数制及其转换

零有唯一编码
例： N1=+1000100，
则[N1]原=01000100 [N1]反=01000100 [N1]补=01000100
2、十进制转换为N进制 1）、整数部分 方法：除N取余法。
余数依次从右到左排列，即得到所转换的N进制 注意： 第一位余数是低位，最后一位余数是高位； 一直除到商为0；
举例
二、数制的相互转换 2、十进制转换为N进制 2）、小数部分 方法：乘N取整法。整数依次从左到右排列 注意：
第一位整数是小数中的最高位；
逻辑乘法 ×或∧（与运算）
例如： 0×0=0 0×1=0 1×0=0 1×1=1 或表示成 0 ∧ 0=0 0 ∧ 1=0 1 ∧ 0=0 1 ∧ 1=1
逻辑非运算 ˉ
对0取非，则为1；对1取非，则为0；
逻辑异或运算
若两个数相同，值为0；不同，则为1； 即 0 0=0；0 1=1；1 1=0。
则 ( 237 . 625 ) 10 ( 355 . 5 ) 8
题目： 1、（25）10 =（ 11001 ）2 ？
2、（101A）16=（ 4122 ）10 ？
3、（0.3125）１０＝（
0.0101 ？
）２
3、非十进制数间的转换
方法：一般采用上述方法的结合。
N1进制 按 权 展 开 十进制 整：除N2取余 小：乘N2取整 N2进制
阶码的位数决定了表示数的范围； 尾数的位数决定了所表示数的精度；
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。 1）原码 规定符号位用数码0表示正号，用数码1表示负号， 数值部分按一般二进制形式表示数的绝对值。 ＋7: 00000111 ＋0: 00000000 零有两种表示方法
三、数制运算
各种数制都有算术运算规则(加、减、乘、 除)； 二进制数独有逻辑运算，又是计算机唯 一识别和处理的数，所以，我们选取二进制 数作为讲解的主要对象。
二进制数的算术运算规则(有进位和借位)
加法 1101 + 1011 ————— 11000 乘法 1101 × 1011 ——— 1101 1101 0000 1101 10001111 减法 1101 — 1011 ————— 0010 除法 (略)
例如 (0.1)10=(0.000110011001100..)2 取有限位(0.1)10=(0.000110011)2
十进制数转换为二进制数
整数的转换可采用除2取余法，即把要转换 的十进制数的整数部分不断除以2，并记下 每次除所得余数，直到商为0为止，将所得 余数，从最后一次除得余数读起，就是这个 十进制整数所对应的二进制整数。小数部分 的转换采用乘2取整法，被转换的小数部分， 每次相乘后，所得乘积的整数部分就为对应 的十进制数，将所得小数从第一次乘得整数 读起，就是这个十进制小数所对应的二进制 小数。
3、非十进制数间的转换
注意：
在整数转换中，是从小数点开始，由右往 左确定二进制的三位（或四位），取后不够， 则在数码前补0，添足位数。 在小数转换中，是从小数点开始，由左往右 确定二进制的位数，取后不够，在末位补0，添 足位数。
数制之间的转换
例5 将（741.566）8转换成为二进制数 解 （741.566）8= （111100001.101110110）2 例6 将（1011010.10111）2转换为十六进制数 解 （1011010.10111）2 =（01011010.10111000）2 =（5A.B8）16 即 （1011010.10111）=（5A.B8）16
二进制数的逻辑运算
例：若A=（1011）2 ，B=（1101）2 ， 求A∨B；A∧B；Ā；的值。
1011
∨
1011
∧
1101 1111
1101 1001
A∨B=（1111）2；A∧B=（1001）2；
四、二进制数在计算机中的表示
1、真值和机器数 1）、机器数 2）、真值数 3）、溢出 4）、数的范围 机器数表示的范围受到字长和数据类型的限定 用八位字长表示一个整 数，则最大正数为 01111111，即127。若 超出127，则溢出。
3）补码
正数的补码与原码相同，负数补码则先对该数的原 码除符号外各位取反，然后末位加１． ＋7: 00000111 －7: 11111001 ＋0: 00000000 －0: 00000000
N2= 1000100 [N2]原=11000100 [N2]反=10111011 [N2]补=10111100
3）、浮点数 它包括两个部分：一是阶码（表示指数，记作E）；另 一部分是尾数（表示有效数字，记作Ｍ）。设有任意 数Ｎ可以表示为： Ｎ＝2ＥＭ ，具体表示形式为：
2、数的定点和浮点表示
对于浮点数往往要进行规格化处理：尾数部分的最高位必 须不为零，数的实际大小可以通过移动阶码进行调整。 例:（110.011）２＝1.10011×2+10 =11001.1×2-10 =0.110011×2+11 浮点数表示形式
2、数的定点和浮点表示
计算机内表示的数，主要分为定点小数、定点整数、与浮点数。 定点数为小数点位置固定的数； 浮点数为小数点位置不固定的数； 1）、定点小数 2）、定点整数
假设机器字长为16位，符号位为1位
-0.1101101 的存放形式为1110110100000000
+1101101的存放形式为 0000000001101101
则 ( 237 . 625 ) 10 (11101101
. 101 ) 2
例 4：将 ( 237 . 625 ) 10 转化成八进制
进位计数制 0. 6 2 5 数制间转换 × 8 5 5. 0 0 0
整ห้องสมุดไป่ตู้数： 除8取余
8 |2 3 7 8 |2 9
余
5 5
数
低位 高位
8 |3 0
3
小 数：乘8取整
数制及其转换
一、进位计数制
1、定义：在采用进位计数的数字系统中，如果只 用N个基本符号（如：0、1、2、…、N-1）表示数值， 则称为基N数制
N称为该数制的基数
举例：N=10 指常用的十进制，符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 举例：N=2 基本的符号为0和1，为二进制
2、进位计数制有两个基本特点： 由0、1、2、…、N-1这N个数组成 逢N进一，基数为N 如：十进制数逢十进一。二进制数逢二进一 左移一位扩大N倍（相当于乘N），右移一 位缩小N倍（相当于除N） 采用位权表示法。 任意一位N进制数M可表示为：
任何一种数制表示的数都可以写成按位 权展开的多项式之和。
3、几种常用的进位计数制
十进制
•0 •1 •2 •3 •4 •5 •6 •7 •8 •9 •10 •11 •12 •13 •14 •15 •16
二进制
0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
例1：
( 207 . 1) 8 2 8 0 8 7 8 1 8
2 1 0 1
(135 . 125 ) 10
例2：求（1100101.101）2 的等值十进制 （1100101.101）2 =1×26+1×25+0×24+0×23+1×22 +0×21+1×20+1×2-1 +0×2-2+1×2-3 =64+32+0+0+4+0+1+0.5+0.125 =（101.625）10 即 （1100101.101）2=（101.625）10
八进制
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20
十六进制
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10
二、数制的相互转换
1、N进制转换为十进制
方法： 将N进制数按权展开运算后，可得到十进制数
M

k
Di N
i
i m 1
注意：数位ｉ的确定不要弄错
例 3：将 ( 237 . 625 ) 10 转化成二进制
整数： 除2取余 2 |2 3 7 2 |1 1 8 2 |5 9 2 |2 9 2 |1 4 2 |7 2 |3 2 |1 0
1 0 1 1 0 1 1 1
取 值 方 向
小数： 乘2取整 0. 6 2 5 × 2 1 1. 2 5 0 0. 2 5 × 2 0 0. 5 0 × 2 1 1. 0
如一个32位 浮点数，阶 码用8位表 示，尾数用 24位规格化 补码表示
0
11
0
110011
0 0000011 0 11001100000000000000000
例：假设机器字长为16位，符号位为1位， 阶码4位，尾数12位 +101.1101=0.1011101×211， 其浮点数存放形式为 0 011 0 10111010000
M

k
Di N
i
i m 1
其中D i为数制采用的基本数符; Ni为权；N为基数
M

k
Di N
i
i m 1
例：十进制数，3058.72 可表示为： 3×103+0×102+5×101+8×100+ 7×10-1+2×10-2 例： 二进制数10111.01 可表示为： 1×24+0×23+1×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2
二进制数的逻辑运算
逻辑值只有两个“T”与“F”或“Y”与 “N”；我们知道，二进制数也只有两个 值 “1”与“0”，所以可用二进制数表示逻辑 值，并充分利用逻辑运算的特点，快速地 进行信息的处理。 注意：运算按位进行，没有进位和借位。
二进制数的逻辑运算
逻辑加法 +或∨（或运算）
例如： 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 或表示成 0∨0=0 0∨1=1 1∨0=1 1∨1=1
3、非十进制数间的转换
二进制、八进制与十六进制之间的互换 八进制 → 十六进制 (通过二进制转换) 1位八进制 = 3 位二进制 1位十六进制 = 4 位二进制 方法：通过扩展法，把八进制→二进制 再通过收缩法，把二进制→十六进制
如：162 ) 8 ( 001 ,110 , 010 ) 2 (1110010 ) 2 ( 如：1110010 ) 2 ( 0111 , 0010 ) 2 ( 72 ) 16 (
－7: 10000111
－0:10000000
３、机器数的表示
在计算机中对带符号数的表示方法有原码、补码和反码三种形式。
２）反码
规定正数的反码和原码相同， 负数反码是对该数的原码除符号位外各位求反
＋7: 00000111 －7: 11111000
＋0: 00000000 零有两种表示方法 －0: 11111111
3、非十进制数间的转换
二进制、八进制与十六进制之间的互换 八进制、十六进制 → 二进制(扩展法) 1位八进制 = 3 位二进制 1位十六进制 = 4 位二进制;
如：162 ) 8 ( 001 ,110 , 010 ) 2 (1110010 ( 如： 3 E ) 16 ( 0011 ,1110 ) 2 (111110 ) 2 ( )2
计算机中的数是用二进制来表示的，数的符号 也是用二进制表示的，把一个数连同其符号在机器 中的表示加以数值化，这样的数称为机器数。 一般用最高位来表示符号.正 数用0表示，负数用1表示。
例：
( 1 0)10 ( 6 4 )10 (1 1 0 1 0 ) 2 ; (0 1 0 0 0 0 0 0) 2
下面看一下二、八、十六进制间的特殊转换方法：
原因：
存在特殊关系：81=23；161=24
3、非十进制数间的转换
二进制、八进制与十六进制之间的互换 二进制 → 八进制、十六进制 (收缩法) 3位二进制 = 1位八进制； 4位二进制 = 1位十六进制；
如：10001011 ( 如：10001011 ( ) 2 ( 010 , 001 , 011 ) 2 ( 213 ) 8 ) 2 (1000 ,1011 ) 2 ( 8 B ) 16
一直乘到小数部分为零；若遇乘N后，小数部 分的积永不为零，则取有限位作为近似值；
计算机中十进制小数转换为N进制小数时，有时会带来误差。
注意：十进制小数乘2取整法，一般乘到积的小数 部分为0，但有时乘2取整后，小数部分的乘积永 不为0，此时可根据精度要求取有限位作为近似值， 因此计算机中十进制小数转换为二进制小数有时 会带来误差。