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f◦g=g◦f=g (恒等变换) 逆元素：任意双射g:AA均有反函数g -1:AA, 即其逆
元素。
A
5
变换群的例子
R是实数集，G是R上所有如下形式的变换构成的集合： fa,b:RR, xR, fa,b(x)=ax+b (a,b是有理数，a0)
则G是变换群。 封闭性： fa,b, fc,d G, fa,b◦fc,d =fac,bc+d ( 注意：fc,d (fa,b(x)) =
A
12
置换的轮换乘积形式
例子：15
2 2
3 3
4 8
5 7
6 6
7 1
84
=
(1 5 7) (4 8)
例子：12
2 3
3 5
4 8
5 1
6 4
7 6
78
=(1 2 3 5) (4 8 7 6)
A
13
用对换的乘积表示置换
k(k>1)阶轮换 =(i1 i2 … ik )可以表示为k-1个对换的乘积：(i1i2)…(i1ik-1) (i1ik)
的逆元素。(注意：a0)
A
6
置换及其表示
定义：有限集合S上的双射:SS称为S上 的n元置换
记法：
1(1)(22)...... (nn)
A
7
置换的例子
例子：集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记为S3 ：
e 11
2 2
33
11
2 3
23
12
2 3
13
13
2 2
受到影响的除了s和k+1本身外，只是it与ik+1之间大于s, 小于 k+1的诸项)。
A
18
15-Puzzle (1,5,3,7)(2,6,4,8)(9,10)(11,14,13,12)(15)(16)
12 3 4 567 8 9 10 11 12 13 14 15
56 7 8 341 2 10 9 14 11 12 13 15
注意：各对换是相交的，因此次序不可以交换。
证明要点：对k归纳。
k=2时显然成立。考虑 =(i1 i2 … ik ik+1 ), 只需证明 =(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )。 分4种情况证明：xA, (x)=(i1 i2 … ik)(i1 ik+1 )(x)
(1) x{ i1, i2, …, ik-1}
对S的阶数n进行归纳。 令的对换个数为()，对应排列的逆序数为()。 奠基：当n=1, =(1), ()=()=0。
A
17
奇置换和偶置换 – 归纳证明
假设当n=k时结论成立。考虑k+1元置换。 分两种情况讨论；
(1) (k+1)=k+1：在{1,2,…,k}上的限制是k元置换，令其为 ‘，相应排列为’, 显然：()=(‘), ()=(’), 由归纳假 设，(')与(')同奇偶性。
定义集合{1,2,3,4}上的置换, 并用轮换乘积形式表示如下： f1=(1,3)(2,4)，则f1对应于动作1：上下互换； f2=(1,2)(3,4)，则f2对应于动作2：左右互换； f3=(1,4)(2,3)，则f3对应于动作3：对角互换；
令e=(1), 则({e, f1, f2, f3}, ◦)构成可交换置换群
变换群和置换群
离散数学 第15讲
A
1
上一讲内容的回顾
不变子群 商群 同态核 自然同态 群同态基本定理 同态基本定理的应用
A
2
变换群与置换群
变换和变换群 置换及其表示 置换群 任意群与变换群同构 置换群的应用
A
3
变换和变换群
定义：A是非空集合，f:AA称为A上的一个 变换。
13
13
2 1
23
1 2
2 1
33
S3是最小的非交换群
注意：质数阶群一定是可交换群。
A
8
轮换与对换
定义: 设是S={1,2,…,n}上的n元置换，且：
(i1)=i2, (i2)=i3, …, (ik-1)=ik, (ik)=i1, 且xS, xij
j=1,2,…,k, (x)=x, 则称是S上的一个k阶轮换，当 k=2, 也称为对换。
记法：(i1 i2 … ik ) 例子：用轮换形式表示S3的6个元素： e=(1); =(1 2 3); =(1 3 2);
=(2 3); =(1 3); =(1 2)
A
9
不相交的轮换相乘可以交换
给定Sn中两个轮换：
=(i1 i2 … ik ), =(j1 j2 … js ),
若{i1, i2, …, ik} {j1, j2, …, js}=，则称 与 不相交
A
24
问题的解
任意有限多次连续动作即等效于函数
f =fi1◦ fi2◦… ◦ fi n 。其中ik{1,2,3}
所以：开始格局与结束格局相同 当且仅当 f = e
({e, f1, f2, f3}, ◦)是可交换群， f =fi1◦ fi2◦… ◦ fi n = f1h◦ f2j◦ f3k ,其中h, j, k是非负整数。
奇偶性(与顺序无关)。
A
25
作业
p.228
36
假设A,B,C,D是正方形的四个顶点; 定义集合 {A,B,C,D}上8个置换,分别对应于正方形在平面内顺 时针旋转0, 90, 180, 270, 以及分别围绕对角线 或对边中点连线(各有两条)翻转。证明这8个置换与 复合运算构成群，画出群表，并列出所有的子群。
经常讨论的是一一变换，即f是双射。 变换就是函数，变换的“乘法”就是函数复
合运算。
集合A上的一一变换关于变换乘法构成的群空集合上所有的一一变换构成群
设A是任意的非空集合，A上所有的一一变换一定
构成群。
封闭性：双射的复合仍是双射。 结合律：变换乘法是关系复合运算的特例。 单位元： f:AA, xA, f(x)=x满足对于任意 g:AA,
fc,d(ax+b) = acx+bc+d, 例如：f2,1(x)=2x+1, f1,2(x)=x+2, f1,2(f2,1(x))= 2x+3, 即f2,1◦f1,2 = f2,3 ) 结合律：变换的乘法即关系复合运算
单位元：恒等变换f1,0:RR: xR, f1,0(x)=x 是单位元 逆元素：对任意的fa,b , f1/a,-b/a◦fa,b = fa,b ◦f1/a,-b/a= f1,0, 因此f1/a,-b/a是fa,b
A
22
利用置换群解题的例子
在四个方格子中放置了带有
标号的四个盘子(见右图)。 可以进行下列操作：
1
2
(1) 上下行互换 (2) 左右列互换
3
4
(3) 两对对角元素互换
进行上述操作任意有限多次，可以按照任意次序进行，包括交替进 行。
问题：操作停止时与开始时格局相同的充分必要条件是什么？
A
23
采用置换群建立数学模型
A
令： 函数g: g(1)=2, g(2)=1, g(3)=3, g(4)=4 函数h: h(1)=3, h(2)=2, h(3)=1, h(4)=4 函数k: k(1)=4, k(2)=2, k(3)=3, k(4)=1
则： g⃘h⃘k(1)=k(h(g(1)))=k(h(2))=k(2)=2 g⃘h⃘k(2)=k(h(g(2)))=k(h(1))=k(3)=3 g⃘h⃘k(3)=k(h(g(3)))=k(h(3))=k(1)=4 g⃘h⃘k(4)=k(h(g(4)))=k(h(4))=k(4)=1
注意：对i=1,2,3, 均有fi 2k = e, 其中k是非负整数； f = f1s(h)◦ f2s(j)◦ f3s(k) , s(x)是整数集上的“奇偶特征函数”，当x为奇数，s(x)=1, 否则s(x)=0。
注意：f1◦ f2◦ f3 =e
开始格局与结束格局相同 当且仅当 动作1,2,3分别施行的次数同
令1=(i1 i2 … im)，则 = 1', '与1不相交，'最多只改变余 下的k-m个元素，由归纳假设，' =23…l。
A
11
置换的轮换乘积形式的唯一性
如 果 置 换 可 以 表 示 为 12…t 和 12…l, 令 X={1, 2, …, t}, Y={1, 2, …, l , }, 则X=Y
(2) x=ik
(3) x=ik+1 (4) x为A中其它元素
A
14
对换乘积表示置换的例子
定义{1,2,3,4}上的函数 f 如下： f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f (4)=1
函数 f 的轮换形式：(1 2 3 4)
函数 f 的对换乘积形式： (1 2) (1 3) (1 4)
注意：(f1◦ f2)= (f2◦ f1)= f3；(f1◦ f3)= (f3◦ f1)= f2；(f2◦ f3)= (f3◦ f2)= f1； 因此运算封闭且可交换；且e是单位元，每个元素的逆元即自己。
在此模型之下：任意有限多次连续动作即等效于函数 f =fi1◦ fi2◦… ◦ fi n 。其中ik{1,2,3}
r =0，即是恒等置换。
若r =k>0, 取一在下改变的元素i1, 按照轮换的定义依次找 出i2, i3 …。
S是有限集，一定可以找到im, 使得i1, i2, …, im均不同，但 im+1{i1, i2, …, im}。
必有im+1=i1。(否则：若im+1=ij, j1, 则(ij-1)=(im)=ij, 与是 一对一的矛盾。)
证明要点：
任取jX, 不失一般性，令j=(i1 i2 … im )
