进位计数制及其相互转换

进位计数制及相互转换主题：进位计数制及相互转换目的:学会进位计数制，会多种形式表示进制数。

并且会各个进制间的转换。

记住二进制与八进制和十六进制之间的转换表。

一、进位计数制的特点两个共同点①即按基数来进位与错位②用位权值来计数进位与错位就是在执行加法和减法时要遵守“逢r进一，借一当r”的规律。

⑴基数：在一种数制中采用基本符号的个数称为基数。

⑵位权：数制中每一固定位置对应的单位值称为位权。

一般r进制数通常写为：a n…a1a0,a-1…a-m(r)或（a n…a1a0,a-1…a-m）r其中数码a k属于{0，…,r-1}例：十进制数182.05可写（182.05）10或182.05（10）也可用后缀D，如182.05D或（182.05）D二、不同数质的相互转换1、r进制与十进制之间的转换可以有以下的展开合式：a n…a1a0,a-1…a-m(r)= a n r n+…+a1r1+a0+a-1r-1+…+a-m r-m。

r为基数，整数为n+1位，小数为m位。

对于初学者来说，二八十六进制之间的换算会显得有些繁琐，不过可以以十进制为中介来换算，首先要学会二八十六进制分别与十进制的互化方法：⑴、r进制转换为十进制二进制化为十进制例：将二进制数101.01转换成十进制数（1101.01）2 = 1×2^3 + 1×2^2 +0×2^1 + 1×2^0 + 0×2^(-1) + 1×2^(-2) = （13.25）10八进制化为十进制例：将八进制数12.6转换成十进制数（12.6）8 = 1×8^1 + 2×8^0 + 6×8^(-1) = （10.75）10 十六进制化为十进制例：将十六进制数2AB.6转换成十进制数：（2AB.6）16 = 2×16^2 + 10×16^1 + 11×16^0 + 6×16^(-1) = （683.375）10⑵十进制化二，八，十六进制(三种方法类似)十进制化二进制规则：除二取余，直到商为零为止，再将所有余数倒排。

进位计数制及其转换进位计数制是一种数的表示方法，它是人们在数数过程中逐渐形成的一种计数方法。

进位计数制是基于进位原理的，它使用一定的符号或数字来表示数目的大小。

这种计数方法在人们的日常生活中广泛应用，不仅可以用来表示数字，还可以用来表示其他事物的序号，比如标题。

一、进位计数制的基本原理进位计数制是建立在进位原理之上的一种计数方法。

所谓进位原理，就是在计数过程中，当一个位上的数达到一定值时，就要向高位产生进位，同时将该位的值归零。

以十进制为例，当个位上的数达到9时，就需要在十位上进位，并将个位的值变为0。

同样的，当十位上的数达到9时，就需要在百位上进位，并将十位的值变为0。

依次类推，进位计数制可以无限扩展，可以表示任意大的数。

二、进位计数制与标题的转换进位计数制不仅可以用来表示数字，还可以用来表示标题。

在标题中，我们常常使用罗马数字作为进位计数制来表示文章的序号。

罗马数字有七个基本符号：I、V、X、L、C、D、M，分别表示1、5、10、50、100、500、1000。

通过组合这些符号，可以表示任意的数目。

例如，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第一章"的文章。

在罗马数字中，"第一"可以用"I"表示，"章"可以用"章"表示。

因此，"第一章"可以表示为"I章"。

同样的，我们可以用罗马数字表示一个标题为"第二十五章"的文章。

在罗马数字中，"第二十五"可以用"XXV"表示，"章"可以用"章"表示。

因此，"第二十五章"可以表示为"XXV章"。

三、进位计数制在生活中的应用进位计数制不仅在数学中有重要的应用，也在我们的日常生活中有广泛的应用。

计算机内部是以二进制形式表示数据和进行运算的；计算机内的地址等信号常用十六进制来表示，而人们日常又习惯用十进制来表示数据。

这样要表示一个数据就要选择一个适当的数字符号来规定其组合规律，也就是要确定所选用的进位计数制。

各种进位制都有一个基本特征数，称为进位制的“基数”。

基数表示了进位制所具有的数字符号的个数及进位的规律。

下面就以常用的十进制、二进制、八进制和十六进制为例，分别进行叙述。

一．常用的三种计数制1.十进制(Decimal)十进制的基数是10，它有10个不同的数字符号，即0、1、2、3、…、9。

它的计数规律是“逢十进一”或“借一当十”。

处在不同位置的数字符号具有不同的意义，或者说有着不同的“权”。

所谓的“权”就是每一位对其基数具有不同的倍数。

例如，一个十进制数为123．45＝1×102十2×101十3×100十4×10-1十5×10-2等号左边为并列表示法．等号右边为多项式表示法，显然这两种表示法表示的数是等价的。

在右边多项式表示法中，1、2、3、4、5被称为系数项，而102、101、100、10-1、10-2等被称为该位的“权”。

一般来说，任何一个十进制数”都可以采用并列表不法表不如下：N10＝dn-1d n-2…d1d 0. d-1d-2…d-m其中，下标n表示整数部分的位数，下标m表示小数部分的位数，d是0~9中的某一个数，即di∈(0，1，…，9)。

同样，任意一个十进制数N都可以用多项式表示法表示如下：N10＝dn-1×10n-1十…十d1×101十d 0×100十d-1×10-1十…十d-m×10-m 其中，m、n为正整数，di表示第i位的系数，10i称为该位的权。

所以某一位数的大小是由各系数项和其权值的乘积所决定的。

2.二进制(Binary)二进制的基数是2，它只有两个数字符号，即0和1。

（1）进位计数制我们习惯使用的是十进制，另外还有八进制、十二进制、十六进制、六十进制等等。

而计算机使用的是二进制，由于二进制中只有两个数字0和1，所以很容易用电子元件的两种状态来表示（如电平的高或低，晶体管的导通或截止），所以二进制具有硬件上容易实现、运算规则简单、便于机器执行等优点。

但同时也存在着位数长、书写和阅读都不方便且容易出错等缺点。

有时八进制和十六进制能方便地与二进制实现转换，所以常用八进制十六进制进行输入或输出。

进位计数制①进位计数制的基本特点：逢N进一。

N是指进位计数制表示一位数所需要的符号数目。

②采用位权表示法：处于不同位置上的数字代表的数字代表不同的数值。

位权和基数是进位计数制中的两个要素。

进位计数制的基本的表示方法几种数制的表示法：二进制。

由数字0，1组成，基数为2，逢二进一。

(1011.101)2=1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3八进制。

由数字0～7组成，基数为8，逢八进一。

一个八进制数可按权展开成一个多项式，列如：(274)8=2×82+7×81+4×80十六进制。

由数字0～9和英文字母A至F组成，用A表示10，B表示11……用F表示15，逢十六进一。

一个十六进制数可按权展开成一个多项式，列如：(2EA6)16=2×163+14×162+10×161+6×160表1.2给出了这几种数制间0-16数值的对照表。

表1.2为了表达方便起见,常在数字后加一缩写字母作为不同进制数的标识。

B -→二进制Q -→八进制D -→十进制（可省略）H -→十六进制（2）不同进位计数制之间的转换①十进制与二进制之间的转换一个十进制数一般可分为整数部和小数两个部分。

通常把整数部分和小数部分分别进行转换，然后再组合起来。

计算机进制之间的相互转换一、进位计数制所谓进位计数制是指按照进位的方法进行计数的数制，简称进位制。

在计算机中主要采用的数制是二进制，同时在计算机中还存在八进制、十进制、十六进制的数据表示法。

下面先来介绍一下进制中的基本概念：1、基数数制是以表示数值所用符号的个数来命名的，表明计数制允许选用的基本数码的个数称为基数，用R表示。

例如：二进制数，每个数位上允许选用0和1，它的基数R＝2；十六进制数，每个数位上允许选用1，2，3，…，9，A，…，F共16个不同数码，它的基数R＝16。

2、权在进位计数制中，一个数码处在数的不同位置时，它所代表的数值是不同的。

每一个数位赋予的数值称为位权，简称权。

权的大小是以基数R为底，数位的序号i为指数的整数次幂，用i表示数位的序号，用Ri表示数位的权。

例如，543．21各数位的权分别为102、101、100、10-1和10-2。

3、进位计数制的按权展开式在进位计数制中，每个数位的数值等于该位数码与该位的权之乘积，用Ki表示第i位的系数，则该位的数值为KiRi。

任意进位制的数都可以写成按权展开的多项式和的形式。

二、计算机中的常用的几种进制。

在计算机中常用的几种进制是：二进制、八进制、十进制和十六进制。

二进制数的区分符用字母B表示，八进制数的区分符用字母O表示，十进制数的区分符用字母D表示或不用区分符，十六进制数的区分符用字母H表示。

1、二进制（Binary System）二进制数中，是按“逢二进一”的原则进行计数的。

其使用的数码为0，1，二进制数的基为“2”，权是以2为底的幂。

2、八进制（Octave System）八进制数中，是按“逢八进一”的原则进行计数的。

其使用的数码为0，1，2，3，4，5，6，7，八进制数的基为“8”，权是以8为底的幂。

3、十进制（Decimal System）十进制数中，是按“逢十进一”的原则进行计数的。

其使用的数码为1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，十进制数的基为“10”，权是以10为底的幂。

142.2 信息在计算机中的表示2.2.1 进位计数制及数制转换计算机可以处理各种形式的数据，例如数值、字符、汉字，而这些数据在计算机中都是以二进制形式表示的。

下面首先介绍数制的概念，再介绍二进制、八进制、十六进制以及它们之间的转换。

1．R进制数人类在生产实践和日常生活中，创造了很多表示数的方法，而这些数的表示规则被称为数制。

使用有限个数符采用进位方式记数的数制叫做进位计数制。

例如，人们常用的十进制，钟表计时中使用的60进制等。

从十进制计数制可以看出进位计数制的一些特点：任何一个十进制数均由0～9等10个数字符号组成，这些数字符号称为数码；数码的个数称为基数，十进制的基数为10，逢十进一；不同的位置具有不同的位权，整数部分第i位（从小数点开始从右至左数）的位权为10i-1，小数部分第i位（从小数点开始从左至右数）的位权为10-i；任何一个十进制数均可写为按位权展开的形式，例如123.45＝1×102＋2×101＋3×100＋4×10-1＋5×10-2。

任意R进制计数制同样有基数、位权和按位权展开式，其中R可以是任意正整数，比如，二进制的R为2，八进制的R为8，十六进制的R为16。

具体来讲，R进制计数制有如下特点。

（1）每一种数制所使用的数码的个数称为基数R。

（2）进位原则，逢R进位。

（3）不同的位置具有不同的位权，整数部分第i位（从小数点开始从右至左数）的位权为R i-1，小数部分第i位（从小数点开始从左至右数）的位权为R-i。

例如，十进制的基数为10（数码0～9），位权是10的n次幂，二进制的基数为2（数码0～1），位权是2的n次幂，八进制的基数为8（数码0～7），位权是8的n次幂，十六进制的基数为16（数码0～9、A-F），位权是16的n次幂。

（4）任何一个R进制数均可写为按位权展开的形式。

与十进制数值的表示类似，任一R进制数的值都可表示为数码本身的值与所在位置位权的乘积之和。