人教版初二数学下册同步精编讲义

第1讲二次根式

知识点1 二次根式的概念

二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意：①“”称为二次根号；

②a（a≥0）是一个非负数．

【典例】

【题干】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

【方法总结】

本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可．

【随堂练习】

1．（2018春•滨江区期末）当a=﹣3，则=____．

2．（2018春•东西湖区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n是____．

知识点2 二次根式有意义的条件

二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．

【典例】

1.若代数式有意义，则x满足的条件是______________．

【方法总结】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围．注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零．

【随堂练习】

1．（2018春•汶上县期末）若已知a、b为实数，且+2=b+4，则a+b= ___．

2．（2018春•瑶海区期中）若在实数范围内有意义，则x_____．

3．（2018春•黄陂区期中）若x，y为实数，y=，则4y﹣3x的平方根是____．

知识点3 二次根式的性质与化简

二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①≥0；a≥0（双重非负性）．

②=a（a≥0）．

③=|a|=

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=•(a≥0，b≥0)，=(a≥0，b＞0)

（3）化简二次根式的步骤：

①把被开方数分解因式；

②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；

③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【典例】

1.实践与探索

（1）填空：=_______；=______；

（2）观察第（1）的结果填空：当a≥0时=___；当a＜0时，=____；（3）利用你总结的规律计算：+，其中2＜x＜3．

【方法总结】

本题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握=|a|=，进而化简求出即可．

【随堂练习】

1．（2018春•金乡县期中）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=，则把x±2变成m2+n2±2mn=（m±n）2开方，从而使得化简．

例如：化简

解：∵3+2=1+2+2=12+（）2+2×1×=（1+）2

∴==1+；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．

2．（2018春•新罗区校级月考）实数a在数轴上的位置如图，化简|a﹣2|+．

3．（2017秋•延庆县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a 且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．

例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2

∴==+

请你仿照上例将下列各式化简

（1）（2）．

知识点4 二次根式的乘除法

1．最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．

2．二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）

规律方法总结：

在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b ＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．

3．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

例如：①==；②==．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．

【典例】

1.下列二次根式中，为最简二次根式的是（）

A. B. C. D.