16-变换群与置换群

群论中的置换群及其应用群论是数学中非常重要的一个分支，它主要研究群的性质及其应用。

而置换群作为群论中的一个基本概念，是群论研究的一个重要方向。

置换群是指某个集合中的所有元素在不同情况下的排列和变换所构成的一种群结构。

接下来，我将从置换群的概念、性质和应用三个方面进行详细介绍。

一、置换群的概念置换群的概念来源于群上的置换操作。

在数学中，置换指的是对于一个集合中的所有元素进行排列的一种操作。

这种操作可以看做是一个把集合内的所有元素重新排列的变化。

而一个置换群就是由集合中所有可能的置换操作构成的群结构。

在置换群中，每个置换操作都是一个置换元，而群结构就是由所有置换元的集合组成的。

置换群中的元素有两种表示方法，一是环形表达式，二是秩序表达式。

环形表达式指的是将元素描绘成一个环，按照环上的顺序进行排列，而秩序表达式则是按元素的秩序进行排列。

例如，一个置换群 {1, 2, 3} 就可以表示为 {(1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1), (2), (3)}。

置换群有许多基本的性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等，同时还有一些特殊的性质，如循环群、置换群的阶等。

二、置换群的性质置换群不仅有基本性质，还有一些比较特殊的性质：1、置换群的循环群如果一个置换群中的元素可以由一个或多个置换循环所表示，那么这个置换群就是一个循环群。

循环群在加密算法中有着广泛的应用，可以支持数字签名、身份验证等多种功能。

2、置换群的阶置换群的阶指的是每个置换元的阶的最小公倍数。

其中，置换元的阶是指执行该置换元所需的最小步骤数。

阶在加密算法中也有很大的作用，例如可以用于求模运算的模数选择和随机数的生成。

3、可逆性置换群中的置换元有可逆和不可逆之分。

可逆的置换元可以通过执行逆置换来回到原始状态，而不可逆的置换元则无法回到原始状态。

可逆性在密码学中也有重要的应用，例如对称加密算法中使用的置换矩阵通常是可逆的。

三、置换群的应用置换群有着广泛的应用，特别是在密码学中。

变换群的概念变换群是数学中的一个重要概念，它是指一类具有特殊性质的变换的集合。

在讨论变换群时，我们通常关注的是其中的变换满足的一些性质以及它们之间的关系。

在数学中，变换是一种将一个对象映射为另一个对象的方法。

例如，我们可以考虑一个平面上的点，如果我们将这个点按照某种规则移动到另一个位置，则我们说发生了一个变换。

这个变换可以是平移、旋转、反射等等。

变换群就是由这些变换所组成的集合。

对于一个变换群来说，它必须满足以下几个条件：1. 闭合性：变换群中的任意两个变换的复合仍然是一个变换，也就是说，如果我们首先进行变换A，再进行变换B，那么结果可以看作是某一个变换C。

2. 结合律：对于变换群中的三个变换A、B、C，我们有(A·B)·C = A·(B·C)。

也就是说，变换的复合运算是结合的。

3. 单位元：变换群中存在一个特殊的变换，称为单位元，记作e。

对于任意变换A，都有A·e = e·A = A。

也就是说，单位元对于变换的复合运算没有任何影响。

4. 逆元：对于变换群中的每个变换A，存在一个逆变换A'，使得A·A' = A'·A =e。

也就是说，任意变换的逆变换都存在，并且变换与其逆变换的复合等于单位元。

值得注意的是，变换群要求变换的复合运算是满足结合律的，这一点在讨论中是非常重要的。

结合律的要求保证了变换的复合是唯一的，也就是说，不管我们按照什么顺序进行变换的复合，最终的结果都是一样的。

变换群可以具有很多种形式，取决于所考虑的变换的性质。

例如，当我们考虑平面上的刚体变换时，就形成了一个平面上的刚体变换群。

这个变换群包括了平移、旋转和反射等变换，满足闭合性、结合律、单位元和逆元的要求。

在应用中，变换群有着广泛的用途。

在几何学中，变换群可以用来描述在空间中的物体的位置和形态的变化。

在代数学中，变换群是很多代数结构的重要组成部分，例如矩阵群和置换群等。

群论是数学中的一个重要分支，研究集合上的一种代数结构——群。

而在群论中，置换群是一类非常特殊并且重要的群。

什么是置换群？简单地说，置换群是由一组可交换的置换（即对集合元素进行全体排列的操作）所组成的群。

在数学中，置换是指将集合中元素的位置进行改变，但不改变元素的本质属性。

例如，对于集合{1, 2, 3, 4}，一个典型的置换可以是将元素1和2进行交换，元素3和4进行交换，即得到置换(12)(34)。

置换的符号表示法可以更加简洁地表示置换操作。

在置换群中，常用的表示法是使用圆括号，例如(12)表示将元素1和2进行交换，而(12)(34)则表示先将元素1和2交换，再将元素3和4交换。

另外，置换还可以表示为行列式的形式，称为矩阵表示法。

置换群的运算规则与普通群的运算规则相同，即满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元。

对于任意两个置换，可以进行运算得到另一个置换。

例如，对于置换群S4，如果有两个置换(12)和(34)，我们可以进行运算得到(12)(34) = (14)(23)。

置换群在数学和其他领域中有广泛应用。

在数学中，置换群常常用于研究对称性和排列组合问题。

在物理学中，置换群被广泛应用于对称性和粒子对称性的研究。

在密码学中，置换群用于构造加密算法，保护信息的安全性。

置换群也有许多有趣的性质。

例如，置换群中的每个置换都可以分解为若干个不相交的循环。

循环是一种特殊的置换，它仅仅改变集合中的一部分元素的位置，保持其他元素不变。

另外，置换群的阶（元素个数）可以通过求置换的最小公倍数来计算。

总之，置换群在群论中是一类非常重要的群。

它通过对集合中的元素进行排列操作，研究群的结构和性质。

置换群在数学、物理学、密码学等领域都有广泛应用，对于理解对称性和排列组合问题具有重要意义。

通过对置换群的研究，我们可以深入了解群论的基本概念和方法，丰富数学的应用领域。

顾沛《抽象代数》1.6变换群与置换群习题解答习题4.证明：置换群$G$中若含有奇置换，则$G$必有指数为$2$的⼦群.证明易知$G$中若有奇置换，则奇偶置换各半.不妨设$G$的偶置换为$${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$⽽奇置换$\phi_{1},\cdots,\phi_{m}$,⼜消去律可知每个$\sigma_{i}\phi_{1}$均为奇置换且互不相等,从⽽$$\{\sigma_{i}\phi_{1}|i=1,2,\cdots,m\}=\{\phi_{1},\cdots,\phi_{m}\}$$取$G$的⼦群$$N=\{\sigma_{1},\cdots,\sigma_{m}\}<G$$那么根据前⾯分析可知$[G:N]=2.$5.设$G_{1},G_{2}$是群, $N_{1}\lhd G_{1},N_{2}\lhd G_{2}$,且有$$N_{1}\simeq N_{2},G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}$$问是否⼀定有$G_{1}\simeq G_{2}$?解答不⼀定.反例如下：取$G_{1}=S_{3},G_{2}=\mathbb Z_{6}$,再取⼦群$$N_{1}=<(123)>,N_{2}=<\overline{2}>$$由于$N_{1},N_{2}$均为三阶循环群,从⽽必有$N_{1}\simeq N_{2}$.此外$$[G_{1}:N_{1}]=[G_{2}:N_{2}]=2$$因此⼆者均为正规⼦群,所以可作商群$G_{1}/N_{2},G_{2}/N_{2}$,且$$|G_{1}/N_{1}|=|G_{2}/N_{2}|=2$$⽽⼆阶群仅有⼀种结构,必为循环群,因此$G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}$.但是显然$S_{3}$与$\mathbb Z_{6}$不同构.(由于$S_{3}$不是循环群)6.设$G$是有限群,⽽$G$的任何真⼦群都是循环群,问$G$是否⼀定是循环群?解答不⼀定.同样的反例可以取$G=S_{3}$,那么$S_{3}$的真⼦群的阶数只能为$1,2,3$,由于$2,3$都是素数,从⽽$S_{3}$的⼦群必为循环群.事实上其全部⼦群如下$$(1),<(12)>,<(13)>,<(23)>,<(123)>$$⽽$S_{3}$不是循环群.8.证明$S_{3}=<(12),(13)>$.证明注意到\begin{align*}(1)=(12)^2;(132)=(12)(13);(123)=(13)(12);(23)=(12)(123)=(12)(13)(12)\end{align*}从⽽$|<(12),(13)>|\geq6$,另⼀⽅⾯$$<(12),(13)>\big<S_{3}$$⽽$|S_{3}=6|$,因此$S_{3}=<(12),(13)>$.10.证明$\forall\sigma\in S_{n}$,都有$$\sigma(i_{1}i_{2}\cdots i_{r})\sigma^{-1}=(\sigma(i_{1})\sigma(i_{2})\cdots\sigma(i_{r})).$$证明由于$\sigma$是双射,任取$g=\sigma(h)\in G$,那么只需说明\begin{align*}\sigma(i_{1}i_{2}\cdots i_{r})(h)=(\sigma(i_{1})\sigma(i_{2})\cdots\sigma(i_{r}))(g)\tag{1}\end{align*}即可.若1)$h\notin\{i_{1},\cdots,i_{r}\}$,那么$g\notin\{\sigma(i_{1}),\cdots,\sigma(i_{r})\}$,那么(1)式左端为$$\sigma(h)=g=(\sigma(i_{1}),\cdots,\sigma(i_{r}))(g)=g$$2)若存在某个$t\in\{1,2,\cdots,r\}$使得$h=i_{t}$,那么(1)式左端为$$\sigma(i_{t+1})=(\sigma(i_{1}),\cdots,\sigma(i_{r}))(\sigma(i_{t}))$$为了避免出现$t=r$的情况,此时可单独考虑.11.设$G$是$n$阶交换群,若$m,n$为互素的⾃然数,定义\begin{align*}f:G&\to G\\a&\mapsto a^m\end{align*}证明$f\in{\rm Aut}G$.证明显然$f$为同态,再证$f$单,只需说明${\rm Ker}f=\{e\}$即可.任取$g\in{\rm Ker}f$,则$$f(g)=g^m=e$$那么我们考虑循环群$<g><G$,显然其阶数$$|<g>|\big| m$$此外据Lagrange定理可知$|<g>|\big|n$,⽽$m,n$互素,因此$|<g>|=1$,从⽽$g=e$,即$${\rm Ker}f=\{e\}$$因⽽$f$确实是单的,那么$|f(G)|=|G|$,且⼜$f(G)\subset G$,所以$$f(G)=G$$所以$f$满.综上便知$f\in{\rm Aut}G$.12.设$G$是$n$阶群,且$G$的中⼼只有⼳元.证明:G有且仅有$n$个不同的内⾃同构.证明注意到$$G/C(G)\simeq{\rm Inn}G$$⽽$C(G)=\{e\}$,因此$G\simeq{\rm Inn}G$.由此结论显然.补充题：1.证明:当$n\geq3$时,$S_{n}$的中⼼$C(S_{n})=\{{\rm id}\}$.证明若$C(S_{n})\neq\{{\rm id}\}$,则存在$$\sigma=(i_{0}i_{1})(i_{0}i_{2})\cdots(i_{0}i_{m})\in C(S_{n})(m\geq1)$$且$i_{0},i_{1},\cdots, i_{m}$互不相等.那么考虑置换$(i_{0}i_{1})$,有\begin{align*}\sigma(i_{0}i_{1})\sigma^{-1}=(\sigma(i_{0})\sigma(i_{1}))=(i_{m}i_{0})=(i_{0}i_{1})\end{align*}因此$m=1$.所以对任意的$\phi\in C(S_{n})$,且若$\phi\neq{\rm id}$,那么$\phi$必然具有如下形式$$\phi=(st),s\neq t$$显然$\phi$与置换$(sq)(q\neq s,t)$不可交换.综上便知$C(S_{n})=\{{\rm id}\}$.2.证明:在同构意义下$6$阶群只有两种,⼀种是$6$阶循环群,另⼀种是$S_{3}$.证明若$G$中有$6$阶元,则$G$为循环群.若不含$6$阶元,那么据Lagrange定理$G$中元素阶数只能为$1,2,3$.我们断⾔$G$中必有⼀个$3$阶元,否则$G$中仅有⼳元和⼆阶元,那么易知$G$为Abel群,这是由于$$ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba,\forall a,b\in G$$取$4$阶群$H=\{e,a,b,ab\}<G$,⽽根据Lagrange定理这是不可能的.所以说$G$中必有$6$阶元$a$,再任取$b\in G\setminus\{e,a,a^2\}$,显然$$G=\{e,a,a^2,b,ba,ba^2\}$$⽽且易知$ba=a^2b,ba^2=ab,b^2=(ba)^2=(ab)^2=e$.因此$$G=<b,ab>$$显然与$S_{3}=<(12),(13)>$同构.3.设$G$是阶⼤于$2$的有限群且$G$中有阶⼤于$2$的元素,证明:${\rm Aut}G>1$.证明若$G$是⾮交换群,那么$C(G)\neq G$,据$$G/C(G)\simeq {\rm Inn}G$$便知$|{\rm Aut}G|\geq|{\rm Inn}G|>1$.若$G$是Abel群,⽽$2<|G|<\infty$,因此存在$p>2$以及$H$使得$$G=\mathbb Z_{p}\times H$$从⽽$$|{\rm Aut}G|\geq|{\rm Aut}\mathbb Z_{p}|=|\mathbb Z^*_{p}|=p-1>1.$$4.证明:$S_{3}\simeq{\rm Aut}S_{3}={\rm Inn}S_{3}$.证明由于$C(S_{3})=\{{\rm id}\}$,从⽽$$S_{3}\simeq{\rm Inn}S_{3}$$再说明${\rm Aut}S_{3}={\rm Inn}S_{3}$,事实上只需说明$$|{\rm Aut}S_{3}|=6$$注意到$$S_{3}=<(12),(13),(23)>$$对任意的⾃同构$\sigma\in{\rm Aut}S_{3}$,作⽤$S_{3}$上,显然仅仅是对上式中三个元素的重排,因⽽$$|{\rm Aut}S_{3}|\leq 3！=6$$⽽$|{\rm Inn}S_{3}|=6$,且${\rm Inn}S_{3}\lhd{\rm Aut}S_{3}$,易知$${\rm Inn}S_{3}={\rm Aut}S_{3}.$$5.证明:$S_{n}=<(12),(13),\cdots,(1n)>$.证明显然$<(12),(13),\cdots,(1n)><S_{n}$,再证另⼀半.由于对任意的置换$\sigma\in S_{n}$,都有如下分解$$\sigma=(i_{0}i_{1})(i_{0}i_{2})\cdots(i_{0}i_{m})$$因此只说明任⼀对换可由$(12),(13),\cdots,(1n)$表⽰,不失⼀般性的只需说明对换$(24)$可被其表⽰即可.注意到$$(24)=(12)(14)(12)$$便说明了问题.。

在初等数学中我们已经接触过变换，比如：坐标的平移变换、旋转变换、极坐标的变换等等，在数学分析中我们还学习了傅里叶变换、积分变换等。

在现实生活中，我们也能遇到各种各样的变换，比如：我们小时候做过的滑梯，它就相当于平移变换，再如当阳光斜照时，窗玻璃上的纸花投影到地面上，得到窗花的影子，这是投影变换；等等，如果你留意的话还可以发现好多，我不在一一举例了。

因为变换可以把抽象的问题具体化，把复杂的问题简单化，因此变换的思想在各个领域中都有广泛的应用。

今天我们主要研究群论中的变换。

现在我们来学习近世代数第二章第5节变换群。

（写标题）究竟什么是变换群呢？从字面上看，首先我们能肯定它是一类群，哪位同学能回答一下什么是群，我们前面讲过的（时海婷），很好，请坐。

时海婷回答的非常准确，群就是一个含有代数运算的非空集合，这个运算满足结合律，有左单位元，有左逆元。

其次，它应该和变换有关，因此我们首先要回顾一下关于变换的相关知识(课件第二页)这些内容其实我们在第一章里已经讲过。

在我们数学的语言中，变换是什么呢？谁能回答？（程巧娜你来说一说）1.变换（板书）对，变换就是一个非空集合到它自身的一个映射，我们习惯上用τ来表示变换。

接下来我们看一看关于变换的集合，我们用T(M)来表示所有变换作成的集合，之所以这样来表示是因为变换是由英文单词transformation而来的，我们用它的首字母来表示变换作成的集合，而这个M是指集合M上的变换。

对于全体双射变化作成的集合我们用S(M)来表示，因为双射变换也就是一一变换，它是一一对应的，有对称性，所以用英文单词对称性symmetic的首字母来表示，M同样是指集合M上的变换。

2.下面是两个变换集合的记号，大家要记牢。

（板书：2. T(M)={ τ1，τ2，τ3.。

}和S(M)={全体双射变换}）(课件第三页)前面我们讲过关于变换有一种运算，同学们还记得是什么吗？对，就是变换的乘法（板书：3.变换的乘法）关于变换的乘法的含义就是。