大学物理教程 第十三章 波动

第十三章 波动机械波和电磁波是波动的两大类．机械波是机械振动在弹性介质中的传播过程，电磁波是变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，两者有本质上的不同，但它们都有波动的共性．例如，它们都有一定的传播速度，携带能量，具有反射、折射、衍射等现象，而且这些现象都服从相同的规律．本章主要讨论机械波的现象和规律，并简要介绍电磁波的基本性质．§13－1 机械波的产生和传播一、机械波及其产生的条件什么叫机械波？先从最常见的水面波讲起．当水滴落入静止的水面上，即可以见到在滴水之处，水发生振动，此处水的振动引起附近水面的振动，附近水面的振动又引起更远处水面振动，这样水的振动就从滴水处向外传播．这种振动在水面上的传播形成水面波(图13－1)．一般地说，当弹性介质中某一处发生振动时，此处的振动引起附近介质的振动，附近介质的振动又引起更远处介质的振动，这样振动就在介质中传播开来，这种机械振动在弹性介质中的传播过程称为机械波动或机械波．常见的机械波除上面讲过的水面波以外，还有绳波和声波．如图13－2．绳的一端固定，另一端用手握住并使之上下振动，这一端的振动引起邻近点的振动，邻近点的振动又引起更远的点的振动，这样振动就由此端向他端传播，形成绳波． 又如当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成声波．从以上波动的例子看出，机械波的产生，第一，要有一个作机械振动的物体，称为波源，例如上述水面波的波源是石落处的水，绳波的波源是绳上振动的一端，声波的波源是音叉、乐器等发声物体，我们说话时发出的声波的波源是声带与其他发声器官；第二，要有传播振动的弹性介质，例如水面波的介质是水，绳波的介质是绳，声波的介质是空气． 应当指出，当波动在介质中传播时，介质中各点仅在它的平衡位置附近作振动，并不沿波的传播方向流动，或随波的传播而前进．木船漂浮在水面上，当水面波经过时，木船仅在它自己的平衡位置附近作椭圆运图13－1 图13－2图13－3动，并不随波浪前进．图13－3中的冲浪运动员之所以能随波前进，是因为在冲浪时，运动员始终努力保持在波浪的前沿，水面给予的倾斜向上的支承力和重力形成了与波的运动方向相同的合力．现在要问：为什么弹性介质中一处发生振动会引起附近介质也发生振动呢？这是机械波的传播机制问题．机械波之所以能够在介质中传播是因为介质具有弹性，当介质中有一点A 离开了它的平衡位置时，介质就发生了形变．由于形变，介质中的其他质点就施一弹性力于质点A ，使A 回复平衡位置，以后它就在平衡位置附近振动，与弹簧振子情形类似．根据牛顿第三定律，质点A 也施反作用力于周围质点，使这些质点离开平衡位置而振动．所以介质中一点的振动会引起邻近质点的振动．邻近质点的振动又会引起更远质点的振动，这样，振动就由近而远地向各个方向传播形成波动．二、横波和纵波从以上波动例子看出，质点的振动方向不一定和波的传播方向相同．如果质点的振动方向和波的传播方向垂直(例如绳波情形)，这种波称为横波，如图13－4所示．如果质点的振动方向和波的传播方向平行(例如声波情形)，这种波称为纵波，如图13－5所示．横波和纵波是自然界存在的最简单的波．三、波的传播速度、波长和周期以及它们之间的关系从图13－4或图13－5可以看出，当波在介质中传播时各质点仅在它们自己的平衡位置附近振动，并不随波前进，仅仅是振动状态(或者说代表振动状态的相位)向前传播．例如质点1于t = 0时的相位是π23(过平衡位置向上或向右运动的状态)，经过T 41时间传到质点4，这时质点4的相位也是π23，经过T 时间后传到质点13，这时质点13的相位也是π23．由此可见，波的传播过程就是振动状态(或相位)的传播过程．在单位时间内振动状态(或相位)传播的距离称为波的传播速度，也称为相速，用v 表示．在波的传播方向上两个相邻的相位相同(相位差为2π)的质点之间的距离称为波长，用λ表示．例如在图13－4或图13－5中，质点1和质点13，或质点4和质点16之间的距离便是一个波长．在横波情形这个距离也等于相邻两个波峰或相邻两个波谷之间的距离，在纵波情形这个距离等于相邻两个稠密区中心或相图13－4 图13－5邻两个稀疏区中心之间的距离．波长即一个完整波形的长度．波前进一个波长的距离所需的时间称为波的周期，从图13－4或图13－5看出，波的周期也等于波源和各质点振动的周期T ．波的周期的倒数称为波的频率，用ν表示，T1=ν．波的频率等于各质点(包括波源)振动的频率，亦等于单位时间内经过波的传播方向上某点的波长的个数．由于波传播一个波长λ的距离所需的时间为波的周期T ，所以单位时间传播的距离为Tλ，即波的传播速度为 Tλ=v （13－1） 或 νλ=v （13－2） 以上二式为波速、波长和波的周期或频率的基本关系．四、关于波动的几个概念下面介绍关于波动的几个概念，便于以后引用．我们已经知道，当波在介质中传播时，介质中各质点仅在它们各自的平衡位置附近作振动，并不随波前进．在某一时刻由振动相位的值相等的各点连成的面称为同相面，在某一时刻由波动传到的各点连成的面称为该时刻的波阵面，或称波前．显然波阵面是最前面那个同相面．波阵面为平面的波称为平面波，波阵面为球面的波称为球面波．波的传播方向称为波射线或波线．在各向同性的均匀介质中波线与波阵面垂直．在均匀无限大的介质中，点波源产生的波是球面波，球心在点波源处．波线是从波源发出的半直线．从远处传来的波可看作是平面波，波线是一束平行直线(图13－6)． 例题13－1 当空气中的声速为v = 320 m/s 时，振动频率为ν = 400 Hz 的音叉产生的声波的波长λ是多少？当音叉完成30次振动时，声波传播了多远？解 波源的频率就是波的频率．由波长、频率和波速之间的基本关系式得m 0.800m 400320===νλv音叉完成一次振动所需时间就是它的周期T ，所以完成30次振动所需时间为 ν13030==T t 在此时间内声波传播的距离为m 24.0m 4003032030=⨯===νv v t s §13－2 机械波的传播速度图13－6什么介质能够传播横波？什么介质能够传播纵波？波的传播速度与哪些因素有关？为了说明这些问题，我们从物质的弹性讲起．一、物质的弹性物体在外力作用下其长度、形状或体积都可能发生改变，这种改变称为形变．如果物体的形变不超过某一限度，外力撤除后物体就会恢复原状，这种形变称为弹性形变．外力撤除后物体就会恢复原状的性质称为弹性．当物体在外力作用下发生弹性形变时，物体内各部分之间出现一种相互作用力，企图抵抗形变，使物体恢复原状．单位面积的恢复力称为应力，与物体内两部分的分界面垂直的应力称为法向应力，与分界面平行的应力称为切向应力，法向应力又分为压应力和张应力．当物体在外力作用下发生弹性形变时，其长度或体积的改变与其原来的长度或体积之比称为应变．最简单的应变有三种，即线应变、体应变、切应变，分别讨论如下： 1．线应变 如图13－7，设有长为l 、截面积为S 的棒状物体，当其两端受到相等而方向相反的拉力(或压力)F 作用时，其长度伸长(或缩短)了Δl ．物体的长度的改变与其原来长度之比称为线应变，即 线应变 = Δl / l 在棒中位置B 处取一横截面，则B 的左右两部分互施以相等而相反的拉力(或压力)，若考虑其中一部分(例如AB 部分)的平衡条件，可以知道，这两部分互施的拉力等于外力F ，这时的应力是法向应力，其值为法向应力 = F / S实验表明法向应力与线应变成正比例，即E ll S F =/Δ/ （13－3） 其中E 为比例系数，称为弹性模量，也称杨氏模量．2．体应变如图13－8，设有体积为V 的立方体，当其各面受到相等压力(或拉力)F 作用时，其体积缩小(或增大)了ΔV ，但其形状不变，物体体积的改变与其原来体积之比称为体应变，即体应变 = ΔV / V设S 为立方体的一个截面的面积，显然这个截面所分隔开的两部分互施的压力(或拉力)亦等于外力F ，这时应力是法向应力，其值为法向应力 = F / S实验表明，法向应力与体应变成正比例，即K VV S F =/Δ/ （13－4） 其中K 为比例系数，称为体积模量．3．切应变如图13－9，长方体的上下底面受到相等而方向相反的切向力F 作用时，长方体变为斜方体，但其体积不变．这种只改变形状不改变体积的形变称为切变．当 图13－7长方体中矩形ABCD 变为平行四边形 ABC'D' 时，每一平行于AD 的直线都转过了一角度φ，上底面相对于下底面的位移为DD' = Δx ，上下底面的相对位移与它们之间的距离之比称为切应变，即切应变 =ADx Δ= tan φ ≈ φ 在长方体内部任取一与上下底面平行的平面，则平面上下两部分互施以相等而方向相反的切向力，其大小等于外力F ，这时应力为切向应力，其值为切向应力 = F / S实验表明，切向应力与切应变成比例，即G SF =ϕ/ （13－5）其中G 为比例系数，称为切变模量．如上所述，应力是物体发生形变时出现于物体内各部分之间企图抵抗应变使物体恢复原状的力，切向应力是抵抗切应变使物体恢复原来形状的力．当液体或气体的形状改变时，它没有恢复原来形状的倾向，也就是没有抵抗切应变的力，所以液体或气体不能产生切向应力．物体弹性形变的势能 以棒伸长为例推导弹性势能公式．如图13－7，棒在外力F 作用下伸长时，外力对棒作了功，此功转变为棒的势能．当棒伸长为x 时，由(13－3)式得lx ES F = 根据变力的功的公式(3－5)式，当棒伸长Δl 时，力F 所作的功为()22Δ0Δ0Δ21Δ21d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰l l ESl l l ES x x l ES x F W l l 但Δl /l 为线应变，Sl 为棒的体积，所以上式可以写为21=W (杨氏模量)×(线应变)2×体积 （13－6） 这就是弹性物体的形变势能，所以单位体积的形变势能为21p =w (杨氏模量)×(线应变)2 （13－7） 对于其他类型的弹性形变，上式也适用，只需将该类型的弹性模量和应变代替式中的杨氏模量和线应变即可．二、传播横波和纵波的介质 波的传播速度图13－8 图13－9我们现在可以来说明什么介质能够传播横波，什么介质能够传播纵波．根据上节关于波的传播机制的讨论，波之所以能够在介质中传播是因为介质发生形变时，介质中各质点之间有弹性力作用．但不同类型的波在介质中引起的形变不相同，因而对应的弹性力亦不相同．假设有一横波在介质中传播，图13－10表示在某一时刻介质中的波形．取其中的一段放大，可以设想把介质分成许多薄层，各个薄层和波的传播方向垂直．以薄层AB 为例，这个薄层由原来的长方体(虚线位置)变为斜方体(阴影部分)，这种形变就是切应变，对应的弹性力就是切向应力．所以当横波在介质中传播时，介质的形变是切变，对应的弹性力是切向应力．但液体和气体都不能产生切向应力，所以都不能传播横波．只有固体才能传播横波．当纵波在介质中传播时，介质被压缩或被拉伸，这种形变是体应变，对应的弹性力是法向应力(压应力或张应力)，固体、液体和气体都能够产生法向应力，所以都能够传播纵波．机械波传播的速度完全取决于介质的弹性和惯性，即取决于介质的弹性模量和密度，可以证明横波在固体中的传播速度为ρG=v （13－8） 其中G 为固体的切变模量，ρ为固体的密度．纵波的传播速度为ρK=v （13－9） 其中K 为介质的体积模量．如果纵波是沿一细棒状的介质传播，则体积弹性模量可用杨氏模量代替，即ρE=v （13－10）对于大多数金属材料来说，E 和K 可认为近似地相等．固体的杨氏模量大于切变模量，所以在固体中纵波的传播速度大于横波的传播速度．根据以上讨论，波的传播速度与介质有关，即与介质的弹性模量和密度有关．但波的频率就是波源振动的频率，与介质无关．因此由波动的基本关系式νλ=v 可知，波长与介质有关．§13－3 平面简谐波的波函数如果在一波动中波源作简谐振动，介质中其他各质点也作简谐振动，这种波称为简谐波．因为任何复杂的振动都可以看成是由许多频率不同的简谐振动合成的，所以任何复杂的波都可以看成是由许多频率不同的简谐波合成的．本节只讨论平面简谐波的波函数．假设有一平面简谐波以速度v 沿x 轴的正方向传播，如图13－11．同相面就是一系列垂直于x 轴的平面，x 轴就是波线．因为在同一同相面上各点的振动情况相同，所以，轴上各点的振动也就代表了整个波动的情况．我们的问题就是找出能够概括x 轴上各点的振动情况的函数，这样的函数称为平面简谐波的波函图13－10数．假设原点O 处质点的振动方程为y = A cos ωt （13－11）其中A 为振幅，ω为圆频率，y 为振动点在时刻t 对于平衡位置的位移．对于横波，位移与x 轴垂直；对于纵波，位移沿x 轴方向．设P 为波线上任一点，其平衡位置的坐标为x ，因为O 点作简谐振动，当波传到P 点时，P 点亦作简谐振动，振动的振幅和频率与O 点相同，但它的相位落后于O 点的相位．这是因为波的传播就是振动相位的传播，而波从O 点传播到P 点需要时间v x ，所以O 点在t 时刻的相位等于P 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t 时刻的相位．或者说P 点在t 时刻的相位等于O 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t 时刻的相位．由(13－11)式，O 点在t 时刻的相位为ωt ，所以P 点在t 时刻的相位为⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t ω，其位移为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos （13－12） 因为νωπ2π2==T，λ=vT ，所以上式可以写为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λνλx t A x T t A y π2cos π2cos （13－13） (13－12)或(13－13)式给出波线上任一点(其平衡位置的坐标为x )在任一时刻的位移，所以该表达式概括了波线上所有各点的振动情况，该表达式就是平面简谐波的波函数．下面我们再进一步分析波函数的意义．波函数(13－12)中有两个自变量x 和t ，当x 一定时，y 只是t 的函数，这时(13－12)式代表坐标为x 的点的振动方程，这是我们所熟知的简谐振动方程．这说明波线上任一点的振动是简谐振动．图 图13－11图13－12 图13－1313－12画出的是简谐振动的y －t 曲线．当t 一定时，y 只是x 的函数，这时波函数给出在给定时刻t 波线上各点的位移，若以x 为横坐标、y 为纵坐标作曲线，便得出如图13－13的曲线．它表示在给定时刻t 波线上各质点的分布情况，也就是该时刻的波形．如果x 和t 都变化，则波函数表示波线上任一点在任一时刻的位移，如以x 为横坐标、y 为纵坐标画出t 1时刻及t 1 +Δt 时刻的波形，便得到如图13－14所示的二曲线．其中实线表示t 1时刻的波形，虚线表示t 1 +Δt 时刻的波形．在t 1时刻的波形上任取一点A ，在t 1 +Δt 时刻的波形上沿波的传播方向取一点B ，使A 、B 两点有相同的位移．设A 、B 两点的横坐标分别为x 及x +Δx ，则Δx 为A 、B 两点间的距离，也就是在Δt 时间内波形移动的距离．根据(13－12)式，A 点上的相位是⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t 1ω，B 点的相位是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+v x x t t ΔΔ1ω，这两点的位移相等，所以它们的相位相同，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-v v x x t t x t ΔΔ11ωω 由此得Δx = v Δt ．由此可见在Δt 时间内波形向前移动了距离v Δt ．这表示波形以速度v 向前传播，这种在空间传播的波称为行波．以上假设波以速度v 由左向右传播．如果图13－10中波以速度v 由右向左传播，即向x 轴的负方向传播，则O 点的相位落后于P 点的相位，落后的时间为vx ．所以在t 时刻P 点的相位等于O 点在⎪⎭⎫ ⎝⎛+v x t 时刻的相位，故P 点的位移为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=v x t A y ωcos （13－14） 这就是沿x 轴的负方向传播的平面简谐波的波函数．例题13－2 有一沿x 轴正向传播的平面余弦波，原点的振动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=-3π9πcos 100.62t y 其中y 以m 为单位，t 以s 为单位，波长λ = 36 m ，试求(1) 波函数；(2) x = 9.0 m 处质点的振动方程；(3) t = 3.0 s 时的波形及该时刻各波峰的位置坐标．解 (1) 由(13－13)式，波函数可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕλνx t A y π2cos 图13－14其中φ为原点振动的初相．根据题意，A = 6.0×10-2 m ，1-s 1812π9ππ2===ων，λ = 36 m ，3π=ϕ，代入上式得波函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π3618π2cos 100.62x t y或 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-3π29πcos 100.62x t y （13－15） 其中x 及y 以m 为单位，t 以s 为单位．(2) 在(13－15)式中令x = 9.0 m ，即得所求的振动方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-6π9πcos 100.62t y (3) 在(13－15)式中令t = 3.0 s ，即得该时刻的波形：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=-18π32πcos 100.62x y （13－16） 波峰为位移最大值，故在波峰处y = 6.0×10-2 m ．将此式与(13－16)式比较得知：118π32πcos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 由此得 π218π32πk x =- x = (12 - 36k ) m ， k = 0，±1，±2，…这就是各波峰的位置坐标．例题13－3 图13－15中实线为一平面余弦横波在，t = 0时刻的波形图，此波形以v = 0.080 m/s 的速度沿x 轴正向传播，试求：(1) a 、b 两点的振动方向；(2) O 点的振动方程；(3) 波函数．解 (1) 因波的传播是波形的传播，故经Δt 时间后波形沿传播方向行进至图中虚线位置．在波的传播过程中，各质点只在各自的平衡位置附近振动，并不随波前进，从图看出，经Δt 时间后a 点已运动到它在t = 0时刻的位置的下方，b 点运动到它在t = 0时刻的位置的上方，即在t = 0时刻，a 点向下运动，b 点向上运动．(2) 由图看出波的振幅A = 0.20 m ．波长λ = 0.40 m ，已知波速v = 0.080 m/s ，由波动基本关系λ = v T 得波的周期：s 5.0s 080.040.0===v λT O 点的初相φ可求之如下：t = 0时．O 点的位移y = 0，即其初相2π=ϕ或23π，又因O 点向下运动，即振动速度为负，故应取2π=ϕ，则O 点的振动方程为图13－15⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2π5π2cos 20.0π2cos t T t A y ϕ 其中t 以s 为单位，y 以m 为单位．(3) 由O 点的振动方程可得该平面余弦波的波函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2π080.05π2cos 20.0cos x t x t A y ϕωv 其中t 以s 为单位，y 以m 为单位．§13－4 波的能量 能流密度波的传播过程就是振动的传播过程，波传到哪里，哪里的介质元就发生振动，因而具有动能．同时这介质元还要发生形变，因而又具有弹性势能．因此波传播到哪里，哪里就具有能量．波的传播过程既是振动的传播过程，又是能量的传播过程．一、波的能量下面以简谐纵波在棒中沿棒长方向传播为例，推求波的能量公式．设简谐纵波的波函数为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos （13－17） 如图13－16，在棒上取一体积元BC 来考虑．棒在平衡位置时B 处的坐标为x ，C 处坐标为x + Δx ，即BC 的原长为Δx ．设棒的横截面积为S ，密度为ρ，则这体积元的体积ΔV = S Δx ，质量为Δm = ρΔV ．由(13－17)式得这体积元在任一时刻t 的速度为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂=v x t A t y u ωωsin 其动能为⎪⎭⎫ ⎝⎛-==v x t A V mu W ωωρ2222k sin Δ2121Δ （13－18） 假设在时刻t ，B 处的位移为y ，C 处的位移为y +Δy (图13－15)，则这一时刻体积元的伸长为Δy ，其线应变为x y ΔΔ或xy ∂∂．由(13－17)式得 线应变=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂v v x t A x y ωωsin 由(13－6)式得体积元的弹性势能为V x t A E V x y E W Δsin 21Δ21Δ2222p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=v v 2ωω 因ρ/E =v ，故有ρ2v =E ，代入上式得图13－16⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A V W ωωρ222p sin Δ21Δ （13－19） 比较(13－18)及(13－19)两式可以看出，在任一时刻体积元的动能和势能完全相等，而且相位也相同，动能达最大值时，势能也达最大值；动能为零时，势能也为零．将(13－18)及(13－19)两式相加得体积元的总能量为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=v x t A V W W W ωωρ222p k sin ΔΔΔΔ （13－20） 上式指出，体积元的总能量并不守恒，它随着时间t 作周期性的变化．在一个给定时刻，棒中各个体积元的总能量又是随着x (体积元的平衡位置坐标)作周期性变化，它不断地从前面的介质吸收能量，又不断地把能量传递给后面的介质，就这样通过各个体积元不断地吸收和传递能量，使能量随波的传播而传播．介质中每单位体积的能量称为能量密度，用w 表示，由(13－20)式得⎪⎭⎫ ⎝⎛-==v x t A V W w ωρω222sin ΔΔ 波的能量密度是随时间而变化的，它在一周期内的平均值称为平均能量密度．因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-v x t ω2sin 在一周期内的平均值为21，所以平均能量密度为 2221A w ρω= 二、能流和能流密度如上所述，波的传播过程就是能量的传播过程，因此我们可以引入能流概念．单位时间内通过某一面积传播的能量称为通过该面积的能流．设S 为介质中垂直于传播方向(即波速v 的方向)的面积，以S 为底v 为高作一柱体(图13－17)，则单位时间内通过面积S 的能量(即通过该面的能流)都包含在这柱体内．但这柱体内的能量是随时间而变化的，我们可以求它的平均值．因为柱体体积为v S ，平均能量密度为w ，所以柱体内的平均能量为v S w ．这就是单位时间内通过面积S 的平均能量，称为平均能流，用p 表示，则S A S w p v v 2221ρω== Sp 为通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流，称为能流密度或波的强度，其大小用I 表示，则 v 2221A S p I ρω== 依定义，能流密度为一矢量，其方向为波速v 的方向，故可写为图13－17v 2221A ρω=I 三、平面波的振幅和球面波的振幅在推导平面简谐波的波函数 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v x t A y ωcos 时，我们假定介质中各质点的振幅不变，现在我们从能量观点来看振幅不变的意义．设在垂直于波的传播方向取两个平面，其面积都等于S ，使这两个面成为同一柱体的两个截面，如图13－18，设1p 、2p 为通过这两个面的平均能流，则S A S w p v v 2121121ρω== S A S w p v v 2222221ρω== 其中A 1、A 2分别为这两个面积处的振幅．从以上二式看出，如果A 1 = A 2，则1p =2p ．即如果波的振幅不变，则通过这两面积的能流相等，有多少能量从左边流入两面之间的空间，就有多少能量从右边流出去．这说明介质不吸收波的能量．所以平面简谐波的振幅不变的意义是介质没有吸收波的能量(即没有把波的机械能转变为其他形式的能量)．但在球面波情形，即使介质不吸收波的能量，波的振幅也要逐渐减小．设在距波源O 为r 1及r 2处取两个球面，其面积各为S 1 = 4πr 12，S 2 = 4πr 22，如图13－19．在介质不吸收波的能量的情况下，通过这两个球面的平均能流相等，即2222221212π421π421r A r A v v ρωρω= 其中A 1、A 2分别为两个球面上的振幅．由上式得1221r r A A = 即波的振幅与离开波源的距离成反比．因此球面简谐波的波函数为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=v r t r A y ωcos 式中r 为离开波源的距离，A 在数值上等于离开波源单位距离处波的振幅．§13－5 惠更斯原理及其应用图13－18 图13－19一、惠更斯原理前面讲过，波动之所以能够产生和传播是因为介质中有波源作振动．又由于介质中各质点之间有相互作用，波源的振动引起它附近各点的振动，附近各点的振动又引起更远各点的振动，由此可见波动传到的各点在波的产生和传播方面所起的作用和波源没有什么区别，都引起它附近介质的振动，因此波动传到的各点都可看作新的波源．例如有任意形状的波在水面上传播，AB 为障碍物，AB 有小孔a ，小孔a 的线度远小于波长，这样就可以看见，穿过小孔的波是圆形波，圆心在小孔处，这说明波传到小孔后，小孔成为波源(图13－20)．惠更斯分析和总结了类似的现象，于1690年提出如下原理：介质中波动传到的各点都可以看作是新的波源，由这些新波源发射的波称为次级子波，其后任一时刻这些子波的包络就是该时刻的新波阵面．这就是惠更斯原理．惠更斯原理对机械波或电磁波都适用，不论这些波经过的介质是均匀的或非均匀的，是各向同性的或各向异性的，只要知道某一时刻的波阵面，都可以根据这一原理来决定次一时刻的波阵面．下面以平面波和球面波为例，应用惠更斯原理由某一时刻的波阵面求次一时刻的波阵面．设平面波以速度v 在均匀的各向同性的介质中传播，在某一时刻波阵面的位置是AB ，求τ时间后的波阵面．根据惠更斯原理，AB 上每一点都可以看作发射子波的波源，这些子波亦以速度v 传播，在τ时间后，这些子波的半径为v τ．作各点发出的子波，这些子波的前方包络面显然是平行于AB 的平面A 1B 1，根据惠更斯原理这一包络面就是τ时间后的波阵面．所以一个平面波在均匀的各向同性的介质中传播时，以后仍然是平面波，其传播方向不变(图13－21)．设有球面波在均匀的各向同性的介质中传播，速度为v ，在某时刻波阵面是半径为R 的球面，求τ时间后的波阵面．根据惠更斯原理，球面上每一点都可以(a) (b)图13－20图13－21 图13－22。