人教版高中数学高一培优讲义第7讲函数与方程

课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。

函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。

本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。

它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。

学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。

通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。

所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。

设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

教学方法：讲练结合，师生互动。

教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。

过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。

难点：零点个数问题，含参数的零点问题。

教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。

3.2 函数与方程、不等式之间的关系-人教B版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.能够了解函数与方程、不等式之间的关系；2.能够掌握一次函数、二次函数的相关知识；3.能够熟练运用函数求解方程、不等式。

二、教学内容1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法–函数方程的两种形式：显式解和隐式解–利用函数求解方程2.函数与不等式–一次函数的性质–二次函数的图像与性质–利用函数求解不等式三、教学重点和难点1.教学重点：函数方程的两种形式，利用函数求解方程和不等式；2.教学难点：二次函数的图像及其性质。

四、教学策略1.教师讲授与学生自主学习相结合；2.通过图像和实例进行教学；3.激发学生的兴趣，提高课堂参与度。

五、教学过程第一步：引入新知识教师通过讲解实例引发学生对函数与方程、不等式之间的关系的兴趣，为接下来的学习铺垫。

第二步：授课1.函数与方程–函数在坐标系中的表示方法函数在坐标系中的表示方法有图形、表格和公式三种。

其中，图形最容易理解，表格便于计算，公式最具普适性。

–函数方程的两种形式：显式解和隐式解函数方程的显式解指的是“y=函数表达式”，隐式解是除y之外的变量和常量所组成的方程式。

–利用函数求解方程利用函数求解方程，可以将需要求解的方程式代入函数表达式中，求出变量值，即为方程的解。

2.函数与不等式–一次函数的性质一次函数对应的图像是一条直线，其性质包括：斜率决定了直线的倾斜方向和大小，截距决定了直线与y轴的交点。

–二次函数的图像与性质二次函数对应的图像是抛物线，其性质包括：开口方向由二次项系数的正负决定，开口朝上的抛物线最小值为D，对称轴方程为x=-b/2a。

–利用函数求解不等式利用函数局部区间的正负性和函数性质，将不等式转化为相等式或函数的零点问题，从而求解不等式。

第三步：练习通过例题进行练习，加深学生对知识点的理解和掌握程度。

第四步：分组讨论将学生分成小组，进行讨论和分享，培养学生彼此之间的合作精神和交流能力。

2.7函数与方程【知识要点】1、 函数形如y=f （x ）=2ax bx c ++，方程形如：2ax bx c ++=0 ；所以我们把函数f （x ）=0的解叫做方程2ax bx c ++=0的根。

一般地，方程f （x ）=0的实数根又叫做y=f （x ）的零点；以二次函数f （x ）=2ax bx c ++为例说明：2、 零点：对于在区间（a ，b ）上连续的函数f （x ），若存在f （a ）·f （b ）< 0，那么 一定存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =成立。

（注意是存在，不是唯一）【解题方法】一、求零点1、紧抓定义，对于在区间（a ，b ）上连续的函数f （x ），若存在f （a ）·f （b ）< 0，那么，一定存在0(,)x a b ∈使得0()0f x =2、 对于求零点的此类题目，我们都可以采用数形结合的方法来解题，具体到题目，我们可以通过题目的已知，大致画出函数的草图，通过图象更直观地去判断。

[数形结合:数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。

数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。

]【知识应用】【J 】例1、求证：一元二次方程25310xx +-=有两个不相等的实数根。

证法1：已知一元二次方程，∆=234*5*(1)290--=>∴方程25310x x +-=有两个不相等的实数根。

证法2： 设f （x ）=2531x x +-由已知a=5>0，二次函数开口向上，且知f （0）=-1<0， ∴ f （x ）=2531x x +-的图象与x 轴有两个不同的交点，即方程25310x x +-=有两个不相等的实数根。

第二章、函数第一节、函数一、函数1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。

其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。

所有函数值构成的集合，即(){},y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。

2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验：（1）定义域和对应法则是否给出；（2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。

例1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ）例2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ）A. y =21y x =+C. y =y =3、如何判断函数的定义域：（1）分式的分母不能为零；（2）开偶次方根的被开方数要不小于零；（3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0x 中x 不为零。

例3、求下列函数的定义域 （1）32()32xf x x-=+； （2）()f x =ABCD（3）20()(4)f x x =-； （4）1()2f x x =+例4、求下列函数值域（1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2()21,0,3f x x x x =--∈ （3）),1(,1)(+∞-∈=x xx f （4）[)21(),1,1x f x x x -=∈+∞+4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。

判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。

注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。

例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ）A.()()f x g x x ==B. (),()f x g x x ==C.()()f x g x x == D. (),()f x g x x ==5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ，满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚；满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。

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《新课标》必修Ⅰ复习 第八讲 函数与方程2008年7月一．课标要求:1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;2．根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2009年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

(1）题型可为选择、填空和解答；（2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想.三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。

可以说是函数中最困难的部分都不为过，如果能把该板块内容理解透彻，那你对函数的理解有上了一个新的台阶。

我们常见有两类嵌套函数分别是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的，再利用数形结合的思想解决具体问题即可。

1.嵌套函数形式：形如f(g(x))2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．目录题型一嵌套（复合）函数求值问题 (2)题型二分段函数等值线（方程根之间的数量关系） (2)题型三分段函数，复合函数由单调性求取值范围 (5)题型四分段函数的满足某条件求参数范围 (6)题型五关于的f(x)的一元二次方程或嵌套函数 (7)题型六分段函数与嵌套函数综合（画2个函数图像） (9)题型一 嵌套（复合）函数求值问题1． 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为________.2． 任意时，恒成立，且函数y ＝f (t )单调，则_________.3． 已知函数f (x )是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m 的取值范围是_______.题型二 分段函数等值线（方程根之间的数量关系）4．设函数若函数有三个零点:，则________.()f x R x ()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦()2log 3f t R +∈1[()]2f f t t −=1()2019f =()2[3)]1(f f x ln x ln －＋＝＋()f x ()f x ＝()xf x m e ＞－0[)x ∈∞，＋1,2()log |2|1,21a x f x x x a =⎧=⎨−+≠>⎩，2()[()]()g x f x bf x c =++123,,x x x 122313x x x x x x ++=重点题型·归类精讲5．已知函数若存在实数，且，则的取值范围是 ．6．已知函数2()|54|f x x x kx =−+−有三个零点123,,x x x ，则123x x x ++=（ ） A.7 B.8 C.15 D.167． 设函数，关于的方程有4个不相等的实数根，则 的最小值为8．已知函数.，若关于x 的方程有四个不同的且有则的取值范围是_______9．已知函数,若方程有4个不同的实根，且,则 .【相似题】()23log ,0221,25x x x f x x −⎧⎪=⎨−⎪⎩＜＜≤＜1234x x x x ＜＜＜()()()()1234f x f x f x f x ===()()341222x x x x −−lg ,03()(6),36x x f x f x x ⎧ <⎪=⎨− <<⎪⎩≤x ()f x m =1234,,,x x x x 22221234x x x x +++22122,)log 02(,x x f x x x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩≤()f x a =1234,,,,x x x x 1234,x x x x <<<212344x x x x x ++()22log (1),131910,322x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪−<≤+>⎩−()f x m =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<341211()x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭10． 已知函数，若方程有四个不同的解且 则的取值范围为( ) A.(－1，＋∞) B.(－1，1] C .(－∞，1) D.[－1，1)11． 已知函数，若实数a,b,c 满足0<a<b<c ，且,下列结论中恒成立的是( ) A.ab=1 B.32c a −= C.a+c<2b D.240b ac−<12． 已知函数,若方程有4个根分别为，且,则的取值范围是______13． （多选）已知函数,若，且,则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．22(1),0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234,x x x x ，，，1234,x x x x <<<3122341()x x x x x ++212log ,02()3log ,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫−> ⎪⎪⎝⎭⎩()()()f a f b f c ==24,[4,0]()|lg |2,(0,)x x x f x x x ⎧−−∈−=⎨+∈+∞⎩()0f x m −=123,,,x x x 4x 1231.x x x x <<<1234x x x x ⋅⋅⋅222,0()|log |,0x x x f x x x ⎧−−≤=⎨>⎩1234x x x x <<<()()()()1234f x f x f x f x ===121x x +=−341x x =412x <<12340 1x x x x <<14． 已知函数，则 .若存在,使得则 .15． 已知函数，若方程有四个不同的实根满足则的取值范围是（ ）A．(0，3) B．（0，4]C．（3，4]D．(1，3)16． （多选）已知函数.若且，则下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 分段函数，复合函数由单调性求取值范围17． 设函数是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围为_________．|21|,1()32,1x xx f x x ⎧−≤=⎨−>⎩((3))f f =a b c <<()()()f a f b f c ==1222a b c +++=32|log |,03()1108,333x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨−+>⎪⎩()f x m ＝1234x x x x ,,,，1234x x x x <<<()()341233x x x x −−★()22log ,0log 1,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨−+≤⎪⎩()()()()1234f x f x f x f x ===1234x x x x >>>12340x x x x +++<12340x x x x ++>+12341x x x x ≥123401x x x x <<2|2|,()6,x x x af x ax x a ⎧−−≥=⎨−<⎩18． 已知0a >且1a ≠,函数11x y a −=+的图像恒过定点()m n ，，函数2log ()a y mx ax n =−+在区间(1],−∞上是减函数，则a 的取值范围是______19． 设函数是定义在R 上的增函数,则实数a 取值范围是 .20． 已知f (x )＝log a (ax 2﹣x )（a ＞0且a ≠1）在1142⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，则实数a 取值范围是 ．题型四 分段函数的满足某条件求参数范围21． 若函数的值域为,则实数a 的取值范围是 .22． 已知且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 取值范围是____________23． 函数在区间上既有最大值又有最小值,实数a 的范围( )A. B. C. D. 2|2|,()6,x x x af x ax x a⎧−−≥=⎨−<⎩224,()22,xx x x af x x a ⎧−+≤=⎨+>⎩[3,)+∞||1,1()1xx a x f x a a x −+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，(0a >()||f x x x a =−()0,1)222,0⎡−⎣(0,222⎤−⎦2,12⎫⎪⎪⎣⎭)222,1⎡⎣24． 设函数，若恰有2个零点,则实数a 的取值范围是_______.25． 已知函数若存在使得则的取值 范围为 .题型五 关于的f (x )的一元二次方程或嵌套函数26． 已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．27． 已知函数,.①若方程有两个解,则的取值范围为 ；②若不等式在R 上恒成立,则m 的取值范围为 ．(第一空1分,第二空2分)28． 设函数则函数的零点个数是 ．29． （天津高考）已知函数 (a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________.2,1()4()(2,1)x a x f x x a x a x ⎧−<=⎨−−≥⎩()f x 221,[0,1)()log ,[1,)x x f x x x −∈⎧=⎨∈+∞⎩12,x x <12()(),f x f x =12()x f x ⋅()11xf x e =−+2()[()](2)()2g x f x a f x a =+−−a (2,1)−−(1,0)−(0,1)(1,2)()2,x f x x R =∈()2f x m −=m 2[()]()0f x f x m +−>2|log |,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨⎩2()3()8()4g x f x f x =−+2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+−+<=⎨++≥⎩，，()2f x x ＝－30． （多选）设定义域为R 的函数，若关于x 的方程有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 ＜ x 2 ＜ x 3．下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．31． 已知函数，若对任意的[]2,1m ∈−−,恒成立,求实数c 的取值范围.【相似题】——改数据32． 已知函数，若对任意的[]2,1m ∈−−,恒成立,求实数c 的取值范围.33． 已知函数，则函数的零点个数为______. 34． 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______.1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩2[()]()0f x af x b ++=2221235x x x ++=10a b ++=1322x x x +>132x x +=−()2x f x =(1)2()()1f xg x f x +−=+()()()()220g mf x c g f x −++<[]0,2x ∈()2x f x =(1)2()()1f xg x f x +−=+()()()()220g mf x c g f x −++<[]0,2x ∈()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩()1y f f x ⎡⎤=−⎣⎦x 21log 02m mx x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭[1]2，m题型六 分段函数与嵌套函数综合（一般画2个函数图像来分析）35． 已知函数，若方程至少有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是_________36． 设定义域为R 的函数若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是_________.37． 已知定义域为R 的函数 若关于x 的函数有5个不同的零点.,则 .38． 已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.39． 已知，则方程的根个数可能是|ln |1,0()1,0x x x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩2()2g x x x =−−()()0f g x a −=2|lg |,0()2,0x x f x x x x ⎧>=⎨−−≤⎩22()2()1y f x bf x =++ln 2,2()1,22x x g x x ⎧−≠⎪=⎨=⎪⎩23()()()2h x g x g x c =−+12345,,,,x x x x x 2222212345x x x x x ++++=|51|1()8,11x x f x x x ⎧−<⎪=⎨≥⎪+⎩()()f f x a =21,0()2,0x x f x x x x ⎧−>⎪=⎨−−≤⎪⎩()(22)0R xf a a −−=∈A ．3B ．4C ．5D ．640． 已知函数，若关于x 的方程恰有个实数根,求m 的取值范围.41． 已知函数则方程的根的个数可能为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．842． 知函数若函数恰有8个零点，则m的取值范围是________.43． 已知函数，若函数，恰有个不同的零点，则实数取值范围为_________.44． （2023·浙江·二模）已知函数()e xf x x a =−，则()()f f x a =至多有______个实数解.45． 已知2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨−>⎩，()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =−有9个零点，则m 的取值范围是___________.lg(),0()|2|,0x x x f x e x ⎧−<=⎨−≥⎩2()()210f x mf x m +++=5221,0,()|log |1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩2()2()10f x f x a −+−=2|ln |,0,()43,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩2()[()]4()1g x f x f x m =−++()()22log 2,2021,0x x f x x x x ⎧+−⎪=⎨−+⎪⎩＜≤＞()()()()21g x f x a f x a =−++a ∈R 3a专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。