余弦函数图像与性质

正弦函数、余弦函数的图像一、 知识梳理1、 正弦曲线：正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像余弦曲线：余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 2、 正弦曲线的画法：（1） 利用单位圆和正弦线作图；（2） 五点作图法（简图），五个点为：)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-3、 余弦曲线的画法：（1） 通过正弦曲线平移，讲R x x y ∈=,sin 向左平移2π个单位（诱导公式六：sin()cos 2παα+=）； （2） 五点作图法，五个点为：)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.4、正弦函数、余弦函数的性质二、 例题讲解(一)、正弦函数、余弦函数的图像【例1】作出下列函数的图像(1)1sin ,[0,2];(2)23cos ,[0,2].y x x y x x ππ=+∈=+∈变式训练1： 作出下列函数的图像5(1)(2)sin(),[2,2].2y y x x πππ==+∈-（二）、正弦函数、余弦函数的图像的简单应用【例2】1sin [,]222y x y x x ππ==∈-函数与在内有多少个交点？变式训练2：1、求下列函数的定义域(1)12cos y x =-(2)y=lg()2、sin y x y x x R ==∈函数与在内有多少个交点？（三）、正弦函数、余弦函数的性质【例3】若函数17()()1()236f x f f πππ=-是以为周期的奇函数，且，求的值。

【例4】判断下列函数的奇偶性 2(1)3sin ;1sin cos (2);1sin (3)lg(1sin )lg(1sin ).y x x xy xy x x =+-=+=+--【例5】求下列函数的单调区间(1)()sin();(2)()cos(2).46f x x f x x ππ=-=+变式训练3：1、 判断下列函数的周期2(1)2sin 1;(2)3sin(2);(3)cos().436y x y x y x ππ=+=-=+2、 函数()R (2)()[0,1](),f x f x f x x f x x +=∈=是定义在上的奇函数，且，当时，则(47.5)___.f =3、函数()____________.f x =定义域为4、 函数()sin(2)____________.3f x x π=-+的单调递增区间是（四）、正弦函数、余弦函数的性质的应用【例6】求下列函数的值域2(1)2sin(2)1;(2)22sin sin .4y x y x x π=-+=-+变式训练4：1、 比较下列各组数的大小33(1)sinsin;(2)sin 2cos1;(3)sin(sin ),sin(co s ).101888ππππ，，2、函数y =－x ·cos x 的部分图象是()3、2cos sin 1,[,].44y x x x ππ=-+∈-求函数的值域三、归纳总结1、“五点法”画正弦、余弦函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2、求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；3、求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；③化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；4、三角函数的周期问题一般利用sin()cos()y A x y A x ωϕωϕ=+=+或的周期为2||T πω=即可。

3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期

小 结
·
探
提
新 知
因为 y＝cos x＝sin x＋π2，所π 以余弦函数 y＝cos x 的图像可以通
素 养
合 作
过将正弦曲线 y＝sin x 向左__平移_2_个单位长度得到．如图是余弦函数
课
探
时
究 y＝cos x(x∈R)的图像，叫作余弦曲线．
分 层
释
作
疑
业
难
·
返 首 页
·
5
(2)利用五点法作余弦函数的图像
D [f(x)＝sin x－π2＝－sin π2－x＝－cos x，由f(x)＝cos x的性
作 业
·
质可判断A、B、C均正确．]
返
首
页
14
·
自 主 预
4．已知函数y＝－
3 4
cos
课
x，x∈[0，2π]，则其递增区间为 堂 小
习
结
·
探 ________．
提
新
素
知
[0，π] [当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在 养
究
分
层
释
作
疑
业
难
由上图可得sin x≥cos x在[0，2π]上的解集为π4，54π.
返 首 页
·
27
·
余弦函数的单调性及应用
自
课
主 预 习
【例3】 (1)求函数y＝1－12cos x的单调区间；
堂 小 结
·
探
提
新 知
合 作 探
([2解)比] 较(1c)o∵s －－12π7<0与，cos 187π的大小．
提

当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数

y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1

2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0

, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(

x) 可知余弦函数
y

cos
6
x的图像可由
y

2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.

1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2

3 2
2
2 8
5
-10

f ( x) cos x 2 cos x 2 f ( x), x R
y cos x 2是偶函数
课堂练习2：判断下列函数的奇偶性
(2) y sin x cos x
（ ）x R, 定义域关于原点对称 1
把函数y sin x cos x记为 f ( x) sin x cos x
y
1
-4
-3
-2
-
o
-1

2
3
4
5
6
x
函数y=cosx,x∈R有哪些性质？
y cos x
1 y
3
2 3
2
2
0

2

1
3 2
2
3
x
余弦函数的定义域，值域？
y
1 -3
5 2
y=1

2
-2
3 2
-


2
o
-1

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=-1
余弦函数的最值？
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
当 x 2k (k Z )时，函数值y取最大值1 当 x 2k (k Z ) 时，函数值y取最小 值-1
余弦函数的周期？
y
1 -3
增区间2k ,2k k Z
减区间2k ,2k k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心： , 0) k Z (k

三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。

y
1
● ●
o
-1
● 2

●
3 2
●
2
x
例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, 2 ] (2)y= - cosx， x [0, 2 ]
解：(1)按五个关键点列表
x 0
2

0
1
3 2
2
sinx
1+sinx
y 2 1●
0
1
1
2
-1
0
0
1
y=1+sinx x [0, 2 ]
三、余弦函数y=cosx(xR)的图象
sin(
x+ 2
y 1
)= cosx
y=sinx的图象
2
0 2
-1
2
3 2
2
3
4
5
6
x
y=cosx的图象
余弦函数的“五点画图法”
3 (0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( 2 , 1) 2 2
●
●
●oຫໍສະໝຸດ 23 2●
2
x
(2)按五个关键点列表
x 0
2

-1
1
3 2
2
cosx
-cosx
y 1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
y=-cosx x [0,2 ]
●
o
-1 ●
2
●

3 2
●
2
●
x
思考：
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？

4π 5π 所以cos > cos . 7 8
不通过求值，比较 cos( 6 ), cos 10 , cos 8 的大小. 解： cos( 6 ) cos 6 ,
π π 0＜ ＜ ＜ ＜ ， 10 8 6 且 y cos x 在 [0, ]上是减函数， π cos cos cos , 10 8 6 π cos cos cos( ). 即： 10 8 6



不通过求值，比较
5π 4 2 cos ， cos( ), cos( ) 6 5 3
的大小.
6 解： 根据题意， (2k 1) x 2k 6 7 解之，2k x 2k 6 6 7 所以，单调增区间是 [2k ,2k ] 6 6
函数y=cosx的对称性
y cos x
-3
5 2
y
1
-2

3 2
-


2
o
-1
x

2

3 2
2
5 2
3
7 2
4
对称轴方程x=k(k∈Z)
π 对称中心为(k+ ,0)(k∈Z) 2 由于正、余弦曲线无限延
伸，对称轴、对称中心有 无限多个.
(6) 余弦函数的单调性
x
求函数 y cos( x ) 的单调增区间.

求函数 y cos 2 x 的单调减区间.
1.函数f(x)=cos4x,x∈R是( C ) A.最小正周期为π 的偶函数 B.最小正周期为π 的奇函数 C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为
2 2
的奇函数
2.下列函数，在［ ,π ］上增加的是( A ) 2 A.y=cos2x C.y=sin2x B.y=cosx D.y=sinx

( 3 ，0)，(2π，1).
2
2
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y
y=cosx，x[0, 2]
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
2. 余弦函数的性质： (1) 定义域： y=cosx的定义域为R
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
五点作图法
余弦函数的图象叫做余弦曲线。
通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用
的点是五个点：(0，1)，( ，0)、(π，－1)，
以说明余弦函数的最小正周期是T=2π.
(4). 奇偶性 由诱导公式:cos(－x)=cosx 得余弦函数是偶 函数。
(5).单调性 余弦函数在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π],
k∈Z上是减函数； 在每一个闭区间[2kπ+π, 2kπ+2π],k∈Z上是
增函数。
(6). 对称性
1.对称轴： x k (k Z )
34
例4、求函数
f
(x)
cos(
x 2
3
)
的单调区间

(2)y=cos(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是奇函数；
2
y=sin(x+φ)，当φ=kπ+ (k∈Z)时是偶函数.
2
(3)余弦函数的对称轴和对称中心
①对称轴方程为x=kπ(k∈Z).
②对称中心的坐标为( +kπ,0)(k∈Z).
2
【变式训练】函数f(x)=x2+cos x的奇偶性为______. 【解析】因为x∈R，且f(-x)=(-x)2+cos(-x)=x2+cos x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数. 答案：偶函数
33 3
3
3
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SUCCESS
2019/5/10
类型二 余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】
(1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是
R上的偶函数，则φ的值为( )
A.0
B.
C.
D.π
4
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
3.余弦函数的最值 (1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义 域来确定. (3)形如y=Acos(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ωx+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tgα的几何意义. 想一想? 1
P
T
正弦线MP 余弦线OM
o
M
1
A
正切线AT
三角问题
几何问题
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2.用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表
(2) 描点
-
(3) 连线
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
如: 作 的正弦线 平移定点
,连线
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
函数 图象的几何作法 作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
1-
(3) 平移 (4) 连线
-
-
-
-1 -1 -
-
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
正弦曲线
1-
-1-
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 余弦曲线（平移得到） 余弦曲线（几何作法）
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4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
(五点作图法)
1-
图象的最高点 与x轴的交点 图象的最低点
-
-1 -1 -
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最高点 与x轴的交点
1-
-
-1
图象的最低点
（1） y
x
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
-
1
-
-1
由于
所以余弦函数

1 (2) y 3 cos( x ) 2 4
练习：求下列函数的最值和周期：
（1）y=2cos8x
例2
5 7 2 , 且函数y cos x在 4 5 区间 [， 2 ]上是增函数， 解：（ 1 ） cos 5 7 cos 4 5 23 23 3 ( 2) co s( ) co s co s , 5 5 5 1 7 1 7 co s( ) co s co s , y 4 4 4
4

3 , 且函数y cos x在[0, ]上是减函数， 5

2
3
4
5
6
x
不查表，比较下列各对余弦值的大小
（1） cos 125 和 cos 156
15 14 和 cos （2）cos 8 9
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余弦函数的图象和性质
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线

-4
-3
-2
-

-1
2
3
4
5
6
x
y
当x取哪些值，函 数有最大值、最 小值？
壹卷 第317章 就范“姐姐，假如您和锦茵都不嫌弃の话，前年妹妹出嫁の时候，宫里准备の两套衣裳，妹妹只用咯壹套，另外壹套壹点 儿都没有用，就收起来咯。虽然妹妹和锦茵の品级不壹样，但是鞋子の颜色和绣花几乎没啥啊差别，要不，先拿妹妹の去救救急？”无可 奈何之下，这各下下策の救急法子，总好过穿着壹双裂着口子の鞋子拜天地，也好过在王府大门口众目睽睽之下拆嫁妆箱子，这两各法子， 既丢咯王府の脸面，更是对不起锦茵格格。排字琦早就从前面赶咯过来，她当得知发生咯这么大の变故，只觉得天都要塌咯下来。当水清 说完救急の法子，虽然是下下策，可总归也是各法子。但是淑清半天都没有回答，她也知道淑清万分为难。借用别人の衣饰，她当然很不 甘心；可是不借用の话，再也找不出来更好の法子，再不甘心好歹也能勉强算是壹各法子。淑清为难，可是吉时良辰不等人，排字琦真の 急咯，直接吩咐吟雪道：“你赶快去把鞋子取来，看看格格穿着是不是合脚。”排字琦是何等精明之人，她当然希望这场婚事能顺顺当当 地举行下去，可是依着淑清那心高气傲、不依不饶の性子，怎么可能朝水清妹妹低头？虽然那鞋子肯定是没有上过脚，但总归不是自己の 物件，那心里肯定是别扭。排字琦当然倾向于这天仙妹妹の法子，但是淑清是锦茵格格の亲额娘，万壹她替淑清做咯主，日后再落埋怨可 就是吃不着狐狸再惹壹身臊。另外淑清若再是去爷那里告她排字琦壹状，说她偏袒年妹妹，平白无故地趟咯她们俩人の浑水，还不冤死 咯？可是时间不等人！于是她特意点明咯“看看格格穿着是否合脚”。假如淑清不同意，完全可以“格格穿着不合脚”为理由，也算是给 咯淑清壹各拒绝の理由，下台阶の借口。因此她这番吩咐真可谓是两全齐美。壹听福晋姐姐发咯话，水清赶快对吟雪说：“福晋都发话咯， 你还不赶快去把鞋子取来，让李侧福晋看看合适不合适。”福晋精明，水清当然更是聪明！她早就听明白咯那各借口，于是直接咯当地说 “让李侧福晋看着合适不合适”。吟雪强忍着委屈，飞快地取来咯鞋子。当然是再合适不过咯！其实就算是不合适，只要是能凑合将就， 淑清都得点头同意，谁敢误咯吉时？换上新鞋の锦茵被众人当作易碎物品般地小心保护起来，直到坐上咯大花轿，整各王府里の人，不管 是主子还是奴才，全都长长地出咯壹口气。经历咯刚刚那壹番风波，众人因为注意力都集中在格格身上，没有时间理会水清主仆两人。现 在随着锦茵の出嫁，松咯壹口长气の人们，时不时地将眼睛瞟向咯李侧福晋。这可是壹各从来都不吃壹点儿亏の主子，又有爷の专宠在身， 这回可是有好戏看咯。第壹卷 第318章 犯难论“老谋深算”，淑清比不过排字琦，那是因为排字琦后天の积极努力。自从嫁入王府以来， 空有嫡福晋の身份，甚少得到王爷の恩宠，她要想在这各“侯门壹入似海深”の王府中如鱼得水地生存下来，只能是凭借自己の艰苦努力， 付出格外多の心血。她要为自己の下半辈子“争”出壹方天地。论“诡计多端”，她也比不上水清，那是因为水清先天の天资聪颖。此外， 从娘家の掌上明珠到王府里受气小媳妇の巨大落差，形势逼迫水清不得不将她先天の这份聪明才智发挥得淋漓尽致。人不犯我，我不犯人， 小心谨慎、明哲保身是她の信条。她要为自己の下半辈子“保”得自身平安。淑清却不壹样咯。虽然先天不够聪颖，后天也不够努力，但 是自从嫁入王府立即就得到咯王爷の专房独宠，因此从来就不需要她花壹丁点儿精力去挖空心思、争宠献媚。权利与义务从来都是对等の。 在她得到咯王爷专房独宠の同时，也让她丧失咯在水深火热の王府中自身得到历练、成长、提高の过程。因为她所有の壹切都不用费吹灰 之力，就能唾手可得。壹帆风顺の经历，专房独宠の待遇，壹女三子の成绩，让她确实拥有足够の资本可以傲视群芳。再加上她直来直去 の脾气，使得她の心中所想，几乎都是跃然脸上。此时此刻，果然与排字琦所预料得壹模壹样，李淑清第壹时间就找王爷讨公道去咯。听 完淑清对水清主仆两人连哭带怨の声声“控诉”，看着她梨花带雨、受尽委屈の脸庞，王爷这才是真真の犯咯难。正所谓清官难断家务案， 偏偏是他最受宠の诸人和最受冷落の诸人之间の家务案。这件事情假如发生在壹年以前，他可能都来不及犯难就会毫不犹豫地偏听偏信咯 淑清の壹面之词，但是经历咯他冤枉水清向八小格私自串通情报，以及水清在极为被动の条件下，凭借自己の聪明才智实现咯反败为胜の 骄人战绩之后，他の内心受到咯极大の震撼。在那各星光灿烂、微风拂面の夏夜草原，在他主动地、深刻地进行咯自我反省之余，他更是 急切地想知道，这各深藏不露の侧福晋是如何使那木泰那各骄傲の常胜将军成为她の手下败将。于是第二天趁晚膳の那么壹点点の紧张时 间，他问起咯玉盈：“听秦顺儿禀报，昨天八福晋和二十三小福晋来过咯？”“回爷，是の。”“她们来干啥啊？”“她们说是要跟凝儿 闲聊阵子。”“她们都聊啥啊咯？”“没聊啥啊，因为玉盈认得八福晋，可当时玉盈和凝儿都在帐子里，没处躲没处藏……”听完玉盈原 原本本の叙述，虽然他已经知道咯结果，但是当亲耳听到这各惊心动魄の过程，对于水清の沉着冷静、临危不惧、镇定自若の表现，仍是 惊诧不已。最主要の原因是，她才只是壹各二十三岁の孩

3 ( ,0) 2
形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5
6

(( ,-1) ,-1)
x
2. 余弦函数的性质：
(1) 定义域： y=cosx的定义域为R
(2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]；
a 1 解 1 得 b 2
1 当cosx=1或cosx=－1时，ymin= 2
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2
=cosx+2=f(x),
∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.
y
6
4
2
1 o -1 R [-1,1]
-
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
2
偶函数
单调性
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )
单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
x k (k Z )
对称轴 对称中心
②对于y=cosx
当且仅当x=2k kZ时 ymax=1， 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知
当2k－ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx>0 2 2 3 当2k+ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx<0 2 2

余弦函数的定义和性质余弦函数，也称为cos函数，是数学中一种非常重要的三角函数，与正弦函数、正切函数等三角函数一起，构成了三角函数中的基本三角函数系统。

余弦函数在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将从余弦函数的定义、图像、周期、奇偶性、性质等方面进行探讨。

一、余弦函数的定义在平面直角坐标系中，假设点P(x,y)的横坐标为x，纵坐标为y，则点P与x轴正方向的夹角记作θ，且点P到直线x=1的距离为cosθ。

于是，可以得到余弦函数的定义：余弦函数cosθ定义为点(x,y)所在的直线x=1与x轴正方向的夹角θ的余弦值。

其函数图像如下所示：二、余弦函数的图像在一般情况下，余弦函数的函数图像呈现出波形。

其周期为2π，即在任意一段长度为2π的区间内，余弦函数的取值相同。

其图像的一些特点如下：1. 对任意实数x，cos(x+2kπ)=cos(x)，其中k为任意整数。

2. 对任意实数x，cos(-x)=cos(x)。

3. 当x=0时，cos(0)=1。

4. 当x=π/2时，cos(π/2)=0。

5. 当x=π时，cos(π)=-1。

6. 当x=-π/2时，cos(-π/2)=0。

7. 当x=-π时，cos(-π)=-1。

8. 对于任意实数x，-1≤cos(x)≤1。

三、余弦函数的周期性余弦函数的周期为2π，这意味着余弦函数的取值在区间[0,2π]中是有规律可循的，而在一个周期内，余弦函数的取值是不断重复的，无限循环地变化着。

因此，在处理余弦函数时，周期性是十分重要的一个特性。

四、余弦函数的奇偶性余弦函数是偶函数，即对于任意实数x，cos(-x)=cos(x)。

这意味着余弦函数是对称的，其函数图像在y轴上是对称的。

由于它的奇偶性，使得在某些问题中，可以用余弦函数的对称性简化计算。

五、余弦函数的性质1. 导数：cosθ的导数为-sinθ。

因此，cosθ在其导数为0的点处取得极值，在θ=2kπ，k为整数时，cosθ取得最大值1，在θ=(2k+1)π，k为整数时，cosθ取得最小值-1。

三角函数图像与性质三角函数的图像与性质一、正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像可以用五点法作图。

先取横坐标分别为-2π,-π,0,π,2π的五个点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。

二、正弦函数y=sinx(x∈R)和余弦函数y=cosx(x∈R)的性质：1.定义域：都是R。

2.值域：1）都是[-1,1]。

2）正弦函数y=sinx，当x=2kπ+3π/2(k∈Z)时，y取最小值-1；当x=2kπ+π/2(k∈Z)时，y取最大值1.余弦函数y=cosx，当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1；当x=2kπ+π(k∈Z)时，y取最小值-1.3.周期性：1）正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的最小正周期都是2π。

2）函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是T=2π/|ω|。

4.奇偶性与对称性：1）正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是(2kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ+π/2(k∈Z)。

2）余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是(kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ(k∈Z)。

例：若函数y=a-bsin(3x+π/6)的最大值为1，最小值为-2，则a=1/2，b=1或b=-1.课堂练：1.函数y=sinx-sin2x的值域是[-1,1]。

2.已知f(x)的定义域为[0,1]，求f(cosx)的定义域为[-1,1]。

3.下列函数中，最小正周期为π的是B.y=sin2x。

4.若f(x)=sin(πx/3)，则f(1)+f(2)+f(3)+。

+f(2003)=0.答：1001/2）正弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点。

例如，函数y=sin(5π/2x)的奇偶性是偶函数。

已知函数f(x)=ax+bsin(3x)+1(a,b为常数），且f(5)=7，则f(-5)=-5.单调性方面，y=sinx在[2kπ-,2kπ+]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ+,2kπ+]（k∈Z）上单调递减；y=cosx在[2kπ,2kπ+π]（k∈Z）上单调递减，在[2kπ+π,2kπ+2π]（k∈Z）上单调递增。