(完整)201709年高考数学函数与方程讲义.doc.docx

(5)f(x)＝tan x 的定义域为x|x∈R，且x≠π2 ＋kπ，k∈Z. (6)f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)的定义域为{x|x>0}. (7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要 具体问题具体分析. (8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. (9) 若 已 知 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 f(g(x)) 的 定 义 域 可 由 a≤g(x)≤b 求出；若已知 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定 义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域.
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【例 2】 (1)(2016·山东青岛一中检测)奇函数 f(x)在(0，＋∞)上的 表达式 f(x)＝x＋ x，则在(－∞，0)上的 f(x)表达式为 f(x)＝ ________.
第一节 函数的概念
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知识点一 函数的概念及表示方法
1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A，B是两个非空 数集 设A，B是两个非空 集合
A、B
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对应关 系 f： A―→B
如果按照某种确定 的对应关系 f，使对 于集合 A 中的任意 一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的 数 f(x)和它对应
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知识点二 分段函数与复合函数 1.分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个解析式 来表示，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要的函数. 2.复合函数
若y是u的函数，u又是x的函数，即y＝f(u)，u＝g(x)，若 x∈(a ， b) ， u ∈ (m ， n) ， 那 么 y 关 于 x 的 函 数 y ＝ f[g(x)] ， x∈(a，b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值 范围是g(x)的值域.

• 4．二分法求方程近似解的过程中，蕴涵了算 法思想，体现了程序化这一现代数学方法， 是信息技术与数学内容有机的整合，注意掌 握用程序框图来描述二分法的求解过程以及 二分法的思想内涵．
[解析] 令 f(x)＝x2＋2x－a，由题意知 f(x)在[－1,1]上有 零点．由于 f(x)的对称轴为 x＝－1，∴f(x)在[－1,1]上单调递
增，且由零点定理知ff－1≥1≤0，0， 则aa≥ ≤－ 3，1， 即 a∈[－1,3]．
• [答案] [－1,3]
• 已知函数f(x)＝3x－x2.问：方程f(x)＝0在区 间[－1,0]内有没有实数解？为什么？
－2ba∈(k1，k2)或 fk1＝0 k1<－2ba<k1＋2 k2 fk2＝0， 或k1＋2 k2<－2ba<k2
• 二、用二分法求方程的近似解
• 对于在区间[a，b]上连续，且满足 f(a)·f(b)<0 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点 所在的区间逐步逼近零，点使区间的两个端点 一分为二 ，进而得到零点近似值的方法叫做 二分．法
取区间 [1,1.5]
an－bn 0.5
1.25 1.375 1.3125 1.34375 1.328125 1.3203125
f(1.25)<0
[1.25,1.5]
0.25
f(1.375)>0
[1.25,1.375]
0.125
f(1.3125)<0
[1.3125,1.375]
0.0625
f(1.34375)>0
b)．
• 4．判断是否达到精度ξ
• 即若 |a－b|<ξ
，则得到零点的 零点值a(或b)

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 10 二次函数与幂函数 理2．(2015·唐山质检)已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是________________________________________________________________________． 3．函数y ＝3x 2的图象大致是________．4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则该函数的解析式y ＝________________.5．二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0)上为减函数，则实数a 的取值范围是________．7．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是________．(填序号)①f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b)；②f (1a )<f (1b)<f (b )<f (a )；③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a)；④f (1a)<f (a )<f (1b)<f (b )．8．已知函数f (x )＝－3x 2＋bx －1，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是增函数，则实数b 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是________．10．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋4，若过原点的直线与该二次函数只有一个交点，这样的直线有________条．11．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是______．12．(2015·甘肃天水秦安第二中学第五次检测)已知关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，则ba的取值范围是________________． 13．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．14．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．答案解析1.12解析 设f (x )＝x a，则a ＝12，f (2)＝2，所以log 2 f (2)＝log 22＝12.2．(－∞，40]∪[160，＋∞)解析 由题意得：k 8≤5或k8≥20，∴k ≤40或k ≥160.3．③解析 y ＝3x 2＝x 23.∵0<23<1，∴图象在第一象限“上升”，并且“上凸”，排除①②④.4．3x 2－12x ＋11解析 由二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0,11)，知c ＝11，又因为函数y ＝ax 2＋bx ＋c的图象顶点为(2，－1)，所以－b 2a ＝2，4ac －b24a＝－1.解得a ＝3，b ＝－12.∴该函数的解析式为y ＝3x 2－12x ＋11. 5．(2,3]解析 二次函数图象的对称轴为x ＝3，要使f (x )＝x 2－6x ＋8在区间[2，a ]的最小值为f (a )，只需函数f (x )在区间[2，a ]上是减函数，所以2<a ≤3. 6．a ≥0解析 易得f (x )＝x 2＋|x －a |＋b ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －a ＋b x ≥a ，x 2－x ＋a ＋b x <a因为函数y ＝x 2＋x －a ＋b 的对称轴为直线x ＝－12，且在(－∞，－12]上单调递减，在[－12，＋∞)上单调递增，所以必有a ≥0.因为函数y ＝x 2－x ＋a ＋b 的对称轴为直线x ＝12，且在(－∞，12]上单调递减，在[12，＋∞)上单调递增，所以a ≥0.综上，a ≥0.7．③解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故答案为③.8．[－12，＋∞)解析 函数f (x )＝－3x 2＋bx －1的对称轴为x ＝－b－＝b6， ∴当x ∈(－∞，b 6)时，f (x )单调递增；当x ∈(b6，＋∞)时，f (x )单调递减．∵当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是增函数，∴－2≤b6，∴b ≥－12.9．A解析 作出函数的图象如图所示，从图可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.10．3解析 设直线的方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2x ＋4，得x 2－(k ＋2)x ＋4＝0，由Δ＝0求出k 有两个值．当直线斜率不存在时，也满足题意． 11．[2,3]解析 由题意知，二次函数f (x )的图象的开口向上，由函数f (x )在(－∞，2]上是减函数，知a ≥2.若任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤4恒成立，只需f (x )max －f (x )min ≤4 (x ∈[1，a ＋1])即可，下面只需求函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在[1，a ＋1]上的最大值和最小值．由于对称轴x ＝a ∈[1，a ＋1]，所以f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.又(a －1)－(a ＋1－a )＝a －2≥0， 故最大值f (x )max ＝f (1)＝6－2a .由f (x )max －f (x )min ≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，故a 的取值范围为[2,3]． 12．(－1，－14)解析 由方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的二次项系数为1>0，故函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x＋a ＋2b ＋1的图象开口方向向上．又∵方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋2b ＋1＝0的两根满足0<x 1<1，x 2>1，则⎩⎪⎨⎪⎧f，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1>0，2a ＋2b ＋3<0，其对应的平面区域如下图中阴影部分：b a 表示阴影区域上一点与原点连线的斜率，由图可知b a ∈(－1，－14)． 13．④解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确． 14．(－94，－2]解析由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的大致图象如图所示， 结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈[－94，－2]，故当m ∈(－94，－2]时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．即当m ∈(－94，－2]时，函数y ＝f (x )－g (x )在[0,3]上有两个不同的零点．。

第一节函数及其表示1．函数的概念及其表示(1)了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．2．分段函数及其应用了解简单的分段函数，并能简单应用．知识点一函数与映射的概念函数映射两集合A，B 设A、B是两个非空的数集设A、B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射易误提醒易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．[自测练习]1．下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是()知识点二 函数的有关概念 1．函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． 2．函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．易误提醒 (1)解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则． (2)误把分段函数理解为几个函数组成． 必备方法 求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；函数的实际应用问题多用此法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[自测练习]2．(2016·贵阳期末)函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，＋∞)D ．(1，＋∞)3．f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－1与g (x )＝x －1·x ＋1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 3＋xx 2＋1C ．y ＝x 与y ＝(x )2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝3x 34．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，log 12x ，x >0，则f (f (2))＝( )A ．－1B ．2C ．1D ．0考点一 函数的定义域问题|函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题探究角度有：1．求给定函数解析式的定义域；2．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域； 3．已知定义域确定参数问题． 探究一 求给定解析式的定义域 1．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B ．(2,3) C ．[2,3)D ．(2，＋∞)探究二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,3]，则函数g (x )＝f (3x )x －1的定义域是( )A ．[0,1)B ．[0,1]C ．[0,1)∪(1,9]D ．(0,1)探究三 已知定义域求参数范围问题3．若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．函数定义域的三种类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．考点二 函数解析式的求法|(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．函数解析式求法中的一个注意点利用换元法求解析式后易忽视函数的定义域，即换元字母的范围．求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求f (x )．考点三 分段函数|1．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－142．(2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )分段函数“两种”题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．3.分段函数的定义理解不清致误【典例】 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[易误点评] 本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误．[防范措施] (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．[跟踪练习] 设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1A 组 考点能力演练1．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )A ．－1B.14C.12D.322．(2015·北京朝阳模拟)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 014)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0lg (－x )，x <0，那么f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝( ) A ．2 014 B ．4 C.14 D.12 0144．(2016·岳阳质检)设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 的定义域为( ) A ．(－9,0)∪(0,9) B ．(－9，－1)∪(1,9) C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9)5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D ．[－2,2]6．(2015·陕西二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >01－x ，x ≤0，则f (f (－99))＝________.7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________． 8．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒 负”变换的函数．下列函数： ①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________． 9．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．10．动点P 从单位正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 绕边界一周，当x 表示点P 的行程，y 表示P A 的长时，求y 关于x 的解析式，并求f ⎝⎛⎭⎫52的值．B 组 高考题型专练1．(2014·高考山东卷)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)2．(2015·高考湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6]3．(2015·高考山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34D.124．(2015·高考浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|5．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________.答案：1.解析：本题考查函数的概念，根据函数的概念，定义域中一个x 只能对应一个y ，所以排除A ，B ，C ，故选D.2.解析：由x ＋1>0知x >－1，故选C.答案：C3.解析：选项A ，C 中的函数定义域不同，选项D 的函数解析式不同，只有选项B 正确．4.解析：本题考查分段函数、复合函数的求值．由已知条件可知，f (2)＝log 122＝－1，所以f (f (2))＝f (－1)＝(－1)2＋1＝2，故选B.答案：B1.解析：本题考查函数的定义域．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x >0，解得2<x <3，故选B.答案：B2.解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧0≤3x ≤3，x －1≠0，即0≤x <1，因此函数g (x )的定义域是[0,1)，故选A..解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]例1 [解] (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， 令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]， 即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x，得f (x )＝23x －x 3(x ≠0)．变式1 解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)∵2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，∴2f (－x )－f (x )＝lg(1－x )．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，2f (－x )－f (x )＝lg (1－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1)．1.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，f (a )＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2(a ＋1)＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，选A.答案：A2.解析：由于f (0)＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝22<f ⎝⎛⎭⎫π4，故排除选项C 、D ；当点P 在BC 上时，f (x )＝BP ＋AP ＝tan x ＋4＋tan 2x⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π4，不难发现f (x )的图象是非线性的，排除选项A.故选B.答案：B1.[解析] 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34.[答案] －34变式 解析：因为f (－1)＝－(－1)＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a ＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.答案：D1.解析：由f (－2)＝2－2＝14，∴f [f (－2)]＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝12. 答案：C2.解析：本题考查函数的定义域．根据函数有意义的条件建立不等式组．要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，解得x ≥0且x ≠1，即函数定义域是[0,1)∪(1，＋∞)，故选C. 3.3.解析：f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4＝2sin π4＝1，f (－7 986) ＝f (2 014－10 000)＝lg 10 000＝4，则f ⎝⎛⎭⎫2 014＋π4·f (－7 986)＝4.答案：B 4.解析：利用函数f (x )的定义域建立不等式组求解．要使函数f (x )有意义，则3＋x 3－x >0，解得－3<x <3.所以要使f ⎝⎛⎭⎫x 3＋f ⎝⎛⎭⎫3x 有意义，则⎩⎨⎧－3<x 3<3，－3<3x <3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－9<x <9，x <－1或x >1，所以定义域为(－9，－1)∪(1,9)，故选B.答案：B5.解析：函数的定义域为R 等价于对∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0，令f (x )＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数的图象(图略)，只需Δ＝a 2－4≤0即可，解得实数a 的取值范围为[－2,2]，故选D.6.解析：f (－99)＝1＋99＝100，所以f (f (－99))＝f (100)＝lg 100＝2.答案：27.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2] 8.解析：对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③， f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1. 故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．答案：①③9.解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ， x >0，x 2－4x ＋3， x <0.10.解：当P 点在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤1)；当P 点在BC 上运动时，y ＝12＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2(1<x ≤2)；当P 点在CD 上运动时，y ＝12＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10(2<x ≤3)；当P 点在DA 上运动时，y ＝4－x (3<x ≤4)；综上可知，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤1，x 2－2x ＋2，1<x ≤2，x 2－6x ＋10，2<x ≤3，4－x ，3<x ≤4.∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52.B 组 高考题型专练1.解析：∵f (x )有意义，∴⎩⎨⎧ log 2x －1>0，x >0.∴x >2，∴f (x )的定义域为(2，＋∞)．答案：C 2.解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ 4－|x |≥0x 2－5x ＋6x －3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4x >2且x ≠3，即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．答案：C3.解析：f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝f ⎝⎛⎭⎫3×56－b ＝f ⎝⎛⎭⎫52－b .当52－b <1，即b >32时，3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.答案：D 4.解析：本题主要考查函数的概念，即对于任一变量x 有唯一的y 与之相对应．对于A ，当x ＝π4或5π4时，sin 2x 均为1，而sin x 与x 2＋x 此时均有两个值，故A 、B 错误；对于C ，当x ＝1或－1时，x 2＋1＝2，而|x ＋1|有两个值，故C 错误，故选D.答案：D5.解析：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又∵当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1.答案：1。

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f（x2)，那么就说函数f（x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f（x1)>f(x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数图象描自左向右看图象是上自左向右看图象是(2如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y＝f （x)在这一区间具有（严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．（×）(2）对于函数f(x），x∈D，若x1,x2∈D且（x1－x2）·［f(x1）－f(x2)］〉0，则函数f（x)在D上是增函数．( √)(3）函数y＝f（x）在［1,＋∞）上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）（4）函数y＝错误!的单调递减区间是（－∞，0)∪(0，＋∞）．（×) (5）所有的单调函数都有最值．（×)(6)对于函数y＝f(x)，若f（1)〈f(3），则f（x)为增函数．( ×）1．(2014·北京)下列函数中,在区间(0，＋∞)上为增函数的是（) A．y＝x＋1 B．y＝（x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0。

5(x＋1)答案A解析A项，函数y＝错误!在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在（0，＋∞）上为增函数，故正确；B项,函数y＝（x－1)2在(－∞，1）上为减函数，在［1，＋∞）上为增函数，故错误；C项,函数y＝2－x ＝(错误!)x在R上为减函数，故错误；D项,函数y＝log0.5（x＋1）在（－1，＋∞）上为减函数，故错误．2．若函数f(x)＝|2x＋a｜的单调递增区间是[3，＋∞），则a的值为( ）A．－2 B．2 C．－6 D．6答案C解析由图象易知函数f(x）＝｜2x＋a|的单调增区间是[－错误!，＋∞)，令－错误!＝3,∴a＝－6。

3-1 (2015桐乡一中等四校联考,14,4分)已知函数f(x)=
奇函数,则f(g(-1))=
.
答案 -28
解析 由题意,得g(-1)=f(-1)=-f(1)=-4,
∴f(g(-1))=f(-4)=-f(4)=-28.
c
x2
3x(x
为0),
g(x)(x 0)
第二十二页，编辑于星期六：二十点 二十一分 。
0的实数a的取值范围是
.
;使f(a)<
答案 4;(0,1)
解析
f(-2)=
1 2
=24.因为a≤0时,
f(a)=
c
>120,a所以只有当a>0时, f(a)<0,
即log2a<0,解得0<a<1.
第十一页，编辑于星期六：二十点 二十一分。
函数定义域的求法
典例1 (2015湖北,6,5分)函数f(x)= 4 | x+|lg x2 5x 的6 定义域为 ( )
1-1 (2013安徽,11,5分)函数y=ln
1 +1x
1的x定2 义域为
.
答案 (0,1]
解析
1
1 x
0,
由条件知
x 0, 1 x2
⇒
0
x
x
1或cx 0,
0,
⇒x∈(0,1].
1 x 1
1-2 (2013大纲全国,4,5分)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)
函数的表示方法:解析法、图象法、列表法.
3.映射的概念
设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,使对于集合A中的任意
一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A →B为从集合A到集合B的一个映射.

《新课标》必修Ⅰ复习 第八讲 函数与方程2008年7月一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。

高考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计2009年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答； （2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。

三．要点精讲1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。

即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点。

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的零点：１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点。

高考AB卷
学法大视野
【例2】 设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
高考AB卷
学法大视野
解析 ∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0， ∴函数f(x)在R上单调递增，对于A项，f(－1)＝e－1＋(－1)－4 ＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0， A不正确，同理可验证B、D不正确.对于C项， ∵ f(1) ＝ e ＋ 1 － 4 ＝ e － 3<0 ， f(2) ＝ e2 ＋ 2 － 4 ＝ e2 － 2>0 ， f(1)f(2)<0，故选C.
高考AB卷
学法大视野
►一个重要应用：二次函数零点问题.
(4)若函数f(x)＝x2－mx＋1有两个不同零点，则m的取值范围 为________. 解析 方程x2－mx＋1＝0有两个不同实根， 则Δ＝(－m)2－4＞0，解得m＜－2或m＞2. 答案 m＜－2或m＞2 (5)方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的两根一个比1大，另一个比1 小，则实数a的取值范围为________. 解析 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，则f(1)＜0，所以1＋a2－1 ＋a－2＜0，即a2＋a－2＜0，解得－2＜a＜1. 答案 －2＜a＜1
解析 由题知方程x2＋ax＋b＝0的两根为1，2. 有1＋2＝－a，1×2＝b，即a＝－3，b＝2，所以a＋b＝－1. 答案 －1
高考AB卷
学法大视野
知识点二 二次函数的零点分布及二分法
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点分布
根的分布
(m<n<p 为常数)

4.设函数f(x)=log3 x -2a在区间(1,2)内有零点,则实数a的取值范围是
x ()
A.(-1,-log32) C.(log32,1)
B.(0,log32) D.(1,log34)
答案 C ∵x∈(1,2),∴ x ∈2 (2,3),∴log3 x ∈2 (log32,1),故要使函数 f (x)在(1,2)内存在零点,只要a∈x(log32,1)即c 可.故选xC.
(2)对函数零点是否存在的判断中,必须强调:
①f(x)的图象在[a,b]上是连续不断的曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③在(a,b)内存在零点. 这是零点存在的一个充分不必要条件. (3)对于图象在定义域内是连续不断的曲线的函数,其相邻两个零点之间
的所有函数值保持同号.
第十六页，编辑于星期六：二十点 二十二分。
数值f(x)的部分对应值(精确到0.01)如下表所示:
x
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
f(x)
1.16
1.00
0.68
0.24
-0.25
-0.70
-1.00
则函数f(x)的一个零点所在的区间是 ( )
A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)
C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 答案 C 由题表可知, f(1.8)>0, f(2.2)<0c,故选C.
综上,a∈(0,1)∪(9,+∞).
第二十四页，编辑于星期六：二十点 二十二分 。
已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再通过解不等
式(组)确定参数范围.

专题22 函数与方程思想、数形结合思想【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y ＝f (x )，当y ＞0时，就转化为不等式f (x )＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.例1、(1)设m ，n 是正整数，多项式(1－2x)m＋(1－5x)n中含x 项的系数为－16，则含x 2项的系数是( ) A ．－13 B ．6 C ．79 D ．37(2)已知函数f(x)＝(x ＋m)ln(x ＋m)在x ＝1处的切线斜率为1. ①若对∀x>0，恒有f(x)≥－x 2＋ax －2，求实数a 的最大值； ②证明：对∀x ∈(0，1]和任意正整数n 都有f(x)>xne x －1.【答案】(1)D(2)解：f′(x)＝ln(x ＋m)＋1，则f′(1)＝ln(1＋m)＋1＝1，得m ＝0，即f(x)＝xln x.①f(x)≥－x 2＋ax ＋2，即xln x≥－x 2＋ax －2，又x>0，所以a≤ln x＋x ＋2x .令h(x)＝ln x ＋x ＋2x，所以要使原不等式恒成立，则a≤h(x)min .h′(x)＝1x ＋1－2x 2＝x 2＋x －2x 2＝（x ＋2）（x －1）x2. 当0<x<1时，h′(x)<0，当x>1时，h′(x)>0，h′(1)＝0，故x ＝1时，h(x)取得极小值，即最小值，所以h(x)min ＝h(1)＝3，所以a≤3，所以a 的最大值为3.【特别提醒】方程思想的本质是根据已知得出方程(组)，通过解方程(组)解决问题；函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种主要体现．【变式探究】(1)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)．若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3(2)已知函数f(x)＝x 2ln x .①求f(x)的单调区间；②证明：当x>1时，x ＋(x －3)e x2ln x>0.【答案】(1) D【解析】AB →＝OB →－OA →＝(3，1)．因为AB →∥OC →，所以2m 3＝m ＋11，解得m ＝－3.(2)解：①f(x)＝x2ln x的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝x （2ln x －1）（ln x ）2. 由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(e ，＋∞)； 由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(0，1)，(1，e)． ②证明：由①知，当x>1时，f(x)的最小值为f(e)＝e ln e＝2e.令g(x)＝(－x 2＋3x)e x 2，x ∈(1，＋∞)，则g′(x)＝(－12x 2－12x ＋3)e x 2＝－12(x －2)(x ＋3)e x 2.当x>1时，由g′(x)>0得函数g(x)在区间(1，2)上单调递增；由g′(x) <0得函数g(x)在区间(2，＋∞)上单调递减，所以g(x)＝(－x 2＋3x)e x 2≤g(2)＝2e ，所以当x>1时，f(x)＝x 2ln x >g(x)＝(－x 2＋3x)e x 2，整理得x ＋(x －3)e x 2ln x>0.【命题热点突破二】数形结合思想例2、(1) 设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则a 的取值范围是( )A ．[－32e ，1)B ．[－32e ，34)C ．[32e ，34)D ．[32e，1)(2)向量a ＝(2，0)，b ＝(x ，y)，若b 与b －a 的夹角为π6，则|b |的最大值为( )A ．4B ．2 3C ．2 D.4 33【答案】 (1)D (2)A直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0.结合函数图像可知，存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a)在点(x 0，g(x 0))的上方，则x 0只能是0，故实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a≥0，－1＋a<0，e≥0，解得32e≤a<1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1.【特别提醒】数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几何图形)，找到解决问题的思路，帮助建立数的运算或者推理(以形助数)的一种方法．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解 (或函数零点)的个数.【变式探究】(1)函数y ＝f(x)为定义在R 上的减函数，函数y ＝f(x －1)的图像关于点(1，0)对称，x ，y 满足不等式f(x 2－2x)＋f(2y －y 2)≤0，M(1，2)，N(x ，y)，O 为坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →·ON →的取值范围为( )A ．[12，＋∞)B ．[0，3]C ．[3，12]D ．[0，12](2)已知向量α，β，γ满足|α|＝1，|α－β|＝|β|，(α－γ)·(β－γ)＝0.若对每一确定的β，|γ|的最大值和最小值分别为m ，n ，则对任意β，m －n 的最小值是( )A.12 B ．1 C ．2 D. 2 【答案】(1)D (2)A(2)平移向量α，β，γ，使它们的起点位于点O 处，终点分别记作A ，B ，C ，如图所示，根据|α－β|＝|β|可知点B 在OA 的垂直平分线上．根据(α－γ)·(β－γ)＝0知点C 在以AB 为直径的圆上，故m －n 等于圆的直径AB.又OB ＝AB ，所以要使AB 最小，则只要OB 最小即可，由图易知，当点B 为线段OA 的中点时，m －n 取得最小值12.【高考真题解读】1．[2015·全国卷Ⅱ改编] 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝________． 【答案】42【解析】由a 1＝3，得a 1＋a 3＋a 5＝3(1＋q 2＋q 4)＝21，所以1＋q 2＋q 4＝7，即(q 2＋3)(q 2－2)＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.2．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 【答案】12【解析】因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t(a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.3．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编] 设m 为正整数，(x ＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝________． 【答案】6【解析】(x ＋y)2m展开式的二项式系数的最大值是C m2m ，即a ＝C m2m ；(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值是C m 2m ＋1，即b ＝C m 2m ＋1，因为13a ＝7b ，所以13C m 2m ＝7C m2m ＋1，所以13（2m ）！m ！·m！＝7（2m ＋1）！（m ＋1）！·m！，解得m ＝6.4．[2015·全国卷Ⅱ改编] 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(0，1)5．[2014·辽宁卷改编] 当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[－6，－2]【解析】当－2≤x<0时，不等式转化为a≤x 2－4x －3x 3， 令f(x)＝x 2－4x －3x3(－2≤x<0)， 则f′(x)＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4，故f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增，此时有a≤1＋4－3－1＝－2.当x ＝0时，不等式恒成立．当0<x≤1时，a≥x 2－4x －3x 3，令g(x)＝x 2－4x －3x 3(0<x≤1)， 则g′(x)＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4， 故g(x)在(0，1]上单调递增，此时有a≥1－4－31＝－6.综上，－6≤a≤－2.6．[2013·山东卷] 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． 【答案】2 2【解析】设弦与圆的交点为A ，B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＋(3－2)2＋(2－1)2＝4，解之得|AB|＝2 2.7．[2014·天津卷] 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x>0.若函数y ＝f(x)－a|x|恰好有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【答案】(1，2)。

专题06函数与方程、函数模型及其应用文【考向解读】求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是2016高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理•增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力.【命题热点突破一】函数零点的存在性定理1 .零点存在性定理如果函数y= f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f(b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在c €(a, b)使得f(c) = 0，这个c也就是方程f(x) = 0的根.2•函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f (x) —g(x)的零点就是方程f( x) = g(x)的根，即函数y= f (x)的图象与函数y= g( x)的图象交点的横坐标.「log 2X, x>0,例1、(1)已知偶函数y = f(x) , x€R满足f(x) = x2—3x(x >0)，函数g(x) = 1 则函数y—-,x<0,x=f(x) —g(x)的零点个数为()A. 1 B . 3C. 2 D . 4厂3x , X W a,(2)已知函数f(x) = { 2 若存在实数b,使函数g(x) = f(x) —b有两个零点，则a的取值范围是x , x>a,【答案】(1) B (2)(―汽0)U( 1,+s)【解析】(1〉作出的数f(X?与g (x)的图像如图所示，易如两个的数的图像有3个交点丿所以函数y=f (x) 一g (x)有3 个零点一⑵令口g =衣(0), h (x) =x: (x>a),函数g (x) =f (x) —b有两个零点，即函数y=f (x) 的图像与直线y=b有两个交点结合图傷当网时，存在实数b使h(x) (x>a)的團像与直^ y=b 有两个交点」当空0时，必烦满足c (a) >h(a),即吐已解得新1综上得疋(-心0) U (1, +x).【感悟提升】函数的零点、方程的根的问题都可以转化为函数图像的交点问题，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数问题的有效方法•在解决函数零点问题时，既要利用函数的图像，也要利用函数零点的存在性定理、函数的性质等，把数与形紧密结合起来.【变式探究】已知函数f(x) = |x + a|(a € R)在［—1,1］上的最大值为M(a),则函数g(x) = M(x) - |x—1|的零点的个数为()A. 1 B • 2 C • 3 D • 4【答案】C【解折】当％E (-知-a)时』函数f (兀)单调递减，当吠(-4 +x)时，函数fS)单调速増> 所以x= — f (x)的最小值点』所以当左D时，(a) =f(1) = 1 + a = 1 + 当a<0时f N1 (a)I ］—■代 V。

专题08 函数与方程（教学案） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力．1．函数的零点(1)定义：如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点．(2)变号零点：如果函数图象经过零点时穿过x 轴，则称这样的零点为变号零点． (3)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 2．零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f (a )f (b )<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x 0∈(a ，b )，使f (x 0)＝0.3．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤 第一步，确定区间，验证f (a )f (b )<0； 第二步，求区间(a ，b )的中点c 1； 第三步，计算f (c 1)：(1)若f (c 1)＝0，则c 1就是函数的零点；(2)若f (a )f (c 1)<0，则令b ＝c 1(此时零点x 0∈(a ，c 1))； (3)若f (b )f (c 1)<0，则令a ＝c 1(此时零点x 0∈(c 1，b ))；第四步，判断x 0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．高频考点一 函数零点的确定例1、已知函数f(x)＝lnx －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x0，则x0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 C解析 ∵f(x)＝lnx －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f(1)＝ln1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln1－2<0， f(2)＝ln2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0， f(3)＝ln3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0， ∴x0∈(2,3)，故选C.【变式探究】(1)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2，x≤0，2x －6＋lnx ，x>0的零点个数是．(2)若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，且当x ∈时，f(x)＝x ，则函数y ＝f(x)－log3|x|的零点个数是( ) A ．多于4 B ．4C ．3D ．2答案 (1)2 (2)B(2)由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f(x)及y ＝log3|x|的图象，如图：观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f(x)－log3|x|有4个零点． 高频考点二、求函数的零点例2、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x ，则函数g(x)＝f(x)－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3} 答案 D【感悟提升】(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝6x －log2x ，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 (1)C (2)B解析 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝32－log24＝－12<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．(2)方法一 令f(x)＝0，得x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在平面直角坐标系中分别画出函数y ＝x 12与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B. 方法二 ∵f(0)＝－1，f(1)＝12，∴f(0)f(1)<0，故函数f(x)在(0,1)至少存在一个零点， 又f(x)显然为增函数， ∴f(x)零点个数为1.高频考点三、 函数零点的应用例3、若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 方法一 (换元法)设t ＝2x (t>0)，则原方程可变为t2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f(t)＝t2＋at ＋a ＋1.方法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t>0)，则a ＝－t2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋1＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a≤2－2 2. 【感悟提升】对于“a＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y ＝f(x)的值域来解决，解的个数可化为函数y ＝f(x)的图象和直线y ＝a 交点的个数．【变式探究】(1)函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|，x ＜2，3x －1，x≥2，若方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1) 答案 (1)C (2)D解析 (1)因为函数f(x)＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0.所以0＜a ＜3.(2)画出函数f(x)的图象如图所示，观察图象可知，若方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f(x)的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D. 高频考点四、 二次函数的零点问题例4、已知f(x)＝x2＋(a2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 方法一 设方程x2＋(a2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a2－1)＋1<0， 即a2＋a －2<0，∴－2<a<1.方法二 函数图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a －2<0，∴－2<a<1. 故实数a 的取值范围是(－2,1)．【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组． 【变式探究】若函数f(x)＝(m －2)x2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 答案 C1.【2016高考新课标1卷】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】函数f(x)=2x 2–e |x|在上是偶函数，其图像关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除A 、B 选项；当[]0,2x ∈时，()=4e x f x x '-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(2)x x ,∈时，()f x 为增函数．故选D 。

第1讲函数与方程、数形结合思想一函数与方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决，方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程（组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究,以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系(2016·高考山东卷）已知双曲线E：错误!－错误!＝1（a＞0,b ＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB｜＝3｜BC｜,则E的离心率是________．【解析】如图，由题意知|AB｜＝错误!，｜BC｜＝2c.又2|AB|＝3|BC|，所以2×错误!＝3×2c，即2b2＝3ac,所以2（c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去）．【答案】2［名师点评] 本题利用了方程思想，关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中a，b,c的关系式,求值试题就是建立关于a，b，c的等式，求取值范围问题就是建立关于a，b，c的不等式．［变式训练]1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ）A．100 B．99C．98 D．97C ［解析] 设等差数列{a n}的公差为d,因为｛a n｝为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3。

又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5,所以d ＝1，所以a100＝a5＋95d＝98.（2016·高考全国卷丙）设函数f（x）＝ln x－x＋1.(1）讨论f（x)的单调性;（2)证明当x∈（1，＋∞）时，1＜错误!＜x；（3)设c＞1，证明当x∈（0，1)时,1＋（c－1）x＞c x.【解】（1）由题设，f（x）的定义域为（0，＋∞)，f′(x)＝错误!－1，令f′(x)＝0解得x＝1.当0＜x＜1时，f′（x)＞0，f（x)单调递增;当x＞1时，f′(x)＜0，f（x)单调递减．（2）证明:由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值,最大值为f（1)＝0。

[自我查验] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( ) (2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则 f(a)·f(b)<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近 似值．( )
答案：78，1
第三十一页，编辑于星期六：点 五十六分。
[方法技巧] 1．判定函数零点的常用方法有： (1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程 f(x)＝0. 2．研究方程 f(x)＝g(x)的解，实质就是研究 G(x)＝f(x)－g(x) 的零点． 3．若函数 f(x)在[a，b]上单调，且 f(x)的图象是连续不断的一 条曲线，则 f(a)·f(b)<0⇒函数 f(x)在[a，b]上只有一个零点． 4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点 的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问 题．
解：设方程 x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0 的两根分别为 x1， x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，即 x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0， 即 a2＋a－2<0，∴－2<a<1. 故实数 a 的取值范围为(－2,1)．
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(2016·南昌模拟)对于实数 m，n 定义运算“⊕”：m⊕n＝
－m2＋2mn－1m≤n， n2－mnm>n，
设 f(x)＝(2x－1)⊕(x－1)，且关于 x 的
方程 f(x)＝a 恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1＋x2＋ x3 的取值范围是________．

函数与方程
问题对于数学关系式：2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何？ 2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系？
3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
函数的零点
考察下列一元二次方程与对应的二次函数： 2 （1）方程 x 2x 3 0 与函数y= x2-2x-3； （2）方程 x 2 2x 1 0与函数y= x2-2x+1； （3）方程 x 2 2x 3 0与函数y= x2-2x+3.
y 2 log 3 x . y 2 8 ; （2 ） （1 ）
x
思考4：对于函数y=f(x)，我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点， 那么函数y=f(x)的零点实际是一个什么 数？
思考5：函数y=f(x)有零点可等价于哪些 说法？
函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 练习：求下列函数的零点：
思考1：上述三个一元二次方程的实根分 别是什么？ 对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别是什么?
思考2：一般地，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a＞0)的实根与对应的二次 函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有什 么关系？
思考3：更一般地，对于方程f(x)=0与函 数y=f(x)上述关系适应吗？

1．函数与映射函数映射两集合A、B 设A，B是两个非空数集设A,B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个2.（1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，其中所有x 组成的集合A 称为函数y ＝f （x )的定义域;将所有y 组成的集合叫做函数y ＝f (x）的值域． （2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．常见函数定义域的求法错误!,n∈N*f(x)≥0错误!与[f(x)]0f（x）≠0log a f（x）(a>0，f(x)〉0a≠1)log f（x)g（x)f（x)>0，且f（x）≠1，g（x）〉0tan f(x)f(x)≠kπ＋错误!，k∈Z【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ×)（2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．（×）（3）映射是特殊的函数．( ×)(4)若A＝R,B＝｛x｜x〉0}，f：x→y＝｜x|,其对应是从A到B的映射．( ×)(5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（×)f（2x)＝2f（x)的是( ）1．下列函数中，不满足．．．A．f（x)＝|x｜B．f(x）＝x－|x|C．f(x)＝x＋1 D．f(x）＝－x答案C解析将f(2x)表示出来，看与2f(x）是否相等．对于A，f（2x)＝|2x|＝2|x｜＝2f（x);对于B,f(2x)＝2x－｜2x|＝2(x－｜x｜）＝2f(x)；对于C，f（2x）＝2x＋1≠2f(x)；对于D,f（2x）＝－2x＝2f（x)，故只有C不满足f(2x）＝2f(x)，所以选C.2．函数f（x)＝错误!的定义域为（)A。