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余弦函数图像与

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余弦函数的图像及性质

余弦函数的图像及性质
§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .

正弦函数、余弦函数图像与性质

正弦函数、余弦函数图像与性质

x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(

余弦函数图像与性质

余弦函数图像与性质

定义编辑角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。

记作cos=x/r。

余弦是三角函数的一种。

它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。

余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

2定理编辑简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

（见解三角形公式，推导过程略。

）性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。

两根判别法若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2）=2，则有两解；②若m(c1,c2）=1，则有一解；③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

角边判别法1、当a>bsinA时①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；⑤当b<a时，则有一解2、当a=bsinA时①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）3证明方法编辑平面向量证法∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b）·（a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-CosC∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC即CosC=同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。

正弦余弦函数的图象

正弦余弦函数的图象
陈经纶中学
高一备课组
复习
y r=1 α O M P(x,y)
y＝sinα= MP (正弦线 正弦线) 正弦线
x
y＝cosα=OM (余弦线 余弦线) 余弦线
正弦函数、 正弦函数、余弦函数
y=sinα y=sin x
一般地，我们用x表示自变量，即x表示角的大小， 表示自变量， 表示角的大小， 一般地，我们用 表示自变量 表示角的大小 表示函数值， 用y表示函数值，这样，我们就定义了任意角的 表示函数值 这样， 正弦函数y=sinx，其定义域为 正弦函数 ，其定义域为R.
上移1 上移1个单位
横坐标不变， 横坐标不变， 纵坐标伸长 为原来的2 为原来的2倍
沿x轴翻折
四、小结 小结
正弦、 正弦、余弦函数的图象
几何法 五点作图法（作图常用此法） 五点作图法（作图常用此法）
1. 正弦曲线、余弦曲线 正弦曲线、
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系 注意与诱导公式、 注意与诱导公式
●
-1 -2
3π 2
●
●
2π
x
练习（ ） 练习（2） 画y=-cosx，x∈[0, 2π]的简图 ， ∈ π 的简图 解：按五个关键点列表 π 3π π 2π x 0 2 2 cosx -cosx
y 1
1 -1
0 0
-1 1
0 0
1 -1
y=-cosx x∈ 2 ] [0, π
●
o
-1
●
π
●
2
π
y=cosx x∈ [0, 2π ]
y 1
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] ， ∈ π
π
2
−
o -1

正弦函数和余弦函数的图像与性质

正弦函数和余弦函数的图像与性质

10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在[ π ，π] 上是减函数，
2
所以 sin 2 π ＞ sin 3 π ．
3
4
例8.判断f(x)=xsin(+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f (x) xsin( x) xsin x
f (x) (x)sin(x) f (x) f (x) f (x)
y
1
-2 - o 2 3
-1
4 x
定义域
R
值域
[1,1]
x 2k (k Z ) 时
2
最
值
ymax=1 x 2k (k Z ) 时
2
ymin= 1
y= 0 x k (k Z)
R [1,1]
x 2k (k Z) 时 ymax=1 x 2k (k Z ) 时 ymin= 1
是减函数。
② 函数y=cos(x+/2),xR ( A )
A 是奇函数； B 是偶函数； C 既不是奇函数也不是偶函数； D 有无奇偶性不能确定。
2 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
sin 250 >_ sin 260
cos15 / 8>_ cos14 / 9
cos515 >_ cos530
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2

正弦函数余弦函数的图像与性质

正弦函数余弦函数的图像与性质

三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。

正弦函数余弦函数的图像和性质

即
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)

余弦函数的性质与图像

因为对任意一个角 x ，都有
唯一确定的余弦 cosx
与之对应，所以 y cos x, xR
是一个函数，一般称为余弦
函数．
x
P(cosx,sinx)
如何研究余弦函数？
回顾：我们是如何研究正弦函数的？
方案
正弦函数
列表、描点、连线
正弦函数
的图像
的解析式
正弦函数的性质
单位圆
发现
诱导公式等
理解
如何研究余弦函数？
2
4
4
当 t 2x 0 ，即 x 时，f x max 2 ．
8
4
所以函数 f x 在 ,0 上的最小值为 1，
2

最大值为 2 ．

3


y 2cost ， t , ．
4 4




π
4
O
3π
4
y sin x
2
2
y cos x 0 ．
y
y=sinx
y=cosx
x
以上性质也可以通过定义，从单位圆看出
x
P(cosx,sinx)
2.余弦函数y=cosx的性质
(3)周期性：最小正周期是
因为 cos 2k x cos x k Z




所以余弦函数的周期是 2k kZ 且 k0
3 4
3 4
即 cos(1 x+6 ) cos(1 x ) ，即 f x 6 f x


3
4
3 4
所以函数的最小正周期为 6 ．

1

余弦、正切函数的图像和性质

问题 正切函数 y = tanx 是否为周期函数？
∵f x +π = tan x +π = tanx ＝f(x)
是它的一个周期 ∴y = tanx 是周期函数，
ππ (- , ) 2 2
想一想：先作哪个区间上的图象好呢？ 一个周期内的图像
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

自我小结
谈谈本节课你的收获是什么？ 哪部分知识掌握的比较好？ 还有什么不清楚的细节吗？……… 1.课本习题 2.学案课后练习 3.（选做）导学练
思考
我们已经学习了正弦、余弦函数的图像 我们是怎么得到它们的图像的呢？ 利用单位圆中的三角函数线作图 （由一个周期到整个定义域）
探索新知
通过回顾，对我们研究正切函数图像有 什么启发吗？ （利用正切线）
π 2 3π 2
O
π
2π x
-1
y cosx , x [0,2π]
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线

-4
-3
-2
其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y=cosx (xR)
6
4

正弦函数和余弦函数的图像与性质


D
矩形 A' B'C ' D' 周长最大？ a B' B
b
D' C
C'
课堂练习答案
1.(1) y cos x 3
当 x 6k , k Z 时，ymin 1
当 x 6k 3 , k Z 时，ymax 1
(2) y (sin x 1)2 3
当 x 2k , k Z 时，ymax 3
6
P
30
3x
课堂练习
1.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值时
的自变量 x 的值.
(1) y cos x (2) y cos2 x 2sin x 1 3
2.要求同第1题.
(1) y cos(2x ) (2) y 2 cos2 x sin 2x
4
A'
3.如图，当 为何值时， A
这个函数的周期.
思考 2T ,3T , 4T , 也是周期吗？ 周期函数有多少个周期？
一、函数周期性的定义
一般地，对于函数 f (x) ，如果存在非零常数 T
使得对于定义域内的每一个自变量 x 值，都有 f (x+T ) f (x)
那么函数 f (x) 叫做周期函数，非零常数 T 叫做
这个函数的周期. 最小正周期 一个周期函数的全部周期中 若存在一个最小正数，那么这个最小的正数 就叫做这个周期函数的最小正周期.
正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
二、正弦函数的图像
正弦函数 y sin x在区间[0, 2 ]上的图像.
思考 如何利用正弦线确定点(x0 , sin x0 ) 的坐标？
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余弦函数的图像与性质的应用
根据余弦函数的图像，求满足
cos
x

1 2
的
x
的集合.
y
1
-3
5 2
-2 3 2
1
-
o

2

2

2

3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
3 -1 3
∴原不等式的解集为
x |
2k

3

x

2k

3
,
k

Z


课堂收获
一、知识技能
余弦函数的图像与性质的应用
例 画出函数 y cos x 1的简图,根据图像讨论函数的性质.
函数
y cos x 1, x R
定义域
R
值域
[2,0]
奇偶性
偶函数
周期性
2
单调性 当 x 2k ,2k k Z 时，函数是增加的；
当 x [2k ,2k ]k Z 时，函数是减少的.
复习正弦函数的性质
函数
y sin x, x R
图象
定义域 值域
周期性 单调性
奇偶性 对称轴 对称中心
y
1
-2
-
o

-1
2
x 3 4
R
[1,1]
2
当 x [2k ,2k ](k z) 时，函数是增加的；
当
x
[2k

2,2k32 ](k
z)

)
2
=
cos
x
问题2: 从函数图像的平移来看上面的等式，你可以得到 什么结论？你能由此画出余弦函数的图像吗？
问题3: 对于 y cos x, x [0,2 ]的图像，哪些点起着关键作用？ y 请一一列举出来.
1
-4 -3
-2
-
o
-1

（0，1）、（
2
3
4
，0）、（，1）、（3
复习正弦函数的图像
问题1：用“五点法”画出y sin x, x [0,2 ] 的图像？
y
4 3
2 -
1
3
2
o
-1 2
2 3
4 x
问题2：怎样把 y sin x, x [0,2 ]的图像转化为 y sin x, x R 的图像？
问题3：正弦函数 y sin x, x R都有那些性质？
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
4
5 6 x
用“五点法”作简图
用“五点法”画下列函数在区间[0，2 ] 的简图.(分组完成)
(1) y 1 cos x
(2) y 3cos x
点评： 列表
描点
连线
余弦函数的性质
函数
y cos x, x R
图象
定义域 值域
周期性 单调性
奇偶性 对称轴 对称中心
y
1
-2
-
o

-1
R
[1,1]
2
x 3 4
2
当 x [2k ,2k ](k z) 时，函数是增加的； 当 x [2k ,2k ](k z) 时，函数是减少的.
偶函数
直线x k (k z)
(k ,0)(k z) 2
时，函数是减少的.
2
2
奇函数
直线x k (k z) 2
(k ,0)(k z)
引入余弦函数的图像
问题1：诱导公式中，sin（x

)
2
=
cos
x
问题2: 从函数图像的平移来看上面的等式，你可以得到 什么结论？你能由此画出余弦函数的图像吗？
引入余弦函数的图像
问题1：诱导公式中，sin（x
5 6 x
，0）、（2，1）
问题4:
你能用“五点法”画y
2
cos
x,
x
[0,2
]
的简2 图吗？
试试看.
作出余弦函数的图像
y
-4 -3
-2
1
- o
-1

2
3
正弦函数的图象
向左平移 个单位
2
余弦函数的图象 y
-4 -3
-2
1
- o
-1

2
3
4
5 6 x
正弦曲 线
最大值
与最小 值
当 x 2k (k Z) 时,最大值为0; 当 x (2k 1) (k Z)时,最小值为-2;
课堂练习
课本32 练习4，5
5、函数 y 3cos x，当 x [ , ] 时，在区间 [，0]
上是增加的，在区间 [0， ] 上是减少的； 当 x 0 时，y取最大值 3 ; 当 x 和 时，y 取最小值 -3 .
1、会用“五点法”作余弦函数的图像及与余弦函
数
有关的函数图像.
2、会利用余弦函数图像研究其性质，体会到了函数 图像与函数性质的相互依赖关系.
3、会利用余弦函数图像解简单的三角不等式.
二、思想方法
类比的思想、 数形结合的思想
课后任务
1、课本33页：第4、5、6题. 2、预习第七节内容.