变换和置换群

几何变换变换与变换群1． 基本概念：1） 设A 、B 是两个非空集合，给出映射f ：A →B ，如果B=A ，那么映射f 叫做集合A 上的变换。

2） 若变换f ：A →A 是一一映射，则f 叫一一变换。

3） 一一变换f ：A →A ，若,A a ∈∀有f （a ）=a ，则f 叫A 上的恒等变换或单位变换，通常记为I 。

4） A A f A A f →→:,:21是两个变换，变换1f 与2f 的合成12f f ⋅叫做1f 与2f 的乘积。

5） 一一变换f ：A →A ，若存在变换g ：A →A ，使得fg=gf=I ，则g=1-f 叫f 的逆变换。

6） 一一变换f ：A →A ，且I f ≠，若A a ∈∃，使f（a ）=a ，则a 叫f 下的二重点（不动点，不变点）；若存在直线l ，使得f （l ）=l ，则l 叫f 下的二重线（不变线）。

2． 一一变换的性质：1）f 、g ：A →A 是一一变换，则gf 也是一一变换。

2）f 、g 、h ：A →A 是一一变换，则有h （gf ）=（hg ）f 。

3）f ：A →A 是一一变换，则1-f 也是一一变换。

3． 变换群：1） 将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一个图形的过程叫几何变换。

2） A 是一个集合，如果G 是由集合A 上的某些一一变换所组成的集合，且满足：（1） 若G f G f ∈∈21,，则G f f ∈⋅12；（2） 若G f ∈，则G f∈-1； 那么集合G 就叫做集合A 上的变换群，简称为变换群。

3） 若H 是变换群的一个子群，且H 自身也构成一个变换群，那么H 叫做G 的子群。

4） 两变换群21,G G ，若它们的元素之间可以建立一一对应关系f ，且有)()()(,,1212121g f g f g g f G g g =∈∀，则称21,G G 同构。

平面几何变换一、合同变换1． 基本概念1） 一个平面到其自身的变换W ，若对于平面上的任意两点A 与B ，都有距离W （A ）W （B ）=AB ，则称W 为平面上的合同变换（全等变换）。

高考数学中的置换群及相关概念在高考数学中，有一种抽象的数学概念叫做置换群，它是很多数学分支中常常用到的概念，包括群论、代数学、拓扑学等，而在高考数学中，它主要用于解决排列组合、概率统计等问题。

一、置换群的定义置换群是一种代数结构，它包含了一些置换的集合和一些代数运算，满足一些特定的公理。

具体来说，一个置换群G包含了一些置换{σ1, σ2, σ3, ..., σn}, 这些置换满足以下条件：1. 任意两个置换可以进行运算，得到一个新的置换。

这个运算称为群的乘法运算，通常用“.”或“×”表示。

2. 群的乘法运算满足结合律，即(σi. σj). σk = σi. (σj. σk)。

3. 存在一个置换ε，称为群的单位元，它和任何置换进行乘法运算后都不改变，即ε. σi = σi. ε = σi。

4. 对于每个置换σi，都存在一个逆置换σ^-1，满足σi. σ^-1i =σ^-1i .σi = ε。

二、置换群的应用在高考数学中，置换群主要应用于多种排列组合问题的解决。

例如，考虑一个3个元素的置换{1, 2, 3}，有六个不同的置换可以构成置换群G = {ε, σ1, σ2, σ3, σ4, σ5}。

其中，ε表示恒等置换，即保持原序的置换；σi表示对原序进行了i次置换的组合。

则G是一个由六个元素组成的置换群，它满足置换群的所有公理，即：1. 任意两个元素都可以进行乘法运算，比如σ1 × σ2 = σ4。

2. 乘法运算满足结合律。

3. 存在一个恒等元素ε，使得ε.σi = σi.ε = σi。

4. 每个元素都存在一个逆元素，比如σ2^-1 = σ2。

通过这些公理的保证，我们可以通过数学推导的方式解决很多排列组合问题。

例如，考虑一个2018个人的班级，这些学生分别有一个编号1, 2, 3, ..., 2018。

如果我们要从这些学生中选出一个5人小组，有多少种不同的选法？我们可以将每个选法表示成一个置换，即将5个人从原序列中取出来，并按照编号的大小排列。

顾沛《抽象代数》1.6变换群与置换群习题解答习题4.证明：置换群G中若含有奇置换，则G必有指数为2的⼦群.证明易知G中若有奇置换，则奇偶置换各半.不妨设G的偶置换为{\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}⽽奇置换\phi_{1},\cdots,\phi_{m},⼜消去律可知每个\sigma_{i}\phi_{1}均为奇置换且互不相等,从⽽\{\sigma_{i}\phi_{1}|i=1,2,\cdots,m\}=\{\phi_{1},\cdots,\phi_{m}\}取G的⼦群N=\{\sigma_{1},\cdots,\sigma_{m}\}<G那么根据前⾯分析可知[G:N]=2.5.设G_{1},G_{2}是群, N_{1}\lhd G_{1},N_{2}\lhd G_{2},且有N_{1}\simeq N_{2},G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}问是否⼀定有G_{1}\simeq G_{2}?解答不⼀定.反例如下：取G_{1}=S_{3},G_{2}=\mathbb Z_{6},再取⼦群N_{1}=<(123)>,N_{2}=<\overline{2}>由于N_{1},N_{2}均为三阶循环群,从⽽必有N_{1}\simeq N_{2}.此外[G_{1}:N_{1}]=[G_{2}:N_{2}]=2因此⼆者均为正规⼦群,所以可作商群G_{1}/N_{2},G_{2}/N_{2},且|G_{1}/N_{1}|=|G_{2}/N_{2}|=2⽽⼆阶群仅有⼀种结构,必为循环群,因此G_{1}/N_{1}\simeq G_{2}/N_{2}.但是显然S_{3}与\mathbb Z_{6}不同构.(由于S_{3}不是循环群)6.设G是有限群,⽽G的任何真⼦群都是循环群,问G是否⼀定是循环群?解答不⼀定.同样的反例可以取G=S_{3},那么S_{3}的真⼦群的阶数只能为1,2,3,由于2,3都是素数,从⽽S_{3}的⼦群必为循环群.事实上其全部⼦群如下(1),<(12)>,<(13)>,<(23)>,<(123)>⽽S_{3}不是循环群.8.证明S_{3}=<(12),(13)>.证明注意到\begin{align*}(1)=(12)^2;(132)=(12)(13);(123)=(13)(12);(23)=(12)(123)=(12)(13)(12)\end{align*}从⽽|<(12),(13)>|\geq6,另⼀⽅⾯<(12),(13)>\big<S_{3}⽽|S_{3}=6|,因此S_{3}=<(12),(13)>.10.证明\forall\sigma\in S_{n},都有\sigma(i_{1}i_{2}\cdots i_{r})\sigma^{-1}=(\sigma(i_{1})\sigma(i_{2})\cdots\sigma(i_{r})).证明由于\sigma是双射,任取g=\sigma(h)\in G,那么只需说明\begin{align*}\sigma(i_{1}i_{2}\cdots i_{r})(h)=(\sigma(i_{1})\sigma(i_{2})\cdots\sigma(i_{r}))(g)\tag{1}\end{align*}即可.若1)h\notin\{i_{1},\cdots,i_{r}\},那么g\notin\{\sigma(i_{1}),\cdots,\sigma(i_{r})\},那么(1)式左端为\sigma(h)=g=(\sigma(i_{1}),\cdots,\sigma(i_{r}))(g)=g2)若存在某个t\in\{1,2,\cdots,r\}使得h=i_{t},那么(1)式左端为\sigma(i_{t+1})=(\sigma(i_{1}),\cdots,\sigma(i_{r}))(\sigma(i_{t}))为了避免出现t=r的情况,此时可单独考虑.11.设G是n阶交换群,若m,n为互素的⾃然数,定义\begin{align*}f:G&\to G\\a&\mapsto a^m\end{align*}证明f\in{\rm Aut}G.证明显然f为同态,再证f单,只需说明{\rm Ker}f=\{e\}即可.任取g\in{\rm Ker}f,则f(g)=g^m=e那么我们考虑循环群<g><G,显然其阶数|<g>|\big| m此外据Lagrange定理可知|<g>|\big|n,⽽m,n互素,因此|<g>|=1,从⽽g=e,即{\rm Ker}f=\{e\}因⽽f确实是单的,那么|f(G)|=|G|,且⼜f(G)\subset G,所以f(G)=G所以f满.综上便知f\in{\rm Aut}G.12.设G是n阶群,且G的中⼼只有⼳元.证明:G有且仅有n个不同的内⾃同构.证明注意到G/C(G)\simeq{\rm Inn}G⽽C(G)=\{e\},因此G\simeq{\rm Inn}G.由此结论显然.补充题：1.证明:当n\geq3时,S_{n}的中⼼C(S_{n})=\{{\rm id}\}.证明若C(S_{n})\neq\{{\rm id}\},则存在\sigma=(i_{0}i_{1})(i_{0}i_{2})\cdots(i_{0}i_{m})\in C(S_{n})(m\geq1)且i_{0},i_{1},\cdots, i_{m}互不相等.那么考虑置换(i_{0}i_{1}),有\begin{align*}\sigma(i_{0}i_{1})\sigma^{-1}=(\sigma(i_{0})\sigma(i_{1}))=(i_{m}i_{0})=(i_{0}i_{1})\end{align*}因此m=1.所以对任意的\phi\in C(S_{n}),且若\phi\neq{\rm id},那么\phi必然具有如下形式\phi=(st),s\neq t显然\phi与置换(sq)(q\neq s,t)不可交换.综上便知C(S_{n})=\{{\rm id}\}.2.证明:在同构意义下6阶群只有两种,⼀种是6阶循环群,另⼀种是S_{3}.证明若G中有6阶元,则G为循环群.若不含6阶元,那么据Lagrange定理G中元素阶数只能为1,2,3.我们断⾔G中必有⼀个3阶元,否则G中仅有⼳元和⼆阶元,那么易知G为Abel群,这是由于ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba,\forall a,b\in G取4阶群H=\{e,a,b,ab\}<G,⽽根据Lagrange定理这是不可能的.所以说G中必有6阶元a,再任取b\in G\setminus\{e,a,a^2\},显然G=\{e,a,a^2,b,ba,ba^2\}⽽且易知ba=a^2b,ba^2=ab,b^2=(ba)^2=(ab)^2=e.因此G=<b,ab>显然与S_{3}=<(12),(13)>同构.3.设G是阶⼤于2的有限群且G中有阶⼤于2的元素,证明:{\rm Aut}G>1.证明若G是⾮交换群,那么C(G)\neq G,据G/C(G)\simeq {\rm Inn}G便知|{\rm Aut}G|\geq|{\rm Inn}G|>1.若G是Abel群,⽽2<|G|<\infty,因此存在p>2以及H使得G=\mathbb Z_{p}\times H从⽽|{\rm Aut}G|\geq|{\rm Aut}\mathbb Z_{p}|=|\mathbb Z^*_{p}|=p-1>1.4.证明:S_{3}\simeq{\rm Aut}S_{3}={\rm Inn}S_{3}.证明由于C(S_{3})=\{{\rm id}\},从⽽S_{3}\simeq{\rm Inn}S_{3}再说明{\rm Aut}S_{3}={\rm Inn}S_{3},事实上只需说明|{\rm Aut}S_{3}|=6注意到S_{3}=<(12),(13),(23)>对任意的⾃同构\sigma\in{\rm Aut}S_{3},作⽤S_{3}上,显然仅仅是对上式中三个元素的重排,因⽽|{\rm Aut}S_{3}|\leq 3！=6⽽|{\rm Inn}S_{3}|=6,且{\rm Inn}S_{3}\lhd{\rm Aut}S_{3},易知{\rm Inn}S_{3}={\rm Aut}S_{3}.5.证明:S_{n}=<(12),(13),\cdots,(1n)>.证明显然<(12),(13),\cdots,(1n)><S_{n},再证另⼀半.由于对任意的置换\sigma\in S_{n},都有如下分解\sigma=(i_{0}i_{1})(i_{0}i_{2})\cdots(i_{0}i_{m})因此只说明任⼀对换可由(12),(13),\cdots,(1n)表⽰,不失⼀般性的只需说明对换(24)可被其表⽰即可.注意到(24)=(12)(14)(12)便说明了问题.Processing math: 0%。

2.6 置 换 群上一节：任何n 阶群都与n S 的一个子群同构。

n S 的每一个子群都叫一个次置换群。

n S 中的每个元素都叫一个置换。

σ如果把1i 变成2i ，2i 变成3i ， ， 1k i -变成k i ，k i 变成1i ，其余元素保持不变，则称σ是一个k - 循环，记成()121k k i i i i σ-= 。

注意：()121k k i i i i σ-= 也可以写成()()231112k k k k i i i i i i i i σ--=== 。

例如(123)(231)(312)==。

当1k =时叫做1-循环，也就是恒等置换，记作(1)(2)()n ε==== 。

当2k =时叫做对换。

一般形式()12i i 。

无公共元素的循环称为不相交循环。

例如(135)与(24)不相交。

3S 的6个置换可以写成：1123(1)123ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 2123(23)132ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3123(12)213ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 4123(123)231ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 5123(132)312ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6123(13)321ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 于是{}3(1),(12),(13),(14),(123),(132)S =，注意这样写的好处是避免了对置换编号。

4S 的24个置换可以写成：(1)— 1-循环，1个；(12),(13),(14),(23),(24),(34)—2-循环，共6个；(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243)—3-循环，共8个； (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)—4-循环，共6个；(12)(34),(13)(24),(14)(23)—2-循环乘2-循环，共3个。

合起来正好24个。

（1）不相交循环与不相交循环可以交换相乘；例如，12345(123)(45)(45)(123)23154⎛⎫== ⎪⎝⎭。

抽象代数重点解析——群（三）1.6变换群与置换群定义1.6.1：设A是非空集合，A的所有可逆变换关于映射的乘法构成的群，称为A的全变换群，记为S_{A}，S_{A}的一个子群称为A的一个变换群；当S_{A}为含有n个元素的有限集时，S_{A}也叫作n元对称群，记作S_{n}，S_{A}中的一个元素称为一个n元置换，S_{n}的一个子群称为一个n元置换群。

要注意全变换群，变换群；对称群，置换群。

这两对递进的概念的区别。

下面是一个奠定变换群地位的定理，只给出证明思路。

定理1.6.1（Cayley定理）：任何群都与一个变换群同构。

证明思路：设 G 是群， \forall a\in G ，定义映射 \forall g\in G ，f_{a}(g)=ag ，称为左平移变换。

不难验证左平移变换是 S_{G} 的一个子群，且能与 G 可以建立同构。

关于对称群 S_{n} 而言，我们把它的 n 个元素用前 n 个自然数表示，则置换 \sigma 可记作 \begin{pmatri某}1&2&...&n\\\sigma(1)&\sigma(2)&...&\sigma(n) \end{pmatri某} ，可以看出\sigma(1),\sigma(2),...,\sigma(n) 对 n 个元素的一个排列，自然有下面结论。

定理1.6.2： \left， S_{n} \right，=n。

接下来深入研究置换，首先给出两个定义。

定义1.6.2：设集合 A 有 n 个元素，设I=\left\{ i_{1},i_{2}...i_{r} \right\}\subset A ， \sigma\inS_{A} ，有 \sigma(i_{j})=i_{j+1}(j<r) ， \sigma(i_{r})=i_{1} ，\sigma(k)=k(k\notin I) ，则称 \sigma 为一个r-轮换，或称r-循环置换，记为 \sigma=(i_{1}i_{2}...i_{r}) ， i_{1},i_{2}...i_{r} 称为\sigma 的文字， r 称为 \sigma 的长；特别地，2-轮换称为对换，1-轮换称为恒等置换。

高考数学中的置换组合问题解决方法高考数学中，置换组合问题是一个经典的题型。

这类题目考察的是置换和组合数学的相关概念与运算，需要学生理解和掌握置换群的概念、行列式的运算等高阶数学知识。

本文将分析一些典型的置换组合问题，并给出解决方法。

一、置换群的基本概念置换群是指同一个元素集合上的一些可能存在的变换所形成的群。

其中，每个变换都称为一个置换，所有置换构成的集合称为置换群，通常用S_n表示，其中n为元素集合的元素数量。

例如，如果元素集合为{1,2,3}，那么S_3就是由这三个元素的所有置换所构成的群。

置换群的基本性质是它是封闭的、可逆的和结合的。

封闭性指的是对于S_n中的任意两个置换，它们的复合操作仍然属于S_n 中；可逆性指的是对于S_n中的任意置换，它都有一个逆置换存在，使得它们的复合操作等于单位置换；结合性指的是对于S_n中的任意三个置换，在任意复合顺序下它们的结果都是相同的。

二、置换组合问题的解决方法在高考数学中，置换组合问题一般形式为：有n个不同的数，对它们进行若干次置换后，求出有多少个置换不改变这n个数的相对位置。

下面以一个典型的置换组合问题为例进行说明。

例1：有6个独立的物体放在数据线上，现要对它们进行随机的交换和移动操作，问有多少种操作方式，才能把数据线变为原始状态？解：首先，我们需要求解6个元素的置换群S_6中，有多少个置换能够将6个物体变回原始状态。

设A为将6个物体变回原始状态的置换集合，那么|A|表示置换集合A中元素的数量。

由于A中的每一个置换操作都是可逆的，只需要找到其中一个操作，后面的操作就可以根据该操作的逆置换进行计算。

换句话说，假设存在一个合法操作将这6个物体变为原始状态，那么我们可以考虑该操作能够带来些什么变化，进而推导出其他合法操作的数量。

对于该操作，我们假设其将第1个物体移动到了第k个位置，然后根据k和其他物体的位置确定该置换。

不难发现，由于6个物体原来的位置已经确定，第1个物体此时只能被移到5个特定的位置上，也就是第2个物体到第6个物体所在的位置。