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进位计数制及其转换进位计数制是一种数的表示方法，它是人们在数数过程中逐渐形成的一种计数方法。
进位计数制是基于进位原理的，它使用一定的符号或数字来表示数目的大小。
这种计数方法在人们的日常生活中广泛应用，不仅可以用来表示数字，还可以用来表示其他事物的序号，比如标题。
一、进位计数制的基本原理进位计数制是建立在进位原理之上的一种计数方法。
所谓进位原理，就是在计数过程中，当一个位上的数达到一定值时，就要向高位产生进位，同时将该位的值归零。
以十进制为例，当个位上的数达到9时，就需要在十位上进位，并将个位的值变为0。
同样的，当十位上的数达到9时，就需要在百位上进位，并将十位的值变为0。
依次类推，进位计数制可以无限扩展，可以表示任意大的数。
二、进位计数制与标题的转换进位计数制不仅可以用来表示数字，还可以用来表示标题。
在标题中，我们常常使用罗马数字作为进位计数制来表示文章的序号。
罗马数字有七个基本符号：I、V、X、L、C、D、M，分别表示1、5、10、50、100、500、1000。
通过组合这些符号，可以表示任意的数目。
例如，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第一章"的文章。
在罗马数字中，"第一"可以用"I"表示，"章"可以用"章"表示。
因此，"第一章"可以表示为"I章"。
同样的，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第二十五章"的文章。
在罗马数字中，"第二十五"可以用"XXV"表示，"章"可以用"章"表示。
因此，"第二十五章"可以表示为"XXV章"。
三、进位计数制在生活中的应用进位计数制不仅在数学中有重要的应用，也在我们的日常生活中有广泛的应用。
一：简述：进位计数制：是人们利用符号来计数的方法。
一种进位计数制包含一组数码符号和两个基本因素。
（1）数码：用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为”数码”。
（2）基：数制所使用的数码个数称为”基”。
（3）权：某数制每一位所具有的值称为”权”。
二：进制转换的理论1、二进制数、十六进制数转换为十进制数：用按权展开法把一个任意R进制数a n a n-1 ...a1a0 . a-1a-2...a-m转换成十进制数，其十进制数值为每一位数字与其位权之积的和。
a n×R n+ a n-1×R n-1+…+ a1×R 1+ a0×R0+ a-1×R-1+ a-2×R-2 + …+ a-m×R-m2、十进制转化成R进制十进制数轮换成R进制数要分两个部分：整数部分：除R取余数，直到商为0，得到的余数即为二进数各位的数码，余数从右到左排列(反序排列)。
小数部分：乘R取整数，得到的整数即为二进数各位的数码，整数从左到右排列(顺序排列)。
3、十六进制转化成二进制每一位十六进制数对应二进制的四位，逐位展开。
4、二进制转化成十六进制将二进制数从小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制小数）每四位组成一组，不足四位补零。
三、具体实现1、二进制转换成十进制任何一个二进制数的值都用它的按位权展开式表示。
例如：将二进制数(10101.11)2转换成十进制数。
（10101.11）2＝1*24＋0*23＋1*22＋0*21＋1*20＋1*2-1＋1*2-2＝24＋22＋20＋2-1+2-2＝(21.75)102、十进制整理转换成二进制将十进制整数转换成二进制整数采用“除2取倒余法”。
即将十进制整数除以2，得到一个商和一个余数；再将商除以2，又得到一个商和一个余数；以此类推，直到商等于零为止。
每次得到的余数的倒排列，就是对应二进制数的各位数。
各种进位制的相互转换
对进位制不了解的请先看这篇文章：进位制的基与数字
1 q→10转换适用通常的10进数四则运算规则，根据公式(1)，可以把q进数a(q)转换为10进数表示.例如
2 10→q转换转换时必须分为整数部分和分数部分进行.
对于整数部分其步骤是：
(1) 用q去除[a(10)]，得到商和余数.
(2) 记下余数作为q进数的最后一个数字.
(3) 用商替换[a(10)]的位置重复(1)和(2)两步，直到商等于零为止.
对于分数部分其步骤是：
(1)用q去乘{a(10)}.
(2)记下乘积的整数部分作为q进数的分数部分第一个数字.
(3)用乘积的分数部分替换{a(10)}的位置，重复(1)和(2)两步，直到乘积变为整数为止，或直到所需要的位数为止.例如：
103.118(10)=147.074324 (8)
整数部分的草式
分数部分的草式
3 p→q转换通常情况下其步骤是：a(p)→a(10)→a(q).如果p,q是同一数s的不同次幂，其步骤是：a(p)→a(s)→a(q).例如，8进数127.653(8)转换为16进数时，由于8=23，16=24，所以
s=2，其步骤是：首先把8进数的每个数字根据8-2转换表转换为2进数(三位一组)
127.653(8)=001 010 111.110 101 011(2)
然后把2进数的所有数字从小数点起(左和右)每四位一组分组，从16-2转换表中逐个记下对应的16进数的数字，即。
计算机进制之间的相互转换一、进位计数制所谓进位计数制是指按照进位的方法进行计数的数制，简称进位制。
在计算机中主要采用的数制是二进制，同时在计算机中还存在八进制、十进制、十六进制的数据表示法。
下面先来介绍一下进制中的基本概念：1、基数数制是以表示数值所用符号的个数来命名的，表明计数制允许选用的基本数码的个数称为基数，用R表示。
例如：二进制数，每个数位上允许选用0和1，它的基数R＝2；十六进制数，每个数位上允许选用1，2，3，…，9，A，…，F共16个不同数码，它的基数R＝16。
2、权在进位计数制中，一个数码处在数的不同位置时，它所代表的数值是不同的。
每一个数位赋予的数值称为位权，简称权。
权的大小是以基数R为底，数位的序号i为指数的整数次幂，用i表示数位的序号，用Ri表示数位的权。
例如，543．21各数位的权分别为102、101、100、10-1和10-2。
3、进位计数制的按权展开式在进位计数制中，每个数位的数值等于该位数码与该位的权之乘积，用Ki表示第i位的系数，则该位的数值为KiRi。
任意进位制的数都可以写成按权展开的多项式和的形式。
二、计算机中的常用的几种进制。
在计算机中常用的几种进制是：二进制、八进制、十进制和十六进制。
二进制数的区分符用字母B表示，八进制数的区分符用字母O表示，十进制数的区分符用字母D表示或不用区分符，十六进制数的区分符用字母H表示。
1、二进制（Binary System）二进制数中，是按“逢二进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为0，1，二进制数的基为“2”，权是以2为底的幂。
2、八进制（Octave System）八进制数中，是按“逢八进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为0，1，2，3，4，5，6，7，八进制数的基为“8”，权是以8为底的幂。
3、十进制（Decimal System）十进制数中，是按“逢十进一”的原则进行计数的。
其使用的数码为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，十进制数的基为“10”，权是以10为底的幂。
进位计数制及其相互转换我们每天都在和数字打交道，从简单的计数到复杂的运算，数字似乎无处不在。
但你有没有想过，这些数字背后的进位计数制是多么神奇和有趣呢！进位计数制就像是一座数字的大厦，有着不同的楼层和房间。
比如十进制，这是我们最熟悉的啦，满十就进一位，多直观啊！就好像我们上楼梯，走满十级就到了新的一层。
再说说二进制，这可不得了，在计算机的世界里，它可是大明星呢！二进制只有 0 和 1 两个数字，是不是很简单粗暴？但就是这么简单的它，却能构建出无比复杂的计算机系统，就像小小的积木能搭出宏伟的城堡一样。
还有八进制、十六进制等等，它们都有着自己独特的魅力和用途。
八进制就像是一个小巧灵活的工具，在某些特定的领域发挥着重要作用；十六进制呢，则像是一位神秘的魔法师，在编程和数字处理中施展着奇妙的魔法。
那这些进位计数制之间怎么转换呢？这就像是打开不同房间的钥匙啦！通过一定的规则和方法，我们可以在十进制、二进制、八进制、十六进制之间自由穿梭，就像在数字的大厦里随意串门一样。
比如说，把十进制转换为二进制，不就是把一个大蛋糕切成一块块的小蛋糕吗？每一块小蛋糕就是一个 0 或 1。
而把二进制转换回十进制，不就是把那些小蛋糕又拼成一个大蛋糕嘛，是不是很形象？我们习惯了十进制的直观，但当我们深入了解其他进位计数制后，就会发现一个全新的数字世界在等待着我们去探索。
这难道不令人兴奋吗？想想看，我们就像探险家一样，在数字的丛林中寻找着宝藏和秘密。
进位计数制及其相互转换，真的是数字世界中最迷人的部分之一。
它们让数字变得更加丰富多彩，也让我们的计算和处理更加灵活高效。
所以啊，我们可不要小瞧了这些进位计数制，它们可是有着大能量呢！我们要好好掌握它们，利用它们，让数字为我们服务，创造出更多的精彩和可能！。
进位计数制及其转换方法过程详解
数制也称计数制,是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。
按进位的原则进行计数的方法,称为进位计数制。
比如，在十进位计数制中,是按照“逢十进一”的原则进行计数的。
常用进位计数制：
1、十进制(Decimal notation)，有10个基数：0 ~~ 9 ，逢十进一；
2、二进制(Binary notation)，有2 个基数：0 ~~ 1 ，逢二进一；
3、八进制(Octal notation)，有8个基数：0 ~~ 7 ，逢八进一；
4、十六进制数(Hexdecimal notation)，有16个基数：0 ~~ 9，A，B，C，D，E，F (A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15) ，逢十六进一。
二、进位计数制的基数与位权
"基数"和"位权"是进位计数制的两个要素。
1、基数：
所谓基数，就是进位计数制的每位数上可能有的数码的个数。
例如，十进制数每位上的数码，有"0"、"1"、"3",…，"9"十个数码，所以基数为10。
2、位权：
所谓位权，是指一个数值的每一位上的数字的权值的大小。
例如十进制数4567从低位到高位的位权分别为100、101、102、103。
因为：
4567＝4x103＋5x 102＋6x 101 ＋7x100
3、数的位权表示：
任何一种数制的数都可以表示成按位权展开的多项式之和。
比如：十进制数的435．05可表示为：
435．05＝4x102＋3x 101＋5x100＋0x10－1 ＋5x 10－2
位权表示法的特点是：每一项＝某位上的数字X基数的若干幂次；而幂次的大小由该数字所在的位置决定。
三、二进制数
计算机中为何采用二进制：二进制运算简单、电路简单可靠、逻辑性强。
1、定义：
按“逢二进一”的原则进行计数，称为二进制数，即每位上计满2 时向高位进一。
2、特点：
每个数的数位上只能是０，１两个数字；二进制数中最大数字是１，最小数字是０；基数为２；
比如：10011010与00101011是两个二进制数。
3、二进制数的位权表示：
(1101.101)2＝1x23＋1x 22＋0x 21＋1x 20＋1x2－1 ＋0x 2－2＋1x2－3
4、二进制数的运算规则：
加法运算
① 0＋0＝0 ③ 1＋1＝10
② 0＋1＝1＋0＝1
乘法运算
① 0×0＝0 ③ 1×1＝1
② 0×1＝1×0＝0
四、八进制数
1、定义：
按“逢八进一”的原则进行计数，称为八进制数，即每位上计满8时向高位进一。
2、特点：
每个数的数位上只能是０、１、2、3、4、5、6、7八个数字；八进制数中最大数字是7，最小数字是０；基数为8；
比如：(1347)8与(62435)8是两个八进制数。
3、八进制数的位权表示：
(107．13)8＝1x 82＋0x 81＋7x 80＋1x8－1 ＋3x 8－2
五、十六进制数
1、定义：
按“逢十六进一”的原则进行计数，称为十六进制数，即每位上计满16时向高位进一。
2、特点：
每个数的数位上只能是０、１、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码；十六进制数中最大数字是F，即15，最小数字是０；基数为16；
比如：(109)16与(2FDE)16是两个十六进制数。
3、十六进制数的位权表示：
(109．13)16＝1x 162＋0x161＋9x 160＋1x16－1 ＋3x 16－2
(2FDE)16＝2x 163＋15x 162＋13x 161＋14x 160
六、常用计数制间的对应关系
二进制数、八进制数、十六进制数及十进制数是现代数字系统中常用的四种数制，这几种进位制计数制之间的对应关系如表1所列。
表1 常用计数制数的表示方法
把十进制整数逐次用任意十制数的基数去除，一直到商是0 为止，然后将所得到的余数由下而上排列即可。
②十进制小数转换成非十进制小数转换方法
十进制小数转换成非十进制小数采用“进位法”，即乘基数取整数。
把十进制小数不断的用其它进制的基数去乘，直到小数的当前值等于0或满足所要求的精度为止，最后所得到的积的整数部分由上而下排列即为所求。
2、非十进制数转换成十进制数
非十进制数转换成十制数采用“位权法”，即把各非十进制数按位权展开，然后求和。
3、二、八、十进制数之间转换
（1）二进制数与八进制数之间的转换转换方法
①把二进制数转换为八进制数时，按“三位并一位”的方法进行。
以小数点为界，将整数部分从右向左每三位一组，最高位不足三位时，添0补足三位；小数部分从左向右，每三位一组，最低有效位不足三位时，添0补足三位。
然后，将各组的三位二进制数按权展开后相加，得到一位八进制数。
②将八进制数转换成二进数时，采用“一位拆三位”的方法进行。
即把八进制数每位上的数用相应的三位二进制数表示。
③二进制数与十六进制数之间的转换转换方法
a、把二进制数转换为十六进制数时，按“四位并一位”的方法进行。
以小数点为界，将整数部分从右向左每四位一组，最高位不足四位时，添0补足四位；小数部分从左向右，每四位一组最低有效位不足四位时，添0补足四位。
然后，将各组的四位二进制数按权展开后相加，得到一位十六进制数。
b、将十六进制数转换成二进数时，采用“一位拆四位”的方法进行。
即把十六进制数每位上的数用相应的四位二进制数表示。
