二次函数与方程、不等式综合.讲义

怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)）设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________一、知识点1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2≠++=a c bx ax y ）与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程02=++c bx ax 的两根为 .一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数.（1）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点,02=++c bxaxac b 42- 0；（2）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点，02=++c bx ax ac b 42- 0；（3）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点,02=++c bx ax ac b 42- 0.2.抛物线与直线的交点:①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线； ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线；③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗？请说明理由。

三、适应练习1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．3、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ）62-+=x x y 0542=-+x x 025102=-+-x x 25102-+-=x x y 542-+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D4、已知二次函数y=x 2-4x+k+2与x 轴有公共点，求k 的取值范围.5、已知抛物线的解析式为y=x 2-(2m-1)x+m 2-m ①求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点.②若此抛物线与直线y=x-3m+4的一个交点在y 轴上，求m 的值.6、打高尔夫时 ，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度y （单位：米）与飞行距离x （单位：百米）之间具有关系：y=-5x 2+20x ，这个球飞行的水平距离最远是多少米？想一想：球的飞行高度能否达到40m ？7、已知抛物线c bx ax y ++=21（a≠0,a≠c ）过点A(1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。

二次函数与一元二次方程,不等式关系
二次函数是指形式为y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数
且a≠0。

该类函数的图像为抛物线，并且开口的方向取决于a的正负。

一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数
且a≠0。

解一元二次方程可以利用求根公式或配方法来求得方程的解。

二次不等式是由二次函数构成的不等式，其中不等号可以为大于号（>）、大于等于号（≥）、小于号（<）或小于等于号（≤）。

求解
二次不等式可以通过找出对应的函数图像的区间，或者进行因式分解
和求解每个因子的正负来得到解集。

二次函数与一元二次方程,不等式教案
一、教学内容：
二次函数与一元二次方程及不等式的概念、特征及应用
二、教学目标：
1、掌握二次函数的定义及一般式形式；
2、掌握一元二次方程的定义及解法；
3、掌握不等式的定义及解法；
4、能够应用一元二次方程和不等式解决实际问题；
三、教学重点：
1、引出二次函数的概念，掌握一般式形式；
2、了解一元二次方程的定义，熟练掌握解题步骤；
3、理解不等式的定义和解题步骤；
4、熟练运用一元二次方程和不等式解决实际问题；
四、教学过程：
Step1. 问题引入
1. 用图像说明二次函数的特点
2. 提出求抛物线顶点坐标的问题，引出一元二次方程 Step2. 探究解题思路
1. 引入一元二次方程的概念，介绍其一般式形式和解法
2. 通过案例让学生掌握解一元二次方程的步骤
Step3. 深入学习
1. 引入不等式的概念，介绍其定义及解答
2. 通过案例让学生熟练掌握不等式的解法
Step4. 应用与练习
1. 通过实际问题让学生熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的概念，特征及应用
2. 通过实际问题让学生熟练掌握求解一元二次方程、不等式的步骤
Step5. 总结
1. 总结一元二次方程及不等式的定义、特征及求解步骤
2. 总结二次函数的定义及特征。

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位， 则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题 两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解； （2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。

高考培优 数学“一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。

该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。

这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。

2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。

因此，这部分内容也是基础的内容。

其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。

1. （★★★☆）已知函数2()f x x bx c =++，,b c R ∈，对于任意的x R ∈，不等式2()x b f x +≤恒成立，证明当0x ≥时，2()()f x x c ≤+2. （★★☆☆）已知不等式()22454(1)30m m x m x +---+>恒成立，求实数m 的取值范围。

知识点一：一元二次方程与一元二次不等式的基本解法✧ 子知识点一：一元二次不等式的基本解法。

一般地，对于一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其解集有如下形式：这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。

✧ 子知识点二：注意有关含参数的一元二次方程与一元二次不等式求解时的讨论。

知识点二：利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题✧ 子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。

具体可以参见知识点一中的表格。

✧ 子知识点二：一元二次方不等式（方程）的恒成立问题。

一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点；类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。

不过这道题需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第7讲二次函数与一元二次方程、不等式一、知识梳理1.一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.(其中a，b，c均为常数，a≠0)2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数常用结论1.分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0).(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2.两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.二、教材衍化1.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 1(3)改编)不等式x 2－3x －10＜0的解集为________.解析：由x 2－3x －10＜0得(x ＋2)(x －5)＜0，所以－2＜x ＜5. 答案：(－2，5)2.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 3改编)已知M ＝{x |4x 2－4x －15≥0}，N ＝{x |x 2－5x －6＞0}，则M ∩N ＝________，M ∪N ＝________.解析：M ＝{x |(2x ＋3)(2x －5)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥52，N ＝{x |(x ＋1)(x －6)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞6}， 所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6， M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1.(忽略等号能否成立致误)不等式x －1x －3≤0的解集是( ) A.(－∞，1)∪[3，＋∞) B.(－∞，1]∪(3，＋∞)C.[1，3)D.[1，3] 解析：选C.不等式x －1x －3≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －3）≤0，x －3≠0.解得1≤x <3，所以不等式的解集是[1，3)，故选C.2.(忽视二次项系数为0致误)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析：当m ＝0时，1>0，不等式恒成立， 当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0.解得0<m <4. 综上，0≤m <4. 答案：[0，4)3.(不能正确理解不等式的解集致误)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 解析：因为x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b 2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14. 答案：－14考点一 一元二次不等式的解法(多维探究)复习指导：通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式.角度1 不含参数的不等式(1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) (2)(链接常用结论1)不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【解析】 (1)－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， 所以x <－1或x >32.(2)原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0， 解得－2<x ≤1. 【答案】 (1)C (2)B解一元二次不等式的方法和步骤角度2 含参数的不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0). 【解】 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a <x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式. 解：当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}， 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x <1a 或x >1.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；(2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.|跟踪训练|1.若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12或x >13}，则a －b a ＝( ) A.56 B.16 C.－16D.－56解析：选A.由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和13，所以根据根与系数的关系可得－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.2.解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R ). 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞. 考点二 一元二次不等式恒成立问题(思维发散)复习指导：此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标.(链接常用结论2)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )＜5－m恒成立，求实数m 的取值范围.【解】 对于x ∈R ，f (x )＜5－m 恒成立， 即mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，显然符合题意，当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m （m －6）＜0得m ＜0，综上，所求实数m 的取值范围是(－∞，0].1.本例中将条件“x ∈R ”改为“x ∈[1，3]”，其他不变，求实数m 的取值范围.解：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.2.本例中条件改为“若存在x ∈[1，3]，使f (x )＜5－m 成立”，求实数m 的取值范围.解：题中条件可转化为存在x ∈[1，3]，使m <6x 2－x ＋1成立.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最大值为6， 所以只需m ＜6即可， 故m 的取值范围是(－∞，6).(1)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.若a ＝0，则应单独验证是否符合题意.(2)一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含指定的范围.(3)“恒成立”和“能成立”问题都可以转化为函数最值问题.|跟踪训练|1.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A.(－2，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析：选D.由题意知x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2].故选D.2.若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________.解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，03.若mx 2－mx －1＜0对于m ∈[1，2]恒成立，求实数x 的取值范围.解：设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＜0，2x 2－2x －1＜0，解得1－32＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.考点三 一元二次不等式的实际应用(综合研析)复习指导：体会建立不等式模型解决实际问题的方法.某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电量为a kW ·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW ·h 至0.75元/kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW ·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/kW ·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2 a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价). 【解】 (1)下调电价后新增的用电量为k x －0.4，所以下调电价后的总用电量为a ＋kx －0.4， 所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋k x －0.4(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75). (2)由已知⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫a ＋0.2a x －0.4（x －0.3）≥[a ×（0.8－0.3）]×（1＋20%），0.55≤x ≤0.75，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1 x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75.当电价最低定为0.60元/kW ·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.求解不等式应用题的四个步骤|跟踪训练|若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1 x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50 x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台.答案：150[A基础达标]1.(2022·铜仁市思南中学期中考试)不等式－x2－3x＋10≥0的解集为()A.{x|－5≤x≤2}B.{x|x≤－5或x≥2}C.{x|－2≤x≤5}D.{x|x≤－2或x≥5}解析：选A.－x2－3x＋10≥0可化为x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2.2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A.{x |x <－n 或x >m }B.{x |－n <x <m }C.{x |x <－m 或x >n }D.{x |－m <x <n }解析：选B.原不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0， 因为m ＋n >0，所以m >－n ， 所以原不等式的解为－n <x <m .3.关于x 的不等式(ax －b )(x ＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为( )A.(－∞，－1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)解析：选A.由题意可得a <0，且1，－3是方程(ax －b )(x ＋3)＝0的两实数根， 所以x ＝1为方程ax －b ＝0的根，所以a ＝b ， 则不等式ax ＋b >0可化为x ＋1<0，即x <－1， 所以不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，－1).4.若存在实数x ∈[2，4]，使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，则m 的取值范围为( ) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞)D.(－∞，13)解析：选B.m ＞x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2，4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，若∃x ∈[2，4]使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，即m ＞f (x )min ，所以m ＞5.故选B.5.(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A.(－2，－1)B.(－3，－6)C.(2，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 解析：选AD.不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，所以方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6.不等式x ＋2x －1>2的解集为________. 解析：原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即（x ＋2）－2（x －1）x －1>0，即4－x x －1>0， 即(x －1)(x －4)<0， 解得1<x <4，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}. 答案：{x |1<x <4}7.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析：原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a8.(2022·河南温县一中10月月考)已知定义在R 上的运算“⊗”： x ⊗y ＝x (1－y )，关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0.(1)当a ＝2时，不等式的解集为________________；(2)若∀x ∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________， 解析：(1)当a ＝2时，不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －2)(1－x －2)>0， 即(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2，所以不等式的解集为{x |－1<x <2}.(2)不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －a )(1－x －a )>0， 即－x 2＋x ＋a 2－a >0，不等式对∀x ∈[0，1]恒成立，设y ＝－x 2＋x ＋a 2－a ， 则只要∀x ∈[0，1]，y min >0，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋a 2－a ，当x ＝0或x ＝1时，y min ＝a 2－a ，所以y min ＝a 2－a >0， 解得a <0或a >1.答案：(1){x |－1<x <2} (2)a <0或a >1 9.若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集.解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，代入方程解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0，即为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12. 10.(2022·重庆九校联考)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1 x＋0.01 x2，s乙＝0.05 x＋0.005 x2.问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1 x＋0.01 x2>12，即x2＋10 x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05 x＋0.005 x2>10，即x2＋10 x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速.故甲车没有超速，乙车有超速现象.[B综合应用]11.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是()A.(－3，5)B.(－2，4)C.[－1，3]D.[－2，4]解析：选C.因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1＜a≤3或－1≤a＜1，所以实数a的取值范围是a∈[－1，3]，故选C.12.(多选)(2022·淄博高三一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A.10B.3C.－4.5D.－5解析：选BC.因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x ]－3)([x ]＋4)≤0，所以－4≤[x ]≤3，又因为[x ]表示不小于实数x 的最小整数，结合选项， 所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3和－4.5. 故选BC.13.(2022·山东泰安一中月考)设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx ＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则m 的取值范围为( )A.[4，6]B.(4，6)C.(4，6]D.[4，6)解析：选A.函数f (x )＝x 2－mx ＋2的对称轴为直线x ＝m2， 由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，即m ≥4； 因为m ≥4，m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1且m 2＋1－m 2≤m2－1，故当x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1时，f (x )max ＝f (1)＝3－m ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－m 24＋2，由|f (x 1)－f (x 2)|≤4，可得3－m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2≤4，化简可得m 2－4m －12≤0，可得－2≤m ≤6， 综上可得4≤m ≤6，故选A.[C 素养提升]14.(2022·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________.解析：由题可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝b2，－3＝－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0].令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案： 4 (－∞，－2]15. (2022·浙江诸暨中学高三模拟)设函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，若不等式f (x )<0的解集是(1，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意x ∈[1，3]，不等式f (x )≤2＋t 有解，求实数t 的取值范围. 解： (1)由题意知1和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝6，c2＝5，解得b ＝－12，c ＝10，所以f (x )＝2x 2－12x ＋10.(2)不等式f (x )≤2＋t 在x ∈[1，3]时有解，等价于2x 2－12x ＋8≤t 在x ∈[1，3]时有解，只要t ≥(2x 2－12x ＋8)min 即可，不妨设g (x )＝2x 2－12x ＋8，x ∈[1，3]，则g (x )在[1，3]上单调递减，所以g (x )≥g (3)＝－10，所以t ≥－10.。

二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ◆基础知识对于二次函数),0(2为常数、、c b a a c bx ax y ≠++=一、与一元二次方程的关系：1、当0=y 时，可得一元二次方程02=++c bx ax ，它的解就是二次函数图象与x 轴交点的 。

数形结合：如图，是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则方程02=++c bx ax 的解是 。

2、若一元二次方程02=++c bx ax 的解是b x a x ==21,，那么二次函数c bx ax y ++=2与x 的交点坐标是 。

3、求二次函数图象与x 轴的交点坐标，通常令 ，得方程 ，求得的 就是抛物线与x 轴交点的 坐标。

二、与不等式的关系：1、当0>y 时，可得一元二次不等式02>++c bx ax ，它的解集是当函数值y 大于0时，函数图象所对应的 的取值范围；当0<y 时，可得一元二次不等式02<++c bx ax ，它的解集是当函数值y 小于0时，函数图象所对应的 的取值范围；数形结合：如图，是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是 ，一元二次不等式02<++c bx ax 的解集是 。

2、若二次函数c bx ax y ++=2的图象与一次函数b kx y +=图象相交时，一元二次不等式b kx c bx ax +>++2的解集是 ，不等式b kx c bx ax +<++2的解集是 。

数形结合：如图，是二次函数c bx ax y ++=2和一次函数b kx y +=的图象，则不等式b kx c bx ax +>++2的解集是，不等式b kx c bx ax +<++2的解集是。

◆典例解析例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）方程02=++c bx ax 的两个根是 ；（2）不等式02>++c bx ax 的解集是 ；（3）若方程k c bx ax =++2有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。

考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集． 解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解， 等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解． 由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立， 所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0， 即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0， 解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2， 故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0， 等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析 设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%， 解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为x －a x ＋1<0， 即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。