余弦函数的图像及性质

[核心必知]余弦函数的图像与性质[问题思考]1．如何由y ＝cos x ，x ∈R 的图像得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像？提示：只需将y ＝cos x ，x ∈R 的图像向右平移π2个单位即可得到y ＝sin x ，x ∈R 的图像，并且方法不唯一．2．余弦函数在第一象限内是减函数吗？提示：不是．余弦函数y ＝cos x 在[0，π2]内是减函数，但不能说在第一象限是减函数，如390°和60°都是第一象限的角，虽然390°>60°，但cos 60°＝12，cos 390°＝32.却有cos 60°<cos 390°.所以函数y ＝cos x 在第一象限内不是减函数．3．余弦函数是轴对称图形，不是中心对称图形，这句话对吗？提示：不对．余弦函数与正弦函数一样既是轴对称图形，也是中心对称图形．它的对称轴有无数条，其方程是x ＝k π(k ∈Z )；它的对称中心有无数个，其坐标为(k π＋π2，0)(k ∈Z )．讲一讲1．画出函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图像． [尝试解答] 按五个关键点列表：如图所示：1．画余弦函数的图像，与画正弦函数图像的方法一样，关键要确定五个点．这五个点的坐标是(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．形如y ＝a cos x ＋b ，x ∈[0，2π]的函数，也可由五点法画图像． 练一练1．用“五点法”画出y ＝3＋2cos x (x ∈[0，2π])的图像． 解：(1)列表(2)讲一讲2．(1)求下列函数的定义域． ①y ＝32－cos x ； ②y ＝log 12(2cos x －2)．(2)求函数y ＝3－2cos(2x －π3)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2的值域． [尝试解答] (1)①要使函数有意义，则有32－cos x ≥0， ∴cos x ≤32.可得2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z . 故所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋11π6，k ∈Z .②要使函数有意义，则有2cos x －2>0， ∴cos x >22，故所求定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)∵π6≤x ≤π2，∴0≤2x －π3≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴－12≤cos(2x －π3)≤1，∴1≤3－2cos(2x －π3)≤4，故函数的值域为[1，4]．1．求三角函数的定义域，应归结为解三角不等式，其关键就是建立使函数有意义的不等式(组)，利用三角函数的图像直观地求得解集．2．求三角函数的值域，要充分利用sin x 和cos x 的有界性，对于x 有限制范围的，可结合图像求值域．练一练2. 求函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的最值．解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3(cos x －23)2－13.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14.讲一讲3．(1)判断函数f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )的奇偶性．(2)求函数y ＝cos(π6－x )的单调减区间．[尝试解答] (1)∵f (x )＝cos(π－x )－x cos(π2－x )＝－cos x －x sin x ，∴f (－x )＝－cos(－x )－(－x )sin(－x ) ＝－cos x －x sin x ＝f (x )． ∴函数f (x )是偶函数．(2)y ＝cos(π6－x )＝cos(x －π6)，令2k π≤x －π6≤π＋2k π(k ∈Z )，得π6＋2k π≤x ≤7π6＋2k π(k ∈Z )． ∴函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，7π6＋2k πk ∈Z .1．判断三角函数的奇偶性，首先要观察定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的前提下，再根据f (－x )与f (x )的关系确定奇偶性．2．确定三角函数的单调区间，在理解基本三角函数的单调性的前提下，运用整体代换的思想求解．练一练3．比较下列各组值的大小． (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8与cos 7π6；(2)sin 194°与cos 160°.解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π8 ＝－cos π8.而cos 7π6＝－cos π6∵0<π8<π6<π2.∴cos π8>cos π6.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6.(2)∵sin 194°＝sin(180°＋14°) ＝－sin 14°＝－cos 76°， cos 160°＝cos(180°－20°) ＝－cos 20°.∵0°<20°<76°<90°， ∴cos 20°>cos 76°， ∴－cos 20°<－cos 76°， ∴sin 194°>cos 160°.函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π [解析] 法一：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0，2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形，如图(1)所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC 的面积， 又∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 平面图形＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 法二：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于三角形ABC 的面积(如图(2))． ∵|AC |＝2π，B 到AC 距离等于4.∴S 平面图形＝S △ABC ＝ 12×2π×4＝4π.法三：利用余弦曲线的特点，该平面图形的面积等于矩形ABCD 的面积(如图(3)) ∵|AB |＝π，|AD |＝4. ∴S 平面图形＝S 矩形ABCD ＝4π. [答案] D1．函数y ＝2cos x －1的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1∴－2≤2cos x ≤2， ∴－3≤2cos x －1≤1， ∴最大值为1，最小值为－3.2．函数y ＝－cos x 在区间[－π，π]上是( ) A ．增加的 B ．减少的C ．先增加后减少D ．先减少后增加解析：选D 作出y ＝－cos x 的图像可得选项D 正确． 3．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π，2k π－π2(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )解析：选 C 在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，由图像可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π上，y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减少的．4．函数y ＝cos x1＋cos x 的定义域是________．解析：由1＋cos x ≠0得cos x ≠－1 ∴x ≠π＋2k π，k ∈Z∴ 定义域是{}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z . 答案： {}x |x ≠π＋2k π，k ∈Z5．当x ∈[0，2π]时，方程sin x ＝cos x 的解集是________． 解析：在同一坐标系内画出y ＝sin x 和y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像，如图，可得x ＝π4或x ＝5π4.答案： {π4，5π4}6．比较cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的大小．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos 23π5＝cos 3π5. cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos 17π4＝cos π4. 因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减少的． 所以cos π4>cos 3π5即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.一、选择题1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点 答案：C2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间． 3．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )A ．(－32，12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数． ∴－12≤cos(x ＋π6)≤32.4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为( ) A ．MP B ．M PC ．M ＝PD ．M ∩P ＝∅解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π4(k ∈Z )．∴MP .二、填空题5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )， ∴此函数是奇函数． 答案：奇函数6．比较大小：sin 3π5________cos π5.解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10，0<π10<π5<π2. ∴cos π10>cos π5，即sin 3π5>cos π5.答案：>7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像(如图)，可知有两个交点．答案：28．函数y ＝11－cos x 的值域是________．解析：∵0<1－cos x ≤2. ∴11－cos x ≥12.∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题9．求函数y ＝cos(3x －π4)的单调减区间． 解：由2k π≤3x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ， 得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4，k ∈Z ， ∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 10．求函数y ＝cos 2x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12. ①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34. ②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。

定义编辑角A的邻边比斜边叫做∠A的余弦，记作cosA（由余弦英文cosine简写得来），即cosA=角A的邻边/斜边（直角三角形）。

记作cos=x/r。

余弦是三角函数的一种。

它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。

它是周期函数，其最小正周期为2π。

在自变量为2kπ（k为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2k+1)π时，该函数有极小值-1。

余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

2定理编辑简介三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边；（3）已知三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

（见解三角形公式，推导过程略。

）性质对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——（物理力学方面的平行四边形定则中也会用到）第一余弦定理（任意三角形射影定理）设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos C+c·cos B，b=c·cos A+a·cos C，c=a·cos B+b·cos A。

两根判别法若记m(c1,c2）为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取减号的值①若m(c1,c2）=2，则有两解；②若m(c1,c2）=1，则有一解；③若m(c1,c2）=0，则有零解（即无解）。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此种情况算到第二种情况，即一解。

角边判别法1、当a>bsinA时①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；②当b>a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；④当b=a且cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；⑤当b<a时，则有一解2、当a=bsinA时①当cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；②当cosA<=0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；3、当a<bsinA时，则有零解（即无解）3证明方法编辑平面向量证法∵如图，有a+b=c （平行四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大小）∴c·c=(a+b）·（a+b)∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos（π-θ）（以上粗体字符表示向量）又∵Cos（π-θ）=-CosC∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）再拆开，得c2=a2+b2-2abCosC即CosC=同理可证其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2）/(2ab)就是将CosC移到左边表示一下。

第七章 三角函数7．3.3 余弦函数的性质与图像1.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值及图像变换．2.借助图像理解余弦函数在[0, 2π]上的性质．3．通过学习，提高学生直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养．(一)教材梳理填空 1．余弦函数对于任意一个角x ，都有唯一确定的余弦cos x 与之对应，所以y ＝cos x 是一个函数，一般称为余弦函数．2．余弦函数的性质性质 内容 定义域 R 值域 [－1,_1]周期性 T ＝2k π，k ∈Z ，最小正周期为2π奇偶性 偶函数单调区间在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增，在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π(k ∈Z )时，取得最大值1；x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，取得最小值－1对称性对称轴为x ＝ k π，对称中心为⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0，其中k ∈Z3．余弦函数的图像把正弦函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位就得到余弦函数y ＝cos x 的图像，该图像称为余弦曲线．(二)基本知能小试 1．判断正误(1)余弦函数y ＝cos x 是偶函数，图像关于y 轴对称，对称轴有无数多条．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的图像是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (3)在区间[0,3π]上，函数y ＝cos x 仅在x ＝0时取得最大值1.( ) (4)函数y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．使cos x ＝1－m 有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．0≤m ≤2 C ．－1<m <1D ．m <－1或m >1解析：选B ∵－1≤cos x ≤1，∴－1≤1－m ≤1，解得0≤m ≤2.故选B. 3．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x2 D ．y ＝cos 4x答案：D4．函数y ＝3＋2cos x 的最大值为________． 答案：5题型一 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像[学透用活][典例1] (1)要得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，可以将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的图像沿x 轴( ) A ．向左平移π2个单位B ．向左平移π个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π个单位(2)用“五点法”作函数y ＝1－cos x (0≤x ≤2π)的简图． [解析] (1)选C ∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4－π4， ∴将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4图像上所有点向左平移π4个单位，便可得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图像，故选C.(2)列表：[方法技巧]“五点法”画函数图像的三个步骤作形如y＝A cos(ωx＋φ)＋b，x∈[0,2π]的图像时，可用“五点法”作图，其步骤是：①列表，取x＝0，π2，π，3π2，2π；②描点；③用光滑曲线连成图．这是一种基本作图方法，应该熟练掌握．[对点练清]1．已知函数f(x)＝A cos(ωx＋θ)的图像如图所示，f⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f⎝⎛⎭⎫－π6＝()A．－23B．－12C.23 D.12解析：选A由题图知，T＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，∴f⎝⎛⎭⎫－π6＝f⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f⎝⎛⎭⎫π2＝－23.2．画出函数y ＝3－2cos x ，x ∈[0,2π]的简图． 解：按五个关键点列表，描点画出图像(如图).题型二 余弦函数的最值、值域问题[学透用活][典例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2； (2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由x ∈⎣⎡⎦⎤0， π2可得x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6， 2π3， ∵函数y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π6， 2π3上单调递减， ∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12，32.(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5，令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， 当t ＝－1时，函数取得最大值10； 当t ＝1时，函数取得最小值2. 所以函数的值域为[2,10]． [方法技巧]求余弦函数最值或值域问题的关注点(1)求形如y ＝a cos x 的函数最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值．[对点练清]1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选B ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤2π3.∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数， ∴－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 2．求y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值． 解：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， 从而当cos x ＝－12，即x ＝2π3时，y max ＝154；当cos x ＝12，即x ＝π3时，y min ＝－14.∴原函数在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的最大值为154，最小值为－14. 题型三 余弦函数的性质及应用[学透用活][典例3] (1)f (x )＝x ·sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋x 的奇偶性为________． (2)函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为________． (3)比较下列各组数的大小． ①cos ⎝⎛⎭⎫－π18，cos π10； ②cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8，cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [解析] (1)此函数的定义域R 关于原点对称，且f (x )＝x ⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝x ·(－cos x ) ＝－x cos x ，∴f (－x )＝－(－x )cos(－x )＝x cos x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π4. 令－π＋2k π≤x －π4≤2k π(k ∈Z )，则－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π(k ∈Z )． 所以y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )．(3)①cos ⎝⎛⎭⎫－π18＝cos π18. ∵0＜π18＜π10＜π，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减，∴cos π18＞cos π10，即cos ⎝⎛⎭⎫－π18＞cos π10. ②cos 3π8＝sin π8.∵0＜π8＜3π8＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增， ∴sin π8＜sin 3π8，即0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1.而y ＝cos x 在(0,1)上单调递减， ∴cos ⎝⎛⎭⎫cos 3π8＞cos ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. [答案] (1)奇函数(2)⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z ) [方法技巧]1．求三角函数周期的三种方法 (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|. (3)观察法(图像法)． 2．有关函数奇偶性的结论(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形； 偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形．(2)对于奇函数，当x ＝0属于定义域时必有f (0)＝0. 对于偶函数，任意属于定义域的x 都有f (|x |)＝f (x )． 3．求函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间的技巧(1)求形如y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．(2)具体求解时注意两点：①要把ωx ＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x 的系数化为正；②在A >0，ω>0时，将“ωx ＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A <0，ω>0时，同样的方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．[对点练清]1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析：选B f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1＝－cos πx －1，从而函数f (x )为偶函数，且T ＝2ππ＝2. 2．函数f (x )＝cos 2x 的最小正周期为________．解析：令z ＝2x ，∴f (x )＝cos 2x ＝cos z ＝cos(z ＋2π)＝cos(2x ＋2π)＝cos [2(x ＋π)]，即f (x ＋π)＝f (x )， ∴T ＝π. 答案：π3．比较大小：cos 15π8________cos 14π9.解析：cos 15π8＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π8＝cos π8， cos 14π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－4π9＝cos 4π9. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0<π8<4π9<π，∴cos π8>cos 4π9，∴cos 15π8>cos 14π9.答案：＞[课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题1．x 轴与函数y ＝cos x 的图像的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：选D 函数y ＝cos x 的图像与x 轴有无数个交点． 2．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2， π2上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增函数D ．先增后减函数解析：选C 结合函数在⎣⎡⎦⎤－π2， π2上的图像可知C 正确． 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－ωx 的最小正周期为4π，则ω＝________. 解析：∵4π＝2π|－ω|，∴ω＝±12.答案：±124．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点有________个．解析：作y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像及直线y ＝－12(图略)，可知两函数图像有2个交点．答案：2 二、创新应用题5．求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间．解：y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4，由2k π－π≤x －π4≤2k π，k ∈Z ，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .即该函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－3π4， 2k π＋π4，k ∈Z . [课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图像( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称解析：选C 作出函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的简图(略)，易知它们关于x 轴对称，故选C. 2．使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合为( ) A ．{x |x ＝2k π＋π，k ∈Z } B ．{x |x ＝2k π，k ∈Z } C ．{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }D ．{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }解析：选B 使函数y ＝3－2cos x 取得最小值时的x 的集合，就是使函数y ＝cos x 取得最大值时的x 的集合{x |x ＝2k π，k ∈Z }．3．已知函数y ＝cos x 在(a ，b )上是增函数，则y ＝cos x 在(－b ，－a )上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．增函数或减函数D ．以上都不对解析：选B ∵函数y ＝cos x 为偶函数，∴在关于y 轴对称的区间上单调性相反．故选B. 4．函数y ＝1－2cos π2x 的最小值，最大值分别是( )A ．－1,3B ．－1,1C ．0,3D ．0,1解析：选A ∵cos π2x ∈[－1,1]，∴－2cos π2x ∈[－2,2]，∴y ＝1－2cos π2x 的最小值为－1，最大值为3.5．(多选题)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 解析：选ABD f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，故B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图像可知，C 错误，D 正确．6．利用余弦曲线，写出满足cos x >0，x ∈[0,2π]的x 的区间是____________________． 解析：画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像如图所示．cos x >0的区间为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，2π 7．若函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件， 故a ∈(－π，0]． 答案：(－π，0]8．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)解析：由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 答案：cos 1>cos 2>cos 3 9．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间(k ∈Z )；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 值(k ∈Z )． 解：(1)令－π＋2k π≤3x ＋π4≤2k π(k ∈Z)，可得－5π12＋23k π≤x ≤－π12＋23k π(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋23k π，－π12＋23k π(k ∈Z )．(2)当3x ＋π4＝－π＋2k π，即x ＝－5π12＋23k π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，最小值为－2.10．求作函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像，并求函数的最大值及取得最大值时x 的值．解：列表如下：描点、连线得出函数y ＝－2cos x ＋3在一个周期内的图像：由图可得，当x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，函数取得最大值，y max ＝5.B 级——高考水平高分练1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像(如图)．故选D.2．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω≠0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4等于( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 由题意，知x ＝π4为函数f (x )的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝±2. 3．已知函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫k πx ＋π3的周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数k ＝________. 解析：∵T ＝2πk π＝2k (k ∈N *)，∴1<2k <3(k ∈N *)． ∴23<k <2(k ∈N *)．∴k ＝1. 答案：14．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图像和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积． 解：作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知，该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π，∴S 阴影＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π.5．求函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标，对称轴方程，以及当x 为何值时，y 取最大值或最小值．解：由于y ＝cos x 的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴方程为x ＝k π(k ∈Z )． 又由2x －π3＝k π＋π2，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )；由2x －π3＝k π，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π2＋5π12，3(k ∈Z)，对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． 因为当θ＝2k π(k ∈Z )时，y ＝3－2cos θ取得最小值， 所以当2x －π3＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值1. 同理可得当x ＝k π＋2π3(k ∈Z )时，y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最大值5.6．已知函数f (x )＝2cos ωx (ω＞0)，且函数y ＝f (x )的图像的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的函数图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )的单调递减区间．解：(1)∵f (x )的周期T ＝π，故2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2cos 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)将y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y ＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎭⎫2⎝⎛⎦⎤x 4－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减，因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。

余弦函数的图像和性质课题名称 5.6(1)余弦函数的图像和性质课时 1 课型新授一教学目标知识与技能：1.会用“五点法”作余弦函数在一个周期内的图像.2.借助余弦函数的图像，理解余弦函数的性质（单调性，最大值；最小值，图像与x 轴的交点），理解余弦函数的周期性，奇偶性.3.运用余弦函数的性质解决一些简单的问题.过程与方法：通过主动思考，主动发现，在作余弦函数的图像中亲历知识的形成过程，使学生对余弦函数的性质有一定的理解，培养学生的观察、分析、归纳和表达能力以及数形结合和化归转化的数学思想方法.情感态度与价值观：1.在学习余弦函数的图像时要培养学生类比的能力.2.渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点.二教学重点与难点教学重点：1.“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的余弦函数图像.2. 余弦函数的性质.教学难点：余弦函数性质的理解与应用.三教学方法比较学习的方法与启发式教学. 四教学手段利用多媒体课件sj09、黑板等. 五教学过程【新课导入】任意一个实数x ，有唯一确定的值sin x 与之相对应.由这个对应法则所确定的函数sin y x =叫做正弦函数.学习了正弦函数的图像和性质以后，采用类比的方法，很容易掌握余弦函数图像的画法和性质.【双基讲解】先用“五点法”画出余弦函数cos y x =在[]0,2π上的图像.第一步：列表第二步：描点，并用光滑的曲线连接.因为()cos 2cos k x x π+=，k ∈，所以cos y x =是周期函数.将cos y x =在 []0,2π上的图像向左、向右平移，即得cos y x =()x ∈的图像.余弦函数的图像叫做余弦曲线.1. 余弦函数的性质：(1)定义域和值域见下表：(2)奇偶性定义域：x ∈. ()()cos cos f x x x -=-=.所以cos y x=()x ∈是偶函数. 如图：图像关于y 轴对称(3)单调性当[]()2,2x k k k πππ∈-∈时，函数cos y x =单调递增； 当[]()2,2x k k k πππ∈+∈时，函数cos y x =单调递减.如图：(4)周期性由()()cos 2cos x k x k π+=∈知：函数cos y x =是周期函数，()20k k k π∈≠且都是它的周期，最小正周期是2π.【示范例题】例1求下列函数的周期、最大值和最小值.(1) cos2y x =-； (2) 2cos 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.解 (1) 因为()()()()cos2cos 22cos2f x x x x f x πππ=-=-+=-+=+，所以函数cos2y x =-的周期T π=.因为1cos21x -≤-≤，所以函数cos2y x =-的最大值max 1y =，最小值min 1y =-.(2) 因为()()()12cos 2cos 22cos 44242424x x f x x f x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+=++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以函数2cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的周期4T π=. 因为22cos 224x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数2cos 24x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最大值max 2y =， 最小值min 2y =-.求函数()()cos 0f x x ωω=≠的周期，可运用公式2T πω=.【巩固练习】1. 已知函数1cos y x =-.(1)用“五点法”画出这个函数在[]0,2π上的图像；(2) 求出这个函数的最大值和最小值；(3) 判断这个函数的奇偶性；(4)讨论这个函数在[]0,2π上的单调性.2. 求下列函数的周期、最大值和最小值.(1) 1cos 2y x =； (2) 2cos 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.六课堂小结1.余弦函数的定义；2. 余弦函数的图像；3. 余弦函数的性质；4.会画余弦函数的图像，并根据余弦函数的性质求解相关问题.七布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：。

余弦函数的图像与性质考点解析余弦函数 y ＝cos x ，x ∈R1. 余弦函数的图象．根据角x + k·2π与角x 的余弦值相等，我们可以利用 (0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3 π2，0)，(2 π，1)这五个点作出余弦函数的简图.然后再沿x 轴向左、右分别平移2π，4π，… 就可得到y ＝cos x ，x ∈R 的图象.余弦函数的图象叫做余弦曲线.2. 余弦函数的性质．由单位圆中的余弦线或余弦函数图象,可得余弦函数的性质：（1）值域：［－1，1］当 x ＝2 k π，k ∈ Z 时， y max ＝1；当 x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，y min ＝－1．（2）周期性余弦函数是一个周期函数，2π，4 π，… ，－2π，－4π，…， 2 k π (k ∈Z 且k ≠0)，都是它的周期，2 π 是其最小正周期．（3）奇偶性由公式cos(－x )＝cos x 得知，余弦函数是偶函数，图象关于y 轴对称．（4）单调性余弦函数在闭区间［(2 k －1)π，2 k π］(k ∈Z)上，是增函数；在闭区间［2kπ，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上是减函数．基础知识训练()y 函数 A 2,266k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ B 5+2,2()66k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ()2+2,233k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦cos y x x =函数是（ ）1. 2.A. 奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数也是偶函数1π⎛⎫+ ⎪⎝⎭函数y=3cos x+的值域为（）3 A. [-4,4] B.[-4,2] C.[-2,4]D.⎡-⎣ 272cos ,63x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭函数的值域为（） A. [-1,1] B.[-2,2] C.[-1,2] D.[-3,3]2cos 2cos 3()y x x x R =-++∈函数的最大值和最小值分别是（） A.3,0 B.13-14， C.4,-1 D.4,0 cos (y x x R =∈关于函数），叙述正确的是（）（1）增函数 （2）减函数（3）奇函数 （4）偶函数 （5）周期函数 7.()42ππθ<<若，则下列不等式成立的是 A.sin cos tan θθθ<< B.cos sin tan θθθ<<C.tan cos sin θθθ<<D.sin tan cos θθθ<< 8.3cos 20,62y x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭函数的值域是（）A.⎡-⎢⎢⎥⎣⎦B.3⎡-⎢⎢⎥⎣⎦C.3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦D.⎡-⎣ 9.cos y x =函数的一个单调区间为（） A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.函数 A.()5,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B.(),66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C.()2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D.()2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 11.下列结论中，正确的是（） A.cos cos 32ππ< B.cos cos 36ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.25cos cos 36ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.25cos cos 36ππ< 12.cos 2y x =函数是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.以上均不对13.cos 02θθπθ≤<若且，则的值为（） A.4π B.34π C.544ππ或 D.744ππ或 14.1cos ,2arr θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若则的值为（）4. 1. 6.5. 3.A.3πB.23πC.-3πD.233ππ或综合知识训练 1.11cos y x =+函数的定义域为（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22ππ（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ（C ）{}Z k k x x ∈+≠,2ππ（D ）{}Z k k x x ∈≠,π2.已知函数()x f y =的定义域为[]1,1-，则()x f y cos 2=中x 的取值范围为（） （A ）)(32,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（B ）)(3,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（C ）)(232,23Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ（D ）)(23,23Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ3.若函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πx y 的最大值为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）2 （D ）324.函数x x y cos 4cos 2+=的值域是（ ）（A ）[]3,1- （B ）[]5,5- （C ）[]5,3- （D ）[]5,5- 5.下列关系式中，正确的是（ ）（A ）6cos 4cos ππ> （B ）⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos 3cos ππ。