函数的零点与方程的解教学讲义

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

§2.11函数的零点与方程的解课标要求 1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)(3)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(×)(4)求函数零点的近似值都可以用二分法．(×)2．下列函数中，不能用二分法求零点的是()A ．y ＝2xB ．y ＝(x －2)2C ．y ＝x ＋1x －3D ．y ＝ln x答案B解析对于B ，y ＝(x －2)2有唯一零点x ＝2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点．3．(2023·太原模拟)函数f (x )＝3x －log 2x 的零点所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析函数f (x )＝3x－log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，又f (1)＝3－log 21＝3>0，f (2)＝32－log 22＝12>0，f (3)＝33－log 23＝1－log 23<0，所以f (2)f (3)<0，则f (x )有唯一零点，且在区间(2,3)内．4．函数f (x )－1，x >0，2－4，x <0的零点是________．答案1，－2解析根据题意，函数f (x )－1，x >0，2－4，x <0，若f (x )＝0－1＝0，>02－4＝0，<0，解得x ＝1或x ＝－2，即函数的零点为1，－2.题型一函数零点所在区间的判定例1(1)(2023·宣城模拟)方程ln x x －ex＋1＝0的根所在的区间是(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)()A ．(1,2)B ．(2，e)C ．(e,3)D ．(3,4)答案B 解析对于方程ln x x －ex＋1＝0，有x >0，可得x ＋ln x －e ＝0，令f (x )＝x ＋ln x －e ，其中x >0，因为函数y ＝x －e ，y ＝ln x 均在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝1－e<0，f (2)＝2＋ln 2－e<0，f (e)＝1>0，所以f (2)f (e)<0，由函数零点存在定理可知，函数f (x )的零点在区间(2，e)内，则方程ln x x －ex ＋1＝0的根所在的区间是(2，e)．(2)用二分法求方程ln x x －ex＋1＝0在区间(2,3)内的根的近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()A ．2B ．3C ．4D ．5答案C解析∵开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n ，故有12n <0.1，解得n ≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续；再看是否有f (a )·f (b )<0，若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．跟踪训练1(1)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间()A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案A解析函数y ＝f (x )是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点．(2)函数f (x )＝log 2x ＋2x －6，函数f (x )的零点所在的区间为(n ，n ＋1)且n ∈N ，则n ＝________.答案2解析函数f (x )＝log 2x ＋2x －6的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，f (2)＝log 22＋22－6＝－1<0，f(3)＝log23＋23－6＝log23＋2>0，即f(2)f(3)<0，因此函数f(x)的唯一零点在(2,3)内，所以n＝2.题型二函数零点个数的判定例2(1)(2023·咸阳模拟)函数f(x)2－1，x≤0，－2＋ln x，x>0的零点个数为()A．5B．4C．3D．2答案D解析当x≤0时，x2－1＝0，解得x＝－1；当x>0时，f(x)＝x－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，并且f(1)＝1－2＋ln1＝－1<0，f(2)＝2－2＋ln2＝ln2>0，即f(1)f(2)<0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)(2023·三明模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，设函数g(x)＝f(x)－log7|x|，则函数g(x)的零点个数为()A．6B．8C．12D．14答案C解析依题意可知，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝f(－x)＝f(－x－2)＝f(x＋2)，即函数f(x)是以2为周期的偶函数，令g(x)＝f(x)－log7|x|＝0，即f(x)＝log7|x|，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)和y＝log7|x|的图象，如图所示．由图象可知，两函数图象共有12个交点，即函数g(x)共有12个零点．思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2(1)(2024·渭南模拟)函数f(x)＝3x|log2x|－1的零点个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析函数f (x )＝3x |log 2x |－1的零点，即3x |log 2x |－1＝0的解，即|log 2x |的解，即y ＝|log 2x |与y 图象的交点，如图所示，从函数图象可知，y ＝|log 2x |与y 有2个交点，即函数f (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为________．答案6解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6，所以f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0，由36－x 2＝0得x ＝±6，由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，所以x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点．题型三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数例3(2023·安阳模拟)已知函数f (x )2＋2x ＋2，x ≤0，(x ＋1)，x >0的图象与直线y ＝k －x 有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是()－14，＋∞B ．(0，＋∞)－14，2D ．(0,2]答案D解析如图所示，作出函数f (x )的大致图象(实线)，平移直线y ＝k －x ，由k －x ＝x 2＋2x ＋2可得，x 2＋3x ＋2－k ＝0，Δ＝9－8＋4k ＝0，解得k ＝－14，故当k ＝－14时，直线y ＝－14－x 与曲线y ＝x 2＋2x ＋2(x ≤0)相切；当k ＝0时，直线y ＝－x 经过点(0,0)，且与曲线y ＝x 2＋2x ＋2(x ≤0)有2个不同的交点；当k ＝2时，直线y ＝2－x 经过点(0,2)，且与f (x )的图象有3个不同的交点．由图分析可知，当k ∈(0,2]时，f (x )的图象与直线y ＝k －x 有3个不同的交点．命题点2根据函数零点的范围求参数例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是()A.－∞，43 B.0，43C ．(－∞，0) D.43，＋∞答案B解析由f (x )＝3x －1＋ax x＝0，可得a ＝3x －1x ，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝43，又当x ∈(－∞，－1)时，g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)因此实数a 思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.跟踪训练3(1)(2024·邵阳模拟)已知函数f (x )2x |，x >0，x 2－4x ，x ≤0，若g (x )＝f (x )－a 有4个零点，则实数a 的取值范围为()A ．(0,4)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)答案A解析作出y ＝f (x )的图象(实线)，如图所示，g (x )＝f (x )－a 有4个零点，即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有4个交点，所以实数a 的取值范围为(0,4)．(2)(2023·天津模拟)函数f (x )＝2a log 2x ＋a ·4x ＋3a 的取值范围是()A ．a <－12B ．a <－32C ．－32<a <－12D ．a <－34答案D解析当a ＝0时，f (x )＝3，不符合题意；当a >0时，由于函数y ＝2a log 2x ，y ＝a ·4x ＋3此时函数f (x )当a <0时，由于函数y ＝2a log 2x ，y ＝a ·4x ＋3此时函数f (x )因为函数f (x )所以f (1)<0，即3(4a ＋3)<0，解得a <－34.课时精练一、单项选择题1．下列函数的图象均与x 轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是()答案C解析由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.2．(2023·临沂模拟)函数f (x )＝ln x ＋2x －5的零点所在的区间是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)答案B解析由于y ＝ln x ，y ＝2x －5在(0，＋∞)上都单调递增，故函数f (x )＝ln x ＋2x －5在(0，＋∞)上为增函数，又f (1)＝－3<0，f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3＋1>0，即f (2)f (3)<0，故f (x )＝ln x ＋2x －5在(2,3)内有唯一零点．3．(2023·重庆检测)已知函数f (x )＝x －e －x 的部分函数值如表所示，那么函数f (x )的零点的一个近似值(精确度为0.1)为()x10.50.750.6250.5625f (x )0.6321－0.10650.27760.0897－0.007A.0.55B ．0.57C ．0.65D ．0.7答案B解析易知f (x )在[0,1]上单调递增，由表格得f (0.5625)f (0.625)<0，且|0.625－0.5625|＝0.0625<0.1，∴函数零点在(0.5625,0.625)内，∴根据选项可知，函数f (x )的零点的一个近似值为0.57.4．(2023·濮阳模拟)设函数f (x )＝log 3x ＋2xa 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是()A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)答案C解析令f (x )＝0得a ＝log 3x ＋2x，令h (x )＝log 3x ＋2x＝log 由复合函数单调性可知，h (x )在(1,2)上单调递减，h (2)＝log 32，h (1)＝log 33＝1，故当x ∈(1,2)时，h (x )∈(log 32,1)，要使f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则a ∈(log 32,1)．5．(2023·东莞模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道5＝2.236067…，令115<5<125，则第一次用“调日法”后得2310是5的更为精确的过剩近似值，即115<5<2310，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为()A ．五B ．四C ．三D ．二答案A解析第一次用“调日法”后得115<5<2310，不符合题意；第二次用“调日法”后得115<5<3415，不符合题意；第三次用“调日法”后得115<5<94，不符合题意；第四次用“调日法”后得209<5<94，不符合题意；第五次用“调日法”后得2913<5<94，且|2913－5|<0.01，符合题意，即用“调日法”得到5的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五．6．(2024·安庆模拟)已知函数f (x )|ln x |，x >0，x e x ，x <0，若函数g (x )＝f (x )－|x 2－kx |恰有3个零点，则实数k 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)答案A解析由题意得，方程f (x )|x |＝|x －k |有三个不相等的实数根．而y ＝f (x )|x |＝x |，x >0，x ，x <0，分别作出函数y ＝f (x )|x |和y ＝|x －k |的图象，当k ＝1时，y ＝|x －1|；当x ≥1时，y ＝f (x )|x |＝ln x ，对其求导得y ′＝1x，所以y ′|x ＝1＝1，所以曲线y ＝ln x 在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，如图，直线y ＝x －1与曲线y ＝ln x 在点(1,0)相切．所以k 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．(2023·安康模拟)下列函数在区间(－1,3)内存在唯一零点的是()A ．f (x )＝x 2－2x －8B ．f (x )＝32(1)2x +-C．f(x)＝2x－1－1D．f(x)＝1－ln(x＋2)答案BCD解析对于A，∵x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，∴f(x)在区间(－1,3)内没有零点，故A错误；对于B，∵f(x)＝32(1)2x+-在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2<0，f(3)＝8－2＝6>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，∵f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－34<0，f(3)＝3>0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故C正确；∵f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1>0，f(3)＝1－ln5<0，即f(－1)f(3)<0，∴f(x)在区间(－1,3)内存在唯一零点，故D正确．8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，若函数g(x)＝f(x)－log a(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，则实数a的值可以是()A.1 9log32B.13log32C．3log23D．9log23答案AD解析∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，∴当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，即当x∈[－1,0]时，f(x)＝－2－x＋1，又对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是以4为周期的函数，又由函数g(x)＝f(x)－log a(x＋2)(a>0且a≠1)在(－1,7)上恰有4个不同的零点，得函数y＝f(x)与y＝log a(x＋2)的图象在(－1,7)上有4个不同的交点，又f (1)＝f (5)＝1，f (－1)＝f (3)＝f (7)＝－1，当a >1时，由图可得log a (5＋2)<1＝log a a ，解得a >7；当0<a <1时，由图可得log a (7＋2)>－1＝log a a －1，解得0<a <19.综上可得a ∈0，19(7，＋∞)，故选项A ，D 满足条件．三、填空题9．(2024·赣州模拟)用二分法求方程x 3＋x －5＝0的近似解时，已经将根锁定在区间(1,3)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．答案(1,2)解析令f (x )＝x 3＋x －5，则f (2)＝8＋2－5＝5>0，f (3)＝27＋3－5＝25>0，f (1)＝1＋1－5＝－3<0，由f (1)f (2)<0知根所在区间为(1,2)．10．(2023·南充模拟)设正实数a ，b ，c 分别满足a ·2a ＝b ·log 3b ＝c ·log 2c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案b >c >a 解析由已知可得1a ＝2a ，1b ＝log 3b ，1c＝log 2c ，作出y ＝1x，y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图象如图所示，则y ＝2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x 的图象与y ＝1x的图象的交点的横坐标分别为a ，b ，c ，由图象可得b >c >a .11．如果关于x 的方程2x ＋3x ＋4x ＝a x (a ∈N *)在区间(1,2)内有解，a 的一个取值可以为________．答案6(答案不唯一)解析因为2x＋3x＋4x＝a x在(1,2)内有解，故a>4，方程2x＋3x＋4x＝a x可化为－1＝0，令f(x)－1，因为a>4，所以f(x)在R上单调递减，1)>0，2)<0，＋3a＋4a－1>0，＋9a2＋16a2－1<0，解得29<a<9，又a∈N*，所以a＝6或a＝7或a＝8.12．已知函数f(x)－5，x≥λ，2－6x＋8，x<λ(λ∈R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数λ的取值范围是________．答案(2,4]∪(5，＋∞)解析作出函数y＝x－5，y＝x2－6x＋8的图象，如图所示，依题意f(x)－5，x≥λ，2－6x＋8，x<λ有2个零点，由图象可得实数λ的取值范围是(2,4]∪(5，＋∞)．四、解答题13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a＞2c＞2b.求证：(1)a＞0且－3＜ba＜－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a2，∴c＝－32a－b.∵3a＞2c＝－3a－2b，∴3a＞－b.∵2c＞2b，∴－3a＞4b.若a ＞0，则－3＜b a ＜－34；若a ＝0，则0＞－b ,0＞b ，不成立；若a ＜0，则b a ＜－3，b a ＞－34，不成立．综上，a ＞0且－3＜b a ＜－34.(2)f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ，f (1)＝－a 2，Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4ab ＋6a 2＝(b ＋2a )2＋2a 2＞0.当c ＞0时，f (0)＞0，f (1)＜0，∴f (x )在(0,2)内至少有一个零点；当c ＝0时，f (0)＝0，f (1)＜0，f (2)＝4a ＋2b ＝a ＞0，∴f (x )在(0,2)内有一个零点；当c ＜0时，f (0)＜0，f (1)＜0，b ＝－32a －c ，f (2)＝4a －3a －2c ＋c ＝a －c ＞0，∴f (x )在(0,2)内有一个零点．综上，f (x )在(0,2)内至少有一个零点．14．(2024·天水模拟)已知函数f (x )＝log 2(2＋x )－log 2(2－x )．(1)判断f (x )的奇偶性；(2)若关于x 的方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围．解(1)f (x )为奇函数，理由如下：＋x >0，－x >0，解得－2<x <2，即函数f (x )的定义域为(－2,2)，故定义域关于原点对称．又f (－x )＝log 2(2－x )－log 2(2＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2)由f (x )＝log 2(a ＋x )，得log 2(2＋x )－log 2(2－x )＝log 2(a ＋x )，所以2＋x 2－x ＝a ＋x ，所以a ＝2＋x 2－x －x ＝4－(2－x )2－x－x ＝42－x ＋(2－x )－3，故方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根可转化为方程a ＝42－x ＋(2－x )－3在区间(－2,2)上有两个不同的实数根，即函数y ＝a 与y ＝42－x＋(2－x )－3在区间(－2,2)上的图象有两个交点．设t ＝2－x ，x ∈(－2,2)，则y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)．作出函数y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)的图象，如图所示．当1<a <2时，函数y ＝a 与y ＝4t＋t －3，t ∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝log 2(a ＋x )有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围是(1,2)．15．(2023·南通模拟)函数f (x )＝x 2023|x |，若方程(x ＋sin x )f (x )－ax 2＝0只有三个解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则sin x 2＋2023x 1x 3的取值范围是()A ．(0，＋∞)B ．(2023，＋∞)C ．(－∞，－2023)D ．(－∞，0)答案D 解析因为(x ＋sin x )f (x )－ax 2＝0，f (x )＝x 2023|x |，所以(x ＋sin x )x 2023|x |－ax 2＝0，①当x ＝0时，方程成立；②若x ≠0，(x ＋sin x )x 2023|x |－ax 2＝0可化为(x ＋sin x )x 2021|x |－a ＝0⇔(x ＋sin x )x 2021|x |＝a ，令F (x )＝(x ＋sin x )x 2021|x |，因为定义域关于原点对称，且F (－x )＝[－x ＋sin(－x )](－x )2021|－x |＝(x ＋sin x )x 2021|x |＝F (x )，所以F (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，所以F (x )与y ＝a 的两个交点对应的横坐标关于y 轴对称，即方程(x ＋sin x )x 2021|x |＝a 的另外两解一定一正一负，又x 1<x 2<x 3，所以x 1<0，x 2＝0，x 3>0，且x 1＝－x 3≠0，所以sin x 2＋2023x 1x 3＝－2023x 21<0.16．(2023·永州模拟)已知函数f (x )－ln (1－|x ＋1|)，－2<x <0，|ln x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝m有4个不同的根，记为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，且λx 3x 4>x 1－x 2＋32λ的取值范围是______．答案(2，＋∞)解析f(x)ln(1－|x＋1|)，－2<x<0，x|，x>0ln(x＋2)，－2<x≤－1，ln(－x)，－1<x<0，ln x，0<x≤1，x，x>1，作出函数的图象如图所示，则可得－2<x1<－1<x2<0<x3<1<x4，因为f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝m，所以－ln(x1＋2)＝－ln(－x2)＝－ln x3＝ln x4，所以x1＋2＝－x2＝x3＝1x4，所以x1＝x3－2，x2＝－x3，x4＝1x3，因为λx3x4>x1－x2＋32恒成立，所以λx23>2x3－12，所以λ>2x3－12x23＝－12x23＋2x3＝－＋2，对任意x3∈(0,1)恒成立，即λ>－＋2max，所以当x3＝12时，函数y＋2取到最大值2，所以λ>2，即λ的取值范围为(2，＋∞)．。

新教材必修第一册4.5.1：函数的零点与方程的解课标解读：1. 函数零点的概念.（理解）2. 0)(=x f 有解与)(x f y =有零点的关系.（理解）3. 函数零点的判断.（理解）学习指导：在熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图像与性质的基础上，提炼方程0)(=x f 的解与函数)(x f y =的图像与x 轴交点的关系，进而理解并准确把握函数零点的概念，以及函数零点、方程的实数解、函数图像与x 轴交点三者之间的关系，并能从“形”（函数图像）与“数”（函数零点存在定理）两个角度分析解决函数零点有关问题.知识导图知识点1：函数的零点1.函数零点的概念对于一般函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.2.函数的零点与方程的解的关系函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数解，也就是函数)(x f y =的图像与x 轴的公共点的横坐标.所以方程0)(=x f 有实数解⇔函数)(x f y =有零点⇔函数)(x f y =的图像与x 轴有公共点.3.几种常见函数的零点（1）二次函数的零点一元二次方程）（002≠=++a c bx ax 的实数根也称为函数）（02≠++=a c bx ax y 的零点.当0>a 时，一元二次方程02=++c bx ax 的实数根、二次函数c bx ax y ++=2的零点之间的关系如下表所示： ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆ 02=++c bx ax 的实数根a acb b x 2422,1-±-=（其中21x x <）a b x x 221-== 方程无实数根 c bx ax y ++=2的图像c bx ax y ++=2的零点 aac b b x 2422,1-±-= a b x x 221-== 函数无零点 类似可得当0<a 的情形.（2）正比例函数)0(≠=k kx y 仅有一个零点0.（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 仅有一个零点.kb -（4）反比例函数)0(≠=k x k y 没有零点.（5）指数函数)10(≠>=a a a y x 且没有零点.（6）对数函数）且（00log ≠>=a a x y a 仅有一个零点1.（7）幂函数,a x y =当0>a 时仅有一个零点0；当0≤a 时，没有零点.例1-1：观察如图所示的四个函数图像，指出在)0,(-∞上哪个函数有零点.例1-2：判断下列说法是否正确：（1）函数)102(1)(≤≤-=x x x f 的零点为1；（2）函数x x x f 2)(2-=的零点为（0,0），（2,0）.例1-3：函数x x x f -=3)(的零点个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3例1-4：”“1<m 是“函数m x x x f ++=2)(有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识点2：函数零点存在定理1.函数零点存在定理如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，且有0)()(<b f a f ，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的解.2.函数零点存在定理的几何意义.在闭区间],[b a 上有连续不断的曲线)(x f y =，且曲线的起点))(,(a f a 与终点))(,(b f b 分别在x 轴的两侧，则连续曲线与x 轴至少有一个交点.3.函数零点的性质如果函数图像通过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点.如图（1）所示，210,,x x x 都是变号零点；如果没有穿过x 轴，则称这样的零点为不变号零点，如图（2）所示，二次函数2x y =有一个不变号零点（或叫二重零点）.对于任意函数)(x f y =，只要它的图像是连续不断的，则有：（1）当它的图像听过零点且穿过x 轴时，零点两侧的函数值异号；（2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.例2-5：若函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是（ ）A.若0)()(>⋅b f a f ，则不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fB.若0)()(<⋅b f a f ，则只存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fC.若0)()(>⋅b f a f ，则有可能在实数),(b a c ∈，使得0)(=c fD.若0)()(<⋅b f a f ，则有可能不存在实数),(b a c ∈，使得0)(=c f。

函数的零点与方程的解教学设计(一)教学设计：函数的零点与方程的解1. 引入•引导学生回顾函数的概念，并简要解释函数的零点和方程的解的概念。

•用简单例子帮助学生理解零点和方程解的概念。

2. 函数的零点•解释函数的零点是函数在横轴上的根，即使函数取值为0的点。

•介绍如何通过寻找函数的零点来解方程。

•提供实例演示如何找出函数的零点。

3. 方程的解与函数的零点的关系•解释方程的解与函数的零点之间的关系。

•强调函数零点为方程的解，但方程的解不一定为函数的零点。

•提供实例演示方程的解与函数的零点的关系。

4. 寻找函数的零点的方法•介绍常用的方法，如图像法、代数法等。

•解释图像法的步骤和要点。

•提供实例演示如何使用图像法来找函数的零点。

5. 方程的解的求解方法•介绍常用的求解方程的方法，如平衡法、因式分解法等。

•解释每种方法的适用范围和步骤。

•提供实例演示如何使用不同的方法来求解方程。

6. 练习与巩固•提供一系列的练习题，要求学生找出函数的零点和求解方程。

•逐步增加难度，引导学生灵活运用所学方法。

7. 总结与拓展•概括函数的零点与方程的解的概念和关系。

•引导学生思考其他数学问题中应用函数的零点和方程的解的可能性。

通过以上教学设计，学生可以系统地学习函数的零点与方程的解的概念，了解它们之间的关系，并熟悉常用的寻找函数零点和求解方程的方法。

通过练习和实例演示，学生可以巩固所学的知识并提升解题能力。

同时，通过引导学生思考其他应用函数的零点和方程的解的数学问题，培养学生的数学思维与创新能力。

8. 总结与拓展•回顾函数的零点与方程的解的概念和关系。

•强调函数的零点是方程的解，但方程的解不一定是函数的零点。

•总结常用的寻找函数零点和求解方程的方法。

9. 学生互动与讨论•要求学生回答一些思考问题，如：函数的零点和方程的解在实际问题中有什么作用？在其他学科中能否找到类似的概念和方法？10. 练习与巩固•提供更复杂的练习题，要求学生运用所学的知识和技巧寻找函数的零点和求解方程。