余弦函数的图像和性质

(3)余弦曲线：y=cos x(x∈［0,2π ］)的图像向左、向右平行 2π 个单位)得到余弦函数y=cos x(x∈R)的图 移动(每次平移____ 像,此图像叫作余弦曲线.
2.余弦函数的性质 函数 性质 余弦函数y=cos x
图像
定义域 值域
R ［-1,1］
函数
性质 最值 周期性 奇偶性 单调性
【微思考】
(1)由y=sin x，x∈R的图像得到y=cos x,x∈R的图像，平移的
方法唯一吗？
提示：可向左平移也可向右平移，方法不唯一.
(2)形如y=Acos(ω x+φ)(A＞0,x∈R)的值域还是［-1,1］吗？ 提示：不一定是.值域是［-A,A］.
【即时练】
下列关于函数y=-3cos x-1的说法错误的是(
3.余弦函数的最值
(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1,解题时常会用到.
(2)对有些函数，其最值不一定就是1或-1，要依赖函数的定义
域来确定.
(3)形如y=Acos(ω x+φ)(A＞0,ω ＞0)的函数求最值时，通常 利用“整体代换”，即令ω x+φ=z,将函数转化为y=Acos z的 形式求最值.
取值要完整.
【自主解答】(1)选C.当φ=0或π时，f(x)为奇函数，当φ=
时,为非奇非偶函数.只有当φ= 时符合题意,故选C. 4 2 3 (2)因为 sin(2x ) sin[ (2x )] 2 2 =-sin(2x+ )=-cos 2x，所以f(-x)=-cos(-2x) 2
§6 余弦函数的图像与性质
问题 引航
1.如何得到余弦函数的图像？什么是余弦曲线？ 2.余弦函数有哪些性质？如何利用这些性质解题？
1.余弦函数图像的画法
(1)平移法：
左
2
(2)五点法： ①五个关键点： x cos x 0 1 __
2
π -1 ___
3 2
2π 1 __
0 __
0 __
②函数y=cos x，x∈［0,2π ］的简图：
余弦函数y=cos x 当x=2kπ (k∈Z)时，ymax=1 当x=(2k+1)π (k∈Z)时，ymin=-1
2π 是周期函数，最小正周期为____
是偶函数，图像关于y轴对称 增加 的 在［(2k-1)π ,2kπ ］(k∈Z)上是_____ 减少 的 在［2kπ ,(2k+1)π ］(k∈Z)上是_____
A.最小值为-4 B.是偶函数 C.当x=kπ ，k∈Z时，函数取最大值 D.是周期函数，最小正周期为2π
)
【解析】选C.当x=kπ,k∈Z时，y=cos x取到最大值1，而函数 y=-3cos x-1取最小值.
【题型示范】 类型一 “五点法”画余弦函数的图像
【典例1】 (1)利用“五点法”作余弦函数的图像时，第三个关键点的坐 标为( ) B. ( ,0)
sin 2x+cos x， 求f(x).
【解题探究】1.f(x)为R上的偶函数应具备什么条件？ 2.利用诱导公式化简sin(2x+ 3 )等于什么？
2
3.题(3)中已知函数f(x)为奇函数，求f(x)的一般原则是什么？ 【探究提示】1.应满足f(-x)=f(x).
2.
3 3.先求 x=0 ＜ 时的解析式，对定义域内的 sin(2x 时的解析式，再求 ) sin[ (2x )]x 0 sin(2x ) cos 2x. 2 2 2
=-cos 2x=f(x),即f(x)为偶函数. 答案：偶函数
(3)因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(-x)=-f(x),所以f(0)=-f(0)，f(0)=0, 当x＜0时，-x＞0, 所以f(x)=-f(-x)=-［sin 2(-x)+cos(-x)］ =sin 2x-cos x，
类型二
余弦函数的奇偶性及应用
【典例2】 (1)(2013·佛山高一检测)函数f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π )是
R上的偶函数，则φ的值为(
A.0 B.
4
)
D.π
2
C.
2
(2)(2014·绵阳高一检测)函数f(x)=sin(2x+ 3 )的奇偶性为
_________.
(3)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=
( 3 ， 0) ，(2π，1). 2
2
2.因为cos x∈［-1，1］，所以1+cos x∈［0，2］,即最大 值为2，最小值为0.
【自主解答】(1)选C.由五个点的坐标知第三个关键点为 (π,-1). (2)列表如下： x y=cos x y=1+cos x 0 1 2
2
π -1 0
3 2
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y=cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有 无数多条.( )
(2)余弦函数y=cos x的图像是轴对称图形，也是中心对称图 形.( )
(3)在区间［0，2π ］上，函数y=cos x仅在x=0时取得最大值
1.(
)
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)函数y=｜cos x｜的单调增区间是________，单调减区间是 ________，最小正周期是________. (2)函数y=2cos x-1的值域是________. (3)函数y=f(x)=-cos x的奇偶性为________.
3 3
所以函数在[-1, 2 ]上是减少的，在[ 2 ,1]上是增加的，
3 3
当t= 2 时,y有最小值;当t=-1时,y有最大值，
3
所以ymax=3+4+1=8.
2 2 1 1 y min 3( ) 2 . 3 3 3 3
所以函数的最大值为8，最小值为- 1 .
3
【延伸探究】若将本题(2)增加条件x∈ [ , 2 ]， 求最大值和
3 3
最小值. 【解析】令t=cos x, 则y= 3(t 2 ) 2 1 .
3 3 因为x∈ [ , 2 ], 3 3 1 1 所以t∈ [ , ]. 2 2 1 1 函数在区间 [ , ] 上是减少的. 2 2 15 所以当t=- 1 即cos x=- 1 时,ymax= ， 4 2 2 此时x= 2 .当t= 1 即x= 时，ymin=- 1 . 2 3 4 3
【解析】列表可得：
1 x 2 3
0
2 3
x
1 y cos( x ) 2 3
2 3
π
4 3
3 2 7 3
2π
10 3
1
0
-1
0
1
4 7 10 即五个点分别为：( 2 ，， 1) ( ,0)， ( ， 1)， ( ,0)， ( ,1). 3 3 3 3 3 4 7 10 答案： ( 2 ，， 1) ( ,0)， ( ， 1)， ( ,0)， ( ,1) 3 3 3 3 3
类型三
余弦函数的单调性与最值
【典例3】 (1)函数y=cos 2x的一个增区间是(
A.[ , ] 4 4 3 C.[ , ] 4 4 B.[0, ] 2 D.[ , ] 2
)
(2)求函数y=3cos2x-4cos x+1的最大值和函数是哪种？ 2.题(2)中若将cos x变为t，则函数变为什么？ 【探究提示】1.涉及的函数是余弦函数. 2.函数变为y=3t2-4t+1.
(2)√
(3)×
2.(1)y=cos x的图像在x轴上方的不动，将下方部分对称地翻
到x轴上方，即得到函数y=｜cos x｜的图像，如图所示，
由图像可知，函数的最小正周期为π，又因为在 [ , ] 上， 函数的增区间是 [ ,0]， 减区间是 [0, ]. 而函数的周期是
2
2 2 2
2 D. ( 3 ,0) 2
A.(0，1) C.(π ,-1)
(2)用“五点法”作出y=1+cos x(0≤x≤2π )的简图.
【解题探究】1.对余弦函数而言，五点法作图的五个点的坐 标分别是什么？ 2.题(2)中函数y=1+cos x的最大值与最小值分别等于什么？ 【探究提示】1.五个点分别为(0，1)，( ， 0) ， (π，-1)，
【要点探究】 知 识 点 余弦函数的图像与性质
1.余弦函数性质与图像的关系 (1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法. (2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或 单位圆推导才能下结论.
2.对余弦函数单调性的三点说明 (1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间. (2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性)，是求与之相 关的值域(或最值)的关键，通常借助其求值域(或最值). (3)确定较复杂函数的单调性，要注意使用复合函数单调性的 判断方法.
【方法技巧】求函数最大值、最小值的方法 (1)直接法：根据函数值域的定义,由自变量的取值范围求出函 数值的取值范围. (2)单调性法：利用函数的单调性. (3)图像法：利用函数的图像,转化为求函数图像上最高点和最 低点的纵坐标的问题. (4)换元法:转化为一次函数、二次函数等函数问题.
π
3 2
2π
y=cos x
y=1-cos x
1
0
0
1
-1
2
0
1
1
0
描点连线得y=1-cos x的图像(如图所示).
【补偿训练】“五点法”画y=cos ( 1 x ) 时，所取的五个点
2 3
为_______. 【解题指南】把 1 x 作为一个整体看作是y=cos x中的x