2020届江苏省天一中学高三数学第二学期数学综合试卷二教师版

2020届天一大联考高三阶段性考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}23{10},1A x B y y x x=-<==+，则()R A B =I ð（ ） A ．{01}x x << B ．{13}x x ≤< C ．{13}x x << D ．{03}x x ≤<【答案】A【解析】根据分式不等式的解法以及二次函数的值域分别求解,A B ,再求解即可. 【详解】 由310x-<,得03x <<,即{|03}A x x =<<,由211y x =+…,得{|1}B y y =…,所以{}|1R B x x =<ð,故()R A B =I ð{01}x x <<. 故选：A 【点睛】本题考查集合的表示､运算以及不等式的解法,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得22001sin 2019cos 20192x x +=B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x < C ．0x R ∃∈，使得2001x x +=- D ．1(1,),0x x x∀∈+∞-> 【答案】D【解析】根据存在性和任意性的定义进行判断即可. 【详解】因为x ∀∈R ，22sin 2019cos 20191x x +=，故A 是假命题；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin cos x x „，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x >，故B 是假命题；x ∀∈R ，221331244x x x ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，故C 是假命题；因为1x >，所以1(0,1)x ∈，所以10x x->，故D 是真命题． 故选：D【点睛】本题考查逻辑联结词、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想． 3．已知0.10.520190.12,0.5,log 0.1a b c ===，则（ ） A ． a b c >> B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>【答案】B【解析】分别计算,a b 的大致范围,利用指数函数的单调性,再计算得2019c =判断即可. 【详解】 因为0.12(1,2)a =∈,10.520.52b -==,根据指数函数2x y =的单调性,知a b >.又20190.1log 0.12019c ==,所以b a c <<.故选：B 【点睛】本题考查指对数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.4．已知向量(1,2),2(3,1)a a b =-+=-r r r，则b =r （ ）A ．B ．5C ．D ．2【答案】A【解析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，通过解方程组求出向量b r的坐标，再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设(,)b x y =r ，所以2(2,4)a b x y +=+-+r r ．因为2(3,1)a b +=-r r ，所以23,4 1.x y +=-⎧⎨-+=⎩解得5,5.x y =-⎧⎨=⎩所以(5,5)b =-r ，所以||b ==r ．故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ）A ．234升B ．468升C ．639升D ．903升【答案】C【解析】根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 【详解】由题意可知每天派出的人数构成等差数列， 记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可. 【详解】因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想. 7．已知α为第三象限角sin(2019)πα-=，则2sin 2cos 1αα++=（ ） A．BC．D ．139-【答案】A【解析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为sin(2019)3πα-=-，所以sin 3α=-．又因为α为第三象限角，所以2cos 3α=-．所以22222sin 2cos 12sin cos cos 12133ααααα⎛⎛⎫⎛⎫++=++=⨯⨯-+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力． 8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，当 0x <时，()ln(1)g x x =--，且3,0()(),0x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x ->，则实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)--D ．(2,1)-【答案】D【解析】根据奇偶性求解当0x >时()g x 的解析式,再根据函数()f x 的单调性求解即可. 【详解】若0x >,则0x -<,因为()g x 是R 上的奇函数,所以()()ln(1)g x g x x =--=+,所以3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧=⎨+>⎩…则函数()f x 是R 上的增函数,所以当()22()f x f x ->时,22x x ->,解得21x -<<. 故选：D本题考查函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想.9．已知,x y满足约束条件24030220x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x yz-=的最大值为（）.A．128 B．64 C．1 64D．1128【答案】B【解析】画出可行域,再求解2x y-的最大值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x yμ=-,因为函数2xy=是增函数,所以μ取最大值时,z取最大值.易知2x yμ=-在A点处取得最大值.联立220,30x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.xy=⎧⎨=-⎩即(4,1)A-.所以max42(1)6μ=-⨯-=,所以6max264z==.故选：B【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.10．函数()2cos()0,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x的一个单调递减区间为（）A ．,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据余弦型函数的最高点和零点求出最小正周期，根据最小正周期公式求出ω的值，再根据最高点的坐标，求出ϕ的值，这样求出余弦型函数的解析式，根据解析式求出单调递减区间，四个选项逐一判断即可. 【详解】由图知，函数()f x 的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．因为0>ω，所以2ππω=，得2ω=．所以()2cos(2)f x x ϕ=+．因为点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以cos 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222()3k x k k ππππ-+∈Z 剟，得2()63k x k k ππππ++∈Z 剟．只有22,,()3263k k k ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z . 故选：B 【点睛】本题考查余弦型函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想．11．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D【解析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 12．已知函数32()232010f x x ax bx =-++的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．若0[3,5]x ∃∈使得0()2020f x ≥成立，则实数b 的取值范围为（ ）． A ．10,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,6)-∞-C ．[6,)-+∞D ．10,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】对函数进行求导，根据对称轴求出a 的值，根据存在性的定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，得2()623f x x ax b '=-+．因为函数()f x '的图象关于直线1x =对称，所以2112a--=，解得6a =，所以32()2632010f x x x bx =-++．因为0[3,5]x ∃∈使得()02020f x …成立，即使得3200026320102020x x bx -++…成立，所以[3,5]x ∈时，2min233103223b x x ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…．设223310()3223g x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在[3,5]上单调递减，所以当5x =时，函数()g x 在[3,5]上取得最小值为6-，所以实数b的取值范围为[6,)-+∞． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想．二、填空题13．若函数4()32xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________． 【答案】17,22⎛⎫-⎪⎝⎭． 【解析】根据零点存在原理进行求解即可. 【详解】由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查零点存在原理的应用，考查运算求解能力．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,6a c ==，cos 45B =，则sin A =______.【解析】根据余弦定理求得b =,再根据同角三角函数公式求解得3sin 5B =,再利用正弦定理求解sin A 即可. 【详解】由余弦定理,得2222cos 13b a c ac B =+-=.所以b =.又由cos 45B =,(0,)B π∈得3sin 5B =.由正弦定理得5sin 5A =.解得sin A =.故答案为：13【点睛】本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 15．已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为________. 【答案】164【解析】根据821(0,0)a b a b +=>>配凑出18216ab a b =⨯⨯再利用基本不等式求解即可. 【详解】211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…,当且仅当116a =,14b =时取等号,所以ab 的最大值为164. 故答案为：164【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知114,29(2)n n a a a n -==-+≥.若对任意的偶数,n ,(3)4n n N S n λ*∈-≥恒成立，则实数λ的最小值为____________.【答案】8【解析】根据所给的递推公式构造等比数列{}3n a -,继而求得{}n a 的通项公式1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,再代入(3)4n S n λ-≥化简得 【详解】由数列的递推公式,得()()1233n n a a --=--,即()11332n n a a --=--.又1310a -=≠,所以13132n n a a --=--,则数列{}3n a -是首项为131a -=,公比为12-的等比数列,故11312n n a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,所以1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,题中的不等式即211432nλ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…. 因为n 为偶数,所以不等式等价于211432n λ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭…,整理得3462111122n n λ⨯=--…, 设6()112n f n =-,则因为311142n ≤-<,故668112n<≤-.所以()8f n ≤,故8λ…. 故要使不等式对任意的正偶数n 都成立,λ的最小值为8.故答案为：8 【点睛】本题考查数列的递推公式､等比数列的前n 项和公式､数列的性质,考查推理论证能力以及化归转化思想.三、解答题17．已知:p 指数函数()(21)x f x a =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【解析】求出:p 112a << ，:q a ＞2，由“p 或q ”为真命题，“p 且q 为假命题，得p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】若p 真，则()(21)xf x a =-在R 上单调递减.所以0211a <-<，即112a << 若q 真，令22()321g x x ax a =-++，则应满足()222(3)421021030a a a a ⎧--+≥⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，解得2a ≥ 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.①若p 真q 假，则1122a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩所以112a <<.②若p 假q 真，则1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，所以2a ≥. 综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知角,,B A C 成等差数列． （1）若ABC V的外接圆半径为a ；（2）若cos cos 2c B b C +=，求ABC V 的面积的最大值．【答案】（1）6；（2【解析】（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为ABC V 中，角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+．又因为A B C π++=，所以3A π=．因为ABC V的外接圆半径为62a ==． （2）由222222cos cos 2222a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⇒⋅+⋅=，可得2a =． 由（1）的解题过程及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc +-=． 由222b c bc +…可得04bc <„，所以ABC V的面积1sin 2S bc A =„2b c ==时，等号成立）． 故ABC V【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．19．已知正项等比数列{}n a ，42329,6a a a a =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a .（2）113244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据基本量法求解即可.(2)代入(1)中{}n a 的通项公式可得13n n b n -=⋅,再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,因为数列{}n a 是等比数列,所以由429a a =,得2229a q a =.因为0n a >,所以3q =.因为326a a -=,所以226a =,即23a =,所以11a =.所以13-=n n a .（2）由（1）得13-=n n a ,所以13n n b n -=⋅. 所以01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L , 则12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L .两式相减,得1211311213333331322n n nn n n T n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭L . 所以113244n n n T ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查等比数列的性质以及错位相减求和,考查推理论证能力以及化归转化思想. 20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1113,233(2)n n n n a S S S S n --=-+=≥ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使120n a ≥成立的n 的最大值． 【答案】（1）3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩…；（2）6. 【解析】（1）根据n S 是否能为零，分类讨论可以判断n S 不能为零，这样将等式两边同除以1n n S S -并整理，这样根据等差数列的定义求出n S 的通项公式，然后再利用当2n …时，1n n n a S S -=-进行求解即可；（2）由已知得到不等式，解不等式进行求解即可.【详解】（1）当2n …时，若0n S =，则由11233n n n n S S S S --+=，得10n S -=，这与113a S ==-相矛盾，所以0n S ≠．由11233n n n n S S S S --+=，等式两边同除以1n n S S -并整理，得11123n n S S --=-． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1113S =-，公差23d =-的等差数列． 所以321n S n -=-． 所以当2n …时，13362123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=+=----． 又因为13a =-，不符合上式，所以3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… （2）由（1）知3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… 易知使不等式成立的2n …．所以由题意，得61(21)(23)20n a n n =--…，整理，得2483120n n -+„．所以2 6.5n 剟． 所以使120n a …成立的n 的最大值是6． 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想．21．已知函数3()8cos 3cos 212cos f x x x x =--（1）设正实数T 满足()(0)f T f =，求T 的最小值；（2）当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【答案】（1）2π；（2）713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式把函数的解析式化成关于cos x 的形式，根据()(0)f T f =，结合因式分解可以求出T 的值；（2）利用换元法，结合导数进行求解即可.【详解】（1）由题意得()3232()8cos 32cos 112cos 8cos 6cos 12cos 3f x x x x x x x =---=--+． 由()(0)f T f =可得324cos 3cos 6cos 50T T T --+=，即2224cos (cos 1)cos 6cos 54cos (cos 1)(cos 1)(cos 5)T T T T T T T T -+-+=-+--()22(cos 1)4cos cos 5(cos 1)(4cos 5)0T T T T T =-+-=-+=．所以cos 1T =或5cos 4T =-． 5cos 4T =-显然不成立，所以cos 1T =． 所以()*2T k k π=∈N ，所以T 的最小值为2π．（2）由（1）得32()8cos 6cos 12cos 3f x x x x =--+． 设cos t x =，32()86123g t t t t =--+，所以2()241212g t t t '=--． 因为,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦． 由()0g t '=得12t =-或1t =，由()0g t '>得12t <-或1t >，由()0g t '<得112t -<<．所以()g t 在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 又11322g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1g -=，1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以713(),22g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，以及利用导数研究函数性质，考查运算求解能力、推理论证能力以及转化与化归的思想．22．已知函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）若3a e =，求()f x 的单调区间；（2）当(1,]x e ∈时，不等式()2e f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1.65≈【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ；（2）2e ⎡-⎢⎣． 【解析】（1）对函数进行求导，再通过构造新函数，根据新函数的零点结合()f x 的导函数进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，构造新函数，结合新函数的正负性结合()f x 的导函数可以判断出函数()f x 的单调性，然后根据题意，列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）若3a e =，则2()(3)ln f x x e x =-．2(3)3()2(3)ln (3)2ln 1x e e f x x e x x e x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设3()2ln 1e g x x x=+-． 易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0g e =，所以e 是()g x 的唯一零点．所以当(0,)x e ∈时，()0f x '>；(,3)x e e ∈时，()0f x '<；(3,)x e ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ．（2）由题意得2()()2e f e e a =-„，解得22e a e -+ 2()()2()ln ()2ln 1x a af x x a x x a x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且2()33e a h e ee +=--…20=>． 因为()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 存在唯一零点0x ，且01x a <<，01x e <<． 从而当()00,x x ∈时，()0f x '>；()0,x x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 要使()2e f x „对任意(1,]x e ∈恒成立，只需()()20002ln ,2()().2e f x x a x e f e e a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②„„ 由()0002ln 10a h x x x =+-=，得0002ln a x x x =+．③ 将③代入①中，整理得2300ln 8e x x „．因为01x >，注意到23ln y x x =在(1,)+∞上单调递增，故01x <„再由③以及2ln y x x x =+在(1,)+∞上单调递增，得1a <„．由②解得e a e -+e a -． 所以a的取值范围为2e ⎡-⎢⎣． 【点睛】本题考查导数的计算、利用导数研究函数的单调性和极值以及解决不等式恒成立问题，考查运求解能力和推理论证能力．。

综合测试卷(二)时间:120分钟 分值:150分一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z 满足z 2+4i=0,则|z|=( ) A.4 B.2 C.√2 D.1答案 B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z 2+4i=(a+bi)2+4i=a 2-b 2+(2ab+4)i=0,所以a 2-b 2=0且2ab+4=0,解得a=√2,b=-√2或a=-√2,b=√2,则|z|=√a 2+b 2=2.故选B.2.(2021海淀一模,1)已知集合A={1},B={x|x ≥a}.若A ∪B=B,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)答案 B 由A ∪B=B,得A ⊆B,从而有a ≤1,所以实数a 的取值范围是(-∞,1],故选B.3.(2020湖南衡阳一模)我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献,这10部专著中5部产生于魏晋南北朝时期,某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( ) A.79 B.29 C.49 D.59答案 A 设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A,所以P(A )=C 52C 102=29,因此P(A)=1-P(A )=1-29=79.故选A.4.(2022届广州10月调研,5)双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为x+2y=0,则C 的离心率为( )A.√52B.√3C.2D.√5答案 A 由题意得12=b a ,即a=2b,又∵b 2=c 2-a 2,∴5a 2=4c 2,∴e=c a =√52,故选A.5.(2021广州模拟,5)某学校组织学生参加数学测试,某班成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若不低于60分的人数是35,则该班的学生人数是( )A.45B.50C.55D.60答案 B 由频率分布直方图得不低于60分的频率为(0.02+0.015)×20=0.70,∵不低于60分的人数是35,∴该班的学生人数是350.70=50.故选B.6.(2021百校大联考(六),9)已知向量a=(3,100),若λa =(3λ,2μ)(λ,μ∈R),则λμ=( )A.50B.3C.150D.13答案 C 根据题意得λa =(3λ,100λ)=(3λ,2μ),所以2μ=100λ,所以λμ=150,故选C.7.(2022届江苏省天一中学月考,6)若函数f(x)=sin(4x-φ)(0≤φ≤π2)在区间[0,π6]上单调递增,则实数φ的取值范围是( ) A.[π6,π4] B.[π4,π3] C.[π3,π2] D.[π6,π2] 答案 D 当x ∈[0,π6]时,-φ≤4x-φ≤2π3-φ.因为函数y=sin x 在[-π2,π2]上单调递增,且函数f(x)=sin(4x-φ)(0≤φ≤π2)在区间[0,π6]上单调递增,所以得{-φ≥−π2,2π3-φ≤π2,解得π6≤φ≤π2,所以实数φ的取值范围是[π6,π2]. 8.(2022届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F,G,H 分别为棱AB,BC,C 1D 1,A 1D 1的中点,若平面α∥平面EFGH,且平面α与棱A 1B 1,B 1C 1,B 1B 分别交于点P,Q,S,其中点Q 是棱B 1C 1的中点,则三棱锥B 1-PQS 的体积为( ) A.1 B.12 C.13 D.16答案 D如图所示,取AA1,CC1的中点N,M,连接NH,NE,MG,MF,由正方体的性质可知,NE∥GM,HG∥EF,HN∥MF,所以H,G,M,F,E,N六点共面,又因为平面α∥平面EFGH,所以平面PQS∥平面HGMFEN,又平面BB1C1C∩平面PQS=QS,平面BB1C1C∩平面HGMFEN=MF,所以QS∥MF,由M,F,Q为所在棱中点可知S为BB1的中点,同理可知,P 为A1B1的中点,所以B1P=B1Q=B1S=1,且B1P,B1Q,B1S两两垂直,所以三棱锥B1-PQS的体积为V=13×1×12×1×1=16,故选D.9.(2021八省联考,8)已知a<5且ae5=5e a,b<4且be4=4e b,c<3且ce3=3e c,则()A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c答案D因为ae5=5e a,a<5,所以a>0,同理b>0,c>0,令f(x)=e x x,x>0,则f '(x)=e x(x-1) x2,当0<x<1时, f '(x)<0,当x>1时, f '(x)>0,故f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,因为ae5=5e a,故e55=e a a,即f(5)=f(a),又0<a<5,故0<a<1,同理可得 f(4)=f(b), f(3)=f(c),则0<b<1,0<c<1,因为f(5)>f(4)>f(3),所以f(a)>f(b)>f(c),所以0<a<b<c<1.故选D.10.(2022届宁夏期末,7)“a≥4”是“二次函数f(x)=x2-ax+a有零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A 若a ≥4,则Δ=a 2-4a=a(a-4)≥0,故方程x 2-ax+a=0有解,即二次函数f(x)=x 2-ax+a 有零点.若二次函数f(x)=x 2-ax+a 有零点,则方程x 2-ax+a=0有解,则Δ=a 2-4a ≥0,解得a ≥4或a ≤0.故“a ≥4”是“二次函数f(x)=x 2-ax+a 有零点”的充分不必要条件,故选A.11.(2022届黑龙江模拟,11)关于函数f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x,有下列命题:①对任意x 1,x 2∈R,当x 1-x 2=π时,f(x 1)=f(x 2)成立;②f(x)在区间[-π6,π3]上单调递增;③函数f(x)的图象关于点(π12,0)对称;④将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得图象与函数y=2sin 2x 的图象重合.其中正确的命题是( )A.①②③B.②C.①③D.①②④答案 C f(x)=cos 2x-2√3sin xcos x=cos 2x-√3sin 2x=2cos (2x +π3).因为x 1-x 2=π,所以f(x 1)=2cos (2x 1+π3)=2cos [2(x 2+π)+π3]=2cos (2x 2+π3)=f(x 2),故①正确;当x ∈[-π6,π3]时,2x+π3∈[0,π],所以函数f(x)在区间[-π6,π3]上单调递减,故②错误;f (π12)=2cos (2×π12+π3)=2cos π2=0,故③正确;将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后得到y=2cos [2(x +5π12)+π3]=-2cos (2x +π6)的图象,易知该图象与函数y=2sin 2x 的图象不重合,故④错误.故选C.12.(2022届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x 0,使得f(x 0)=-f(-x 0),则称点(x 0, f(x 0))与点(-x 0, f(-x 0))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)={x 2+2x,x <0,mx +2,x ≥0的图象存在“隐对称点”,则实数m 的取值范围是( ) A.[2-2√2,0) B.(-∞,2-2√2] C.(-∞,2+2√2] D.(0,2+2√2]答案 B 由“隐对称点”的定义可知, f(x)={x 2+2x,x <0,mx +2,x ≥0的图象上存在关于原点对称的点,设函数g(x)的图象与函数y=x 2+2x,x<0的图象关于原点对称.令x>0,则-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x 2-2x,所以g(x)=-x 2+2x(x>0),故原问题等价于关于x 的方程mx+2=-x 2+2x 有正根,故m=-x-2x+2,而-x-2x +2=-(x +2x )+2≤-2√x ·2x+2=2-2√2,当且仅当x=√2时,取得等号,所以m ≤2-2√2, 故实数m 的取值范围是(-∞,2-2√2],故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021海淀一模,11)已知函数f(x)=x 3+ax.若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为2,则实数a 的值是 . 答案 -1解析 由题意得f '(x)=3x 2+a,所以f '(1)=3+a=2,从而得a=-1.14.(2022届广西北海模拟,15)函数f(x)=(1+√3tan x)cos x 的最小值为 . 答案 -2解析 f(x)=(1+√3tan x)cos x=cos x+√3sin x=2sin (x +π6)(x ≠π2+kπ,k ∈Z),∵sin (x +π6)∈[-1,1],∴f(x)=2sin (x +π6)∈[-2,2],∴函数f(x)=(1+√3tan x)cos x 的最小值为-2. 15.(2018北京文,14,5分)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;c a的取值范围是 . 答案π3;(2,+∞) 解析 依题意有12acsin B=√34(a 2+c 2-b 2)=√34×2accos B,则tan B=√3,∵0<∠B<π,∴∠B=π3.c a =sinC sinA =sin (2π3-A )sinA =12+√3cosA 2sinA =12+√32·1tanA, ∵∠C 为钝角,∴2π3-∠A>π2,又∠A>0,∴0<∠A<π6,则0<tan A<√33,∴1tanA >√3,故c a >12+√32×√3=2. 故ca的取值范围为(2,+∞). 16.(2021四川南充二模,16)设函数f(x)=x+e |x|e |x|的最大值为M,最小值为N,下述四个结论:①M+N=4;②M -N=2e ;③MN=1-1e 2;④M N =e -1e+1.其中所有正确结论的序号是 .答案 ②③解析 f(x)=1+x e |x|,设g(x)=xe |x|,可知g(x)为奇函数,其最大值和最小值互为相反数,当x>0时,g(x)=x e x ,g'(x)=1−xe x ,当0<x<1时,g(x)单调递增,当x>1时,g(x)单调递减,可知x=1时,g(x)取得极大值1e ,也为最大值,由g(x)为奇函数可知,当x<0时,g(x)的最小值为-1e ,则M=1+1e ,N=1-1e ,则M-N=2e ,M+N=2,MN=1-1e 2,M N =e+1e -1.故答案为②③.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(一)必做题17.(2021湘豫名校联盟4月联考,17)在△ABC 中,已知内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且bsin A=acos (B -π6).(1)求B;(2)若c=5,b=7,求△ABC 的周长.解析 (1)由bsin A=acos (B -π6)及正弦定理,得sin Bsin A=sin Acos (B -π6),因为sin A ≠0,所以sin B=cos (B -π6),即sin B=√32cos B+12sin B,即sin (B -π3)=0, 由于0<B<π,所以-π3<B-π3<2π3,所以B-π3=0,所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B 及已知,得a 2-5a-24=0,解得a=8或a=-3(舍), 故△ABC 的周长为a+b+c=8+7+5=20.18.(2014北京文,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC,AA 1=AC=2,BC=1,E,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1; (2)求证:C 1F ∥平面ABE; (3)求三棱锥E-ABC 的体积.解析 (1)证明:在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC,BB 1∩BC=B,所以AB ⊥平面B 1BCC 1.又因为AB ⊂平面ABE,所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明:取AB 的中点G,连接EG,FG.因为G,F 分别是AB,BC 的中点, 所以FG ∥AC,且FG=12AC.因为AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,且E 为A 1C 1的中点, 所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1. 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE,C 1F ⊄平面ABE, 所以C 1F ∥平面ABE.(3)因为AA 1=AC=2,BC=1,AB ⊥BC, 所以AB=√AC 2-BC 2=√3. 所以三棱锥E-ABC 的体积V=13S △ABC ·AA 1=13×12×√3×1×2=√33. 19.(2022届山东济宁一中开学考,18)为提高教育教学质量,越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式.某校对高一新生是否适应寄宿生活十分关注,从高一新生中随机抽取了100人,其中男生占总人数的40%,且只有20%的男生表示自己不适应寄宿生活,女生中不适应寄宿生活的人数占高一新生抽取总人数的32%,学校为了调查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关,构建了如下2×2列联表:不适应寄宿生活适应寄宿生活合计男生 女生 合计(1)请将2×2列联表补充完整,并判断能否有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关; (2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层随机抽样的方法随机抽取10人,再从这10人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“不适应寄宿生活”的人数为X,求随机变量X 的分布列及数学期望. 附:K 2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.63510.828解析 (1)根据题意填写列联表如下:不适应寄宿生活适应寄宿生活合计 男生 8 32 40 女生 32 28 60 合计4060100K 2=100×(8×28−32×32)240×60×40×60≈11.11,因为11.11>6.635,所以有99%的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关.(2)用分层随机抽样的方法随机抽取10人,有2人不适应寄宿生活,8人适应寄宿生活, 所以随机变量X 的可能取值是0,1,2,P(X=0)=C 82C 102=2845,P(X=1)=C 81·C 21C 102=1645,P(X=2)=C 22C 102=145,所以随机变量X 的分布列为X 012P28451645145数学期望E(X)=0×2845+1×1645+2×145=25.20.(2021河南尖子生诊断性考试,21)已知函数f(x)=e x-ax 2(其中e 为自然对数的底数,a 为常数). (1)若f(x)在(0,+∞)上有极小值0,求实数a 的值; (2)若f(x)在(0,+∞)上有极大值M,求证:M<a.解析 (1)f '(x)=e x-2ax.设f(x 0)=0(x 0∈(0,+∞)),则f '(x 0)=0.由{e x 0-ax 02=0,e x 0-2ax 0=0,解得x 0=2,a=e 24.经检验,a=e 24满足f(x)在(0,+∞)上有极小值,且极小值为0.故a=e 24.(2)证明:设f(x)在(0,+∞)上的极大值点为x 1,则f '(x 1)=0,即e x 1-2ax1=0,则有a=e x 12x 1. 此时M=f(x 1)=e x 1-a x 12.故M-a=e x 1-a x 12-a=e x 1-a(x 12+1)=e x 1-(x 12+1)·e x 12x 1=e x 1·[1−12(x 1+1x 1)]≤0(当且仅当x 1=1时取等号).而当x 1=1时,a=e 2,f '(x)=e x -ex,f ″(x)=e x-e,x ∈(0,1)时,f ″(x)<0,x∈(1,+∞)时,f ″(x)>0.则f '(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f '(1)=0.则f '(x)≥f '(1)=0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)在(0,+∞)上无极值. 与已知条件矛盾,故x 1≠1,则M-a<0,即M<a.21.(2021湖南六校4月联考,21)已知A,B 分别为椭圆E:x 2a 2+y 23=1(a>√3)的左,右顶点,Q 为椭圆E 的上顶点,AQ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1. (1)求椭圆E 的方程;(2)已知动点P 在椭圆E 上,定点M (-1,32),N (1,−32).①求△PMN 的面积的最大值;②若直线MP 与NP 分别与直线x=3交于C,D 两点,问:是否存在点P,使得△PMN 与△PCD 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.解析 (1)由题意得A(-a,0),B(a,0),Q(0,√3),则AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,-√3),由AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得a 2-3=1,解得a=2,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)①设P(2cos θ,√3sin θ),易知直线MN:y=-32x,即3x+2y=0,点P 到直线MN 的距离d=√3sinθ|√13=4√3|sin (θ+π3)|√13≤4√3913,又|MN|=√13,则S △PMN =12|MN|·d ≤2√3,即(S △PMN )max =2√3.②设P(x 0,y 0),由①知|MN|=√13,点P 到直线MN 的距离d 1=00√13,则S △PMN =12|MN|·d 1=12|3x 0+2y 0|.直线MP:y=y 0-32x 0+1(x+1)+32,令x=3,可得C (3,4y 0-6x 0+1+32);直线PN:y=y 0+32x 0-1(x-1)-32,令x=3,可得D (3,2y 0+3x 0-1-32),则|CD|=|(3x 0+2y 0)(x 0-3)x 02-1|,又P 到直线CD 的距离d 2=|3-x 0|,则S △PCD =12|CD|·d 2=12|3x 0+2y 0x 02-1|·(3-x 0)2,∵△PMN 与△PCD 的面积相等,∴12|3x 0+2y 0|=12|3x 0+2y 0x 02-1|·(3-x 0)2,故3x 0+2y 0=0(舍)或|x 02-1|=(3-x 0)2,解得x 0=53,代入椭圆方程得y 0=±√336,故存在点P 满足题意,点P 的坐标为(53,√336)或(53,-√336). (二)选做题(从下面两道题中选一题做答)22.(2021郑州一中周练(二),22)已知平面直角坐标系xOy,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,P 点的极坐标为(3,π3),曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos (θ-π3).(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程;(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 的中点M 到直线l:ρcos θ+2ρsin θ=2√3的距离的最小值. 解析 (1)点P 的直角坐标为(32,3√32).由ρ=2cos (θ-π3)得ρ2=ρcos θ+√3ρsin θ①,将ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,ρsin θ=y 代入①,整理可得曲线C 的直角坐标方程为(x -12)2+(y -√32)2=1.(2)直线l:ρcos θ+2ρsin θ=2√3的直角坐标方程为x+2y-2√3=0.设点Q 的直角坐标为12+cos θ,√32+sin θ, 则M (1+cosθ2,√3+sinθ2), 所以点M 到直线l 的距离d=|(1+cosθ2)+2(√3+sinθ2)-2√3|√12+22=2√5=√5sin(θ+φ)|2√5,其中tan φ=12.所以点M 到直线l:ρcos θ+2ρsin θ=2√3的距离的最小值为0. 23.(2021山西运城月考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|. (1)解不等式f(x)≤6;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的最小值为m,若a,b,c ∈R,且a+2b+3c-m=0,求a 2+b 2+c 2的最小值.解析 (1)f(x)={ -3x,x ≤−1,-x +2,−1<x <12,3x,x ≥12.当x ≤-1时,令f(x)≤6,解得x ≥-2,则-2≤x ≤-1; 当-1<x<12时,令f(x)≤6,解得x ≥-4,则-1<x<12;第 11 页 共 11 页 当x ≥12时,令f(x)≤6,解得x ≤2,则12≤x ≤2. 所以-2≤x ≤2.故f(x)≤6的解集为[-2,2].(2)g(x)=f(x)+|x+1|=|2x-1|+2|x+1|=|2x-1|+|2x+2|≥|2x-1-(2x+2)|=3, 当且仅当(2x-1)(2x+2)≤0时取“=”,∴m=3,∴a+2b+3c=3.由柯西不等式得(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=9,整理得a 2+b 2+c 2≥914,当且仅当a 1=b 2=c 3,即a=314,b=37,c=914时“=”成立,故a 2+b 2+c 2的最小值是914.。

2020届天一中学第二学期数学综合练习( 2 )一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．已知集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}lg 0B x x =>，则A U B = ___▲__.2．若复数 z 满足1z i i ⋅=-（ i 是虚数单位），则 z 的虚部为__▲__.3．如图是一个算法的流程图，则输出的 k 的值为 ▲ ．4．设样本数据122020,,,x x x ⋅⋅⋅的方差是 4 ，若()211,2,,2020i i y x i =-=⋅⋅⋅，则122020,,,y y y ⋅⋅⋅的方差为__▲__．5．疫情期间，某校开设5门不同的线上选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为___▲__.6．等比数列{}n a 中，11a =，前 n 项和为n S ，满足654320S S S -+=，则5S = __▲__.7．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线 y ＝3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是__．8．已知1sin cos ,05αααπ+=<<，则2sin sin 2αα+= __▲__. 9． 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()'0xf x f x +<，则()()()1133x f x f -->的解集为___▲___.10．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2 ， BC 平行于 x 轴，顶点 A ， B 和 C 分别在函数123log ,2log a a y x y x ==和()3log 1a y x a =>的图象上，则实数 a 的值为 ▲ ．11．定义：如果函数y=f(x)在区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数y=f(x)在区间[],a b 上的一个均值点，已知函数()142x x f x m +=--在区间[]0,1上存在均值点，则实数 m 的取值范围是_▲___.12．已知01,01a b <<<<，且44430ab a b --+= ，则12a b+的最小值是__▲__. 13． 已知函数()3241f x x ax x =-+++在(0,2]上是增函数，函数()ln 2ln g x x a x =--，若312,,x x e e ⎡⎤∀∈⎣⎦（e 为自然对数的底数）时，不等式()()125g x g x -≤恒成立，则实数 a的取值范围是__▲__.14．在平面直角坐标系 xOy 中，A 和 B 是圆()22:11C x y -+=上两点，且2AB =，点 P的坐标为 (2,1) ，则2PA PB -u u u r u u u r的取值范围为__▲___.二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分 14 分） 已知函数()213cos 22sin 4f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间． （2）若方程()0f x m -=在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围．16．（本题满分 14 分）如图，已知 PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是矩形，PA= AB =1，AD =3 ， F 是 PB 中点，点 E 在 BC 边上． （1） 求证： AF ⊥ PE ；（2）若EF / / 平面 PAC ，试确定 E 点的位置．请你设计一个包装盒， ABCD 是边长为 102cm 的正方形硬纸片（如图 1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得 A ， B ， C ， D 四个点重合于图 2 中的点 P ，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图 2 所示），设正四棱锥P −EFGH 的底面边长为x (cm) .（1）若要求包装盒侧面积 S 不小于752cm ，求 x 的取值范围； （2）若要求包装盒容积()3V cm 最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的容积.18（本题满分 16 分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>焦距为 2，右焦点到右准线的距离为 1，（1）求椭圆 C 的方程；（2）圆 A 以椭圆的右顶点为圆心， r 为半径，若存在过原点的直线:l y kx =交椭圆 C 于M , N 两点，交圆 A 于 P ， Q 两点，点 P 在线段 MN 上，且 MP =NQ ，求圆 A 的半径r 的取值范围.已知数列{}n a 的前 n 项和n S 满足()()*231n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()111n n n n a b a a +=--，n T 是数列{}n b 的前 n 项和，若对任意的*n N ∈，不等式141n kT n >-+都成立，求实数 k 的取值范围；（3）记2n n n a c a =+，是否存在互不相等的正整数 m ， s ， t ，使 m ， s ， t 成等差数列，且1,1,1m s t c c c ---成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的 m ， s ， t ；如果不存在，请说明理由.20．（本题满分 16 分） 已知函数()332,0.f x x ax a =+-->（1）当2a =时，求函数()y f x =的单调递增区间； （2）若函数()y f x =只有一个零点，求实数 a 的取值范围；（3）当01a <<时，试问：过点()2,0P 存在几条直线与曲线()y f x =相切？。

绝密★启用前2020届天一大联考高三阶段性考试（二）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}23{10},1A x B y y x x=-<==+，则()R A B =I ð（ ） A ．{01}x x << B ．{13}x x ≤< C ．{13}x x << D ．{03}x x ≤<答案：A根据分式不等式的解法以及二次函数的值域分别求解,A B ,再求解即可. 解： 由310x-<,得03x <<,即{|03}A x x =<<,由211y x =+…,得{|1}B y y =…,所以{}|1R B x x =<ð,故()R A B =I ð{01}x x <<. 故选：A 点评：本题考查集合的表示､运算以及不等式的解法,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得22001sin 2019cos 20192x x += B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x < C ．0x R ∃∈，使得2001x x +=- D ．1(1,),0x x x∀∈+∞-> 答案：D根据存在性和任意性的定义进行判断即可. 解：因为x ∀∈R ，22sin 2019cos 20191x x +=，故A 是假命题；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin cos x x „，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x >，故B 是假命题；x ∀∈R ，221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，故C 是假命题；因为1x >，所以1(0,1)x ∈，所以10x x->，故D 是真命题． 故选：D 点评：本题考查逻辑联结词、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想． 3．已知0.10.520190.12,0.5,log 0.1a b c ===，则（ ） A ． a b c >> B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>答案：B分别计算,a b 的大致范围,利用指数函数的单调性,再计算得2019c =判断即可. 解： 因为0.12(1,2)a =∈,10.520.52b -==,根据指数函数2x y =的单调性,知a b >.又20190.1log 0.12019c ==,所以b a c <<.故选：B 点评：本题考查指对数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.4．已知向量(1,2),2(3,1)a a b =-+=-r r r，则b =r （ ）A ．B ．5C ．D ．2答案：A根据平面向量线性运算的坐标表示公式，通过解方程组求出向量b r的坐标，再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 解：设(,)b x y =r ，所以2(2,4)a b x y +=+-+r r ．因为2(3,1)a b +=-r r ，所以23,4 1.x y +=-⎧⎨-+=⎩解得5,5.x y =-⎧⎨=⎩所以(5,5)b =-r ，所以||b ==r ．故选：A 点评：本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ） A ．234升 B ．468升C ．639升D ．903升答案：C根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 解：由题意可知每天派出的人数构成等差数列， 记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 点评：本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可. 解：因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.故选：C. 点评：本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想.7．已知α为第三象限角sin(2019)3πα-=-，则2sin 2cos 1αα++=（ ）A ．139BC ．-D ．139-答案：A根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 解：因为sin(2019)πα-=sin 3α=-．又因为α为第三象限角，所以2cos 3α=-．所以2222213sin 2cos 12sin cos cos 121.3339ααααα⎛⎛⎫⎛⎫++=++=⨯-⨯-+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A 点评：本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力． 8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，当 0x <时，()ln(1)g x x =--，且3,0()(),0x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x ->，则实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)--D ．(2,1)-答案：D根据奇偶性求解当0x >时()g x 的解析式,再根据函数()f x 的单调性求解即可. 解：若0x >,则0x -<,因为()g x 是R 上的奇函数,所以()()ln(1)g x g x x =--=+,所以3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧=⎨+>⎩…则函数()f x 是R 上的增函数,所以当()22()f x f x ->时,22x x ->,解得21x -<<. 故选：D 点评：本题考查函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想.9．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.A ．128B ．64C ．164D ．1128答案：B画出可行域,再求解2x y -的最大值即可. 解：不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2xy =是增函数,所以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.故选：B 点评：本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想. 10．函数()2cos()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的一个单调递减区间为（ ）A ．,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：B根据余弦型函数的最高点和零点求出最小正周期，根据最小正周期公式求出ω的值，再根据最高点的坐标，求出ϕ的值，这样求出余弦型函数的解析式，根据解析式求出单调递减区间，四个选项逐一判断即可. 解：由图知，函数()f x 的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．因为0>ω，所以2ππω=，得2ω=．所以()2cos(2)f x x ϕ=+．因为点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上，所以cos 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222()3k x k k ππππ-+∈Z 剟，得2()63k x k k ππππ++∈Z 剟．只有22,,()3263k k k ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z . 故选：B 点评：本题考查余弦型函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想． 11．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-答案：D根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 解：由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 点评：本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.12．已知函数32()232010f x x ax bx =-++的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．若0[3,5]x ∃∈使得0()2020f x ≥成立，则实数b 的取值范围为（ ）． A ．10,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,6)-∞-C ．[6,)-+∞D ．10,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭答案：C对函数进行求导，根据对称轴求出a 的值，根据存在性的定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 解：依题意，得2()623f x x ax b '=-+．因为函数()f x '的图象关于直线1x =对称，所以2112a--=，解得6a =，所以32()2632010f x x x bx =-++．因为0[3,5]x ∃∈使得()02020f x …成立，即使得3200026320102020x x bx -++…成立，所以[3,5]x ∈时，2min233103223b x x ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…．设223310()3223g x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在[3,5]上单调递减，所以当5x =时，函数()g x 在[3,5]上取得最小值为6-，所以实数b的取值范围为[6,)-+∞． 故选：C 点评：本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想．二、填空题13．若函数4()32xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________．答案：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．根据零点存在原理进行求解即可. 解：由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭点评：本题考查零点存在原理的应用，考查运算求解能力．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,6a c ==，cos 45B =，则sin A =______.答案：13根据余弦定理求得b =再根据同角三角函数公式求解得3sin 5B =,再利用正弦定理求解sin A 即可. 解：由余弦定理,得2222cos 13b a c ac B =+-=.所以b =.又由cos 45B =,(0,)B π∈得3sin 5B =.由正弦定理得5sin 5A =.解得sin 13A =.点评：本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 15．已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为________. 答案：164根据821(0,0)a b a b +=>>配凑出18216ab a b =⨯⨯再利用基本不等式求解即可. 解：211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…,当且仅当116a =,14b =时取等号,所以ab 的最大值为164. 故答案为：164点评：本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知114,29(2)n n a a a n -==-+≥.若对任意的偶数,n ,(3)4n n N S n λ*∈-≥恒成立，则实数λ的最小值为____________.答案：8根据所给的递推公式构造等比数列{}3n a -,继而求得{}n a 的通项公式1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,再代入(3)4n S n λ-≥化简得解：由数列的递推公式,得()()1233n n a a --=--,即()11332n n a a --=--.又1310a -=≠,所以13132n n a a --=--,则数列{}3n a -是首项为131a -=,公比为12-的等比数列,故11312n n a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,所以1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,题中的不等式即211432nλ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…. 因为n 为偶数,所以不等式等价于211432n λ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭…,整理得3462111122n nλ⨯=--…, 设6()112n f n =-,则因为311142n ≤-<,故668112n<≤-.所以()8f n ≤,故8λ…. 故要使不等式对任意的正偶数n 都成立,λ的最小值为8.故答案为：8 点评：本题考查数列的递推公式､等比数列的前n 项和公式､数列的性质,考查推理论证能力以及化归转化思想.三、解答题17．已知:p 指数函数()(21)xf x a =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 答案：1,1[2,)2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U . 求出:p 112a << ，:q a ＞2，由“p 或q ”为真命题，“p 且q 为假命题，得p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数a 的取值范围． 解：若p 真，则()(21)xf x a =-在R 上单调递减.所以0211a <-<，即112a << 若q 真，令22()321g x x ax a =-++，则应满足()222(3)421021030a a a a ⎧--+≥⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，解得2a ≥因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.①若p 真q 假，则1122a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩所以112a <<.②若p 假q 真，则1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，所以2a ≥. 综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知角,,B A C 成等差数列．（1）若ABC V的外接圆半径为a ；（2）若cos cos 2c B b C +=，求ABC V 的面积的最大值．答案：（1）6；（2（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.解：（1）因为ABC V 中，角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+．又因为A B C π++=，所以3A π=．因为ABC V的外接圆半径为62a ==． （2）由222222cos cos 2222a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⇒⋅+⋅=，可得2a =． 由（1）的解题过程及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc +-=． 由222b c bc +…可得04bc <„，所以ABC V的面积1sin 2S bc A =„2b c ==时，等号成立）． 故ABC V点评：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．19．已知正项等比数列{}n a ，42329,6a a a a =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）13-=n n a .（2）113244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ (1) 设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据基本量法求解即可.(2)代入(1)中{}n a 的通项公式可得13n n b n -=⋅,再利用错位相减求解即可. 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,因为数列{}n a 是等比数列,所以由429a a =,得2229a q a =.因为0n a >,所以3q =.因为326a a -=,所以226a =,即23a =,所以11a =.所以13-=n n a .（2）由（1）得13-=n n a ,所以13n n b n -=⋅. 所以01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L , 则12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L .两式相减,得1211311213333331322n n nn n n T n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭L . 所以113244n n n T ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭. 点评： 本题考查等比数列的性质以及错位相减求和,考查推理论证能力以及化归转化思想.20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1113,233(2)n n n n a S S S S n --=-+=≥（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使120n a ≥成立的n 的最大值． 答案：（1）3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩…；（2）6.（1）根据n S 是否能为零，分类讨论可以判断n S 不能为零，这样将等式两边同除以1n n S S -并整理，这样根据等差数列的定义求出n S 的通项公式，然后再利用当2n …时，1n n n a S S -=-进行求解即可；（2）由已知得到不等式，解不等式进行求解即可.解：（1）当2n …时，若0n S =，则由11233n n n n S S S S --+=，得10n S -=，这与113a S ==-相矛盾，所以0n S ≠．由11233n n n n S S S S --+=，等式两边同除以1n n S S -并整理，得11123n n S S --=-． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1113S =-，公差23d =-的等差数列． 所以321n S n -=-． 所以当2n …时，13362123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=+=----． 又因为13a =-，不符合上式，所以3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… （2）由（1）知3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… 易知使不等式成立的2n …．所以由题意，得61(21)(23)20n a n n =--…，整理，得2483120n n -+„．所以2 6.5n 剟． 所以使120n a …成立的n 的最大值是6． 点评：本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想．21．已知函数3()8cos 3cos 212cos f x x x x =--（1）设正实数T 满足()(0)f T f =，求T 的最小值；（2）当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 答案：（1）2π；（2）713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （1）利用余弦的二倍角公式把函数的解析式化成关于cos x 的形式，根据()(0)f T f =，结合因式分解可以求出T 的值；（2）利用换元法，结合导数进行求解即可.解：（1）由题意得()3232()8cos 32cos 112cos 8cos 6cos 12cos 3f x x x x x x x =---=--+． 由()(0)f T f =可得324cos 3cos 6cos 50T T T --+=，即2224cos (cos 1)cos 6cos 54cos (cos 1)(cos 1)(cos 5)T T T T T T T T -+-+=-+--()22(cos 1)4cos cos 5(cos 1)(4cos 5)0T T T T T =-+-=-+=．所以cos 1T =或5cos 4T =-． 5cos 4T =-显然不成立，所以cos 1T =． 所以()*2T k k π=∈N ，所以T 的最小值为2π．（2）由（1）得32()8cos 6cos 12cos 3f x x x x =--+． 设cos t x =，32()86123g t t t t =--+，所以2()241212g t t t '=--． 因为,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦． 由()0g t '=得12t =-或1t =，由()0g t '>得12t <-或1t >，由()0g t '<得112t -<<． 所以()g t 在11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．又11322g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1g -=，1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以713(),22g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 点评：本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，以及利用导数研究函数性质，考查运算求解能力、推理论证能力以及转化与化归的思想．22．已知函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈ （1）若3a e =，求()f x 的单调区间；（2）当(1,]x e ∈时，不等式()2e f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1.65≈答案：（1）()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ；（2）e ⎡-⎢⎣． （1）对函数进行求导，再通过构造新函数，根据新函数的零点结合()f x 的导函数进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，构造新函数，结合新函数的正负性结合()f x 的导函数可以判断出函数()f x 的单调性，然后根据题意，列出不等式组，解不等式组即可. 解：（1）若3a e =，则2()(3)ln f x x e x =-．2(3)3()2(3)ln (3)2ln 1x e e f x x e x x e x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设3()2ln 1e g x x x=+-． 易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0g e =，所以e 是()g x 的唯一零点．所以当(0,)x e ∈时，()0f x '>；(,3)x e e ∈时，()0f x '<；(3,)x e ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ．（2）由题意得2()()2e f e e a =-…，解得22e a e -+2()()2()ln ()2ln 1x a a f x x a x x a x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且2()33e a h e ee =--…20=>． 因为()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 存在唯一零点0x ，且01x a <<，01x e <<．从而当()00,x x ∈时，()0f x '>；()0,x x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 要使()2e f x „对任意(1,]x e ∈恒成立，只需()()20002ln ,2()().2e f x x a x e f e e a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②„„ 由()0002ln 10a h x x x =+-=，得0002ln a x x x =+．③ 将③代入①中，整理得2300ln 8e x x „．因为01x >，注意到23ln y x x =在(1,)+∞上单调递增，故01x <„再由③以及2ln y x x x =+在(1,)+∞上单调递增，得1a <„．由②解得22e a e -+，所以2e a -． 所以a的取值范围为e ⎡-⎢⎣． 点评：本题考查导数的计算、利用导数研究函数的单调性和极值以及解决不等式恒成立问题，考查运求解能力和推理论证能力．。

2020届江苏省无锡市天一中学高三下学期6月模拟数学试题一、填空题1．命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是______． 【答案】()1,2x ∃∈，21x ≤【解析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 【详解】由全称命题的否定可知，命题“()1,2x ∀∈，21x >”的否定是：()1,2x ∃∈，21x ≤. 故答案为：()1,2x ∃∈，21x ≤. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.2．在等差数列{}n a 中，已知该数列前10项的和为10120S =，那么56a a +=______． 【答案】24；【解析】根据等差数列的前10项和以及等差数列的性质，即可得答案； 【详解】1101011010()120120242a a S a a ⋅+=⇒=⇒+=，1510624a a a a +==+，故答案为：24. 【点睛】本题考查等差数列的前n 和项公式以及等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题.3．若幂函数ny mx =（m ，n R ∈）的图象经过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则m n +=______．【答案】13【解析】根据幂函数的定义及图象过点，可得,m n 的值，即可得答案； 【详解】幂函数ny mx =（m ，n R ∈），∴1m =，∴321282243n n n -=⇒=⇒=-， ∴13m n +=，故答案为：13.【点睛】本题考查根据幂函数的定义及图象过点求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 4．已知(1,2)a m =，(2,)b m =-，则“1m =”是“a b ⊥”的______条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要；【解析】根据向量垂直的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当1m =时，()122220a b m m ⋅=⨯+⨯-=-=，即a b ⊥ 当a b ⊥时，()2122220a b m m m ⋅=⨯+⨯-=-=，解得1m =±即“1m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件 故答案为：充分不必要 【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，涉及了向量垂直的坐标公式，属于中档题. 5．设直线是3y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是______． 【答案】3ln33-+； 【解析】设出切点坐标()00,x P x e，利用导数的几何意义写出在点P 处的切线方程，由直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线，根据对应项系数相等可求出实数b 的值． 【详解】,x x y e y e '=∴=设切点()00,x P x e则在点P 处的切线方程为()000xx y e e x x -=-整理得0000xxxy e x e x e =-+直线是3y x b =+是曲线xy e =的一条切线003,ln 3x e x ∴==，0003ln 33x x e x e b =--+=+故答案为：3ln33-+ 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题题.6．在ABC 中，14a =，b =60B =︒，则c =______．【答案】(71+；【解析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可知(2221142142c c =+-⨯⨯⨯即214980c c --=解得：(71c =或(71c =（舍）故答案为：(71【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.7．设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ①若m n ⊥，m α⊂，则n α⊥； ②若m α⊥，//n m ，则n α⊥； ③若//n α，m α⊂，则//n m ； ④若//m α，//n α，则m n ⊥； 其中真命题是______．（写出所有真命题的序号） 【答案】②；【解析】对①，n 不一定垂直α；对②，根据线面垂直的性质；对③，直线,n m 可能异面；对④，,n m 可能平行. 【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，对①，取直线n 为1AA ，直线m 为CD ，平面α为面11A B CD ，显然n α⊥不成立，故①错误；对②，根据线面垂直的性质，故②正确； 对③，直线,n m 可能异面，故③错误；对④，取直线,n m 分别为直线11A B 、11C D ，α为平面ABCD ，显然,n m 平行，故④错误； 故答案为：②. 【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题. 8．已知函数()25f x x x =-，数列{}n a 的通项公式为()*6n a n n n=+∈N ．当()14n f a -取得最小值时，n 的所有可能取值集合为______．【答案】{}1,6；【解析】令()25()1420.252n n g n f a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，借助导数得出5n a ≥，要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25，令26520.252n n ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解出n 的值，即可得出答案. 【详解】令()225()1451420.252n n n n g n f a a a a ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭令6(),0h x x x x =+>，22266()1x h x x x -'=-=()0()00h x x h x x ''>⇒><⇒<<则函数()h x 在上单调递减，在)+∞上单调递增 由26252a =+=，36353a =+=，得数列{}n a 的最小值为5，即5n a ≥ 要使得()g n 最小，2652n n ⎛⎫+- ⎪⎝⎭要尽量接近20.25∴令26520.252n n ⎛⎫+-=⎪⎝⎭ 652n n ∴+-=5n a ≥62.57n n∴+=+= 解得1n =或6即n 的所有可能取值集合为{}1,6 故答案为：{}1,6 【点睛】本题主要考查了确定数列中的最小项，属于中档题. 9．下列四个命题：①函数()sin f x x x =是偶函数；②函数()44sin cos f x x x =-的最小正周期是π；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度可以得到()3sin 2f x x =的图象；④函数()sin 2f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上是减函数． 其中是真命题的是______．（写出所有真命题的序号）【答案】①②③；【解析】①利用函数奇偶性的定义判断；②将函数转化为()cos2f x x =-判断；③利用图象的变换判断；④将函数转化为()cos f x x =-判断. 【详解】①因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，所以()f x 是偶函数，故正确； ②因为()4422sin cos sin cos cos2f x x x x x x =-=-=-，所以()f x 最小正周期是π，故正确；③把函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到3sin 23sin 263y x x π⎡π⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故正确；④因为()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,π上是增函数，故错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，对于任意的正整数n 都有11n n a a +⋅≠，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，则2012S =______．【答案】4023．【解析】再写一式，两式相减可推断出3n n a a +=，进而可知数列{}n a 是以3为周期的数列，通过11a =，22a =，求得3a ，而201236702=⨯+，故可知2012S 的答案． 【详解】依题意可知，1212n n n n n n a a a a a a ++++=++，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=++， 两式相减得12121()n n n n n n a a a a a a ++-+--=-，11n n a a +≠，210n n a a +-∴-=，即3n n a a +=， ∴数列{}n a 是以3为周期的数列，123123a a a a a a =++，33a ∴= 2012670(123)124023S ∴=⨯++++=故答案为：4023． 【点睛】本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性． 11．常数a ，b 和正变量x ，y 满足16a b ⋅=，212a b x y +=，若2x y +的最小值为64，则b a =______． 【答案】64【解析】由()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】()2222a b x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()()2224242432bx ay a b a b a b y x ⎛⎫=+++≥++=++ ⎪⎝⎭所以()243264a b ++=，416a b +=，又16ab =，所以8a =，2b =，64b a =． 故答案为：64 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.12．已知ABC 中，AB 边上的中线2CM =，若动点P 满足()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈，则()PA PB PC +⋅的最小值是______．【答案】2-【解析】由条件可得P 在线段CM 上，然后()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设PMx =，则可得()()22PA PB PC x x +⋅=--，然后利用二次函数的知识可得答案.【详解】 由()221sin cos 2AP AB AC R θθθ=⋅+⋅∈， 得22sin cos AP AM AC θθ=+，因为22sin cos 1θθ+=，P 在线段CM 上()22PA PB PC PM PC PM PC +⋅=⋅=-⋅，设,02PM x x =≤≤，则()()2222(1)22PA PB PC x x x +⋅=--=--≥-．故答案为：2-【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，注意应用三点共线的充要条件，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.13．若函数()()30f x x ax a -=>的零点都在区间[]10,10-上，则使得方程()1000f x =有正整数解的实数a 的取值的个数为______．【答案】3【解析】由()0f x =以及题设条件得出100a ≤，利用导数得出函数()f x 的单调性以及极大值，进而确定方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上，再21000100x x-≤得出11,12,13x =，从而得出a 取值的个数. 【详解】函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上 又()32()0f x x ax x x a =-=-=,令()0f x = 0x ∴=或x a =函数3()(0)f x x ax a =->的零点都在区间[10,10]-上10100a a ∴≤()f x '=23x a -,令()0f x '=解得3a x =当3a x >或3a x <-时,()0f x '> 当33aax -<<时,()0f x '< 则函数()f x 在,3a ⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭，,3a⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减 ∴当3ax =-时,有极大值,32()()()3333333a a a a a f a -=--⨯-=≤1000,(10)100010100033f a <=-< 结合函数的单调性3()(0)f x x ax a =->，知方程()1000f x =有正整数解在区间()10,+∞上此时令31000x ax -=,可得21000x a x-= 此时有21000a x x =-,由于x 为大于10的整数 由上知21000100x x-≤,令11,12,13x =时,不等式成立 当14x =时,有21000614196711001414-=-> 故可得a 的值有三个 故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.14．设,a b 均大于1的自然数，函数()()()sin ,cos f x a b x g x b x =+=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=___________． 【答案】【解析】试题分析：由题设可得,即,因,且存在使得这个式子成立,所以,因为,所以,即,也即,当时,,此时不成立;当时,,,不等式成立;当时,,则,矛盾, 不等式成立.故,则,应填答案.【考点】三角变换公式、正弦函数的有界性及不等式成立的条件的综合运用． 【易错点晴】本题设置了一道以方程()()f m g m =为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在转化化归思想的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供的信息,将问题等价转化为方程,即有解问题.解答时先利用构造不等式,然后再分析推证,从而获得答案.二、解答题15．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=． （I ）求角B 的大小；（Ⅱ）设(sin ,1),(3,cos 2)m A n A ==，试m n ⋅求的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵(2)cos cos a c B b C -=，∴C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=⋅-， ∴C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2+=⋅A CB sin )sin(=+=∵π<<A 0，∴0sin ≠A ，∴21cos =B ， 又π<<B 0，∴3π=B ． …………………………………………………………6分（Ⅱ）A A n m 2cos sin 3+=⋅A A 2sin 21sin 3-+=817)43(sin 22+--=A ，………8分 ∵ABC ∆是锐角三角形，3π=B ，AC -=32π， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<232020πππA A ⇔26ππ<<A ，………………………………………………10分∴)1,21(sin ∈A ，∴当43sin =A 时，n m ⋅取最大值817；且2>⋅n m ， ∴]817,2(∈⋅n m ． …………………………………………………………………12分【解析】略16．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BAC ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）//MN 平面11ACC A ，证明见解析.【解析】（1）根据1CC ⊥平面ABC ，得到1CC AB ⊥．又90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）//MN 平面11ACC A ，取AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ，由三角形中位线得到1//,2DN AB DN AB =，从而11//,A M DN A M DN =，得到四边形1A DNM 是平行四边形，所以1//A D MN ，再由线面平行的判定定理证明.【详解】（1）因为1CC ⊥平面ABC ，又AB 平面ABC ，所以1CC AB ⊥． 因为90BAC ∠=︒， 所以AC AB ⊥， 且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ， 所以AB AC ⊥．（2）//MN 平面11ACC A ．证明如下：如图所示：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ． 因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以1//,2DN AB DN AB =． 又11112A MA B ， 而1111//,=A B AB A B AB ， 所以11//,A M DN A M DN =． 所以四边形1A DNM 是平行四边形． 所以1//A D MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， 所以//MN 平面11ACC A ． 【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定定理以及平面几何知识，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题. 17．已知函数()lg(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数. (1)求函数()f x 的定义域；(2)当(1,4)a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； (3)若对任意[2,)x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围.【答案】（１）当1a >时，定义域为()0,∞+，当1a =时，定义域为()()0,11,+∞，当01a <<时，定义域为(()0,11⋃+∞；（２）lg 2a ；（３）()2,+∞． 【解析】（１）由20ax x+->对a 分两种情况：一、1a >；二、01a <<．求两种情况下定义域；（２）令()2a g x x x =+-，求导知()2ag x x x=+-在[)2,+∞上是增函数，由此得()f x 在[)2,+∞上为增函数，最小值为()2lg 2af =；（３）本题转化为21a x x+->即23a x x >-恒成立，进而转化为求2()3h x x x =-在[)2,x ∈+∞的最大值．【详解】（1）由20a x x +->,得220x x ax-+>,1a >时,220x x a -+>恒成立, 定义域为()0,∞+,1a =时, 定义域为()()0,11,+∞，01a <<时, 定义域为(()0,11⋃++∞.（2）设()2ag x x x=+-,当()1,4a ∈时， [)2,x ∈+∞,()222'10a x ag x x x -=-=>恒成立, ()2ag x x x∴=+-在[)2,+∞上是增函数, ()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上是增函数,()lg 2a f x x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上的最小值为()2lg 2a f =.（3）对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >,即21ax x+->对[)2,x ∈+∞恒成立.23a x x ∴>-, 而()2239324h x x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭在[)2,x ∈+∞上是减函数,()()max 2 2.2h x h a ∴==∴>, 即a 的取值范围为()2,+∞. 【考点】对数函数的定义域；导数求函数单调性；二次函数的最值． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1517a a +=． （1）若{}n a 为等差数列，且856S = ①求该等差数列的公差d ；②设数列{}n b 满足3nn b a =⋅，则当n 为何值时，n b 最大？请说明理由；（2）若{}n a 还同时满足： ①{}n a 为等比数列; ②2416a a =；③对任意的正整数k 存在自然数m ，使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，试求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）①1d =-；②当10n =或11n =时，n b 最大；（2）()12n n a -=-.【解析】（1）①利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，建立方程组，即可求得该等差数列的公差d ；②求出{}n a 的通项公式，进而得到{}n b 的通项公式，利用1n n b b +-，判断{}n b 的单调性，进而得解；（2）根据等比数列的性质，并结合1517a a +=，初步确定{}n a 的通项，再根据等差数列的性质，即可求得{}n a 的通项公式. 【详解】（1）①由1517a a +=，856S =，得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩﹐解得1212a =，1d =-，该等差数列的公差1d =-. ②由①知1212a =，所以()()()1211112232n a a n n d n =+-=+-⨯=--， 则23332nnn n n a b ⎛⎫==⋅-⎝⋅⎪⎭， 1121233322n n n n b b n n ++⎛⎫⎛⎫-=⋅--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21233322n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]2310n n =⨯⋅-所以1110b b =，且当10n ≤ 时，{}n b 单调递增，当11n ≥时，{}n b 单调递减， 故当10n =或11n =时，n b 最大.（2）因为{}n a 是等比数列，则241516a a a a ==， 又1517a a +=， 所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩，由15116a a =⎧⎨=⎩，得141116a a q =⎧⎨=⎩，解得1q =±， 由15161a a =⎧⎨=⎩，得141161a a q =⎧⎨=⎩，解得12q =±，从而12n na 或()12n n a -=-或11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭或11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列，得22k k m S S S +=+，而公比1q ≠， 所以()()()21111112111k k m a q a q a q qqq+---=+---，即22k k m q qq +=+，从而22m kq q -=+（）当12n na 时，（）式不成立；当()12n n a -=-时，解得1m k =+；当11162n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭时，（）式不成立；当11162n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭时，（）式不成立．综上所述，满足条件的()12n n a -=-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、数列的单调性、等比数列的前n 项和公式、等差数列的性质及等比数列的性质，考查基本公式的应用及运算求解能力，熟记公式是本题的解题关键，属于中档题. 19．给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，①请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； ②试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（2）设正三角形铁皮的边长为a ，将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【答案】（1）①答案见解析；②V V >柱锥；（2）当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ． 【解析】①可以利用正三角形的图形特征，进行分割 ②直接求解比较大小即可 (2) 设箱底边长为x ，列出()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<，利用求导的方法求出最值点，据此即可求解 【详解】解：（1）①如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥． 如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形， 其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起， 可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底． ②依上面剪拼方法，有V V >柱锥． 推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形， 其面积为3．现在计算它们的高： 22361323h ⎛⎫=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭锥，13tan 3026h =︒=柱． 1336332203469424V V h h ⎛⎫-⎛⎫-=-⋅=-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭柱锥锥柱 所以V V >柱锥．（2）设箱底边长为x ，则箱高为()302a xh x a -=<<， 箱子的容积为()()223111sin 600288V x x ax x x a h =⨯︒⨯=-<<﹒ 由()213048V x ax x '=-=解得10x =（舍），223x a =，且当20,3x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '>；当2,3x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<， 所以函数()V x 在23x a =处取得极大值，这个极大值就是函数()V x 的最大值：2332121213838354V a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答：当箱子底边长为23a 时，箱子容积最大，最大值为3154a ．【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于中档题.20．设()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()()()()3,033,3x x x f x x a x x ⎧-≤≤⎪=⎨-->⎪⎩（1）当0x <时，求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在区间[]5,5-上的最大值为()g a ，试求()g a 的表达式； （3）若方程()f x m =有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求a 与m 满足的条件．【答案】（1）()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩；（2）()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；（3）a 与m 满足的条件为2716m =且32a <+94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【解析】（1）设30x -<、3x <-，利用已知函数的解析式，即可求得结论； （2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[5-，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；（3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则当方程()f x m =在[3-，3]上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327()416m f ==，且要求27()16f x <对(3,)x ∈+∞恒成立，由此可得结论． 【详解】解：（1）当-<3≤0x 时，()()()()()33f x f x x x x x =-=-+=-+ 同理，当3x <-时，()()()()()()33f x f x x a x x a x =-=--+=-++，所以，当0x <时，()f x 的解析式为()()()()3,303,3x x x f x x a x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-++<-⎪⎩（2）因为()f x 是偶函数，所以它在区间[]5,5-上的最大值即为它在区间[]0,5上的最大值，①当3a ≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭②当37a <≤时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与33,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦与3,52a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以此时只需比较3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()23324a a f -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小． （i ）当36a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3924g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（ii ）当67a <≤时，()233932424a a f f -+⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()23324a a g a f -+⎛⎫==⎪⎝⎭③当7a >时，()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦与[]3,5上单调递增，在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()3952524f f a ⎛⎫=<=- ⎪⎝⎭， 所以()()()525g a f a ==-.综上所述，()()29,64(3),67425,7a a g a a a a ⎧≤⎪⎪-⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩． （3）设这四个根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ．①当方程()f x m =在[]3,3-上有四个实根时，由4332x x x -=，且433x x +=，得334x =，494x =，从而327416m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，且要求()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立． （i ）当3a ≤时，()f x 在()3,+∞上单调递减，所以()()273016f x f <=<对()3,x ∈+∞恒成立，即3a ≤适合题意．（ii ）当3a >时，欲()2716f x <对()3,x ∈+∞恒成立，只要()233272416a a f -+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，解得3a <+33a <<．②当方程()f x m =在[]3,3-上有两个实根时，3924m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且232x =-，332x =， 所以必须满足43932x x =+=，且3922a +=，()2339244a a f -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得6a =． ③当方程()f x m =在[]3,3-上无实根时，()233932424a a f m f -+⎛⎫⎛⎫=<<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332a+>， 由4332x x x -=，433x x a +=+，解得334a x +=，()4334a x +=， 所以()()()3339134416a a a a m f f +--⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，且由()()3919164a a m --=>，解得5a >+综上所述，a 与m 满足的条件为2716m =且3a <94m =且6a =，或()()39116a a m --=且5a >+【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于难题．。

试卷类型:断高两版天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（二）考生注炼；1 .茶黑前,考生务必将由己的姓名、得生号附将在试总和答题卡上，畀将考生号备沙马格贴在卷题卡上 妁指定拉工.2 .回答选株越时，选出毋小题答第后,用能比把茶题卡对应始口的冬拿标号涂黑•如£改动，用他戌擦 干号后,再选涂其他答案标号.叫等非选舞题时，将答案写在芥题卡上・将在本试落上无效・3 .才被结束后，将本试落和在会卡L 外交囱.一,余项洁播超:本题共8小第，每小22 s 分，共40分.在每小册给出的四个洁项中■只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A 二卜12-»<8| ,B = {3]>51,财 4U& = A.（5,8）B.（2,8）C. [2f ♦«）D.（ -8,8）2・若发数中铝f 网周=3 .已知i 。

」是公差为-2的等差数列.且5 ,明，勾成等比数列J1，1 A. -1 B.3C.250.494 .已知△48C 是边长为2的等边三角形•其中M 为8c 边的中点，乙招C 的平分线交线段AM 于点M 则AM •前之 A.B. -5C 一 本D, -14 3 w5 .若函数式*） = cos x-^sin x #（ -a,a ）上有最大值,用。

的取值苞陶足A,信，fB.侍“） C 信用D.（普）6 .已知定义在R 上的儡函数/“）在（-,0）上单词递增，明 A./（2--） vf （l 崛6）（人岫 y ） BH2"*） </（1% </0叫6） C0吗6） <42"号）y ） D,/Q 隰6> /） <式2 +）7在三梭他/ -88中,AC =。

,点E 是4）的中点，则“平面雨口平面月CD”是“月6 = 6。

”的A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件D.既不充分也不必要条件8 .已知定义在R 上的曲数/（"满足/"） =4 -/（2 -G,若函数Y 与函数了 =〃幻的图象的交点为 .（*（ ,夕J,（孙必），…■（&，九），则工（与*7*）= A. nB.争C.3nt>.6n二、多项选择题;本题共4小题,将小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,9 .将函数y = 86 2名的图象上所有点向左平移上个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数y 二人动 的图绝容★启用前象，则⑷的图象的对称轴方程为刀二-泰+竽(A w Z)B J0)的图象的对称中心坐标为(竽+赤0)a W为C.汽乃的单调递增区间为［-碧+。

2020届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试
数学II(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==22321t y t x （t 为参数），在以坐
标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是)4
sin(24θπρ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于两点B A ，，求线段AB 的长．
C .[选修4—5：不等式选讲
]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号。

2020年无锡市锡山区天一中学高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.若集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，则A∪B=______ ．2.i是虚数单位，复数6+7i1+2i=________．3.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是______ ．4.已知样本数据为7，8，10，12，13，则其方差的值为______．5.甲、乙两名学生选修4门课程(每门课程被选中的机会相等)，要求每名学生必须选1门且只需选1门，则他们选修的课程互不相同的概率是______ ．6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=7，S6=63，则a1=________．7.已知双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为2，焦点与椭圆x225+y29=1的焦点相同，那么双曲线渐近线方程为______ ．8.已知cosα+sinα=12，则sin2α=______ ．9.设函数f(x)的导函数为f′(x)，且2f′(x)<f(x)(x∈R)，f(2)=e(e为自然对数的底数)，则不等式f(lnx)>x 12的解集为______ ．10.求函数y=log3(|x|+2)的最小值为__________。

11. 已知函数f(x)=e x−2+x −3(e 为自然对数的底数)，g(x)=x 2−(a +1)x −a +7，若存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|≤1和|x 1−x 3|≤1同时成立，则实数a 的取值范围是__________．12. 若−4<a <−1,2<b <3，则ab 的取值范围是 ． 13. 已知函数f(x)=4−xln3x ，则当x =__________时，f(x)有最大值．14. 已知A ，B 是圆C 1：x 2+y 2=1上的动点，AB =√3，P 是圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=1上的动点，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为________．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知函数f(x)=2sinx ⋅cosx −cos 2x +sin 2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．16. 在四棱锥M −ABCD 中，平面MAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，AB =2，AM =AD =3，MD =3√2，E ，F 分别为线段BC ，MD 上一点，且CE =1，DF =√2．(1)证明：AM ⊥BD ；(2)证明：EF//平面MAB，并求三棱锥D−AEF的体积．17.如图，将边长为6的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正三棱柱形的容器．(1)若这个容器的底面边长为x，容积为y，写出y关于x的函数关系式并注明定义域；(2)求这个容器容积的最大值．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为14，左顶点为A，右焦点为F，且AF=5．(1)求椭圆C的方程；(2)已知圆M的圆心M(−78,0)，半径为r.点P为椭圆上的一点，若圆M与直线PA,PF都相切，求此时圆M的半径r．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n+1=S n+2a n+5．(1)证明：{a n+5}是等比数列；(2)若S n+5n>128，求n的最小值．x3+ax2+(2a−1)x(a∈R)．20.已知函数f(x)=13(Ⅰ)若f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x，求a的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)当a=−1时，设f(x)在x1，x2(x1<x2)处取到极值，记M(x1,f(x1)).A(0,f(0))，B(1,f(1))，C(2,f(2))，判断直线AM、BM、CM与函数f(x)的图象各有几个交点(只需写出结论)．【答案与解析】1.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：4−i解析：本题考查复数的四则运算，根据复数除法的运算法则直接计算即可，属于基础题．解：6+7i1+2i =(6+7i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=6+14+7i−12i5=20−5i5=4−i．故答案为4−i．3.答案：−2解析：本题考查程序框图，属于基础题．直接模拟程序即得结论．解：初始值x=116，不满足判断条件，则．故答案为−2．4.答案：265解析：本题考查了方差的公式，属于基础题．将数据直接代入方差计算公式可得答案．解：因为样本平均数x=7+8+10+12+135=10，故方差s2=15[(7−10)2+(8−10)2+(10−10)2+(12−10)2+(13−10)2]=265，故答案为265．5.答案：34解析：此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用分步乘法原理，分别计算出甲、乙两名学生任选一门选修课程的情况总数和满足他们选修的课程互不相同的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解：设选修4门课程名称为A，B，C，D甲、乙两名学生选修课程名称记为(x,y)，则共有4×4=16种不同情况，其中他们选修的课程互不相同的事件有4×3=12种不同情况，故他们选修的课程互不相同的概率P=1216=34，故答案为：34．6.答案：1解析：本题考查等比数列的前n项和公式以及应用，注意分析q是否为1.根据题意，由等比数列前n项和公式可得S3=a1(1−q3)1−q =7，S6=a1(1−q6)1−q=63；变形可得1+q3=9，解可得q的值，将q的值代入S3=a1(1−q3)1−q=7，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}满足S3=7，S6=63，则其公比q≠1，若S3=7，则a1(1−q3)1−q=7；S6=63，则a1(1−q6)1−q=63；变形可得：1+q 3=9，解可得q =2；又由a 1(1−q 3)1−q =7，解可得a 1=1．故答案为17.答案：y =±√3x解析：解：∵椭圆x 225+y 29=1的焦点为(4,0)(−4,0)，故双曲线中的c =4，且满足c a =2，故a =2，b =√c 2−a 2=2√3，所以双曲线的渐近线方程为y =±b a x =±√3x故答案为：y =±√3x先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c 值，再由离心率求出a 的值，最后根据b =√c 2−a 2得到b 的值，可得到渐近线的方程．本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．8.答案：−34解析：解：∵cosα+sinα=12，平方可得1+sin2α=14，则sin2α=−34，故答案为：−34．把所给的等式平方，利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2α的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题． 9.答案：(0,e 2)解析：解：可构造函数F(x)=f(x)e x 2， F′(x)=f′(x)−12f(x)e x 2，由2 f′(x)<f (x)，可得F′(x)<0，即有F(x)在R 上递减，不等式f(lnx)>x 12即为f(lnx)e lnx 2>1，(x >0)， 即有F(2)=f(2)e =1，即为F(lnx)>F(2)，由F(x)在R 上递减，可得lnx <2，解得0<x <e 2，故答案为：(0,e 2).构造函数F(x)，求出导数，判断F(x)在R 上的单调性．原不等式等价为F(lnx)>F(2)，运用单调性，可得lnx <2，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法． 10.答案：log 32解析：令t =|x |+2≥2，所以y =log 3t ≥log 32，所以函数y =log 3(|x |+2)的最小值为log 32． 11.答案：(3,134]解析：本题主要考查函数与方程的综合知识，首先求出函数f(x)的导数，可得f(x)单调递增，解得f(x)=0的解为x 1=2，由题意可得g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，通过判别式对称轴等可求得a 的取值范围，难度中等．解：函数f(x)=e x−2+x −3的导数为f ′(x)=e x−2+1>0，∴f(x)在R 上单调递增，由f(2)=0，可得x 1=2，又存在实数x 1、x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得f(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，且|x 1−x 2|⩽1和|x 1−x 3|⩽1同时成立，∴存在实数x 2、x 3(x 2≠x 3)，使得g(x 2)=g(x 3)=0，且|2−x 2|⩽1和|2−x 3|⩽1同时成立， 即g(x)=x 2−(a +1)x −a +7=0在1≤x ≤3上有两个不等的根，则{ g (1)=−2a +7≥0g (3)=−4a +13≥0Δ=(a +1)2−4(−a +7)>01<a+12<3，解得3<a ≤134， 即a 的取值范围为(3,134] 12.答案：−12<ab <−2解析：【试题解析】本题考查了不等式的性质，属于基础题．根据不等式的基本性质先求出−ab 的范围，即可求得ab 的取值范围．解：∵−4<a <−1，∴1<−a <4，又2<b <3，∴2<−ab <12，∴−12<ab <−2．故答案为−12<ab <−2．13.答案：13e解析：依题意知：原函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=−ln3x −x ⋅33x=−ln3x −1，令f′(x)>0,⇒0<x <13e .令f′(x)<0⇒x >13e ，所以函数f(x)在(0,13e )单调递增，在(13e ,+∞)单调递减，∴当x =13e 时，f(x)有最大值．14.答案：[7,13]解析：本题考查了平面向量中向量的数量积知识点．取AB 的中点H ，则|PA +PB|=2|PD|,|C 1D|=√1−34=12,根据圆的对称性，可得C 1,C 2,P,D 共线时,|PD|取得最值，可得结论．解：因为A ，B 是圆C 1：x 2+y 2=1上的动点，AB =√3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2+y 2=14上，且|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． 因为点P 是圆C 2：(x −3)2+(y −4)2=1上的动点，所以5−32≤|PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5+32，即72≤|PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤132， 所以7≤2|PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤13， 从而|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[7,13]．15.答案：解：(1)f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4)．所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2得kπ+38π≤x≤kπ+78π，k∈Z．所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8]，k∈Z．(2)因为0≤x≤π2，所以−π4≤2x−π4≤3π4．所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，函数f(x)有最大值f(3π8)=√2，当2x−π4=−π4,即x=0时，函数f(x)有最小值f(0)=−1.解析：本题考查二倍角公式、两角和与差的三角函数及正弦函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)利用二倍角公式及两角和与差的三角函数可得f(x)==√2sin(2x−π4)，进而利用正弦函数的图象与性质即可求得结果；(2)根据题意可得−π4≤2x−π4≤3π4，进而利用正弦函数的性质即可求得结果．16.答案：证明：(1)∵AM=AD=3,MD=3√2，∴AM2+AD2=MD2，∴AM⊥AD，∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，，∴AM⊥平面ABCD，又BD在平面ABCD内，∴AM⊥BD．(2)在棱AD上取一点N，使得ND=1，连接NE，NF，∵CE=1，∴CE=ND，又BC//AD，∴EC//ND，∴四边形CEND为平行四边形，∴EN//CD，又AB//CD，∴EN//AB，∵NDAD =FDMD=13，∴FN//AM，∵FN∩EN=N，．，∴平面ENF//平面MAB，又EF⊂平面ENF，∴EF//平面MAB，∵AM⊥平面ABCD，且FD=13MD，AM=3，∴F 到平面ABCD 的距离为１３AM =1，∴V D−AEF =V F−ADE =13×1×12×3×2=1．解析：本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出AM ⊥AD ，从而AM ⊥平面ABCD ，由此能证明AM ⊥BD ；(2)在棱AD 上取一点N ，使得ND =1，连接NE ，NF ，可得EN//AB ，FN//AM ，从而平面ENF//平面MAB ，进而EF//平面MAB ，由V D−AEF =V F−ADE ，能求出三棱锥D −AEF 的体积．17.答案：解：(1)∵容器的底面边长为x ，则高为√3(6−x)6(0<x <6)， ∴容积y =√34x 2⋅√3(6−x)6=6x 2−x 38(0<x <6)； (2)由(1)得，y ′=18(−3x 2+12x)(0<x <6)，令y ′=0，则x =0(舍)，或x =4，∴函数y 在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，∴当x =4时，y max =4，∴这个容器的体积最大为4．解析：本题考查了棱柱的体积和利用导数研究函数的单调性与最值，属基础题．根据已知中箱子的制作方法，y 的解析式后求导，根据单调性得到最值点即可．18.答案：解：(1)∵椭圆离心率为14，左顶点为A ，右焦点为F ，且AF =5. ∴{c a =14a +c =5， 解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ， ∴椭圆C 的方程为：x 216+y 215=1 . (2)由题意得：A(−4,0),F(1,0)，设点P 的坐标为(x 0,y 0)，则x 0216+y 0215=1． ①当x 0=1时，直线PF:x =1，与圆M 相切，则R =1−(−78)=158， 不妨取P(1,154)，直线PA:y =1541−(−4)(x +4)，即3x −4y +12=0． ∴点M 到直线PF 的距离为|3×(−78)+12|√32+42=158=r ，∴直线PF 与圆M 相切∴当r =158时，圆M 与直线PA,PF 都相切. ②当x 0=−4时，点P 与点A 重合，不符合题意；③当x 0≠1且x 0≠−4时，直线PA:y =y 0x 0+4(x +4),PF:y =y 0x 0−1(x −1)化简得：PA:y 0x −(x 0+4)y +4y 0=0,PF:y 0x −(x 0−1)y −y 0=0，∵圆M 与直线PA,PF 都相切 ∴|−78y +4y |0202=|−78y −y |0202=r . ∵y 0≠0，又y 02=15(1−x 0216)代入化简得：x 02−122x 0+121=0， 解得：x 0=1或x 0=121，∵−4<x 0<4且x 0≠1， ∴无解 ．综上：r =158.解析：本题主要考查椭圆的标准方程与性质，以及直线与椭圆的位置关系，题目有难度．(1)由已知，{c a =14a +c =5，解得：{a =4c =1 ，∴b 2=15 ，可得椭圆的标准方程； (2)设点P 的坐标为(x 0,y 0)，讨论x 0的取值，求得直线PA,PF 的方程，若圆M 与直线PA,PF 都相切，求得圆心M 与直线直线PA,PF 的距离，求得r ． 19.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2，而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n =3×(2+22+23+⋯+2n )−5n=3×2×(1−2n )1−2−5n =6×2n −6−5n ，由S n +5n =6×2n −6>128，得2n >673， 因为25>673>24，所以S n +5n >128时，n 的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n +5，然后证明{a n +5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n 项和，然后化简不等式求解即可．20.答案：解：(Ⅰ)由题意f′(x)=x2+2ax+2a−1，…(1分)因为f(x)在(0,0)点处切线方程为y=x，所以f′(0)=2a−1=1，解得a=1，经检验a=1时满足条件．…(3分)(Ⅱ)由(I)f′(x)=x2+2ax+2a−1=(x+1)(x+2a−1)令f′(x)=0，则x=−1或x=1−2a，…(4分)①当a>1时，1−2a<−1，令f′(x)>0，解得x<1−2a或x>−1；令f′(x)<0，解得1−2a<x<−1．所以函数f(x)的单调增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞)，单调减区间为(1−2a,−1).…(6分)②当a=1时，1−2a=−1，此时，f′(x)≥0恒成立，且仅在x=−1处f′(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为(−∞,+∞).…(7分)③当a<1时，1−2a>−1，同理可得函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调减区间为(−1,1−2a).…(9分)(Ⅲ)直线AM与f(x)的图象的交点个数是3个；…(10分)直线BM与f(x)的图象的交点个数是3个；…(11分)直线CM与f(x)的图象的交点个数是2个．…(13分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；(Ⅱ)通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅲ)a=−1时，求出直线和f(x)的交点个数，写出结论即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．。

2019-2020年高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修2一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －3＝0的倾斜角是(C ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．不存在2．已知点A (x ，1，2)和点B (2，3，4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是(D ) A ．－3或4 B ．－6或2 C ．3或－4 D ．6或－23．圆x 2＋y 2－2x ＝0与圆x 2＋y 2－2x －6y －6＝0的位置关系是(D ) A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内切4．在同一个平面直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是(C ) 5．(xx·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(C )A ．12B ．18C ．24D ．30解析：因为三个视图中直角较多，所以可以在长方体中对几何体进行分析还原，在长方体中计算其体积．由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，V 棱柱ABCA 1B 1C 1＝S △ABC ·AA 1＝12×4×3×5＝30，V 棱锥PA 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·PB 1＝13×12×4×3×3＝6.故几何体ABCPA 1C 1的体积为30－6＝24.故选C.6．(xx·重庆卷)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为(A )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17解析：先求出圆心坐标和半径，再结合对称性求解最小值，设P (x ，0)，C 1(2，3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C ′1C 2|＝（2－3）2＋（－3－4）2＝5 2. 而|PM |＝|PC 1|－1，|PN |＝|PC 2|－3， ∴|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.7．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中互相垂直的平面有(B )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对8．(xx·辽宁卷)已知点O (0，0)、A (0，b )、B (a ，a 3)，若△AOB 为直角三角形，则必有(C )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析：根据直角三角形的直角的位置求解．若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意； 若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0.若∠B ＝π2，根据斜率关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0.以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．9．一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3∶2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为(A )A ．1∶1B ．1∶ 2 C.2∶ 3 D ．3∶210．(xx·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是(D )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 解析：在长方体模型中进行推理论证，利用排除法求解．如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA ，若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若l 4＝DC 1，也满足条件，可以排除选项B.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 11．若M 、N 分别是△ABC 边AB 、AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β(不包括△ABC 所在平面)的位置关系是________．答案：平行12．(xx·重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2－(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________．解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22.解得a ＝4±15.答案：4±1513．两条平行线2x ＋3y －5＝0和x ＋32y ＝1间的距离是________．答案：3131314．(xx·大纲全国卷)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到直角三角形中计算，进而求得球的表面积．如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则AB ＝R .取AB 中点M ，连接OM 、KM ，由圆的性质知OM ⊥AB ，KM ⊥AB ，所以∠KMO 为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO ＝60°.在Rt △KMO 中，OK ＝32，所以OM ＝OKsin 60°＝ 3.在Rt △OAM 中，因为OA 2＝OM 2＋AM 2，所以R 2＝3＋14R 2，解得R 2＝4.所以球O 的表面积为4πR 2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(本小题满分12分)已知两点A (－1，2)，B (m ，3)． (1)求直线AB 的斜率； (2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的范围． 解析：(1)当m ＝－1时，直线AB 的斜率不存在；当m ≠－1时，k ＝1m ＋1. (2)当m ＝－1时，α＝π2；当m ≠－1时，k ＝1m ＋1∈(]－∞，－3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞， 则α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综上，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16．(本小题满分12分)(xx·上海卷)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1＝6，异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为π6，求该三棱柱的体积．解析：因为CC 1∥AA 1，所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角，即∠BC 1C ＝π6.在Rt △BC 1C 中，BC ＝CC 1·tan ∠BC 1C ＝6×33＝23，从而S △ABC ＝34BC 2＝33，因此该三棱柱的体积为V ＝S △ABC ·AA 1＝33·6＝18 3.17．(本小题满分14分)(xx·湖北卷)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 、P 、Q 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、DD 1、BB 1、A 1B 1、A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .分析：借助三角形中位线的性质、线面平行的判定及线面垂直的判定和性质证明．证明：(1)连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图，连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN＝N，所以直线AC1⊥平面PQMN.18．(本小题满分14分)下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．表面积为S，则S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π.体积为V，则V＝8×4×6＋12×22×8π＝192＋16π.所以几何体的表面积为(176＋20π)cm2，体积为(192＋16π)cm3.19．(本小题满分14分)如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)求BD与平面EBC所成角的大小；(3)求几何体EFBC的体积．(1)证明：如图，连EA交BD于点F，∵F是正方形ABED对角线BD的中点，∴F是EA的中点．∴FG∥AC.又FG⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴FG∥平面ABC.(2)解析：∵平面ABED⊥平面ABC，BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC.∴BE⊥AC.又∵AC＝BC＝22 AB，∴BC⊥AC.又∵BE∩BC＝B，∴AC ⊥平面EBC . 由(1)知，FG ∥AC ， ∴FG ⊥平面EBC .∴∠FBG 就是线BD 与平面EBC 所成的角． 又BF ＝12BD ＝2a 2，FG ＝12AC ＝2a4，sin ∠FBG ＝FG BF ＝12，∴∠FBG ＝30°.(3)VEFBC ＝VFEBC ＝13S △EBC ·FG ＝13·12·a ·2a 2·12·2a 2＝a 324.20．(本小题满分14分)(xx·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在，设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3.由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上， 设圆心C (a ，2(a －2))，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4.所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125。