米）， 则点M 的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）．（2）设MN 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），∵y =kx +b （k ≠0）的图象过点M （6，1200）、N （11，0），∴61200 110k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2402640kb=-⎧⎨=⎩，∴直线MN的解析式为：y=-240x+2640．即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=-240x+2640．（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20=60（米/分），如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，∴BC=1200-1020=180，分5种情况：①当0<x≤3时，1020-240x=180-60x，x=143>3，此种情况不符合题意；②当3<x<214-1时，即3<x<174，甲、乙都在A、C之间，∴1020-240x=60x-180，x=4，③当214<x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240x-1020=60x-180，x=143<214，此种情况不符合题意；④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60-180=180（米），即x=6时两人距C地的路程相等，⑤当x>6时，甲在返回途中，。
初中八年级数学下册第26讲：中位数和众数一：知识点讲解知识点一：中位数➢定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数➢意义：中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势，一组数据的中位数是唯一的➢求法：1.把数据由小到大（或由大到小）排列2.确定这组数据的个数3.当数据是奇数个时，取最中间的一个数作为中位数；当数据是偶数个时，取最中间两个数的平均数作为中位数例1：求数据2、3、14、16、7、8、10、11、13的中位数例2：10名工人某天生产同一种零件的个数是15、17、14、10、15、19、17、16、14、12。
求这一天10名工人生产零件的中位数。
知识点二：众数➢定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数➢意义：众数是刻画一组数据“大多数水平”的重要代表，在我们日常生活中，经常用众数来解决一些实际问题➢求法：众数是出现次数最多的数据，而不是出现次数，若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，则这些数据都是众数，故众数可能不止一个。
例3：一组数据2、3、x、5、7的平均数是4，则这组数据的众数是。
知识点三：平均数、中位数和众数的综合➢平均数✧优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数。
✧缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的影响。
➢中位数✧优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势。
✧缺点：不能充分地利用各数据的信息。
➢众数✧优点：众数考察的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据相关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。
✧缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义。
第17讲函数的认识1、在一个变化过程中，数值保持不变的量叫常量，数值发生改变的量叫变量。
2、实际上，常量就是具体的数，变量就是表示数的字母。
（注意“π”是常量）函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
1、例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
2、对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是11、当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有唯一确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。
2、两个变量x，y,用一个等式表示出来，如果x取一个值，y都有唯一的值和他对应。
就是y与x的函数关系式。
1、自变量与函数在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果x每取一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫自变量，y叫x的函数。
2、函数值如果x=a时，y=b，那么把“y=b叫做x=a时的函数值”。
3、自变量取值范围的确定方法（1）、自变量的取值范围必须使解析式有意义。
当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为0的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于0的所有实数。
（2）、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义考点1、常量与变量例1、一个长方形的面积是10cm2，其长是acm，宽是bcm，下列判断错误的是（）A、10是常量B、10是变量C、b是变量D、a是变量例2、假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是（）①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．A、1个B、2个C、3个D、4个例3、“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，______随______变化而变化，其中自变量是______，因变量是______．例4、在公式s=v0t+2t2（v0为已知数）中，常量是，变量是．例5、下列是某报纸公布的世界人口数据情况：（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？（3）如果用x表示时间，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？（4）世界人口每增加10亿，所需的时间是怎样变化的？例6、在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？（3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？（6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？1、在圆周长计算公式C=2πr中，对半径不同的圆，变量有（）A、C，rB、C，π，rC、C，πD、C，2π，r2、以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动的时间t（秒）之间的关系式是h=v0t－4.9t2，在这个关系式中，常量、变量分别为（）A、4.9是常量，t、h是变量B、v0是常量，t、h是变量C、v0、－4.9是常量，t、h是变量D、4.9是常量，v0、t、h是变量3、如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S （m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（）A、S和pB、S和aC、p和aD、S，p，a4、某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量。
第22讲 一次函数的综合应用（1）定义型 （2）点斜型 （3）两点型 （4）图像型 （5）斜截型 （6）平移型 （7） 实际应用型 （8）面积型 （9）比例型（10）对称型知识归纳： 若直线l 与直线y kx b =+关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =--（2）y 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-+（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为y k x b k=-1 （4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b k =+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =-公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P 的坐标为(x 0,y 0) 在实际生活中，应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）或不等式（组）或函数性质进行求解.直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2（3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 （4）两直线垂直：即k1﹒k2=-1（5）两直线交于y 轴上同一点: b 1=b 2函数的思想、数形结合的思想，分类讨论的思想。
考点1、实际问题的函数解析式例1、某计算器每个定价80元，若购买不超过20个，则按原价付款：若一次购买超过20个，则超过部分按七折付款．设一次购买数量为x （x ＞20）个，付款金额为y 元，则y与x之间的表达式为（）A、y=0.7×80（x-20）+80×20B、y=0.7x+80（x-10）C、y=0.7×80•xD、y=0.7×80（x-10）例2、等腰三角形的周长是40cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数解析式正确的是（）A、y=－0.5x+20（0＜x＜20）B、y=－0.5x+20（10＜x＜20）C、y=－2x+40 （10＜x＜20）D、y=－2x+40（0＜x＜20）例3、甲乙两车沿直路同向行驶，车速分别为20m/s和25m/s．现甲车在乙车前500m 处，设xs（0≤x≤100）后两车相距ym．那么y关于x的数解析式为．（写出自变量取值范围）例4、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是．例5、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（公斤）的一次函数，如图，求：（1）y与x之间的函数关系式；（2）旅客最多可免费携带行李的公斤数例6、年级（1）班班委发起为玉树灾区捐款义卖活动，决定在“六一节”当天租用摊位卖玩具筹集善款．已知同学们从批发店按每个7.6元买进玩具，并按每个15元卖出，租用摊位一天的租金为20元．（1）求同学们当天所筹集的善款y（元）与销售量x（个）之间的函数关系式（善款=销售额-成本）；（2）若要筹集不少于500元的慰问金，则至少要卖出玩具多少个？1、汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系式（）A、Q=5tB、Q=5t+40C、Q=40－5t（0≤t≤8）D、以上答案都不对2、如图中各图分别是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n(n＞1)个花盆，每个图案花盆的总数是s．按此规律推出，s与n的关系式是（）A、S=3nB、S=3（n-1）C、S=3n-1D、S=3n+13、某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平平方米的售价提高50元，售价y（元/米2）与楼层x（8≤x≤23，x取整数）之间的关系式为．4、一位卖报人每天从报社固定购买100分报纸，每份进价0.6元，然后以每份1元的价格出售．如果报纸卖不完退回报社时，退回的报纸报社只按进价的50%退款给他．如果某一天卖报人卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，试写出y与x的表达式．5、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm．（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？6、水管是圆柱形的物体，在施工中，常常如下图那样堆放，随着的增加，水管的总数是如何变化的？如果假设层数为n，物体总数为y．（1）请你观察图形填写下表，（2）请你写出y与n的函数解析式．7、某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定每个工人完成100个以内，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元．求一个工人：（1）完成100个以内所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（2）完成100个以上，但不超过200个所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式；（3）完成200个以上所得报酬y（元）与产品数x（个）之间的函数关系式．考点2、一次函数的应用例1、明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S（单位：m2）与工作时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是（）A、300m2B、150m2C、330m2D、450m2例2、如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省（）A、1元B、2元C、3元D、4元（例1）（例2）例3、如图，小明购买一种笔记本所付款金额y（元）与购买量x（本）之间的函数图象由线段OB和射线BE组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省元．例4、甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前3天完成任务；④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．正确的有______．（在横线上填写正确的序号）（例3）（例4）例5、为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x 的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．例6、某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？（3）若限定商店最多购进A型电脑60台，则这100台电脑的销售总利润能否为13600元？若能，请求出此时该商店购进A型电脑的台数；若不能，请求出这100台电脑销售总利润的范围．1、小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、如图1为深50cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，图2为容器顶部离水面的距离y（cm）随时间t（分钟）的变化图象，则（）B．放人的长方体的高度为30cmC．该容器注满水所用的时间为21分钟3、设甲,乙两车在同一直线公路上匀速行驶,开始甲车在乙车的前面,当乙车追上甲车后,两车停下来,把乙车的货物转给甲车,然后甲车继续前行,乙车向原地返回.设x秒后两车间的距离为y米,y关x于的函数关系如图所示,则甲车的速度是_______米/秒.4、某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用y（单位：元）与上网流量x（单位：兆）的函数关系的图象如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为0.29元，则图中a的值为．（3）（4）5、某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费，小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元。
第1讲 二次根式认识、性质形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件（（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
①、a a ≥≥00（） ②、()a a a 20=≥（）③、a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④、ab a b a b =⋅≥≥（，）00 ⑤、b a baa b =>≥（，）00考点1、二次根式概念例1、下列各式：1-其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1（2（3（4（5 （6例3)()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ） ①15 ②51 ③22b a + ④ b a2 ⑤bc ab 32⨯ ⑥215例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y •≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2018，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．o1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>y xC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
