高中数学必修四正弦余弦函数图像与性质

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正弦、余弦、正切函数图象及其性质

函数正弦函数y=sinx 余弦函数y=cosx 正切函数y=tanx图像定义域R R{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}值域[-1，1][-1，1]R周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],K∈Z上单调递增最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质注意1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。

2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形式解决。

当ω＜0时，要特别注意。

如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。

3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣。

正弦函数和余弦函数的图像与性质

x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)，使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的最小正周期。
解：偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；

2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x

，但 x 可以取，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2

f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)，减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2

3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6

人教版高中数学必修4A版正弦函数余弦函数的图像课件

（ 3 /2 ，-1），（2 ，0）
五个点：
x
y
0
0
y
π 2
π
3π 2
2π
1
0
-1
0
y=sinx(x∈[0,2π])
0
x
思考：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的变形得到余弦函数的图象吗？ sin(π/2+x)=cosx
y
y=cosx
y=sinx
0
x
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动/2个单位长度而得到
y=sinx
x
y=cosx y=-cosx
例1.画出下列函数的图象 (1)y=1+sinx，(x∈[0,2π]) (2)y=-cosx ，(x∈[0,2π]) y
0
1
π 2
π
3π 2
2π
0
-1
0
1
-1
0
-1
0
-1
y=cosx
0 x
从图象变换的角度出发，利用y=sinx的图象如何得到y=1+sinx的图象的？
y=f(x)────→y=-f(x)
y=f(x)────→y=-f(-x)
一、复习引入
三角函数线：1、三角函数的一种几何表示法；
2、用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法。
一、复习引入
正弦线、余弦线：
设任意角的终边与单位圆相交于点P，过P作X 轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP叫做角的正弦线，有向线段OM叫做角的余弦线。
y=-cosx
三、小结
通过本节学习，要了解如何利用单位圆中
的正弦线作正弦函数的图象，并在此基础上由

高中数学必修四《正弦函数、余弦函数的图像》PPT

2
2
-1
3
2
x
2
〖练习〗画出函数y=-cosx，x[0, 2]的简
图.
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
y
1
o
2
2
-1
3
2
x
2
y= - cosx，x[0, 2]
归纳与整理
1. 正弦曲线、余弦曲线
几何画法五点法(画简图)
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
其中“五点法”最常用，要牢记五个关键点的坐标。
课堂延伸思考1、你能否从正弦函数、余弦函数的图象发现函数的哪些性质呢？
思考2、在同一坐标系中画出函数 y=sinx ，x∈[0,2π]与y=cosx ，x∈[0,2π] 的图象，你还能发现什么？
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) 2 ,0)
x
3
0
2
2
2
sinx
0
1
0
-1
0
【正弦函数、余弦函数的图象】
y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
正弦函数的图象
关系？
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象 y
-4 -3

正弦函数余弦函数的图像和性质

函数 y sin x, x R 的图象。
y
1_
4 3 2 o
_
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-1
2
3
正弦曲线
4 x
3.函数 y cos x, x R 的图象:
由诱导公式 y cos x sin( x )可以看出：
余弦函数
y
cos
x,
x
R
与函数
2
y
sin(
x
2
),
x
R
是同一个函数。余弦函数的图象可通过将正弦曲线向左
1 0 1 2 3
y
y x2 2x 3 0 1 0 3
(2) 描点 (3)连线
1
.. 2 1 0 1. 2 x
返回
1.能否用描点法作函数 y sin x, x 0,2 的图象?
只要能够确定该图象上的点 (x,sin x) 的坐标，就可以
x 用描点法作出函数图象。而该图象上点的坐标可通过
的值查三角函数表得到。
故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值就能重复取得，所以y=sin2x， x∈R的T=π
3、y 2sin( 1 x ) x∈R
26
解：令 z 1 x ，那么x∈R必须并且只要
26
z∈R，且函数y=2sinz，z∈R的T=2π，由
于
z 2
1
x
2
1 (x 4 ) 。所以自变量z只
图象的最高点(
2
,1)
y sin x, x 0,2 图象与x轴的交点(0,0)( ,0) (2 ,0)
图象的最低点(
3 2,
1)
图象的最高点(0,1)(2 ,1)
y cos x, x0,2

正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt

, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(

x) 可知余弦函数
y

cos
6
x的图像可由
y

2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.

1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2

3 2
2
2 8
5
-10

正弦函数余弦函数的图像与性质

三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数，用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用正弦和余弦函数来描述，如桥梁振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(x)。

正弦函数、余弦函数的图像和性质

-
图象的最高点图象的最高点与x轴的交点轴的交点
x
1-
( 0 ,1 ) (2π ,1)
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
π ( π ,0 ) (32 ,0) 2π 2 图象的最低点 (π ,−1) 图象的最低点
-
应用“ 例1.应用“五点法”作图。应用五点法”作图。
π
π
例2.分别利用函数的图像和三角函数先两种方法，求下列不等式的解集：
1 (1) sin x ≥ ; 2 1 5π (2) cos x ≤ (0 < x ≤ ); 2 2
例3.判断y = cos x + 1, x ∈ [0,2π ]与下列直线交点的个数： 3 （）y = 2; (2) y = ; (3) y = 0. 1 2

图
y
1-
数、图
数
图象的最高点 ( ,1) 图象的最高点 2 与x轴的交点轴的交点
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
x
π
-
-1
o
-1 -
π
6
π
3
π
2
2π 3
5π 6
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11 π 6
2π
图象的最低点 (32 ,−1 图象的最低点 π )
简图作法 (1) 列表列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 列表( (2) 描点定出五个关键点) 描点( y (3) 连线用光滑的曲线顺次连结五个点) 连线(

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)

第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性

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2
32
5
6
O1
7
6
4
3
3
2
y
Байду номын сангаас
终点连结起来
3
1
●
●
●
●
●
7 4 3 5 11
6
6 3 2 3 6 2
●
●
2 0 2 5
●
x
11
6 32 3 6
●
●
5
6
-1
●
●
●
3
终边相同角的三角函数值相等
即： sin(x+2k)=sinx, kZ
y sin x (x [0, 2 ]) 利用图象平移
y sin x, x R
y 1
o
2
2
-1
y=sinx x[0,2]
y
y=sinx xR
1
-4 -3
-2
- o
-1
3
2
x
2
正弦曲线
2
3
4
5 6 x
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
x
-1
y cos x sin( x)
2
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
2
个单位长度而得到．
正弦曲线：y sin x x R y
正弦函数、余弦函数的图象
X
温故
三角函数
三角函数线
正弦函数余弦函数正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角函数线是有向线段！
一、正弦函数y=sinx的图象
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描点：用光滑曲线将这些正弦线的
x
用“五点法”画出函数y= cosx，x[0, 2]的简图
令2x=X用整体替换思想
用“五点法”画出函数 y= cos2x，x[0, 2]的简图：
练习：画出函数y= cos2x，x[0, 2]的简图：
x
0
4
2x
0
2
2
3 4
3
2
2
cos2x 1
0
-1
0
1
y
y= cos2x，x[0, 2]
1
o
2
1-
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上, 起关键作用的点有：
最高点：
(0,1) (2 ,1)
最低点： ( , 1)
与x轴的交点： ( 2 , 0)
(3 , 0)
2
用五点法画出正弦函数、余弦函数在[0, 2]的简图
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。 1、y=sin(x+1), x∈ [ 0,2π] 2、y=2sinx, x ∈[ 0,2π] 3、y=cos2x, x ∈[ 0,2π]
关键是把“五点”找准，并想一想找 “五点”有什么规律？
2
-1
3
2
x
2
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线五点法结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
思考：观察正弦曲线、余弦曲线，你能从图像上发现它们的性质吗？（如定义域、值域、单调性？）
正弦、余弦函数的图象
1
-1
正弦曲线
x
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦曲线：y cos x
y
xR
1
形状完全一样只是位置不同
-1
x
余弦曲线
三、正、余弦函数的简图
y
y sin x x [0, 2 ]
1-
五点画图法
-
-1
o
6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：
( ,1) 2
最低点：
(
3
2
,1)
与x轴的交点： (0, 0) ( , 0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出
(2 ,0)函数的简图。
y
y cos x x [0, 2 ]
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
例1 用“五点法”画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
0
sinx
0
1+sinx 1
y 2 1
o
2
2
-1
3
2
2
1
0
-1
2
1
0
y=1+sinx，x[0, 2]
3
2
2
2
0 1
步骤： 1.列表 2.描点 3.连线