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近世代数_置换群_讲义学习ppt

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近世代数课件--置换群

近世代数课件--置换群

3
14
2 3
3 6
4 1
5 5
62 1
4 2
3
6
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之
积，如
(1 2 3) (1 2)(2 3) (1 3)(1 2)
21
21

2 3
32


2 3
3 1
21 (1 2 3)
31
有两个一维与一个二维不可约表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
13
S4 有不变子群
H {pe, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为：
其中
S4 H {H, K1, K 2, K 3, K 4, K 5 } K1 (1 2) H {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}
亦即 所以
5
li2 24
i1
12 12 22 l24 l52 24
故：
l24 l52 18
2020/3/4
数学与计算科学学院
15
l4 l5 3
所以 S4 的5个不可约表示分别为：两个一维表示、 一个二维表示及两个三维表示.
2020/3/4
数学与计算科学学院
14
4 1
2 3
3 6
62 1
42
3
6 (2
3
6)
1
4 32
3 6
6 2
1 4
4 1

而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
2 3 6 (3 6 2) (6 2 3)

第7节 置换群 (2)

第7节 置换群 (2)

置换的表示
1 2 k i i i k 1 2
3、用循环置换的形式表示 4、用对换的形式表示
3/17
近世代数 1、用映射表示
置换的表示
例如: S={a1, a2, a3, a4, a5}, 下述5元置换
(a1 ) a5 , (a2 ) a3 , (a3 ) a2 , (a4 ) a1 , (a5 ) a4
9/17
近世代数
n元置换的性质
定义4 设(i1 i2 … ik)与 (j1 j2 … jr )是两个循环置换，如 果{i1,i2 ,… ,ik} ∩ (j1, j2 ,… ,jr )=Ф，则称这两个循环 置换是没有共同数字的循环置换(不相交). 置换乘法(合成)不满足交换律，但两个没有共同数字 的循环置换是可交换的. 性质4 设σ=(i1 i2 … ik)与 τ=(j1 j2 … jr )是两个没有共 同数字的循环置换，则σ与τ可交换，即στ =τσ.
15/17
近世代数
实例
例2 设 S = {1, 2, 3}， 3元对称群 S3={ (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) }
(1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (2 3) (2 3) (1 2 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3) (1 2 3) (2 3) (1) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1 2) (1) (1 3 2) (1 3 2) (2 3) (1 2) (1 3) (1) (1 2 3)

大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件

大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件

近世代数_置换群_讲义学习ppt

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jk jk(1)
jk1
j (2) k 1
jn jn(2)
证明 因为 1 是 a j1 , a j2 ,, a jn 这个元的一一变换，而在 1 之下，
a jk 1 , a jk 2 ,, a jn ，已经各是 a jk 1 , a jk 2 ,, a jn 的象，所以它们
不能再是 a ji (i k ) 的象，这就是说，
这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环:
所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了.
但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. ③.S8 的单位(恒等置换) 0 1 2 3 同上,习惯写成
0 1.
定义 2 Sn 中的一个将i1变到i2 ，i2 变到i3,,ik 变回
假设 最多变动 r 1(r n) 个文字时，定理 成立。现考察 变动了 r 个元的情形：
首先在被 变动的文字中随意取一个文字 i1 ， 从 i1 出发找到 i1 在 下的象 i2 ,再找 i2 的象 i3 ,… , 直到找到 ik ，其中： ik i1 .于是
i1 i2 i3 ik i1
2 11 22 3313 21 2 3 13 21 2 3
注意:置换乘积中,是从左到右求变换值,这是与过去 的习惯方法不同的（也要看各书要求）。 例 2 设 A 1 , 2 , 3,那么 A 的全部一一变换构成的三次 对称群为 S3 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5.其中
当 i k 时，
这样，
j (1) i
jl ,l
k
当 i k 时，
a 12 ji
(aji1 )2
(a jl )2
a jl

近世代数主要知识点PPT课件

近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么‫ג‬x：

近世代数课件--2.6 置换群

近世代数课件--2.6 置换群

• 作业 • P55:2,5
6.2 置换的表示方法:2-行法
现在我们要看一看表示一个置换的符号．这种 符号普通有两种，我们先说明第一种．我们看一个 置换
:
ai a k i 1, 2, ...n !
i
这样一个置换所发生的作用完全可以 ( ( 由 (1, k 1 ) ，2, k 2 ) ， …， n , k n ) 这 n 对整数来决定． 表示置换的第一个方法就是把以上这个置换写成
123 123 ?? 132 213
123 123 ? 213 132
(从右向左)
●
如何求逆?
123 132
1
=??
●
所以 S 3 不是交换群．
无限非交换群我们已经看到过，这是我们的第 一个有限非交换群的例子．S 3 可以说是一个最小的 有限非交换群，因为以后我们会知道，一个有限非 交换群至少要有六个元．
但 1 只使得 r k r 个元变动，照归纳法的假定，可 以写成不相连的循环置换的乘积：
1 1 2 m
在这些

里 i1 , i2 , ..., ik 不会出现.不然的话,
l i p iq , p k
那么 i p 同 iq 不会再在其余的 中出现, 也必使 a i 但我们知道, 1使得 a i 不动,这是一个矛盾.这样, 是 不相连的循环置换的乘积: i1i 2 i k 1 2 m
1
k+1
i
j1
(1)
jk
(1)
只 能 取 自 j1
jk
这样， 2 1 将 j1
jk
变成

近世代数 置换群PPT

近世代数 置换群PPT
p q
p
把一个置换写成不相连的循环置换的乘积是我们表示置换的第 二种表示方法。
s 例5：4 的全体元用循环置换的方法写出来是
（1）； （12），（34），（13），（24），（14），（23）； （123），（132），（134），（143），（124）， （142），（234），（243）； （1234），（1243），（1324），（1342），（1423）， （1432）； (12）（34），（13）（24），（14） (23)。
1
a , a , a j
2
k 1
n
k 1
这n个 , , a j 的
n
n
i
1
2
1
2
2
(1 )
ji
ji
jl
1
2
1
2
2
jl
ji
i
i
i
i
定义: 定义： n 的一个把 a i 变到 a ， 变 s ai i a 到a ，…， 变到 a i ，而使得其余 的元，假如还有的话，不变的置换， 叫做一个k-循环置换，这样的一个 置换我们用符号
123 123 123 132 213 = 231
=
换群 . 无限的非交换群我们已经 看过,这是我们的第一个有限非 交换群.
123 312
所以z2不是交
例子3: 可以说是一 个最小的有限非交换 群,因为以后我们会知 道,一个有限非交换群 至少要有六个元.
二:置换群的表示方法 1,
A {a 1 , a 2 , a n }
i ki
1:
我们来看它的一个置换 : a a , i 1, 2 , , n 这样我们看到一个置换所发生的作用 可以由这n对整数来决定,我们的第一 2 1 n 12 n 种表示方法为 或

近世代数课件 第5节 变换群

近世代数课件 第5节 变换群

14/16
近世代数
补充
不是满变换的单变换不能构成群。
f是单变换当且仅当f左可逆. (左可逆变换可 能很多，逆元不唯一，所以不能做成群) f是单变换，则f有左可逆变换g. (gf=I，g是满 变换，所以仅由单变换不能做成群) 不是单变换的满变换不能构成群。
“混搭”行不？
变换群：由一一变换作成 非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变
换作成 15/16
近世代数
总结
主要内容： 变换群的定义 群的同构定义 群的Cayley定理
基本要求: 掌握变换群的定义及构造 能够证明群的Cayley定理
16/16
定义2’ 一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的 合成“∘”作成的一个群称为S的一个变换群定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有
f(x∘y) = f(x) f(y),
则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射). 定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都同构于某个变
则称f 是G的一个自同构(映射).
例如: 群G上的恒等映射IG是G的一个自同构. 设(G,∘)是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，
则f 是G的一个自同构(映射).
定理2 设(G,∘)是一个群。G 的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。
6/16
近世代数
群的自同构
的. 例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中
f(1)=1
g(1)=1
f(2)=1
g(2)=1
f(3)=3
g(3)=4
f(4)=4
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由于置换群也是变换群,故必蕴含 着变换群的一切特征.譬如,不可 交换性和结合律:
，
2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 = 2 1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 3 1 3 ≠ 3 2 = 2 3 1 2 1 1 3
所以 S3
= 3!= 6 .其中 π 0 是恒等变换.即 π 0 是 S 3 的单位元. 是恒等变换. 的单位元.
定理 1
证明
n 次对称群 S n 的阶是 n! .
1 2 L n 种取法,当 任意 σ = ∈ Sn , i1 有 n种取法 当 i1 i1 i2 L in
取定后, i2 只有 n-1 种取法 如此继续下去 in 只有 1 种取法,如此继续下去 如此继续下去, 取定后 种取法.因此共有 个不同的置换,所 种取法 因此共有 n( n-1)…2•1= n!个不同的置换 所 … • 个不同的置换 以 Sn = n!.
2 1
A = { , 2 , 3}.故此. π : 1 a 2 , 2 a 3 , 3 a 1 .稍做 1 故此.
2 2 1 3 1 3 .用 π = ⇒ π = 2 1 2 1 来描述 A 的 3 3
2
3
↓ ↓ 3 1
8 0
= (1) = (2 ) = (3) = L 同上,习惯写成 同上,
π 0 = (1) .
定义 2
1
Sn 中的一个将 i1 变到 i2 ， i2 变到 i3 ,L, ik 变回
而其余文字（如果还有其他文字） 到 i 而其余文字（如果还有其他文字）不发生变化 的置换，叫做 k —循环置换（或称 k —循环）,记为 循环置换（ 循环） 的置换， ( i , i , i Li )
置换的乘积. 二.置换的乘积.
设 A = {1 , 3}的任二个置换为 , 2 的任二个置换为
2 1 3 2 1 3 π = 2 1 , τ = 3 2 ,那么由于 π 1 3
和 τ 都是
一一变换,于是 π τ 也是 A 的一一变换.且有 的一一变换. 一一变换,
一个置换的方便之处是显而易见的.当然, 一个置换的方便之处是显而易见的.当然,上述的置换可记为
1 1 2 3 3 2 ， 3 1 1 3 …, 2 2
但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统 一在一种表示置换的方法内进行研究工作了. 一在一种表示置换的方法内进行研究工作了.习惯上称它 为三元置换. 为三元置换.
知道， 说明：由定义 1 知道，置换群就是一种特殊 的变换群（即有限集合上的变换群） 的变换群（即有限集合上的变换群）而 n 次对 的完全变换群。 称群 S 也就是有限集合 A 的完全变换群。
n
现以 A = {a , a
1
2
, a3 } 为例，设 π 为例，
： A → A 是 A 的一
一变换。 一变换。即 π :
一． 置换群的基本概念
任一集合 A 到自身的映射都叫做 A 的一个
定义 1
变换， 是有限集且变换是一一变换（双射） 变换，如果 A 是有限集且变换是一一变换（双射） ， 那么这个变换为 A 的一个置换。有限集合 A 的若干 的一个置换。 个置换若作成群，就叫做置换群。 个置换若作成群，就叫做置换群。含有 n 个元素的 的全体置换作成的群， 次对称群。 有限群 A 的全体置换作成的群，叫做 n 次对称群。 通常记为 Sn .
πτ
: 1 → 1, 2 → 2 , 3 → 3 .
1τπ = 1 , 2τπ = 2 , 3τπ = 3 .
记为: 记为:
2 2 2 1 3 1 3 1 3 换句话说: 换句话说: πτ = 2 1 3 2 = 1 3 3 1 2
1 2 3
k
例 3 在 S 中.
5
2 4 1 3 5 2 2 1 5 = (1 3) 3 4
循环置换. 叫作 3—循环置换. 循环置换. 叫作 5—循环置换.
2 4 1 3 5 2 4 2 4 1 = (1 3 5) 3 5 2 4 1 3 5 1 3 5 = (1) 2 4
人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） ；譬如有 人们的方法是将群分成若干类（即附加一定条件） 譬如有 ； 限群；无限群； 换群； 换群等等。对每个群类进行研究， 限群；无限群；交换群；非交换群等等。对每个群类进行研究， 并设法回答上述三个问题。可惜，人们能弄清的群当今只有少 设法回答上述三个问题。可惜， 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） ， 数几类（后面的循环群就是完全解决了的一类群） 大多数还在 等待人们去解决。 等待人们去解决。
本讲的重点与难点： 本讲的重点与难点：对于置换以及置换群
需要特别注意的是： 需要特别注意的是： 对称群和解定理。
定理可知： 注意：由有限群的 cayley 定理可知：如把所有置 换群研究清楚了。 换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研究清楚 了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群 但经验告诉我们， 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。 并且也不能一下子把所有群都找出来。 并且也不能一下子把所有群都找出来。因为问题太复 杂了。 杂了。
一般地, 每个循环的表达方法不唯一, ② . 一般地 , 每个循环的表达方法不唯一 , 例 如.
π = (1 2 5 ) = (2 5 4 ) = (5 4 3) = L 4 3 3 1 1 2
因为, 这是 因为,每个循环置换都可视为一 个首尾相接的圆环: 个首尾相接的圆环:
循环置换. 叫作 1—循环置换.
（2）循环置换分解
的变换过程为1 → 4 → 2 → 3 → 5 → 1,即其他元素都不改 变,若将不发生改变的文字都删掉,那么上述置换 若将不发生改变的文字都删掉, 可写成循环置换的形式: 4 3 可写成循环置换的形式: π = (1 2 5)
注意: 循环置换是置换的另一种表达形式, 注意:①循环置换是置换的另一种表达形式,它以
计算下列置换的乘积: 例1. 计算下列置换的乘积: (1) 解:
τ
π,
(2)
π 2,
(3)
πτ 2 .
2 2 2 1 3 1 3 1 3 τπ = 3 2 2 1 = 1 3 1 3 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 π = 2 1 2 1 = 3 2 3 3 1
所以,循环中的每个文字都可以置于首位. 所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了. 确定后,整个循环置换的表达形式也就确定了. 但习惯上, 但习惯上,总是将循环置换中出现的最小文字置 于首位. 首位. ③. S 的单位(恒等置换) π 的单位(恒等置换)
π
a1 a a2 , a2 a a3 , a3 a a1 ,利用本
教材中特定的表示方法有： 教材中特定的表示方法有：
a1 = a2 ， a2 = a3 ， a3 = a1 .
π π
由于映射中只关心元素之间的对称关系. 由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的 具体内容.故可设 具体内容.故可设 修改: 修改: π ： ↓
变换群是一类应用非常广泛的群， 变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性 的特征 置换群， 的特征—置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源 ， E.Galais(1811-1832)在证明次数大 是抽象代数创始人 E.Galais(1811-1832)在证明次数大 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。 于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。
循环置换及循环置换分解. 三 循环置换及循环置换分解.
(1)循环置换(轮换) (1)循环置换(轮换) 循环置换 前面我们已经引入了置换的记法,下面, 前面我们已经引入了置换的记法,下面,再介绍 一种记法.设有 8 一种记法.
2 4 6 8 1 3 5 7 元置换 π = 4 5 1 7 , π 3 2 6 8
S 3 = {π 0 1 , π 2 , π 3 , π 4 , π 5 }.其中 ,π
2 2 2 1 3 1 3 1 3 π0 = 1 3 , π 1 = 1 2 , π 2 = 2 3 2 3 1 2 2 2 1 3 1 3 1 3 π3 = 2 1 , π 4 = 1 , π 5 = 3 1 3 2 3 2
发生变化的文字的变化次序为序, 发生变化的文字的变化次序为序,表达成轮换的形 式.虽然表达形式简捷,但所含置换的原有文字的 虽然表达形式简捷, 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如. 数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.
4 3 “8 元置换 π = (1 2 5) ”
第 9 讲
第二章 群 论
课时) §6 置 换 群 (2课时 课时
(pormutation group)
本讲的教学目的和要求: 本讲的教学目的和要求
置换群是一种特殊的变换群。换句话说， 置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上， 就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。 每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一 讲主要要求： 讲主要要求： 弄清置换与双射的等同关系。 1º 弄清置换与双射的等同关系。 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 2º 掌握置换—轮换—对换之间的联系和置换的奇偶性。 3º掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 掌握置换的分解和将轮换表成对换之积的基本方法。 置换的分解 理解对称群与交错群的结构以及有限群的 4º理解对称群与交错群的结构以及有限群的 cayley 定 理。