进位计数制及相互转换

进位计数制及其相互转换整理人：星辰·樱1.常用的进位计数制进位计数制，简称数制，是人们利用符号来计算的方法。

在计算机中常用到的数制是十进制、二进制、八进制和十六进制。

数制中的三个基本名词术语：·数码－－用不同的数字符号来表示一种数制的数值，这些数字符号称为“数码。

·基－－数制所使用的数码个数称为“基。

·位权－－某数制各位所具有的值称为“位权”。

1.十进制数，数的基为10，有10个数码0－9。

逢十进一，借一当十。

2.二进制数，数的基为2，只有两个数码0和1。

逢二进一，借一当二。

3.八进制数，数的基为8，有8个数码0－7，逢八进一，借一当八。

4.十六进制数，数的基为16，有16个数码0－9和A，B，C，D，E，F，逢十六进一，借一当十六。

其中A－F相当于十进制中的10—15。

2.常用进位计数制间的相互转1.各种进位计数制可统一表示为：i nmiiRK⨯∑-=(这个公式是在word中的插入－公式中可以制作，上标快捷键Ctrl+shift+=和下标快捷键Ctrl+=。

注意：有些输入法可能会与这些快捷键相冲突，最好切换到英文输入法。

)各参说明：R－－某种进位计数制的基数。

i－－位序号。

K i－－第i位上的一个数码为0~R－1中的任一个。

R i－－则表示第i位上的权。

m，n－－最低位和最高位的位序号。

例题1：把二进制数(1011.0101)2转换为十进制数。

解：(1011.0101)2=1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+0×2-2+0×2-3+1×2-4=8+0+2+1+0+1/4+0+1/16=(11.3125)10解：(75.21)8=7×81+5×80+2×8-1+1×8-2=56+5+2/8+1/64=(61.265625)10例题3：把十六进制数(175.F B)16转换为十进制数。

进位计数制及其转换进位计数制是一种数的表示方法，它是人们在数数过程中逐渐形成的一种计数方法。

进位计数制是基于进位原理的，它使用一定的符号或数字来表示数目的大小。

这种计数方法在人们的日常生活中广泛应用，不仅可以用来表示数字，还可以用来表示其他事物的序号，比如标题。

一、进位计数制的基本原理进位计数制是建立在进位原理之上的一种计数方法。

所谓进位原理，就是在计数过程中，当一个位上的数达到一定值时，就要向高位产生进位，同时将该位的值归零。

以十进制为例，当个位上的数达到9时，就需要在十位上进位，并将个位的值变为0。

同样的，当十位上的数达到9时，就需要在百位上进位，并将十位的值变为0。

依次类推，进位计数制可以无限扩展，可以表示任意大的数。

二、进位计数制与标题的转换进位计数制不仅可以用来表示数字，还可以用来表示标题。

在标题中，我们常常使用罗马数字作为进位计数制来表示文章的序号。

罗马数字有七个基本符号：I、V、X、L、C、D、M，分别表示1、5、10、50、100、500、1000。

通过组合这些符号，可以表示任意的数目。

例如，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第一章"的文章。

在罗马数字中，"第一"可以用"I"表示，"章"可以用"章"表示。

因此，"第一章"可以表示为"I章"。

同样的，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第二十五章"的文章。

在罗马数字中，"第二十五"可以用"XXV"表示，"章"可以用"章"表示。

因此，"第二十五章"可以表示为"XXV章"。

三、进位计数制在生活中的应用进位计数制不仅在数学中有重要的应用，也在我们的日常生活中有广泛的应用。

计算机内部是以二进制形式表示数据和进行运算的；计算机内的地址等信号常用十六进制来表示，而人们日常又习惯用十进制来表示数据。

这样要表示一个数据就要选择一个适当的数字符号来规定其组合规律，也就是要确定所选用的进位计数制。

各种进位制都有一个基本特征数，称为进位制的“基数”。

基数表示了进位制所具有的数字符号的个数及进位的规律。

下面就以常用的十进制、二进制、八进制和十六进制为例，分别进行叙述。

一．常用的三种计数制1.十进制(Decimal)十进制的基数是10，它有10个不同的数字符号，即0、1、2、3、…、9。

它的计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。

处在不同位置的数字符号具有不同的意义，或者说有着不同的“权”。

所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的倍数。

例如，一个十进制数为123．45＝1×102十2×101十3×100十4×10-1十5×10-2等号左边为并列表示法．等号右边为多项式表示法，显然这两种表示法表示的数是等价的。

在右边多项式表示法中，1、2、3、4、5被称为系数项，而102、101、100、10-1、10-2等被称为该位的“权”。

一般来说，任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下：N10＝dn-1d n-2…d1d 0. d-1d-2…d-m其中，下标n表示整数部分的位数，下标m表示小数部分的位数，d是0~9中的某一个数，即di∈(0，1，…，9)。

同样，任意一个十进制数N都可以用多项式表示法表示如下：N10＝dn-1×10n-1十…十d1×101十d 0×100十d-1×10-1十…十d-m×10-m 其中，m、n为正整数，di表示第i位的系数，10i称为该位的权。

所以某一位数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。

2.二进制(Binary)二进制的基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。

（1）进位计数制我们习惯使用的是十进制，另外还有八进制、十二进制、十六进制、六十进制等等。

而计算机使用的是二进制，由于二进制中只有两个数字0和1，所以很容易用电子元件的两种状态来表示（如电平的高或低，晶体管的导通或截止），所以二进制具有硬件上容易实现、运算规则简单、便于机器执行等优点。

但同时也存在着位数长、书写和阅读都不方便且容易出错等缺点。

有时八进制和十六进制能方便地与二进制实现转换，所以常用八进制十六进制进行输入或输出。

进位计数制①进位计数制的基本特点：逢N进一。

N是指进位计数制表示一位数所需要的符号数目。

②采用位权表示法：处于不同位置上的数字代表的数字代表不同的数值。

位权和基数是进位计数制中的两个要素。

进位计数制的基本的表示方法几种数制的表示法：二进制。

由数字0，1组成，基数为2，逢二进一。

(1011.101)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3八进制。

由数字0～7组成，基数为8，逢八进一。

一个八进制数可按权展开成一个多项式，列如：(274)8=2×82+7×81+4×80十六进制。

由数字0～9和英文字母A至F组成，用A表示10，B表示11……用F表示15，逢十六进一。

一个十六进制数可按权展开成一个多项式，列如：(2EA6)16=2×163+14×162+10×161+6×160表1.2给出了这几种数制间0-16数值的对照表。

表1.2为了表达方便起见,常在数字后加一缩写字母作为不同进制数的标识。

B -→二进制Q -→八进制D -→十进制（可省略）H -→十六进制（2）不同进位计数制之间的转换①十进制与二进制之间的转换一个十进制数一般可分为整数部和小数两个部分。

通常把整数部分和小数部分分别进行转换，然后再组合起来。

计算机进制之间的相互转换一、进位计数制所谓进位计数制是指按照进位的方法进行计数的数制，简称进位制。

在计算机中主要采用的数制是二进制，同时在计算机中还存在八进制、十进制、十六进制的数据表示法。

下面先来介绍一下进制中的基本概念：1、基数数制是以表示数值所用符号的个数来命名的，表明计数制允许选用的基本数码的个数称为基数，用R表示。

例如：二进制数，每个数位上允许选用0和1，它的基数R＝2；十六进制数，每个数位上允许选用1，2，3，…，9，A，…，F共16个不同数码，它的基数R＝16。

2、权在进位计数制中，一个数码处在数的不同位置时，它所代表的数值是不同的。

每一个数位赋予的数值称为位权，简称权。

权的大小是以基数R为底，数位的序号i为指数的整数次幂，用i表示数位的序号，用Ri表示数位的权。

例如，543．21各数位的权分别为102、101、100、10-1和10-2。

3、进位计数制的按权展开式在进位计数制中，每个数位的数值等于该位数码与该位的权之乘积，用Ki表示第i位的系数，则该位的数值为KiRi。

任意进位制的数都可以写成按权展开的多项式和的形式。

二、计算机中的常用的几种进制。

在计算机中常用的几种进制是：二进制、八进制、十进制和十六进制。

二进制数的区分符用字母B表示，八进制数的区分符用字母O表示，十进制数的区分符用字母D表示或不用区分符，十六进制数的区分符用字母H表示。

1、二进制（Binary System）二进制数中，是按“逢二进一”的原则进行计数的。

其使用的数码为0，1，二进制数的基为“2”，权是以2为底的幂。

2、八进制（Octave System）八进制数中，是按“逢八进一”的原则进行计数的。

其使用的数码为0，1，2，3，4，5，6，7，八进制数的基为“8”，权是以8为底的幂。

3、十进制（Decimal System）十进制数中，是按“逢十进一”的原则进行计数的。

其使用的数码为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，十进制数的基为“10”，权是以10为底的幂。

进位计数制及其相互转换我们每天都在和数字打交道，从简单的计数到复杂的运算，数字似乎无处不在。

但你有没有想过，这些数字背后的进位计数制是多么神奇和有趣呢！进位计数制就像是一座数字的大厦，有着不同的楼层和房间。

比如十进制，这是我们最熟悉的啦，满十就进一位，多直观啊！就好像我们上楼梯，走满十级就到了新的一层。

再说说二进制，这可不得了，在计算机的世界里，它可是大明星呢！二进制只有 0 和 1 两个数字，是不是很简单粗暴？但就是这么简单的它，却能构建出无比复杂的计算机系统，就像小小的积木能搭出宏伟的城堡一样。

还有八进制、十六进制等等，它们都有着自己独特的魅力和用途。

八进制就像是一个小巧灵活的工具，在某些特定的领域发挥着重要作用；十六进制呢，则像是一位神秘的魔法师，在编程和数字处理中施展着奇妙的魔法。

那这些进位计数制之间怎么转换呢？这就像是打开不同房间的钥匙啦！通过一定的规则和方法，我们可以在十进制、二进制、八进制、十六进制之间自由穿梭，就像在数字的大厦里随意串门一样。

比如说，把十进制转换为二进制，不就是把一个大蛋糕切成一块块的小蛋糕吗？每一块小蛋糕就是一个 0 或 1。

而把二进制转换回十进制，不就是把那些小蛋糕又拼成一个大蛋糕嘛，是不是很形象？我们习惯了十进制的直观，但当我们深入了解其他进位计数制后，就会发现一个全新的数字世界在等待着我们去探索。

这难道不令人兴奋吗？想想看，我们就像探险家一样，在数字的丛林中寻找着宝藏和秘密。

进位计数制及其相互转换，真的是数字世界中最迷人的部分之一。

它们让数字变得更加丰富多彩，也让我们的计算和处理更加灵活高效。

所以啊，我们可不要小瞧了这些进位计数制，它们可是有着大能量呢！我们要好好掌握它们，利用它们，让数字为我们服务，创造出更多的精彩和可能！。