艺术生一元二次不等式解法讲义

一元二次不等式的解法教学目标：（1）理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的图像的关系；掌握一元二次不等式的解法；知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；会解简单的分式不等式； （2）了解命题的概念，会判断简单命题的真假；了解复合命题的概念，理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；会准确判定含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成形式及复合命题的真假。

二. 重点、难点： 重点：（1）一元二次不等式的解法； （2）判断复合命题的真假。

难点：（1）一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系； （2）含有字母参数的一元二次不等式的解法； （3）对“或”的含义的理解。

能力要求：（1）通过对一元二次不等式解法的学习，培养学生的逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力、运算能力，并渗透转化和数形结合的思想；（2）通过对逻辑联结词的学习，提高学生使用数学语言表达问题，进行交流的能力，提高学生分析、综合能力和逻辑推理能力。

学法指导：在学习“一元二次不等式解法”这一节时，注意运用数形结合、函数与方程，化归的数学思想；【例题分析】例1. 解下列不等式： 026)1(2≤+--x x ()244102x x ++< ()33502x x -+>分析：解一元二次不等式的步骤是：1°，把二次项系数化为正数；2°，解对应的一元二次方程；3°，根据方程的根，结合不等号方向，得出不等式的解集。

解：()16202原不等式化为x x +-≥∆≥+-=-062023122，方程的根是，x x ∴≤-≥原不等式的解集是或，{|}x x x 2312()()244121022x x x ++=+≥∴++<不等式的解集是44102x x φ ()303502∆<-+=，方程无实数根x x∴-+>不等式的解集是x x R 2350例2. 解不等式()()()()()175302214032328022x x x x x x x x -+≤-+≥+--+>分析：以上不等式的特点是不等号的右边为0，左边是两个因式的积或商，我们可以根据乘积或商的符号法则将其转化为不等式组求解。

一元二次不等式及其解法讲义一、知识梳理1．“三个二次”的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有两相异实根x 1，x 2 (x 1<x 2) 有两相等实根x1＝x 2＝－b2a没有实数根 一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a >0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} }2{a bx x -≠ {x |x ∈R }一元二次不等式ax 2＋bx＋c <0 (a >0)的解集 {x |x 1< x <x 2} ∅ ∅2.(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法不等式解集 a <b a ＝b a >b(x －a )·(x －b )>0 {x |x <a 或x >b } {x |x ≠a } {x |x <b 或x >a }(x －a )·(x －b )<0 {x |a <x <b } ∅ {x |b <x <a }注意：(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)，(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.() (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )题组二：教材改编2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝}014{≤+-x x x，那么集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．[－2,4)B ．(－1,3]C ．[－2，－1]D ．[－1,3] 3．]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．题组三：易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是)31,21(-，则a ＋b ＝________. 6．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________．三、典型例题题型一：一元二次不等式的求解命题点1：不含参的不等式典例 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集．命题点2：含参不等式典例 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．思维升华：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．跟踪训练 解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )．题型二：一元二次不等式恒成立问题命题点1：在R 上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( ) A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0)(2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)命题点2：在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．命题点3：给定参数范围的恒成立问题典例 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．思维升华：(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．题型三：一元二次不等式的应用典例 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·)315(xx -+元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．思维升华：求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．注意：转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 四、反馈练习1．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}2．若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( )A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．8．若0<a <1，则不等式(a －x ))1(a x ->0的解集是____________．9．若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为}321{>-<x x x 或，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________．11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为}43{->x x ，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是____________．14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0， 若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A．2 B．3C．5 D．816．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．。

艺术生高考复习——一元二次不等式的解法知识梳理2.解一元二次不等式的步骤：① 化一般式c bx ax ++2>0(或<0)(a>0)② 计算∆，解对应方程 ③对照三个“二次” 关系写出解集模拟训练1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤13D ．R4．不等式(x －1)(2－x )≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}5．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．(－1,2]6．若不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b 的值为( )A ．3B ．1C ．－3D ．－17．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．268．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}9．已知集合P ＝{}x |x 2－2x ≥3，Q ＝{x |2<x <4}，则P ∩Q ＝( )A ．[3,4)B ．(2,3]C ．(－1,2)D ．(－1,3]10．若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________． 详细参考答案1．解析 ∵(x －1)(x －2)＜0，∴1＜x ＜2. 故原不等式的解集为(1,2)．答案 D 2．解析 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0，∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案 D 3．解析 ∵9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≥0，∴9x 2＋6x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－13.答案 B4.解析 因为(x －1)(2－x )≥0，所以(x －2)(x －1)≤0，所以结合二次函数的性质可得1≤x ≤2.故选A. 5.解析x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D. 答案 A6.解析 因为不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |1<x <2}，所以1 和2为方程(x －a )(x －b )＝0的两个根，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝1＋2＝3， 即a ＋b 的值为3.7．解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a＝－14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28.答案 C8.解析 由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．且a <0由韦达定理⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba，－＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a <0，即2x 2＋x －1<0.可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.9.解析 因为P ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A. 10.解析 由题意知Δ＝a 2＋4a <0，解得－4<a <0，因此实数a 的取值范围为－4<a <0.。