最新人教版初中八年级数学上册《等腰三角形的性质》精品教案

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八年级数学上册《等腰三角形的性质》教案、教学设计

3.演示验证，巩固知识
-利用几何画板等教学工具，直观演示等腰三角形的性质，帮助学生加深理解。
-通过典型例题，引导学生运用等腰三角形的性质进行计算和证明，巩固所学知识。
4.实践应用，拓展提高
-设计具有挑战性的练习题，让学生在解决问题的过程中提高几何素养。
-鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，如设计等腰三角形图案，培养他们的创新意识和实际操作能力。
4.结合教材，引导学生学习等腰三角形的相关定理和公式，如等腰三角形的面积公式、周长公式等。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组讨论一个问题，如等腰三角形的性质、判定方法、应用等。
2.学生在小组内交流观点，共同解决问题，教师巡回指导，给予提重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握等腰三角形的定义及其性质，特别是等腰三角形的底角相等、底边上的高、中线和顶角的平分线相互重合。
2.学会运用等腰三角形的性质解决相关问题，如周长、面积的计算，以及几何证明。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，提高他们在几何领域的解题技巧。
（二）教学设想
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重启发式教学，激发学生的学习兴趣和求知欲，让他们在探索中发现问题，解决问题，从而提高他们的数学素养。
二、学情分析
八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，掌握了三角形的基本概念和性质，能够进行简单的几何推理和论证。在此基础上，学生对等腰三角形的性质进行学习，有利于他们巩固和拓展已有的几何知识体系。然而，学生在几何方面的空间想象能力和逻辑推理能力仍有待提高，对等腰三角形性质的理解和应用可能存在困难。针对这种情况，教师在教学过程中应注重启发引导，关注学生的认知发展，通过直观演示、动手操作等教学手段，帮助他们突破难点，提高几何素养。同时，教师要关注学生的情感态度，鼓励他们积极参与课堂讨论，培养他们的自信心和合作精神，使他们在轻松愉快的氛围中学习等腰三角形的性质。

人教版八年级上册13.3等腰三角形教学设计

（二）讲授新知
1.教师通过几何画板演示等腰三角形的性质，如两底角相等、底边上的高、中线、角平分线重合等。同时，引导学生通过实际操作，验证这些性质。
2.教师引导学生思考：“如何判定一个三角形是等腰三角形？”组织学生讨论并分享判定方法，如两边相等的三角形是等腰三角形、两角相等的三角形是等腰三角形等。
3.教师总结等腰三角形的性质和判定方法，并板书关键点。
3.情境模拟，应用拓展：设计富有挑战性的情境问题，让学生运用等腰三角形的知识解决问题，提高学生的几何思维能力。同时，引导学生将所学知识拓展到其他几何图形，培养学生的知识迁移能力。
4.分层教学，关注个体差异：针对学生的不同层次，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。对学习困难的学生，给予个别辅导，提高他们的自信心和自主学习能力。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组发放一张等腰三角形的图片。要求学生观察图片，讨论等腰三角形的性质和判定方法在实际中的应用。
2.各小组汇报讨论成果，教师点评并给予鼓励。针对学生的疑问，组织全班同学共同讨论，解决问题。
（四）课堂练习
1.教师设计难易适度的课堂练习题，包括等腰三角形的性质、判定方法以及相关应用问题。要求学生在规定时间内完成，巩固所学知识。
人教版八年级上册13.3等腰三角形教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质和判定方法。
2.学会运用等腰三角形的。
3.能够运用等腰三角形的判定方法判断一个三角形是否为等腰三角形，并能解释判定理由。
4.熟练运用等腰三角形的相关知识解决几何图形的作图问题。
5.总结反思，提高认识：在教学结束时，引导学生对本节课的学习内容进行总结，明确等腰三角形的性质、判定方法及其应用。同时，鼓励学生反思学习过程，培养良好的学习习惯。

人教版数学八年级上册第十三章第三节第一课时等腰三角形性质教学设计

1.教师出示等腰三角形实物模型，如等腰三角形卡片、等腰三角形挂件等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在日常生活中有哪些应用？
2.学生观察、讨论并回答问题。教师总结：这些图形都是等腰三角形，它们有两边相等，两角相等的特点，在生活中广泛应用于建筑、艺术等领域。
3.教师提出问题：我们已经学习过三角形的性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还有没有特殊的性质呢？这节课我们就来学习等腰三角形的性质。
4.小组合作题：
小组共同完成一份关于等腰三角形性质的总结报告，内容包括：性质定义、证明方法、实际应用、解题技巧等。要求报告内容丰富、条理清晰，体现出小组合作精神。
5.思考题：
鼓励学生思考以下问题：等腰三角形性质在解决其他几何问题时有哪些作用？能否运用这些性质简化几何证明过程？将自己的思考记录下来，下节课与同学讨论。
3.能够运用等腰三角形的性质解决实际问题，如求等腰三角形的底边长、腰长和角度。
4.学会运用等腰三角形的性质进行证明，提高逻辑推理能力和几何图形的识别能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法使学生达到教学目标：
1.通过直观演示和实际操作，引导学生发现等腰三角形的性质，培养学生的观察力和动手操作能力。
7.教学评价，关注个体差异
采用多元化的评价方式，如课堂问答、课后作业、小组讨论等，全面评估学生的学习效果。关注学生的个体差异，针对不同学生给予个性化的指导和鼓励。
8.教学反思，持续改进
教师在教学过程中要不断进行反思，总结经验教训，针对学生的实际情况调整教学策略，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
人教版数学八年级上册第十三章第三节第一课时等腰三角形性质教学设计

人教版八年级数学上册13.3.1等腰三角形的性质优秀教学案例

在教学过程中，我重视情景的创设，以激发学生的学习兴趣和动力。针对等腰三角形的性质这一章节，我会利用生活中的实例，如建筑物、自然界中的图形等，创设情景，让学生感受到数学与生活的紧密联系。通过直观的展示和生动的讲解，引发学生的兴趣和好奇心，使其主动参与到学习中。
在情景创设中，我会注重与学生的互动，引导学生观察、操作和思考，从而激发其内在的学习动力。例如，我可以提出问题：“你们在生活中见过等腰三角形吗？它有什么特点？”让学生结合自己的生活经验，思考和回答问题。通过这样的互动，学生能够更好地理解和掌握等腰三角形的性质。
为了达到这个目标，我会通过生活实例引入教学，让学生感受到数学与生活的紧密联系，从而激发其学习兴趣。同时，我会及时给予学生鼓励和肯定，让他们感受到自己的进步和成就感，从而培养其自信心。在教学过程中，我还会引导学生思考数学的社会价值，如通过解决实际问题，让学生认识到数学在生活中的重要作用。
三、教学策略
（一）情景创设
（四）反思与评价
在教学过程中，我重视学生的反思与评价。通过反思，学生能够更好地理解自己的学习过程和思维方式，发现自己的不足，从而调整学习策略。通过评价，学生能够了解自己的学习成果，获得成就感和动力。
在反思与评价中，我会引导学生进行自我反思，提问自己：“我学会了什么？我在学习中遇到了什么问题？我如何解决这些问题？”同时，我会组织学生进行同伴评价，让他们相互提问、相互评价。通过这样的反思与评价，学生能够更好地理解和掌握等腰三角形的性质，并培养其自我反思和评价能力。
2.问题导向：在教学过程中，我设计了一系列问题，引导学生进行思考和探索。这些问题涵盖了等腰三角形的性质的基础知识、证明和应用等方面，使学生在解决问题的过程中，能够深入理解和掌握等腰三角形的性质。
3.小组合作：我将学生分成小组，让他们在小组内进行合作和交流。通过小组合作，学生能够相互学习、相互启发，培养其团队合作和沟通能力。同时，小组合作也能够提高学生的学习效果和学习兴趣。

八年级数学上册《等腰三角形的性质》优秀教学案例

四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用多媒体展示一组图片，包括等腰三角形、等边三角形和其他不规则三角形，引导学生观察并思考：“这些三角形有什么共同点和不同点？”通过这个问题，让学生回顾已学的三角形知识，为新课的学习做好铺垫。接着，我会提出本节课的核心问题：“等腰三角形有什么特殊的性质？”从而引出本章节的主题——等腰三角形的性质。
（二）过程与方法
1.通过观察、猜想、验证等探究活动，引导学生自主发现等腰三角形的性质，培养他们的观察能力和探究精神。
2.采用问题驱动教学，设计不同难度的问题，引导学生运用已学知识分析、解决问题，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.组织小组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
4.教学过程中，教师适时给予指导和反馈，帮助学生掌握正确的学习方法，提高学习效率。
八年级数学上册《等腰三角形的性质》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，等腰三角形作为基础几何图形之一，其性质的理解和应用对学生几何思维的培养具有重要意义。本教学案例以八年级数学上册《等腰三角形的性质》为课题，针对当前学生的认知水平，结合教材内容和学科特点，旨在通过生活实例引入、探究活动设计和问题驱动教学等方法，帮助学生深入理解等腰三角形的性质，并能在实际问题中灵活运用。案例注重培养学生的观察能力、逻辑思维能力和几何直观能力，以激发学生对数学学科的兴趣，提高他们的数学素养。在教学过程中，教师将充分关注学生的个体差异，采用人性化的教学语言，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在探究等腰三角形性质的过程中，感受到数学的魅力和价值。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两个基本性质：两腰相等，底角相等。

八年级数学上册《等腰三角形的性质和判定定理》优秀教学案例

二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握等腰三角形的定义、性质及判定定理，能够运用相关性质解决实际问题。
2.学会运用等腰三角形的性质进行图形的画法和构造，提高几何作图能力。
3.能够运用等腰三角形的判定定理，判断一个三角形是否为等腰三角形，并给出合理的证明。
4.掌握等腰三角形在实际生活中的应用，如建筑、设计等领域，提高知识运用能力。
五、案例亮点
1.创设生活化情境，紧密联系实际
本教学案例的最大亮点之一是充分联系学生的生活实际，创设丰富多样的教学情境。通过引入生活中的实例，如建筑、艺术、交通标志等，让学生在实际问题中感知、探索等腰三角形的性质和判定定理。这种教学方式既激发了学生的学习兴趣，又使他们认识到数学知识在现实生活中的重要性，增强了学习的针对性和实用性。
小组合作学习是本章节教学的重要环节。我将根据学生的知识水平、性格特点等进行合理分组，确保每个小组的成员在合作学习中能够发挥各自的优势。通过小组讨论、合作探究等形式，让学生在互动交流中共同解决问题，提高他们的沟通能力和团队协作精神。同时，关注每个学生的学习进度，及时给予个别辅导，使全体学生都能在小组合作学习中得到提高。
2.以问题为导向，培养思维能力
本案例以问题为导向，设计了富有启发性和挑战性的问题，引导学生进行思考、探索。这种教学策略有助于培养学生的问题意识，提高他们分析问题和解决问题的能力。同时，鼓励学生提出自己的疑问，充分调动了他们的学习积极性，促学习在本案例中得到了充分体现。学生通过小组讨论、合作探究等形式，共同解决问题，提高了沟通能力和团队协作精神。同时，教师关注每个学生的学习进度，给予个别辅导，确保了小组合作学习的效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将利用学生已经学习的三角形知识作为切入点，通过以下步骤引导学生进入等腰三角形的学习：

人教版八年级数学上册13.3.1《等腰三角形的性质》教学设计

4.教师引导学生运用已知性质，尝试证明等腰三角形的底边上的中线等于底边的一半，培养学生的逻辑推理能力。
5.在讲授过程中，教师注重启发式教学，鼓励学生积极参与，培养学生的几何思维。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，每组探讨一个问题，如“等腰三角形的两腰相等、底角相等的性质如何证明？”
2.学生在小组内展开讨论，互相交流想法，共同解决问题。
3.性质探究：
a.通过画图、测量等操作，让学生直观地感受等腰三角形两腰相等、底角相等的特点。
b.引导学生利用几何画板等工具，动态演示等腰三角形性质，增强学生对性质的理解。
c.组织学生分组讨论，总结等腰三角形的性质，培养学生的合作意识和交流能力。
4.性质应用：
a.设计具有层次性的练习题，让学生运用等腰三角形的性质解决问题，巩固所学知识。
a.已知等腰三角形的底边和一顶角，求另外两个角的度数。
b.在等腰三角形中，若底边上的中线等于底边的一半，求证该三角形是等边三角形。
c.某等腰三角形的底边长为10cm，腰长为13cm，求该三角形的面积。
3.实践应用题：结合生活实际，设计一些实践应用题，让学生运用等腰三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。例如：
五、作业布置
1.基础巩固题：针对本节课所学的基本概念和性质，设计一些基础巩固题，让学生通过练习，加深对等腰三角形定义和性质的理解。例如：
a.判断以下图形中哪些是等腰三角形，并说明理由。
b.已知等腰三角形的一腰和底边，求另一腰的长度。
c.证明等腰三角形的底角相等。
2.提高拓展题：为培养学生的逻辑推理和几何思维能力，设计一些提高拓展题，让学生在解决问题的过程中，运用等腰三角形的性质。例如：
b.通过解决实际问题，如测量距离、计算面积等，让学生体会数学知识在实际生活中的应用，提高学生的实践能力。

人教版八年级数学上册13.3《等腰三角形的判定》优秀教学案例

（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请各小组代表分享他们的讨论成果，并对每个判定方法进行点评和补充。然后，我会对等腰三角形的判定方法进行系统总结，强调以下几点：
1.等腰三角形的定义及其性质。
2.常见的等腰三角形判定方法及其证明。
3.等腰三角形在实际问题中的应用。
（五）作业小结
在作业小结环节，我会布置以下作业：
1.根据课堂学习，完成课后练习题，巩固等腰三角形的判定方法。
2.收集生活中的等腰三角形实例，并尝试用所学知识解释其原理。
3.思考等腰三角形在其他学科领域的应用，如物理、化学等。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设
本案例以生活化的情景为切入点，将等腰三角形与学生的日常生活紧密联系在一起。通过展示古代建筑、艺术作品等中的等腰三角形，让学生感受到数学知识在实际生活中的广泛应用，从而提高他们对数学学习的兴趣和积极性。
4.培养学生的空间观念，提高他们在实际生活中发现和运用等腰三角形知识的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，引导学生主动探究等腰三角形的判定方法，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
2.设计丰富的教学活动，如几何画板演示、实际操作等，让学生在观察、实践、总结的过程中掌握等腰三角形的性质和应用。
2.问题导向的探究式学习
本案例以问题为导向，引导学生主动思考、探究等腰三角形的性质和判定方法。设计由浅入深的问题，激发学生的求知欲望，培养他们分析问题、解决问题的能力。
ห้องสมุดไป่ตู้3.小组合作促进交流与协作
小组合作是本案例的一大亮点。通过小组讨论、交流，学生可以相互借鉴、取长补短，共同解决问题。这种教学方式有助于培养学生的团队协作意识、沟通能力和表达能力。

人教版初中数学八年级上册1.3.1等腰三角形的性质教学设计

1.学生已具备一定的几何图形认知基础，掌握了三角形的基本概念和性质，但等腰三角形作为特殊的三角形，其性质的认识还需进一步引导。
2.学生在小学阶段对等腰三角形有所接触，但对其性质的理解尚不深入，需要通过本章节的学习，加深对等腰三角形性质的理解和应用。
3.学生在解决实际问题时，可能存在对等腰三角形性质运用不熟练的情况，需要教师通过典型例题、练习等方式，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
2.教师对学生的总结进行点评，强调重点，指出易错点。
3.提醒学生课后复习，加强对等腰三角形性质的理解和记忆。
4.鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，发现数学之美。
五、作业布置
为了巩固本章节所学知识，检验学生对等腰三角形性质的理解与应用，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）课本习题1.3.1第1、2、3题，要求学生独立完成，加强对等腰三角形性质的记忆。
3.能够运用等腰三角形的性质解决实际问题，如求等腰三角形的周长、面积等。
4.学会通过观察、猜想、验证、运用等环节，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，教师应采用以下方法引导学生学习：
1.采用直观演示、实际操作等方式，让学生感知等腰三角形的特点，培养观察能力和空间想象能力。
3.合作作业：
（1）小组合作完成一道研究性学习任务，如探究等腰三角形在建筑、艺术等领域的应用。
（2）开展小组讨论，总结等腰三角形性质在解决实际问题时的关键步骤和技巧。
4.个性化作业：
根据学生的认知水平和兴趣，设计不同难度的作业，让每位学生都能在原有基础上得到提高。
5.作业批改与反馈：
教师应及时批改作业，对学生的完成情况进行点评，指出错误原因，给予鼓励和指导。

八年级数学人教版上册13.3.1等腰三角形的性质优秀教学案例

八年级数学人教版上册13.3.1等腰三角形的性质优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学人教版上册13.3.1等腰三角形的性质，是学生在学习了三角形基本概念、性质以及特殊三角形（等边三角形）的基础上，进一步探究等腰三角形的特征及其应用。学生在学习本节内容前，已掌握三角形的相关知识，但对于等腰三角形的性质及其推理论证能力尚需加强。
2. 利用多媒体课件或实物模型，展示等腰三角形的性质，使学生能够直观地感知和理解。例如，通过动态演示等腰三角形底角相等的性质，让学生亲眼看到角的变换过程。
3. 设计一些具有挑战性的问题，激发学生的思考和探究欲望。例如，提出“为什么等腰三角形的底角相等？”的问题，让学生积极思考并寻找答案。
（二）问题导向
4. 学生能够在数学学习过程中，培养严谨治学的态度，养成勤于思考、善于动手的习惯。
5. 学生能够理解数学知识的广泛应用，提高对数学学科的价值观认识，培养正确的价值观。
三、教学策略
（一）情景创设
1. 结合生活实际，创设有趣的情境，引发学生对等腰三角形性质的兴趣和好奇心。例如，通过展示一些常见的等腰三角形物体，如金字塔、双截棍等，让学生观察并思考它们的共同特点。
2. 问题导向的教学策略：教师通过设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步深入探究等腰三角形的性质，培养学生的思考和解决问题的能力。这种问题导向的教学策略，使学生在解决问题的过程中，能够自主发现和总结等腰三角形的性质，提高学生的探究能力和自主学习能力。
3. 小组合作的学习方式：教师将学生分成小组，鼓励学生在小组内进行讨论交流，分享自己的观点和思考。这种小组合作的学习方式，培养了学生的团队合作能力和沟通表达能力，使学生在合作中发现问题、解决问题，提高了学习的效率和效果。
（二）讲授新知

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13．3等腰三角形
13．3.1等腰三角形
第1课时等腰三角形的性质
1．理解并掌握等腰三角形的性质．(重点)
2．经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．(难点)
一、情境导入
探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的概念
【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长
如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是( )
A．9cm B．12cm
C．15cm或12cm D．15cm
解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.
方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
探究点二：等腰三角形的性质
【类型一】利用“等边对等角”求角度
等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( ) A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
解：设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB ＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x ＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明
如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝1
2
∠ABC，∠
ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .
证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12
∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .
方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．
【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明
如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .
(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；
(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .
解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．
证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG －DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；
(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
【类型五】与等腰三角形的性质有关的探究性问题
如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．
(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．
解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE
＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，可得出BE ⊥AD ；
(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.
解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .
(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .
(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩
⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.
三、板书设计
1．等腰三角形的性质．
2．解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．
3．重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．
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