2.9 函数与方程—讲义

新课标高中数学人教A 版必修一教材解读5三明二中 范训库２．９方程的根与函数的零点（1节）三维目标：知识与技能：理解函数（特别是二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件过程与方法：从已有的基础出发，从具体到一般揭示方程的根与对应函数的零点之间的关系，零点存在的判断情感、态度与价值观：从函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。

教材分析：重点：方程的零点存在的判断难点：方程的零点与方程的根关系教学顺序：由二次函数图象与x 的交点与相应方程的根的关系----零点的定义----零点与根的关系----零点的判断—范例选讲．例1：求下列函数的零点：（1）452+-=x x y （2）x x y 83-=（3）x x y 52+-= （4）)23)(2(22+--=x x x y例2：课本P88：例1例3：对于函数n mx x x f ++=2)(，若0)(,0)(>>b f a f ，则函数)(x f 在区间),(b a 内（ ）A 一定有零点B 一定没有零点C 可能有两个零点D 至多有一个零点学生练习：课本P88：练习1补充：求证函数54ln )(-+=x x x f 在),0(+∞内有且仅有一个零点。

作业：学案P60--61：1-12补充一节：二次方程的根的分布问题（略）２．１０用二分法求方程的近似解（1课时）知识与技能：会用二分法求函数的零点或方程的根的近似解，继续深化对函数与方程之间的联系的认识．过程与方法：通过具体实例的求解，体验、总结二分法的过程与步骤．情感、态度与价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

教材分析：重点：二分法求方程的近似解难点：对近似解所在范围的缩小的理解教学顺序：引入------二分法求近似解过程范例-----二分法的定义------归纳出二分法的步骤---对精确度ε<-||b a 的理解----范例选讲例1：课本P90：例2例2：用二分法求函数3)(3-=x x f 的一个正零点（精确到0.01）（共计算7次）学生练习：1．求方程03323=-+x x 的一个实数解（精确到0.01）（共求10次）2．求函数632)(23--+=x x x x f 的一个正零点（精确到0.1）（)7.1=x3．课本P91：练习2作业：学案P61---62几点说明：1．函数概念的教学可以从学生在义务教育阶段已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念，再引入高中函数的定义，并加以比较两者定义的区别和联系。

函数与方程知识讲解一、一元二次方程的根与对应图象与x 轴交点的关系关系：一元二次方程的实数根与对应二次函数图象和x 轴交点的横坐标相同，方程实数根的个数与函数图像和x 轴交点的个数相同．二、函数的零点1.函数零点的概念概念：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则实数a 叫做这个函数的零点．2.函数零点的意义意义：函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．3.零点存在判定定理判定定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x = 在区间()a b ，内至少有一个零点，即存在()c a b ∈，，使得判别式24b ac ∆=-0∆>0∆=0∆<方程20(0)ax bx c a ++=≠的根 有两个不相等实根12x x ， 有两相等实根12x x = 无实根 函数20(0)y ax bx c a =++=≠与x 轴交点有两个交点1(0)x ，、2(0)x ， 有一个交点1(0)x ，无交点()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的根．4.变号零点：如果函数图象在通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点．5.不变号零点：如果函数图象在通过零点时不穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点．6.一次函数的零点定义：若一次函数()(0)f x kx b k =+≠在区间(,)a b 上恰有一零点⇔()()0f a f b ⋅<7.二次函数零点（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2）二次函数零点的性质性质：①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号． （3）二次函数的零点的应用应用：①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质．8.“配凑法”因式分解三次多项式方法：若320ax bx cx d +++=方程有一根为0x ，则三次多项式32ax bx cx d +++可分解为2011()()a x x x b x c -++然后再进一步分解．三、二次函数2()f x axbx c =++零点的分布与区间端点的关系四、二分法1.二分法：求函数零点的近似值的一种方法．2.二分法求函数零点的一般步骤：步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点0x 的近似值x ，使它满足给定的精确度．第一步 在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使0()f a 与0()f b 异号，即00()()0f a f b ⋅<．零点位于区间[]00,a b 中．第二步 取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为0002a b x +=．计算0()f x 和0()f a ，并判断：(1)如果0()0f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；(2)如果00()()0f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； (3)如果00()()0f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b ==． 第三步 取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为1112a b x +=．计算1()f x 和1()f a ，并判断：(1)如果1()0f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；(2)如果11()()0f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； (3)如果11()()0f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==．L L继续实施上述步骤，直到区间[],n na b上，当n a和n b按照给a b，函数的零点总位于区间[],n n定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数()y f x=的近似零点，计算终止．典型例题一．选择题（共6小题）1．（2010•天津）函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：当x=0时，f（0）=20+0=1＞0，当x=﹣1时，f（﹣1）=2−1−1=−12＜0，由于f（0）•f（﹣1）＜0，且f（x）的图象在[﹣1，0]上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故选：B．2．（2018•甘肃一模）函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间是（）A．(12，1)B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：∵连续函数f（x）=log2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增∵f（2）=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3）故选：C．3．（2017秋•汪清县校级期末）函数f（x）=x3﹣9的零点所在的大致区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣9在R上单调递增，f（2）=8﹣9=﹣1＜0，f（3）=27﹣0=18＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=x3﹣9的零点所在的大致区间是（2，3）故选：D．4．（2017秋•延安期末）根据下表，用二分法求函数f（x）=x3﹣3x+1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度0.1）是（）f（1）=﹣1f（2）=3f（1.5）=﹣0.125 f（1.75）=1.109375f（1.625）=0.41601562f（1.5625）=0.12719726 A．1.75B．1.625C．0.12719726D．1.5625【解答】解：∵2﹣1=1＞0.1，f（1.5）•f（2）＜0且2﹣1.5=0.5＞0.1，f（1.5）•f（1.75）＜0且1.75﹣1.5=0.25＞1，f（1.5）•f（1.625）＜0且1.625﹣1.5=0.125＞1，f（1.5）•f（1.5625）＜0且1.5625﹣1.5=0.0625＜1，∴用二分法求函数f（x）=x3﹣3x+1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度0.1）是1.5625．故选：D．5．（2018•青岛二模）已知方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1，x2，则2x1⋅2x2=（）A．3B．6C．8D．2【解答】解：方程x2﹣3x+1=0的两个根为x1，x2，x1+x2=3，2x1⋅2x2=2x1+x2=23=8．故选：C．6．（2017秋•珠海期末）定义在[0，6]上的连续函数y=f（x）有下列的对应值表：x0123456y0﹣1.2﹣0.2 2.1﹣2 3.2 2.4则下列说法正确的是（）A．函数y=f（x）在[0，6]上有4个零点B．函数y=f（x）在[0，6]上只有3个零点C．函数y=f（x）在[0，6]上最多有4个零点D．函数y=f（x）在[0，6]上至少有4个零点【解答】解：定义在[0，6]上的连续函数y=f（x），由表格可知：f（0）=0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0，所以函数的一个零点为：0，另外至少有3个零点，分别在（2，3），（3，4），（4，5）内．函数y=f（x）在[0，6]上至少有4个零点．故选：D．二．填空题（共5小题）7．（2018•杨浦区二模）函数y=lgx﹣1的零点是10．【解答】解：根据题意，函数y=lgx﹣1，若f （x ）=lgx ﹣1=0，解可得x=10， 则函数y=lgx ﹣1的零点是10， 故答案为：10．8．（2016•南通模拟）函数f （x ）={0，x =0x −1x ，x ≠0的零点个数为 3 ．【解答】解：根据函数f （x ）={0，x =0x −1x ，x ≠0，可得当x=0时，f （x ）=0．令f （x ）=x ﹣1x =0，求得x=1，或x=﹣1，故函数f （x ）的零点有3个，即x=0，x=±1， 故答案为：3．9．（2012秋•如东县校级期末）已知函数f （x ）的图象是连续不断的，观察下表：函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的零点至少有 3 个．【解答】解：由题中表得，f （﹣2）＜0，f （﹣1）＞0，f （0）＜0，f （1）＜0，f （2）＞0，由零点存在性定理可得f （x ）在区间[﹣2，﹣1]，[﹣1，0]，[1，2]上个有一个零点，故函数f （x ）在区间[﹣2，2]上的零点至少有3个． 故答案为：3．10．（2016•新疆校级模拟）方程log 2x =−12的解为 √22．【解答】解：方程log 2x =−12，化为：log2x=log22−12，即：x=2−12．∴x=√2 2．故答案为：√22．11．用二分法求函数f（x）=x3﹣3的零点时，若初始区间为（n，n+1），n∈Z，则n=1．【解答】解：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f（a）•f（b）＜0．由于本题中函数f（x）=x3﹣3，f（2）=5，f（1）=﹣2，显然满足f（2）•f（1）＜0，故函数f（x）=x3﹣3的零点可以取的初始区间是[1，2]，∵初始区间为（n，n+1），n∈Z，∴n=1．故答案为：1．三．解答题（共2小题）12．求方程x3﹣x﹣1=0在区间（1，1.5）内的一个近似解（精确度0.1）．【解答】解：函数f（x）=x3﹣x﹣1在区间[1，1.5]内的一个零点附近曲函数值用二分法逐次计算列表如下x1 1.5 1.25 1.3751.3125f（x）﹣10.875﹣﹣0.29690.22460.05151由图中参考数据可得f（1.375）＞0，f（1.3125）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似解为1.3．13．已知g（x）=mx﹣2x+3﹣m在x∈[0，2]内只一个零点，求m的取值范围．【解答】解：g（x）=mx﹣2x+3﹣m=（m﹣2）x+3﹣m；∵g（x）=mx﹣2x+3﹣m在x∈[0，2]内只一个零点，∴（3﹣m）（2（m﹣2）+3﹣m）≤0；解得，m≤1或m≥3；故m的取值范围为：m≤1或m≥3．。