人教版八年级下数学拔高精编讲义

八年级数学讲义目录专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xyg． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555555554444666666233322n ++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++L L 的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知12319961997,,,,a a a a a L 均为正数，又121996231997()()M a a a a a a =++++++L gL ，121997231996()()N a a a a a a =++++++L g L ，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )14．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++L L ．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=L（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----L 等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．41992（“希望杯”邀请赛试题）10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+L写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题3 和差化积----因式分解的方法（1）阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法：对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个． 6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题） （6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）15．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）．A ．4B ．5C ．16D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---．例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ .（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A . －1B ．－1或－7C ．1 D.1或7（江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题） (2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法．用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b +． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a 恰等于另一个自然数b 的立方，则称自然数a 为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a ＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a 是一个完全立方数． （北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a 分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a ，b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则x yy x+的值是( )． A ．2，122 B ．2 C ．122 D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )． A . －1 B ．0 C ．2 D ．17．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A . M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A . 388944B .388945C .388954D .388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）16．已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3．已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题） 4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10时，用上述方法产生的密码是：__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边，则444222222222a b c a b b c c a ++---的值( )．A .恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(太原市竞赛试题) 6．若x 是自然数，设4322221y x x x x =++++，则( )．A . y 一定是完全平方数B ．存在有限个x ，使y 是完全平方数C . y 一定不是完全平方数D ．存在无限多个x ，使y 是完全平方数 7．方程2223298x xy x --=的正整数解有( )组．A .3B ．2C ．1D ．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24xy x y -+=的整数解有( )组．A .2B ．4C ．6D .8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N ＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N 的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k ，a ，b 为正整数．k 被22,a b 整除所得的商分别为m ，16+m .(1)若a ，b 互质，证明22a b -与22,a b 互质；(2)当a ，b 互质时．求k 的值；( 3)若a ，b 的最大公约数为5，求k 的值．（江苏省竞赛试题）专题06 从地平面到脚手架------分式的运算阅读与思考分式的主要内容包括分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算、简单的分式方程等． 分式的运算与分数的运算类似，是以整式的变形、因式分解及计算为工具，以分式的基本性质、运算法则和约分为基础．分式的加减运算是分式运算的难点，解决这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分，通分通常有以下策略与技巧：1．分步通分，步步为营； 2．分组通分，化整为零； 3．减轻负担，先约分再通分； 4．拆项相消后通分； 5．恰当换元后通分， 学习分式时．应注意：(1)分式与分数的类比．整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不能看做是分式的特殊情形； (2)整式与分式的区别需要讨论字母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在． 分式问题比起整式问题，增加了几个难点； (1)从“平房”到“楼房”，在“脚手架”上活动；(2)分式的运算中多了通分和约分这两道技术性很强的工序； (3)需要考虑字母的取值范围， 例题与求解【例1】m ＝_________时，分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为0. （杭州市中考试题）解题思路：分母不为0时，分式有意义，分子与分母的公因式1m -就不为0．【例2】 已知1abc =，以2a b c ++=，2223a b c ++=，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为( )．A .1B ．12-C ．2D ．23- （太原市竞赛试题）解题思路：不宜直接通分，运用已知条件2a b c ++=，对分母分解因式，分解后再通分.【例3】计算：(1)322441124a a a b a b a b a b+++-+++ （武汉市竞赛试题）(2) 2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b+++--+++-+--+- （天津市竞赛试题）（3）33232322112(1)2212211x x xx x x x x x x-+++-+++-+--（赣州市竞赛试题）（4）22223322332223()2b a b aa b a bb a b a b aa b a b a b+++÷---+-（漳州市竞赛试题）解题思路：由于各个分式复杂，因此，必须仔细观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧；对于(4)，注意到题中各式是关于ba或ab的代数式，考虑设bxa=，ayb=，则1xy=，通过换元可降低问题的难度．当一个数学问题不能或不便于从整体上加以解决时，我们可以从局部入手将原题分解。

相似之面积问题（讲义）一、知识点睛●处理面积问题的三种方法1.公式法2.割补法（分割求和，补形作差）3.转化法（相似类、同底类、共高或等高类）利用常见结构进行转化是在复杂背景下处理面积问题的通常思路，在转化过程中需要结合背景的特点．动态背景：要抓住变化过程中所求面积不变的特征；函数背景：优先考虑公式法，或者割补之后采用公式法，也可结合几何特征进行转化；探索规律背景：根据结构特征确定第一项的处理办法，后续进行类比．●面积问题中的常见结构举例结构识别适用特征平行连通比例线段比相关结论面积比等于相似比的平方高相同或相等，面积比等于底之比两者联系在复杂背景下，这两种转化手段常常配合使用二、精讲精练1.如图，△ABC 的面积为63cm 2，D 是BC 上的一点，且BD :CD =2:1，DE ∥AC 交AB 于点E ，延长DE 到F ，使FE :ED =2:1，连接CF ，则△CDF 的面积为．2.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，G 为EC 的中点，连接DG 并延长交BC 的延长线于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积为_______．3.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =3CD ，对角线AC ，BD 交于点O ，中位线EF 与AC ，BD 分别交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的（）A ．12B ．13C ．14D ．474.如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1，4，则图中阴影部分的面积为_______．5.如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD ，BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP ∥BE ，且AP =BE （点P ，E 在直线AB 的同侧），若14BD AB，则△PBC 的面积与△ABC 的面积的比值是___________．6.如图，已知直线l 1：y =23x +83与直线l 2：y =-2x +16相交于点C ，直线l 1，l 2分别交x 轴于A ，B 两点，矩形DEFG 的顶点D ，E 分别在l 1，l 2上，顶点F ，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG :S △ABC =____________．7.如图，在等边△ABC中，D是边BC的中点，过D作DE∥AB交AC于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB 交AC于E1，连接BE1交AD于D2；过D2作D2E2∥AB交AC于E2，连接BE2交AD于D3；…，如此继续．若分别记△DEB，△D1E1B，△D2E2B，…的面积为S1，S2，S3，…，则S n=________S△ABC（用含n的代数式表示）．三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________。

最新人教版八年级数学上册及下册部分辅导讲义第1讲等腰三角形性质及判定【学习目标】1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.举一反三：EACF 【变式】已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，AC ＝BC ＝BD ，AD ＝AE ，DE ＝CE ，求∠B 的度数．类型二、等腰三角形中的分类讨论例2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．举一反三：【变式】已知等腰三角形的底边BC ＝8cm ，且|AC －BC|＝2cm ，那么腰AC 的长为( )． A ．10cm 或6cm B ．10cm C ．6cm D ．8cm 或6cm类型三、等腰三角形性质和判定综合应用例4、已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF并延长交AC 于点E ，∠BAD ＝∠FCD ． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．举一反三：【变式】如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ，E 是AB 的中点，CE ⊥BD ．(1)求证：BE ＝AD ；(2)求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；(3)△DBC 是等腰三角形吗?并说明理由．【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或17D ．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论正确的有( )①△BDF ，△CEF 都是等腰三角形； ②DE ＝DB ＋CE ；③AD ＋DE ＋AE ＝AB ＋AC ； ④BF ＝CF. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5. 如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒，则BDF ∠度数是（ ） A ．60° B．70° C．80° D．不确定6. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，若AD 、AE 三等分∠BAC ，则图中等腰三角形有 （ ） A ．4个 B ．5个 C ．6个 D ．7个二.填空题7．如图，△ABC 中，D 为AC 边上一点，AD ＝BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠CBD ＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为 ．9. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB ＝_________cm ． 10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.求证：EF平分∠AEB．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．最新人教版八年级数学上册及下册部分辅导讲义21N MFE D B CA EP QDCA B第2讲 等边三角形考点 方法 破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状。

[初二数学] 八年级下数学讲义全下册18讲后9讲讲义09 平行四边形的性质与判定1.平行四边形不一定具有的性质是( )A.对边平行B.对边相等C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分2.下列说法正确的是（）．A．有两组对边分别平行的图形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的对边平等且相等3.在四边形ABCD中，从（1）AB∥ CD，（2）BC ∥ AD （3）AB=CD（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A 3种B 4种 C5种 D 6种4.若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）A. 36°B. 108°C. 72°D. 60°6.平行四边形的周长为24cm，相邻两边长的比为3：1，•那么这个平行四边形较短的边长为（）．A. 6cmB. 3cmC. 9cmD. 12cm7.在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则能通过旋转达到重合的三角形有（）．A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对8.一个平行四边形的两条邻边的长分别是4cm和5cm，它们的夹角是30°，这个平行四边形的面积是（）．A．10cm2 B．103cm2 C．5cm2 D．53cm29.如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边形ABCD满足条件______时，△PBA 的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可）．10.如图，在ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于点E ．若AB=16cm ，AD=25cm ，则BE=______，EC=________．11.平行四边形两邻角的平分线相交所成的角为________12.已知AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是__________________（•填一个你认为正确的条件）13.一个四边形的边长依次是a 、b 、c 、d且 ，则这个四边形的形状为；其理由是 .14.ΔABC 的三条边为4cm 、5cm 和7cm ，分别以ΔABC 的任意两边为边做平行四边形，这样的平行四边形能做几个？ ；它们的周长分别为：15.如图：平行四边形ABCD 的周长为32cm ，一组邻边AB ：BC ＝3:5，∠B ＝600，E 为AB 边上的任意一点，则ΔCED 的面积为 .16.若一个平行四边形的一边长是8，一条对角线bdac d c b a 222222+=+++长是6，则它的另一条对角线长x的取值范围是17.如图，口ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 .18.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是__________19.如图：平行四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BE＝DF，判断四边形AECF的形状，并说明理由.20.如图,平行四边形ABCD中,AB=5cm, BC=3cm,∠D与∠C的平分线分别交AB于F,E, 求AE, EF,BF的长?F21.如图所示：ΔABC中，D为BC边的中点，F、E分别为AD及其延长线上的点，且CF∥BE.（1）说明：ΔBDE≌ΔCDF；（2）连结BF、CE，试判断四边形BECF的形状，并说明理由.22.如图：ΔABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，∠EFB＝∠C，判断BE与FC的数量关系，并说明理由.23.如图：平行四边形ABCD，在AB的延长线上截取BE＝AB，BF＝BD，连结CE、DF交于G点，试说明：CD＝CG。

勾股定理（手拉手模型）专题知识点睛旋转结构（手拉手模型）：等线段共端点，借助全等整合条件．常见手拉手模型举例如图，△ABC，△ADE均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE．精讲精练1.如图，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．若AD=5，BD=12，求DE的长．2.如图，已知CA=CB，CF=CE，∠ACB=∠FCE=90°，且A，F，E三点共线，AE与CB交于点D．（1）求证：AF2+AE2=AB2；（2）若ACBE=3，则CE=_________．EDCB AEDCBAEDABA BCDEF3. 如图，△ABC 和△DBE 都是等腰直角三角形，点D 在AC 上，其中∠ABC =∠DBE =90°．（1）当AB =5，AD :DC =2:3时，求DE 的长；（2）当点D 在线段AC 上运动时（D 不与A 重合），请写出一个反映DA 2，DC 2，DB 2之间的等式，并加以证明．4. 已知：如图，在△ABC ，△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下五个结论：①BD =CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE +∠DBC =45°；④BE 2=ED 2+EC 2； ⑤BE 2=2(AD 2+AB 2)，其中结论正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55. （1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图1，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 是△ABC 内的一点，且P A =3，PB =1，PC =2，求∠BPC 的度数．小强在解决此题时，是将△APC 绕C 旋转到△BEC 的位置（即过C 作CE ⊥CP ，且使CE =CP ，连接EP ，EB ）．你知道小强是怎么解决的吗？请写出过程． （2）请根据（1）的思想解决以下问题：如图2所示，设P 是等边△ABC 内一点，P A =3，PB =4，PC =5，直接写出∠APB 的度数为__________．EDCBAABCD E图1ABCEP图2ABCP6. 阅读下面的材料：（1）如图1，在等边三角形ABC 内，点P 到顶点A ，B ，C 的距离分别是3，4，5，则∠APB 等于多少度？由于P A ，PB ，PC 不在同一三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°到△ACP′处，连接PP′，就可以利用全等的知识，进而将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB 的度数．请写出（1）的解答过程．（2）请你利用第（1）题的方法解答：如图2，△ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，E ，F 为BC 上的点，且 ∠EAF =45°，求证：BE 2+FC 2=EF 2．7. （1）如图1，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，请你完成图形，并证明：BE =CD ．（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图2，已知△ABC ，以AB ，AC 为边向外作正方形ABFD 和正方形ACGE ，连接BE ，CD ，BE 与CD 有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得∠ABC =45°，∠CAE =90°，AB =BC =100米，AC =AE ，求BE 的长．ABCPP′图1AB C图2E F 图1CBA图2CBEADGF图38. 已知∠ACD =90°，AC =DC ，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB ⊥MN 于点B ，连接CB ．（1）问题发现如图1，过点C 作CE ⊥CB ，与MN 交于点E ，则易发现BD 和EA 之间的数量关系为________________，BD ，AB ，CB 之间的数量关系为_________； （2）拓展探究当MN 绕点A 旋转到如图2的位置时，BD ，AB ，CB 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明； （3）解决问题当MN 绕点A 旋转到如图3的位置时（点C ，D 在直线MN 两侧），若此时∠BCD =30°，BD =2，则CB =______．图1图2图3NMEDCB ANM DCBA NMDCBA9.已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC=1，P A，则：①线段PB=______，PC=______；②猜想：P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为__________________．（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P满足13PAPB=，求PCAC的值．（提示：请利用备用图进行探求）图1图2QPCBAABCPQABC10. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边BC ，CD上，∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（1）思路梳理 将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△ADG ，使AB 与AD 重合，由∠B +∠ADC =180°，得 ∠FDG =180°，即F ，D ，G 三点共线，易证△AFG ≌_______，故EF ，BE ，DF 之间的数量关系为_______________．（2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E ，F 由原来的位置分别变到四边形ABCD 的边CB ，DC的延长线上，∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展 如图3，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45°，若BD =1，EC =2，则DE 的长为_________．图1 图2 图3GFE DCB AF E D C BAEDC BA。

初中数学《统计、概率、数据》培优拔高（奥数）专题讲义阅读与思考现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.例题与求解【例l 】 在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题： （1）该班有________名学生.（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________. （3）请估算该班这次测验的平均成绩.（黄冈市中考试题）解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.【例2】 某学生通过先求x 与y 的平均值，再求得数与z 的平均值来计算x ，y ，z 三个数的平均数.当z y x <<时，这个学生的最后得数是（ ）A .正确的B .总小于AC .总大于AD .有时小于A ，有时等于AE .有时大于A ，有时等于A（第二届美国中学生邀请赛试题）解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.【例3】 某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min 的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）； 乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12； 丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15． 根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min 跳绳次数的平均值．（安徽省中考试题）解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.（每组数据含左端点值不含右端点值）【例4】 编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移至篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A 中有多少个弹珠？ （第十六届江苏竞赛试题）解题思路：用字母分别表示篮子A ，B 中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？（全国初中数学联赛试题）解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.能力训练A级1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.（大连市中考试题）2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有___________人．（江苏竞赛试题）3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 所以应确定_______去参加射击比赛.4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x ，6，4，若这组数据 的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.（包头市中考试题）5.如果一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是x ，则另一组数据1x ，12+x ，23+x ，34+x ，45+x 的平均数是（ ）A .xB .2x +C .52x +D .10x + （天津市中考试题）6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为a ，众数为b ，中位数为c ，那么（ ）A . c b a <<B .a c b <<C .b c a <<D .c a b <<（宁夏中考试题）7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的 是（ ）A ．7 000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．500名学生是样本D ．样本容量为5008.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为12549，则未取的数字是（ ） A ．20 B ．28 C ．72 D ．78（台湾省中考试题）9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示： （1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.第五次第四次第三次第二次16151413121110第一次次数得分甲：乙：（安徽省中考试题）10.某校要从九年级（1）班和（2）班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的女生身高如下：（单位：厘米）（1）班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170 （2）班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167 （1）补充完成下面的统计分析表（2）请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取.（2013宁夏回族自治区中考试题）11.为估计一次性木质筷子的用量，2011年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本.这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6，3.7，2.2，1.5，2.8，1.7，1.2，2.1，3.2，1.0.（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子（每年按350个营业日计算）； （2）2013年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒．求该县2012年、2013年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2012年该县饭店数、全年营业天数均与2011年相同）； （3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.073m ，求该县2013年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅?计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5g ，所用木材的密度为0.5×1033/m kg ； （4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．12.由9位裁判给参加健美比赛的12名运动员评分.每位裁判对他认为的第1名运动员给1分，第2名运动员给2分，…，第12名运动员给12分，最后评分结果显示：每个运动员所得的9个分数中高、低之差都不大于3.设各运动员的得分总和分别为1c ，2c ，…，12c ，且1221c c c ≤≤，求1c 的最大值.(第十九届江苏省竞赛试题)B 级1.为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A 、测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B 、查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C 、在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关年级的（1）班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．问：（1）为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选________；理由：______________________________________________________________ （2）下表中的数据是使用了某种调查方法获得的：初中男生身高情况抽样调查表（注：每组可含最低值，不含最高值） ①根据表中的数据填写表中的空格； ②根据填写的数据绘制频数分布直方图．193183173163153143（上海市中考试题）2.其中1a ，2a ，3a ，…，8a 是从小到大排列的两位数，且每个两位数与它的反序数（12的反序数是21）之和都为完全平方数，样本的方差是________.（辽宁锦州市竞赛试题）3.五名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b 米，前两名的平均身高为c ，后三名的平均身高为d ，则2b a +与2dc +比较（ ） A .2b a +大 B .2dc +大 C .两者相等 D .无法确定 （“五羊杯”邀请赛试题）4.已知数据1x ，2x ，3x 的平均数为a ，1y ，2y ，3y 的平均数为b ，则数据1132y x +，2232y x +，3332y x +的平均数为（ ）A .b a 32+B .b a +32C .b a 96+D .b a +2 （全国初中数学竞赛试题）5.小林拟将1，2，…，n 这n 个数输入电脑，求平均数.当他认为输入完毕时，电脑显示只输入)1(-n 个数，平均数为7535，假设这)1(-n 个数输入无误，则漏输入的一个数是（ ） A .10 B .53 C .56 D .67（江苏省竞赛试题）6.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC =120mm ，高AD =80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．设该矩形的长QM =y mm ，宽MN =x mm ． （1）求证：x y 23120-=； （2）当矩形PQMN 的面积最大时，它的长和宽是关于t 的一元二次方程0200102=+-q pt t 的两个根，而p 、q 的值又恰好分别是a ，10，12，13，b 这5个数据的众数与平均数，试求a 与b 的值．（广西壮族自治区中考试题）ENC MD Q B PA7.某班参加一次智力竞赛，共a ，b ，c 三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题a 满分20分， b 、c 题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a 的人数与答对题b 的人数之和为29；答对题a 的人数与答对题c 的人数之和为25；答对题b 的人数与答对题c 的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少.（全国初中数学联赛试题）8.元旦联欢会某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小敏测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1）把上表中x 、y 想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m ，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？（济南市中考试题）9.某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1～10中的正整数）．（1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？（2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？（3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？（山东省中考试题）10.“中国梦”关乎每个人的幸福生活.为进一步感知我们身边的幸福，展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：请根据上表提供的信息，解答下列问题：（1）表中的x的值为________，y的值为_______；（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率．（2013年成都市中考试题）。

初中数学《和差化积----因式分解的方法》培优、拔高（奥数）专题讲义阅读与思考提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1．换元法： 对一些数、式结构比较复杂的多项式，可把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新字母代替，从而可达到化繁为简的目的．从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元时有一元代换、二元代换等． 2．拆、添项法：拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，因式分解中进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法分解．例题与求解【例l 】分解因式()()=-++++122122x x x x ___________．（浙江省中考题）解题思路：把()x x +2看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构．【例2】观察下列因式分解的过程： （1）y x xy x 442-+-；原式＝()()()()()()44442+-=-+-=-+-x y x y x y x x y x xy x ；（2）bc c b a 2222+--．原式＝()()()()c b a c b a c b a bc c b a +--+=--=-+-222222．第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式． 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bc ac ab a -+-2；（西宁市中考试题）（2）yz z y x 44222+--．（临沂市中考试题）解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验－－失败－－再试验－－再失败－－直至成功”的过程．【例3】分解因式（1）1999)11999(199922---x x ；（重庆市竞赛题）（2）()()()()112-+++++xy xy xy y x y x ；（“缙云杯”邀请赛试题）（3）()()()33322y x y x -----．（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：（1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示；（2）式中y x +、xy 反复出现，可用两个新字母代替，突出式子的特点；（3）式中前两项与后一项有密切联系．【例4】把多项式34222----y x y x 因式分解后，正确的结果是（ ）．A ．()()13--++y x y xB ．()()31+--+y x y xC ．()()13+--+y x y xD ．()()31--++y x y x（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．【例5】分解因式： （1）15++x x ；（扬州市竞赛题）（2）893+-x x ；（请给出多种解法）（“祖冲之杯”邀请赛试题）（3）1232234++++a a a a ．解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略．【例6】分解因式：611623+++x x x ．（河南省竞赛试题）解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法．能力训练A 级1．分解因式： （1）2341x x x -+＝___________________________． （泰安市中考试题）（2）33164mn n m -＝__________________________．（威海市中考试题）2．分解因式：（1）xy y y x x 2)1()1(-++-＝_________________________； （2）8)3(2)3(222-+-+x x x x ＝_____________________________． 3．分解因式：32422+++-b a b a ＝____________________________． 4．多项式a ax 83-与多项式442+-x x 的公因式是____________________．5．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有_______个．6．将多项式yz z y x 1294222---分解因式的积，结果是（）．A ．)32)(32(z y x z y x ---+B ．)32)(32(z y x z y x +---C ．)32)(32(z y x z y x -+++D ．)32)(32(z y x z y x --++ 7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）．A ．2727923-+-x x x B ．272723-+-x x x C ．272734-+-x x x D ．279323-+-x x x（“希望杯”邀请赛试题）8．把44+a 分解因式，其中一个因式是（ ）．A ．1+aB ．22+aC ．42+aD ．222+-a a 9．多项式abc c b a 3333++-有因式（ ）．A ．b a c -+B ．c b a ++C ．ab ac bc c b a -+-++222 D ．ab ac bc +-（“五羊杯”竞赛试题）10．已知二次三项式10212-+ax x 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．A ．a 一定是奇数B ．a 一定是偶数C ．a 可为奇数也可为偶数D ．a 一定是负数 11．分解因式：（1）13322)132(222-+-+-x x x x ； （2）90)384)(23(22-++++x x x x ；（3）1724+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （4）65223--+x x x ； （重庆市竞赛试题） （5）444)(y x y x +++；（6）2)1)(13)(12)(16(x x x x x +----．12．先化简，在求值：2)()(2b a b a a +-+，其中 2008=a ，2007=b ．B 级1．分解因式：344422-+--y y x x ＝_______________．（重庆市竞赛试题）2．分解因式：)5()4)(3)(2)(1(++++++x x x x x x ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x ＝_________________________．（“希望杯”邀请赛试题）4．分解因式：15-+x x ＝______________________．（“五羊杯”竞赛试题）5．将145++x x 因式分解得（）．A ．)1)(1(32++++x x x x B ．)1)(1(32+++-x x x x C ．)1)(1(32+-+-x x x x D ．)1)(1(32+-++x x x x（陕西省竞赛试题）6．已知c b a ,,是△ABC 三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，则此三角形是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 7．613223+-+x x x 的因式是（ ）．A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+x E. 12+x（美国犹他州竞赛试题）8．分解因式：（1）2)1()2)(2(ab b a ab b a -+-+-+； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）19991998199924+++x x x ； （江苏省竞赛试题） （3）22212)16)(1(a a a a a ++-++； （陕西省中考试题） （4）153143+-x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （5）333)(125)23()32(y x y x y x ---+-； （“五羊杯”竞赛试题）（6）6121444234++--x x x x ． （太原市竞赛试题）9．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+ ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）10．分解因式： （1）x x x 27623-+； （2）123--+a a a ；（3）xy y x x y x ++--)7()2(822．11．对方程20042222=++b a b a ，求出至少一组正整数解．（莫斯科市竞赛试题）12．已知在△ABC 中，),,(010616222是三角形三边的长c b a bc ab c b a =++--， 求证：b c a 2=+．（天津市竞赛试题）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（天津市竞赛试题）（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．（北京市竞赛试题）5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（ ）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题）8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）x,，下列的值都不会等于33．12．证明：对任何整数y3512245243x+yx+-x+-3y1545xyxyy（莫斯科市奥林匹克试题）。

八年级数学下册同步拔高（综合+强化）人教版勾股定理应用-折叠专题一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠ADC=30°，将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，若BC=4，则BC′的长为（）A.B.C.4D.3答案：A解题思路：因为BC=4，AD为BC边的中线，所以BD=CD=2，因为△ADC沿AD折叠，使C 点落在C′的位置，所以C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°，∠BDC′=120°，所以在等腰三角形BDC′中，通过作高线可以得到BC′=试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用2.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为（）A.18cmB.36cmC.40cmD.72cm答案：B解题思路：如图，点G和点H关于EF对称，则可以得到FG=FH，GD1=DH，AE=A1E，AD=A1D1，所以阴影部分的周长刚好等于矩形的周长，等于36cm试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用3.如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A′处，已知OA=2，AB=1，则点A′的坐标是（）A.B.C.D.答案：A解题思路：如图，因为矩形OABC沿OB对折，使点A落在A′处，所以OA=OA′=2，AB=A′B=1，在直角△OCE 中，设OE=EB=x，则CE=2-x，由勾股定理得，x=，在直角△EBA′中，由等积变换可以得到A′F==，则A′D=，由OA′=2，可以得到OD=，所以点A′的坐标为试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用4.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕，AB=8，AD=4，则四边形ECGF的面积为（）A.6B.10C.12D.16答案：D解题思路：因为将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕，所以CE=AE，DF=FG，AD=CG=4，∠AEF=∠CEF，又因为∠CFE=∠FEA，所以CF=CE，在直角△CEB中，设AE=CE=x，则BE=8-x，根据勾股定理得，，解得x=5，即CE=CF=5，DF=FG=3，梯形ECGF的面积就是（3+5）×4÷2=16试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用5.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：因为△ADE沿AE对折至△AFE，所以AD=AF=AB，∠D=∠AFE=90°=∠B，所以在直角△ABG和直角△AFG中，AG=AG，AB=AF，所以△ABG≌△AFG，①正确；因为正方形的边长为6且CD＝3DE，可以得到CE=4，DE=2；设BG=GF=x，则CG=6-x，GE=2＋x，在直角△CGE中应用勾股定理，可以得到，则x=3，即BG=GC=3，②正确；因为GF=GC，所以∠GCF=∠GFC，即∠FGC＋2∠FCG=180°，又因为∠FGC＋2∠AGB=180°，所以∠GCF=∠BGA，即AG∥CF，③正确；因为△ECG的面积为6，而△FCG和△FCE的高一样，底之比为3:2，所以△FCG的面积为6÷5×3=3.6，④错误，正确的结论共有3个试题难度：三颗星知识点：勾股定理的应用。

实数与二次根式拔高讲义重难点：1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.二次根式(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．4.二次根式乘除法的规定及其运用．5.二次根式的加减运算．模块一实数的概念及其分类1．实数的概念实数：有理数和无理数的统称． 2．实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数【例1】 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中错误的说法的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【难度】1星 【解析】略． 【答案】A【例2】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ． 【难度】1星 【解析】略．；．模块二 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，记作方根，负数没有平方根，0的平方根是0．算术平方根：正数a 0的算术平方根为0．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．【例3】 设a a 的值是 ． 【难度】1星【解析】20225,5a =⨯⨯∴=Q ． 【答案】5【例4】 已知2a -的平方根是3±，27a b ++的立方根是2，求a b +的算数平方根． 【难度】2星【解析】22(3),11a a -=±∴=Q ；3272a b ++=Q 且11a =，21b ∴=-，模块三 二次根式的基本概念及化简二次根式概念0a ≥）的式子叫做二次根式．二次根式的基本性质：（10（0a ≥）双重非负性；（2）2a =（0a ≥）；（3）(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.【例5】 已知a ）A ．aB ． a -C ．1-D ．0【难度】１星 【解析】略 【答案】D【例6】 若 ab 0≠，则等式成立的条件是 ． 【难度】1星【解析】=，即=故33b b =-，因此0b <，Q 0ab ->，0a ∴> 【答案】0a >，0b <．【例7】 如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≤ B ．2x ≥ C ．12x ≤≤ D ．0x > 【难度】1星 【解析】略 【答案】B【巩固】当x 时，．【难度】２星【解析】对二次根式定义的考察，通过观察可以发现2224(1)330,x x x -+=-+≥>∴要使22403x x x -+≥-，30x ->即可，3x ∴>．【答案】3>【巩固】如果式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A B C ． D ． 【难度】1星 【解析】略 【答案】C【例8】 化简：（11x-其中12x <<（2b a - 【难度】1星【解析】（1）a 可知，化简二次根式的一个有效方法是配方去掉根号，所以原式121x x x -=-+- ， Q 12x <<，∴原式211x x =-+-=．（2）0a b -≥，所以,a b b a a b =--=-．原式a b a b a b a b =--++-=-【答案】（1）1；（2）a b -．模块四 二次根式的运算(0)a ≥叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．（1）((0)a b c =±≥ ；（20,0)a b =≥≥；（3=(0,0)a b ≥>（4）2(0)a =≥ ．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．【例9】 已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ． 【难度】1星【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．由题可知：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩．【答案】6总结：二次根式有如下重要性质：（1）0，a 、2n a 一样都是非负数；（2）2(0)a a =≥，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；（3）2a =，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．【例10】，所得的结果为（ ） A ．1111n n +++ B ． 1111n n -++ C ．1111n n +-+ D ．1111n n --+ 【难度】1星【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．111n n n +==-+=1111n n +-+．【答案】C【例11】计算：（1（2（3+L（4【难度】2星【解析】若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．（1）原式===+=（2）原式====--=5；(5（3）考虑一般情形12==原式11113()22177=+++=-=L ；（4）原式====．【答案】（12）5；（3）37；（4）-模块五 化简求值【例12】 已知152a b c +--，求a b c ++的值．【难度】1星【解析】已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]22]29]02-+-⋅+-⋅=即22211)2)]3)02++=，10=，得2a =20=，得6b =30-=，得12c =． 故261220a b c ++=++=．【答案】20【例13】 的整数部分为m ，小数部分为n ，求2212m mn n ++的值．【难度】2星【解析】本题采用了整体代入的数学思想．=，又23<所以,22n m ==-即,1m n mn +==故原式23()2m n mn =+-231)52=-⨯=．【答案】5【例14】 已知x =，求代数式235x x +-的值． 【难度】2星【解析】本题采用了配方的数学思想．由x =1，得1x +=故原式22(1)(1)775x x =+++-=+=．5【例15】 已知x =，求代数式21xx +的值．【难度】2星【解析】本题采用了倒数法解题．化简1x =，11x所以 211x x x x +=+ 1)1)=+=故原式==【例16】 若0m >，0n >=的值．【难度】3星【解析】由已知等式，可得150m n +=即 0= 又因为0m >，0n >0>0，得9m n =，故原式=222299n n ==． 【答案】229【例17】 若x =，求341x x x x ++=的值．【难度】1星【解析】设y 11xy y x =+=， 故原式3224331x x xy x y x x x x x +++++===2111x x xy y xx x x x+++=====【答案】1【例18】()f x =(1)(3)(2011)f f f +++L 的值；【难度】3星【解析】注意到2222331()()a b a ba ab b a ab b a b a b --==++++--，原()f x 可化为：()f x =12==故(1)(3)(2011)f f f +++L 12=+++L12==模块六 多重二次根式双重二次根式：次根式．多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法．【例19】【难度】3星【解析】（1）原式=（2）原式2【答案】（122．【例20】 化【难度】3星【解析】（1）原式=；（2）原式【答案】（12【巩固】 化简：（1 （2【难度】3星【解析】（1）原式12===； （2）这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．原式3 ==【答案】（1）12；（2）3-．【例21】【难度】3星【解析】设原式x=(0)x>，则2(4(4x=++2881)61)=+=+=+0,x>∴Q原式1+．1【巩固】【难度】3星【解析】被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，平方得来的，因此用待定系数法来化简．两边平方得13x y z+=++=所以135735x y zxyyxzx++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩解得517xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，原式=1+【答案】1+【例22】【难度】3星【解析】用构造方程的方法来解．设原式为x ，利用根号的层数是无限的特点，有x =两边平方得22x =，即22x -=两边再平方得42442x x x -+=+，所以42420x x x --+=观察发现，当x ＝1-，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(1)(2)x x +-，将方程左端因式分解，有 2(1)(2)(1)0x x x x +-+-=所以1,2,x x x =-==，又因为02x <<，所以1,2,x x x =-==去．所以x =，所以，原式=．【例23】 若[]a 表示实数a的整数部分，则⎡⎤等于（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4．【难度】3星==，13,23,2<∴<<∴=Q．【答案】B【例24】【难度】3星【解析】原式=13+--L312=-=．【答案】2【巩固】求【难度】3星【解析】本体的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味的蛮算．设根号内的式子为A，注意1=2-1，及平方差公式22()()a b a b a b+-=-，所以A=(2-1)248256(21)(21)(21)(21)(21)1++++++L224825644825625625622562256(21)(21)(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1(21)(21)12112⨯⨯=-+++++=-++++==-++=-+=LLL所以，原式=224=．【答案】4模块七与二次根式有关的最值问题【例25】的最小值为（）A．0B．1C．1D．不存在的【难度】2星【解析】本题是借用取值范围求最值．由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负所以0,10,20≥-≥-≥x x x解得2x≥被开方数越小，算术平方根的值就越小所以当2x=时1+B【答案】B【例26】设x、y y=，则y的最大值是．【难度】1星【解析】本题采用了因式分解与枚举法结合求最值得方法．因为x、y是正整数，又x在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再相机处理之．=a ba，b为正整数则22=+=-x a x b116,10022∴+=-116100a b即223321623b a -==⨯因式分解得：33()()23b a b a +-=⨯ 而b a +、b a -奇偶性相同，右边是偶数 所以b a +、b a -同为偶数 且b a b a +>-23322223;23;232;2;23b a b a ⎧+=⨯⨯⨯⎪∴⎨-=⨯⎪⎩解得55;29;2153;25;15b b =⎧⎨=⎩所以1085436y =，，， 故max 108y =．【答案】108【例27】 若2220x y +=的最大值是___________． 【难度】1星【解析】本题借用基本不等式求最值．本题是条件最值问题，变量x 、y 需满足一定的条件．先采取变量换元．a =b = ,0(0)b a ≥≥ 则222211,23x a y b -=-= 两式相加得222234x y a b --=+ 因为2220x y += 所以2214a b += 2()142a b ab +=+由基本不等式知22214ab a b ≤+=，当且仅当a b =时，ab 达到最大，即2212y x -= 又2220x y += 解得216y =且24x =【答案】【例28】 若0x ≠_____________．【难度】3星【解析】本题采用倒数法求最值． 易知原式取最大值须满足0x >===由此可知，当10x x-=（即1x ==【例29】 实数a 、b1032b b =-+--，则22a b +的最大值为 ___________．【难度】3星a 把原条件等式等价转化为：163210a a b b -+-+++-=由绝对值的性质16(1)(6)5a a a a -+-≥---= 32(3)(2)5b b b b ++-≥+--=所以163210a a b b -+-+++-≥ 此等号成立的条件为：16,32a a ≤≤-≤≤所以当6,3a b ==-时，22a b +达到最大值，其值为45．【答案】45【例30】函数()f x _____________． 【难度】1星【解析】本题采用了数形结合求最值．首先易知要使()f x 取得最小值，显然x 应大于零．如图，作线段AB ＝4，AC ⊥AB ，DB AB ⊥，且1AC =，2BD =，对于AB 上的任一点O ，令OA x =则OC OD ，那么，问题转化为在AB 上求一点O ，使OC OD +最小． 设点C 关于AB 的对称点为E则DE 与AB 的交点即为点O ， 此时，OC OD OE OD DE +=+=4 - xxOFEDCBA作EF //AB 与DB 的延长线交于F在Rt DEF ∆中，易知4EF AB ==，3DF =． 所以5DE =．因此，函数22()1(4)4f x x x =++-+的最小值为5．【答案】5【练习1】若x x +=-11，则2(1)x -等于（ ） A ．1x - B ．1x - C ．1 D ．1- 【难度】2星 【解析】略 【答案】B【练习2】计算：下列三个命题：①若α，β是互不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数； ②若α，β是互不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数； ③若α，β是互不相等的无理数，则3αβ+是无理数． 其中正确命题的个数是( )A ． 0B ．1C ．2D ．3【难度】2星课堂检测【解析】①1)1)1)]123++-=+=是有理数；②13==是有理数； 0=是有理数． 【答案】 A【练习3】 已知x ，求32353x x x +-+的值．【难度】2星【解析】由条件得2x ，即 2x +=两边平方并整理得 2410x x +-= 故原式322(4)(41)2x x x x x =+--+-+ 22(41)(41)22x x x x x =+--+-+=【答案】2【练习4】计算：+L【难度】2星===故原式19(111010=+++=-=L ．【答案】9 10【练习5】已知：333200220032004,0,x y z xyz==>求111x y z++的值．【难度】3星【解析】设333200220032004x y z==3k=(0)k>则332002kx=，3333,20032004k ky z==，==，Q，k∴=，Q332002kx=，3333,20032004k ky z==，111,,x y z∴==∴111x y z++．课后作业1. 计算200120001999--+= ．1)1)1)2011【难度】2星【解析】原式199921)1)1)13]2011=-+-+199921)11)3]20112011=--+=【答案】20112.【难度】3星【解析】原式3【答案】33. （1（2【难度】2星【解析】（1=22===；（2=1)1)==1)1)==1)1)3)1)1-+-=．【答案】（12；（2）1.4. （111aab ab=+-+；（21 2000．【难度】3星【解析】（1）因为2111222()221111a a a a ab aaab b ab ab b ab b b++⋅=+==++++，所以原式左边===右边（2） 设1999a =，则原式1111a a ==-++1111a a -++1111a a =-++21111999111a a a a a a ++-=-==+++．【答案】（1）因为2111222()221111a a a a ab aa ab b ab ab b ab b b++⋅=+==++++，所以原式左边===右边（2）1999．5. 若1a ，计算共有2011层112121212a⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪+⎪+⎪++⎪⎪+⎩L的值．【难度】3星【解析】先计算几层，看一看有无规律可循．11,1aa∴=Q，12121aa∴++=+=，112a∴+11a=，所以，不论多少层，原式11a=．16. 海伦与秦九韶公式，如果一个三角形的边长分别为a，b，c，设2a b cp++=，则面积公式为s=几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中给出了这一公式的证明．我国南宋时期数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”s=（1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【难度】3星【解析】（1）s =⨯-+-14575782222222[()]=-==125715248103222()又p =++=1257810()， ∴=---=⨯⨯⨯=s 10105107)(10810532103()() （2） 142222222[()]a b abc -+- =++--+-1422222222()()a b a b c a b a b c=--⋅+-1162222[()][()]c a b a bc =+--++++-=--⋅⋅-=---1161162222222()()()()()()()()()()c a bc a ba b c a b c p a p b p p c p p a p b p c ．【答案】（1）①；②（2） 142222222[()]a b abc -+- =++--+-1422222222()()a b a b c a b a b c=--⋅+-1162222[()][()]c a b a bc=+--++++-=--⋅⋅-=---1161162222222()()()()()()()()()()c a bc a ba b c a b c p a p b p p c p p a p b p c ∴-+-=---142222222[()]()()()a b a b c p p a p b p c．。

八年级数学下册同步拔高（综合+强化）人教版中位线定理一、单选题(共10道，每道10分)1.（2011广东）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC地中点，若DE=5，则BC=（）A.6B.8C.10D.122.已知三角形地三条中位线分别为3cm，4cm，6cm，则这个三角形地周长是（）A.26cmB.13cmC.23cmD.22cm3.（2011江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC地中点.若DE=5，则AB地长为（）A.7B.9C.10D.114.（2010威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB地中点，连接BD.若BD平分∠ABC，则下列结论错误地是（）B.∠A=∠EDAC.BC=2ADD.BD⊥AC5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，AD=a，EF=b，则BC地长是（）A.2bB.2aC.2b-aD.2b+a6.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AE⊥BC于点E，AE=AD=2cm，则这个梯形地中位线长为（）cm.A.2B.4C.5D.87.等腰梯形中，已知一个底角是45°，高为h，中位线长为m，则梯形地上底长是（）A.2m-hB.m-hC.2m-2hD.m-2h8.下面有三种说法：①任意四边形两组对边中点地连线互相平分；②任意三角形地一条中位线与第三边上地中线互相平分；③梯形地两条对角线可能互相平分.正确地是（）A.①②③B.①②C.①③D.②③9.顺次连结等腰梯形各边中点所得地四边形一定是（）A.菱形C.矩形D.等腰梯形10.（2011浙江）如图，边长为4地等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED地面积为（）A.B.C.D.。