2020届江苏省天一中学高三上学期12月份调研考试数学(理)试题(PDF版)

2020届天一大联考高三阶段性考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}23{10},1A x B y y x x=-<==+，则()R A B =I ð（ ） A ．{01}x x << B ．{13}x x ≤< C ．{13}x x << D ．{03}x x ≤<【答案】A【解析】根据分式不等式的解法以及二次函数的值域分别求解,A B ,再求解即可. 【详解】 由310x-<,得03x <<,即{|03}A x x =<<,由211y x =+…,得{|1}B y y =…,所以{}|1R B x x =<ð,故()R A B =I ð{01}x x <<. 故选：A 【点睛】本题考查集合的表示､运算以及不等式的解法,考查运算求解能力以及化归与转化思想. 2．下列命题中，真命题是（ ）A ．0x R ∃∈，使得22001sin 2019cos 20192x x +=B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos x x < C ．0x R ∃∈，使得2001x x +=- D ．1(1,),0x x x∀∈+∞-> 【答案】D【解析】根据存在性和任意性的定义进行判断即可. 【详解】因为x ∀∈R ，22sin 2019cos 20191x x +=，故A 是假命题；当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin cos x x „，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x >，故B 是假命题；x ∀∈R ，221331244x x x ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭，故C 是假命题；因为1x >，所以1(0,1)x ∈，所以10x x->，故D 是真命题． 故选：D【点睛】本题考查逻辑联结词、推理与证明，考查推理论证能力以及化归转化思想． 3．已知0.10.520190.12,0.5,log 0.1a b c ===，则（ ） A ． a b c >> B ． c a b >>C ． a c b >>D ． c b a >>【答案】B【解析】分别计算,a b 的大致范围,利用指数函数的单调性,再计算得2019c =判断即可. 【详解】 因为0.12(1,2)a =∈,10.520.52b -==,根据指数函数2x y =的单调性,知a b >.又20190.1log 0.12019c ==,所以b a c <<.故选：B 【点睛】本题考查指对数的性质,考查推理论证能力以及函数与方程思想.4．已知向量(1,2),2(3,1)a a b =-+=-r r r，则b =r （ ）A ．B ．5C ．D ．2【答案】A【解析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，通过解方程组求出向量b r的坐标，再根据平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设(,)b x y =r ，所以2(2,4)a b x y +=+-+r r ．因为2(3,1)a b +=-r r ，所以23,4 1.x y +=-⎧⎨-+=⎩解得5,5.x y =-⎧⎨=⎩所以(5,5)b =-r ，所以||b ==r ．故选：A 【点睛】本题考查向量的坐标运算和模，考查运算求解能力以及方程思想．5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米（ ）A ．234升B ．468升C ．639升D ．903升【答案】C【解析】根据题意，得到等差数列的首项164a =，公差7d =，从而求出其前3项的和，再求出3共分发的大米，得到答案. 【详解】由题意可知每天派出的人数构成等差数列， 记为{}n a ，且164a =，公差7d =， 则前3项和33236472132S ⨯=⨯+⨯=， 则前3天共分发大米2133639⨯=（升）， 故选：C. 【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，属于简单题. 6．函数：3()10ln ||f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性,再根据当01x <<时,()f x 的正负判断排除即可. 【详解】因为3()10ln ||f x x x =-,33()10()ln ||10ln ||()f x x x x x f x -=---==-,所以()f x 是奇函数,排除选项A,D,当01x <<时,()0f x >,排除选项B.【点睛】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力以及数形结合思想. 7．已知α为第三象限角sin(2019)πα-=，则2sin 2cos 1αα++=（ ） A．BC．D ．139-【答案】A【解析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】因为sin(2019)3πα-=-，所以sin 3α=-．又因为α为第三象限角，所以2cos 3α=-．所以22222sin 2cos 12sin cos cos 12133ααααα⎛⎛⎫⎛⎫++=++=⨯⨯-+-+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和同角三角函数的关系，考查数学运算求解能力． 8．已知函数()g x 是R 上的奇函数，当 0x <时，()ln(1)g x x =--，且3,0()(),0x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩，若2(2)()f x f x ->，则实数的取值范围是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)--D ．(2,1)-【答案】D【解析】根据奇偶性求解当0x >时()g x 的解析式,再根据函数()f x 的单调性求解即可. 【详解】若0x >,则0x -<,因为()g x 是R 上的奇函数,所以()()ln(1)g x g x x =--=+,所以3,0,()ln(1),0,x x f x x x ⎧=⎨+>⎩…则函数()f x 是R 上的增函数,所以当()22()f x f x ->时,22x x ->,解得21x -<<. 故选：D本题考查函数的性质,考查运算求解能力以及化归转化思想.9．已知,x y满足约束条件24030220x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则目标函数22x yz-=的最大值为（）.A．128 B．64 C．1 64D．1128【答案】B【解析】画出可行域,再求解2x y-的最大值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x yμ=-,因为函数2xy=是增函数,所以μ取最大值时,z取最大值.易知2x yμ=-在A点处取得最大值.联立220,30x yx y+-=⎧⎨+-=⎩解得4,1.xy=⎧⎨=-⎩即(4,1)A-.所以max42(1)6μ=-⨯-=,所以6max264z==.故选：B【点睛】本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.10．函数()2cos()0,2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x的一个单调递减区间为（）A ．,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．2,32ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据余弦型函数的最高点和零点求出最小正周期，根据最小正周期公式求出ω的值，再根据最高点的坐标，求出ϕ的值，这样求出余弦型函数的解析式，根据解析式求出单调递减区间，四个选项逐一判断即可. 【详解】由图知，函数()f x 的最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．因为0>ω，所以2ππω=，得2ω=．所以()2cos(2)f x x ϕ=+．因为点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在图象上，所以cos 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭．因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由222()3k x k k ππππ-+∈Z 剟，得2()63k x k k ππππ++∈Z 剟．只有22,,()3263k k k ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z . 故选：B 【点睛】本题考查余弦型函数的图象与性质，考查推理论证能力以及数形结合思想．11．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D【解析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 12．已知函数32()232010f x x ax bx =-++的导函数()f x '的图象关于直线1x =对称．若0[3,5]x ∃∈使得0()2020f x ≥成立，则实数b 的取值范围为（ ）． A ．10,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,6)-∞-C ．[6,)-+∞D ．10,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】对函数进行求导，根据对称轴求出a 的值，根据存在性的定义，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】依题意，得2()623f x x ax b '=-+．因为函数()f x '的图象关于直线1x =对称，所以2112a--=，解得6a =，所以32()2632010f x x x bx =-++．因为0[3,5]x ∃∈使得()02020f x …成立，即使得3200026320102020x x bx -++…成立，所以[3,5]x ∈时，2min233103223b x x ⎡⎤⎛⎫--++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…．设223310()3223g x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，因为函数()g x 在[3,5]上单调递减，所以当5x =时，函数()g x 在[3,5]上取得最小值为6-，所以实数b的取值范围为[6,)-+∞． 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想．二、填空题13．若函数4()32xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是________． 【答案】17,22⎛⎫-⎪⎝⎭． 【解析】根据零点存在原理进行求解即可. 【详解】由条件可知函数()f x 在(1,2)上单调递增，所以(1)(2)0f f ⋅<，即(342)(922)0a a ----<，解之得1722a -<<．所以实数a 的取值范围是17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查零点存在原理的应用，考查运算求解能力．14．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5,6a c ==，cos 45B =，则sin A =______.【解析】根据余弦定理求得b =,再根据同角三角函数公式求解得3sin 5B =,再利用正弦定理求解sin A 即可. 【详解】由余弦定理,得2222cos 13b a c ac B =+-=.所以b =.又由cos 45B =,(0,)B π∈得3sin 5B =.由正弦定理得5sin 5A =.解得sin A =.故答案为：13【点睛】本题考查正弦定理､余弦定理在解三角形中的应用,考查运算求解能力. 15．已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为________. 【答案】164【解析】根据821(0,0)a b a b +=>>配凑出18216ab a b =⨯⨯再利用基本不等式求解即可. 【详解】211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭…,当且仅当116a =,14b =时取等号,所以ab 的最大值为164. 故答案为：164【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力和化归与转化思想.16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知114,29(2)n n a a a n -==-+≥.若对任意的偶数,n ,(3)4n n N S n λ*∈-≥恒成立，则实数λ的最小值为____________.【答案】8【解析】根据所给的递推公式构造等比数列{}3n a -,继而求得{}n a 的通项公式1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,再代入(3)4n S n λ-≥化简得 【详解】由数列的递推公式,得()()1233n n a a --=--,即()11332n n a a --=--.又1310a -=≠,所以13132n n a a --=--,则数列{}3n a -是首项为131a -=,公比为12-的等比数列,故11312n n a -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭,所以1132n n a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.分组求和可得211332nn S n ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,题中的不等式即211432nλ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦…. 因为n 为偶数,所以不等式等价于211432n λ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭…,整理得3462111122n n λ⨯=--…, 设6()112n f n =-,则因为311142n ≤-<,故668112n<≤-.所以()8f n ≤,故8λ…. 故要使不等式对任意的正偶数n 都成立,λ的最小值为8.故答案为：8 【点睛】本题考查数列的递推公式､等比数列的前n 项和公式､数列的性质,考查推理论证能力以及化归转化思想.三、解答题17．已知:p 指数函数()(21)x f x a =-在R 上单调递减，:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于0.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【解析】求出:p 112a << ，:q a ＞2，由“p 或q ”为真命题，“p 且q 为假命题，得p 真q 假，或p 假q 真，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】若p 真，则()(21)xf x a =-在R 上单调递减.所以0211a <-<，即112a << 若q 真，令22()321g x x ax a =-++，则应满足()222(3)421021030a a a a ⎧--+≥⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩，解得2a ≥ 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，所以p 真q 假或者p 假q 真.①若p 真q 假，则1122a a ⎧<<⎪⎨⎪<⎩所以112a <<.②若p 假q 真，则1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≥⎩或，所以2a ≥. 综上，实数a 的取值范围为1,1[2,)2⎛⎫+∞⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性、一元二次方程的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知角,,B A C 成等差数列． （1）若ABC V的外接圆半径为a ；（2）若cos cos 2c B b C +=，求ABC V 的面积的最大值．【答案】（1）6；（2【解析】（1）根据三角形内角和定理，结合等差数列的性质、正弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）因为ABC V 中，角B ，A ，C 成等差数列，所以2A B C =+．又因为A B C π++=，所以3A π=．因为ABC V的外接圆半径为62a ==． （2）由222222cos cos 2222a c b a b c c B b C c b ac ab+-+-+=⇒⋅+⋅=，可得2a =． 由（1）的解题过程及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得224b c bc +-=． 由222b c bc +…可得04bc <„，所以ABC V的面积1sin 2S bc A =„2b c ==时，等号成立）． 故ABC V【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，考查运算求解能力．19．已知正项等比数列{}n a ，42329,6a a a a =-=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a .（2）113244n n n T ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭ 【解析】(1) 设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据基本量法求解即可.(2)代入(1)中{}n a 的通项公式可得13n n b n -=⋅,再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ,因为数列{}n a 是等比数列,所以由429a a =,得2229a q a =.因为0n a >,所以3q =.因为326a a -=,所以226a =,即23a =,所以11a =.所以13-=n n a .（2）由（1）得13-=n n a ,所以13n n b n -=⋅. 所以01211323333n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L , 则12331323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L .两式相减,得1211311213333331322n n nn n n T n n n --⎛⎫-=++++-⨯=-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭L . 所以113244n n n T ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查等比数列的性质以及错位相减求和,考查推理论证能力以及化归转化思想. 20．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1113,233(2)n n n n a S S S S n --=-+=≥ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使120n a ≥成立的n 的最大值． 【答案】（1）3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩…；（2）6. 【解析】（1）根据n S 是否能为零，分类讨论可以判断n S 不能为零，这样将等式两边同除以1n n S S -并整理，这样根据等差数列的定义求出n S 的通项公式，然后再利用当2n …时，1n n n a S S -=-进行求解即可；（2）由已知得到不等式，解不等式进行求解即可.【详解】（1）当2n …时，若0n S =，则由11233n n n n S S S S --+=，得10n S -=，这与113a S ==-相矛盾，所以0n S ≠．由11233n n n n S S S S --+=，等式两边同除以1n n S S -并整理，得11123n n S S --=-． 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1113S =-，公差23d =-的等差数列． 所以321n S n -=-． 所以当2n …时，13362123(21)(23)n n n a S S n n n n --=-=+=----． 又因为13a =-，不符合上式，所以3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… （2）由（1）知3,1,6, 2.(21)(23)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪--⎩… 易知使不等式成立的2n …．所以由题意，得61(21)(23)20n a n n =--…，整理，得2483120n n -+„．所以2 6.5n 剟． 所以使120n a …成立的n 的最大值是6． 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系、数列的递推公式，考查推理论证能力以及化归转化思想．21．已知函数3()8cos 3cos 212cos f x x x x =--（1）设正实数T 满足()(0)f T f =，求T 的最小值；（2）当,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【答案】（1）2π；（2）713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）利用余弦的二倍角公式把函数的解析式化成关于cos x 的形式，根据()(0)f T f =，结合因式分解可以求出T 的值；（2）利用换元法，结合导数进行求解即可.【详解】（1）由题意得()3232()8cos 32cos 112cos 8cos 6cos 12cos 3f x x x x x x x =---=--+． 由()(0)f T f =可得324cos 3cos 6cos 50T T T --+=，即2224cos (cos 1)cos 6cos 54cos (cos 1)(cos 1)(cos 5)T T T T T T T T -+-+=-+--()22(cos 1)4cos cos 5(cos 1)(4cos 5)0T T T T T =-+-=-+=．所以cos 1T =或5cos 4T =-． 5cos 4T =-显然不成立，所以cos 1T =． 所以()*2T k k π=∈N ，所以T 的最小值为2π．（2）由（1）得32()8cos 6cos 12cos 3f x x x x =--+． 设cos t x =，32()86123g t t t t =--+，所以2()241212g t t t '=--． 因为,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 1,2t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦． 由()0g t '=得12t =-或1t =，由()0g t '>得12t <-或1t >，由()0g t '<得112t -<<．所以()g t 在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减． 又11322g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(1)1g -=，1722g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以713(),22g t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即()f x 的值域为713,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】 本题考查三角恒等变换与三角函数的性质，以及利用导数研究函数性质，考查运算求解能力、推理论证能力以及转化与化归的思想．22．已知函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈（1）若3a e =，求()f x 的单调区间；（2）当(1,]x e ∈时，不等式()2e f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1.65≈【答案】（1）()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ；（2）2e ⎡-⎢⎣． 【解析】（1）对函数进行求导，再通过构造新函数，根据新函数的零点结合()f x 的导函数进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，构造新函数，结合新函数的正负性结合()f x 的导函数可以判断出函数()f x 的单调性，然后根据题意，列出不等式组，解不等式组即可.【详解】（1）若3a e =，则2()(3)ln f x x e x =-．2(3)3()2(3)ln (3)2ln 1x e e f x x e x x e x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设3()2ln 1e g x x x=+-． 易知函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()0g e =，所以e 是()g x 的唯一零点．所以当(0,)x e ∈时，()0f x '>；(,3)x e e ∈时，()0f x '<；(3,)x e ∈+∞时，()0f x '>． 所以()f x 的单调递增区间为(0,)e 和(3,)e +∞，单调递减区间为(,3)e e ．（2）由题意得2()()2e f e e a =-„，解得22e a e -+ 2()()2()ln ()2ln 1x a af x x a x x a x x x -⎛⎫'=-+=-+- ⎪⎝⎭． 设()2ln 1a h x x x=+-，则(1)10h a =-<，()2ln 0h a a =>，且2()33e a h e ee +=--…20=>． 因为()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以()h x 存在唯一零点0x ，且01x a <<，01x e <<． 从而当()00,x x ∈时，()0f x '>；()0,x x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 要使()2e f x „对任意(1,]x e ∈恒成立，只需()()20002ln ,2()().2e f x x a x e f e e a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②„„ 由()0002ln 10a h x x x =+-=，得0002ln a x x x =+．③ 将③代入①中，整理得2300ln 8e x x „．因为01x >，注意到23ln y x x =在(1,)+∞上单调递增，故01x <„再由③以及2ln y x x x =+在(1,)+∞上单调递增，得1a <„．由②解得e a e -+e a -． 所以a的取值范围为2e ⎡-⎢⎣． 【点睛】本题考查导数的计算、利用导数研究函数的单调性和极值以及解决不等式恒成立问题，考查运求解能力和推理论证能力．。

江苏省天一中学2019年十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题2019.12一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1. 设全集{|5,*}U x x x N=<∈，集合{1A=，3}，{3B=，4}，则()UC A B=_____.2. 已知i是虚数单位，若复数(12)()z i a i=++的实部与虚部相等，则实数a的值为．3. 函数2()log(1)f x x=-的定义域为_____.4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．6. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ．7.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____．8. 已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ．9. 已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．10. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =，则线段BD 的长为 ．11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ．12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ．13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan A B C++的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是． （1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围；（3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．江苏省天一中学2019年十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题 2019.1221．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球 和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的 分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的 情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．江苏省天一中学2019年十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题 2019.121. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 解：{1A =，3}，{3B =，4}，{1A B ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，(){2}U C AB ∴=2. 答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-． 3. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1) 4. 答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235.答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出．解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：200 6. 答案：8分析：根据程序框图进行模拟运算即可． 解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68. 已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ．答案：分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可． 解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ+-+=+-，()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，则()2sin()284f ππ-=-=-=故答案为：． 9. 答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．则1029220a =+⨯=． 故答案为：20．10. 分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =，再由余弦定理可得：BC =然后设(01)BD BC λλ=剟，结合平面向量的线性运算可得： 213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒， 所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =设(01)BD BC λλ=剟， 则()()DE DF BE BD DC CF =-+11()[(1))22AB BC BC AC λλ=---- 11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+212187λλ=-+134=， 解得：14λ=， 即14BD BC =，即线段BD ，． 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ．答案：2)2 分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程， 根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB = 根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为 由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =+r =；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =-r =；综上，r 的取值范围是(2，2．故答案为：． 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--， 令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，则21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14x =-（舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴…（1）4=-，()4(4)4x a a x x a a x h x e e e e ----=--=-+-=-…（当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或210x ax -+=① ∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，则22ln e xa x =②， 设22ln ()e x h x x =（0x >），32(12l n )'()e xh x x -=∴当x ∈时, '()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点.14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan A B C++的最小值为 ．分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以11113tan tan tan 28h A B C h ++=+…， （当且仅当1328h h=，即h =15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A的纵坐标是． （1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B的横坐标为，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α从而cos α==． （1）3cos()cos 4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α 34π，(22=+=．（2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是所以cos β=sin β=于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α (β==． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r rπ=+；再由254203r r->，则1r <…{|1r r <…，（2）254()f r r r=+，1r <…解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-， 所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则1r <…{|1r r <…，（2）设254()f r r r=+，1r < (2)54()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值；（3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知b =12c a=，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：（1）由题意知b =12c a=，所以b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y+=． （2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；（1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3nn S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d=，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =- （3）解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =…；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-…⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-…⑥令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22x axe x bx +…，由于0x >， 所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立． 由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -…2．（3）由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减．因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<． 因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e∈-，0)．江苏省天一中学2019年十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题 2019.1221．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩ 故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； （2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=，23y ∴'=，∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案．解：直线l 的直角坐标方程为y x =． 由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）．∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．22．（本小题满分10分）分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；（2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)， 1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)． （1）(0AD =，2，0)，(EF =-12，1)， 所以异面直线EF ，AD=． （2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A Dλ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(CM =，21λ-，22)λ-． 设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ． 因为(3AE =0，0)，3(AF =，12，1)，由0000012y z =++=，得00x =，00102y z +=． 取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）1112213525C C CC==；（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C CC+=；则2122351 (1)5C CP XC===，436(2)51025P X==⨯=，43228(3)(1)5105125P X==⨯-⨯=，43342(4)(1)5105125P X==⨯-⨯=，X∴的分布列为：162842337 ()1234525125125125E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.设全集{|5,*}U x x x N=<∈，集合{1A=，3}，{3B=，4}，则()UC A B=_____.2.已知i是虚数单位，若复数(12)()z i a i=++的实部与虚部相等，则实数a的值为．3. 函数2()log(1)f x x=-的定义域为_____.4.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为．5.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．7.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____．8.已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ．9.已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．10.如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =，则线段BD 的长为 ．11.已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ．12.已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ．13.已知函数32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____. 14.在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵． （1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．17.（本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； （3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．19.（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球 和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的 分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的 情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅰ）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =_____. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 解：{1A =，3}，{3B =，4}，{1A B ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，(){2}U C AB ∴=2.已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 ． 答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4.从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为 ．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出． 解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品， 其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006.如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ． 答案：8分析：根据程序框图进行模拟运算即可． 解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y-=的右焦点，则p =____． 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68.已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ．答案：分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可． 解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ+-+=+-，()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，则()2sin()284f ππ-=-=-=故答案为：．9.已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．则1029220a =+⨯=．故答案为：20．10.如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =，则线段BD 的长为 ．分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =，再由余弦定理可得：BC =然后设(01)BD BC λλ=剟，结合平面向量的线性运算可得： 213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒， 所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =设(01)BD BC λλ=剟， 则()()DE DF BE BD DC CF =-+11()[(1))22AB BC BC AC λλ=---- 11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+212187λλ=-+134=，解得：14λ=，即14BD BC =，即线段BD ，． 11.已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ．答案： 分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程， 根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB = 根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的距离为 由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；若圆上只有一个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =+r =；若圆上只有3个点到直线AB 的距离为则有圆心(2,0)到直线ABr =-r =；综上，r 的取值范围是．故答案为：． 12.已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ．答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--， 令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，则21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14x =-（舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()g x g ∴…（1）4=-，()4(4)4x a a x x a a x h x e e e e ----=--=-+-=-…（当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．13.已知函数32ln ,0(),0e x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或210x ax -+=①∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，则22ln e xa x =②，设22ln ()e x h x x =（0x >），32(12l n )'()e xh x x -=∴当x ∈时,'()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时,'()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点.14.在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan AB C++的最小值为 ．答案：2分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以11113tan tan tan 28h A B C h ++=+=…， （当且仅当1328h h=，即h =二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A的纵． （1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A ，所以由任意角的三角函数的定义可知sin α=从而cos α=． （1）3cos()cos4πα-=cos α3sin 4π+sinα34π，(==．（2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是，所以cos β=sin β==于是sin()sin αβ+=cos αcos β+sin α(2β=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17.（本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元．（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，则1r <…义域为{|1r r <…，（2）254()f r r r=+，1r <…解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-， 所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则1r <…{|1r r <…，（2）设254()f r r r=+，1r < (2)54()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； （3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知b =12c a=，可得b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论． 解：（1）由题意知b =12c a=，所以b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19.（本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d=，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =- （3）解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =…；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-…⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-…⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22xaxe x bx +…，由于0x >， 所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立． 由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -…2．（3）由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--…20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<． 因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e∈-，0)．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学（Ⅱ）试题21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； （2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩4x y -=，23y ∴'=，∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =． 由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-剟，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-剟．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）．∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11A MA Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值． 解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，则ABC ∆是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥． 因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)． （1）(0AD =，2，0)，(EF =-12，1)，所以异面直线EF ，AD=．（2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A Dλ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(CM =，21λ-，22)λ-． 设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ． 因为(3AE =，0，0)，3(AF =，12，1)，由0000012y z =++=，得00x =，00102y z +=． 取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）1112213525C C CC==；（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C CC+=；则2122351 (1)5C CP XC===，436(2)51025P X==⨯=，43228(3)(1)5105125P X==⨯-⨯=，43342(4)(1)5105125P X==⨯-⨯=，X∴的分布列为：162842337 ()1234525125125125E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

天一大联考2021-2021学年高中毕业班阶段性测试〔三〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学〔理科〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以。

选A。

2. 是虚数单位，假设复数为纯虚数〔，〕，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以，故。

所以。

选A。

3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆一共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.假设在正方形图案上随机取一点，那么该点取自白色区域的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D。

4. 函数〔〕的最小值为2，那么实数〔〕A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B。

5. 数列满足，，，那么数列前项的和等于〔〕A. 162B. 182C. 234D. 346【答案】B【解析】由条件得，所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故。

选B。

点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵敏应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即：假设，那么与前n项和公式经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程．6. 用，，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如下图的程序框图，假设分别输入的10个值，那么输出的的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C.....................7. 如图画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A. 16B. 32C. 48D. 60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2,4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。

一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分．请把答案填写在．．．．．．．．．2019 年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学文科试题2019.12注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页包含填空题（第 1~14 题）、解答题（第 15~20 题）.本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损 .一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠答题卡相应位置上1. 设全集U = {x | x < 5, x ∈ N *} ，集合 A = {1 ， 3}， B = {3 ， 4} ，则 C ( A U B) = _____.U答案： {2}，2. 已知 i 是虚数单位，若复数 z = (1+ 2i)(a + i) 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为 ．答案： - 33. 函数 f (x) = x + log (1- x) 的定义域为_____.2答案： [0,1)4. 从甲，乙，丙，丁 4 个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ．答案： 235. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间 [25， 30) 内为一等品，在区间 [20， 25) 和 [30， 35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为．答案：2007.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点恰好是双曲线-=．n+1．．．．．．．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为．答案：8x2y254=1的右焦点，则p=____．答案为：68.已知函数f(x)=3sin(2x+ϕ)-cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)是定义在R上的奇函数，则f(-π)的值为．8答案：-29.已知数列{a}与{na2n}均为等差数列(n∈N*)，且a=2，则a1答案：2010.如图，在∆ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60︒，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，点uuur uuurD在边BC上，若DE g DF=13，则线段BD的长为．4答案：3211.已知点A(-3,0)，B(-1,-2)，若圆(x-2)2+y2=r2(r>0)上恰有两点M，N，使得∆MAB和∆NAB的面积均为4，则r的取值范围是．答案：(22，922)12.已知函数f(x)=2x2-3x-lnx+e x-a+4e a-x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x使f(x)=3成立，00则实数a的值为．答案：1-ln2⎧2e l n x,x>013.已知函数f(x)=⎨⎩x3+x,x≤0_____.答案：(0,1)U{-2}，若函数g(x)=f(x)-ax2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是14.在锐角三角形ABC，AD是边BC上的中线，且AD=AB，则1tan A13答案：21+tan B tan C的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（2）若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为-5=310所以cosβ=-5，从而sinβ=1-cos2β=．⨯(-)+⨯=15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是1010．（1）求cos(α-3π)的值；45，求α+β的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果．（2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果．解：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是1010，所以由任意角的三角函数的定义可知s inα=1010．从而cosα=1-sin2α=31010．（1）cos(α-3π)=cosαcos3π+sinαsin3π，44421025⨯(-)+⨯=-．1021025（2）因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是-55，2555105310252于是sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=．1051052因为α为锐角，β为钝角，所以α+β∈(π，3π)，22从而α+β=3π．416.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC-A B C中，点D在棱BC上，AD⊥C D，点E，F分别是BB，A B的中点．1111111（1）求证：D为BC的中点；（2）求证：EF//平面ADC．1分析： ）推导出 CC ⊥ ABC ， A D ⊥ CC ，从而 AD ⊥ 平面 BCC B ，进而 AD ⊥ BC ，由此能证明 D 为 BCQ C DI CC = C ，∴ AD ⊥ 平面 BCC B ，（1 11 1 1的中点．（2）连结 AC ， A C ，交于点 O ，连结 DO ， A B ，推导出 OD / / A B ， EF / / A B ，从而 EF / / OD ，由11111此能证明 EF / / 平面 ADC ．1证明：（1）Q 在正三棱柱 ABC - A B C 中，点 D 在棱 BC 上， AD ⊥ C D ，1 1 11∴ C C ⊥ ABC ，∴ AD ⊥ CC ，111111 1∴ AD ⊥ BC ，∴ D 为 BC 的中点．（2）连结 AC ， A C ，交于点 O ，连结 DO ， A B ，111Q 正三棱柱 ABC - A B C 中， ACC A 是矩形，∴ O 是 A C 的中点，1 1 11 1 1∴ OD / / A B ，1Q 点 E ， F 分别是 BB ， A B 的中点，∴ EF / / A B ，11 1 1∴ EF / / O D ，Q EF ⊂/ 平面 ADC ， DO 1⊂ 平面 ADC ．1∴ EF / / 平面 ADC ．117. （本小题满分 14 分）某市有一特色酒店由 10 座完全相同的帐篷构成（如图1) ．每座帐篷的体积为54π m 3，且分上下两层，其中上层是半径为 r(r …1)（单位： m ) 的半球体，下层是半径为rm ，高为 hm 的圆柱体（如图2) ．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为 2 千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为 3 千元设所有帐篷的总建造费用为 y 千元．（1）求 y 关于 r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径 r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.- 2 2 1 2分 析 : （ 1 ） 由 图 可 知 帐 篷 体 积 = 半 球 体 积 + 圆 柱 体 积 ， 即 2 π r 3 + π r 2 h = 54π ， 表 示 出 h ， 则3y = (2π r 2 ⨯ 2 + 2π r 2 ⨯ 3 + 2π rh ⨯ 3) ⨯ 10 ，化简得 y = 60π (r 2 +54 ) ；再由 54 r > 0 ，则1… r < 3 3 3 ，所以定r r 3义域为 {r |1… r < 33 3}，（2） f (r ) = r 2 + 54 ，1… r < 3 3 3 ，根据导函数求出其最小值即可．r解：（1）由题意可得 2 π r 3 + π r 2 h = 54π ，所以 h = 54 - 2 r ，3r 23所以 y = (2π r 2 ⨯ 2 + 2π r 2 ⨯ 3 + 2π rh ⨯ 3) ⨯ 10 = 100 π r 2 + 60π r g ( 54 - 2 r ) ，即 y = 60π ⨯ (r 2 + 54 ) ；r 23 r因为 r … ， h > 0 ，所以 54 - 2 r > 0 ，则1… r < 3 3 3 ，所以定义域为{r |1… r < 33 3}，r 23（2）设 f (r ) = r 2 + 54 ， 1… r < 3 3 3 ，则 f '(r ) = 2r - 54 ，令 f '(r) = 0 ，解得 r = 3 ，rr 2当 r ∈[1， 3)时， f '(r) < 0 ， f (r ) 单调递减；当 r ∈(3， 33 3) 时， f '(r) > 0 ， f (r ) 单调递增，所以当 r = 3 时， f (r ) 取极小值也是最小值，且 f (r )min= 1620π ．答：当半径 r 为 3m 时，建造费用最小，最小为1620 π 千元．18．（本小题满分 16 分）如图，已知椭圆 C : x 2 y 2 + a 2 b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F ，F ，若椭圆 C 经过点 (0, 3) ，离心率为 1 ， 1 2直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A ， B 两点．2（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 N 为△ F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△ F NF 与△ F AF 面积的比值；121212（3）设点 A ， F ， B 在直线 x = 4 上的射影依次为点 D ， G ， E ．连结 AE ， BD ，试问：当直线l 的倾斜2角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T ？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由．=，解得a即可得出椭圆C的方程．V F NF|F F|g r22y)，由题意，得D(4,y)，E(4,y)，则直线AE的方程为y-y=y2-y1(x-4)．令x=5，此时4-x24-x22 T(,0)在直线BD上．即可得出结论．=，解得a=2，所以椭圆C的方程为：+则=S|F F|g r22c c1 (|AF|+|AF|+|F F|)g r2分析：（1）由题意知b=3．c=1，可得a2b3 a2（2）由点N为△F AF的内心，可得点N为△F AF的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，可得1212SS12 V F AF12=12112(|AF|+|AF|+|F F|)g r1212．（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F G的中点(5,0)．下面证明：2当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(5,0)．2设直线l的方程为y=k(x-1)，与椭圆方程联立化简得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0．设A(x，y)，B(x，112 2122y=y+y2-y1(5-4)，把根与系数关系代入可得y=0，因此点T(5,0)在直线AE上．同理可证，点21 52解：（1）由题意知b=3．因为c=1，所以a2b3 a2x2y243=1．（2）因为点N为△F AF的内心，12所以点N为△F AF的内切圆的圆心，设该圆的半径为r，12SV F NF12V F AF121212121===．2a+2c a+c3（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F G的中点(5,0)．2下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(5,0)．2页6第联立 ⎨x 2 y 2 化简得 (3 + 4k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0 ． ⎪ + 3 + 4k 2 3 + 4k 24 - x令 x = 5 ，此时 y = y + 2 4 - x 2 2(x - 4) 212 2 1 8k + 2k g - 5k g= = 0 ，3⎧ y = k (x - 1)⎪ = 1 ⎩ 4 3因为直线 l 经过椭圆 C 内的点 (1,0) ，所以△ > 0 ．8k 2 4k 2 -12设 A(x ， y ) ， B ( x ， y ) ，则 x + x = ， x x = ．1 12 2 1 2 1 2 y - y由题意，得 D(4, y ) ， E(4, y ) ，则直线 AE 的方程为 y - y = 2 1 (x - 4) ．1 2 2 1y - y 5 2(x - 4) y + 3(y - y )1 ( - 4) = 12 2 12 1 12(x - 4)k (x - 1) + 3k (x - x ) 8k + 2kx x - 5k (x + x )= = 1 2 1 2 2(x - 4) 2(x - 4)11=4k 2 -12 8k 23 + 4k 2 3 + 4k 22(x - 4)1 24k + 32k 3 + 8k 3 - 24k - 40k 3 2(x - 4)(3 + 4k2 )1所以点 T ( 5 ,0) 在直线 AE 上．2同理可证，点 T ( 5 ,0) 在直线 BD 上．2所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T ( 5 ,0) ．219. （本小题满分 16 分）设数列 {a } ， {b } 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． nn（1）已知 b = 1 ， b b - b + 6 = 0 ，求数列 {b } 的前 n 项的和 S ；12 3 2 n n（2）已知 a = 2 ，a +a +a = 21 ，且数列{a +b } 的前三项成等比数列，若数列{b } 唯一，求 b 的值. 2 4 7 10 n n n1（3）已知数列{a } 的公差为 d (d ≠ 0) ，且a b + a b +⋯+ a b = (n - 1)2 n +1 + 2 ，求数列{a } ，{b } 的通项公n1 12 2 n n n n式（用含 n ， d 的式子表达）；（1）解：设{b } 的公比为 q ，n则有 q 3 - q + 6 = 0 ，即 (q + 2)( q 2 - 2q + 3) = 0 ；解得 q = -2 ；1 - (-2)n ∴ S = ；n（2）∵{a } 为等差数列，又∵ a = 2 ， a +a +a = 21n24710∴ 3a = 21， a = 7 ，则公差 d = 1，则 a = n7 7n数列{a +b } 的前三项成等比数列，即1+b ， 2+b ， 3+b 成等比，n n123∴ ① -②，得 a b = n g 2 n (n …2) ； 令③ ÷ ④，得 an g q = (n …2)⋯ ⑤；其中 q 是数列 {b } 的公比；a n - 1∴ a n -1 g q = (n …3)⋯ ⑥令⑤ ÷ ⑥，得(n …3) ； ∴ a a 1(2+b )2 = (1+b )(3+b ) ，整理得1+b =b2 13 1 3设数列 {b } 的公比为 q ，显然 b ≠ 0n1则1+b 1=b q 2 ， b q 2 - b - 1 = 01 1 1∵数列{b } 唯一确定，n∴ ∆ = 0 + 4b (1+ b ) = 01 1解得： b = -1 或 b = 0 （舍）1 1即 b = -11（3）解：Q a b + a b +⋯+ a b = (n - 1)2 n +1 + 2⋯ ①1 12 2 n na b + a b +⋯+ a 1 12 2bn -1 n -1= (n - 2)2 n + 2 ⋯ ②n nQ a b = 2 ；1 1∴ a b = n g 2 n (n ∈ N * ) ⋯ ③n n∴ a bn -1 n -1= (n - 1)2 n -1 (n …2) ⋯ ④2n n n -12(n - 1) a n - 2n -2a a n(n - 2)n n -2 = a 2 (n - 1)2n -13 (a + 2d )a 33 1 = ，即 11 = ； a 4 (a + d )2 421解得 a = d 或 a = -3d ；11若 a = -3d ，则 a = 0 ，有 4 ⨯ 2 4 = a b = 0 ，矛盾；14 4 4∴ a = d 满足条件，此时 a = dn ； b =1 nn 2n d；20. （本小题满分 16 分）设 a 为实数，已知函数 f ( x) = axe x (a ∈ R) ．（1）当 a < 0 时，求函数 f ( x) 的单调区间；（2）设 b 为实数，若不等式 f ( x )…2 x 2 + bx 对任意的 a … 及任意的 x > 0 恒成立，求 b 的取值范围；（3）若函数 g (x) = f (x) + x + ln x (x > 0) 有两个相异的零点，求 a 的取值范围．分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，1 e （3）由 g ( x ) = axe x + x + ln x ，得 g '(x) = a(x + 1)e x+1 + = ，其中 x > 0 ．0a（2）分离参数，可得e x - 2 x …b 对任意的 x > 0 恒成立，构造函数ϕ ( x) = e x - 2 x ，利用导数求出函数的最值即可求出 b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围．解：（1）当 a < 0 时，因为 f '( x ) = a ( x + 1)e x ，当 x < - 1 时， f '(x) > 0 ；当 x > - 1 时， f '(x) < 0 ．所以函数 f ( x) 单调减区间为 (-∞, -1)，单调增区间为 (-1,+∞) ．（2）由 f ( x )…2 x 2 + bx ，得 axe x …2 x 2 + bx ，由于 x > 0 ，所以 ae x …2 x + b 对任意的 a … 及任意的 x > 0 恒成立．由于 e x > 0 ，所以 ae x … x ，所以 e x - 2 x …b 对任意的 x > 0 恒成立．设 ϕ ( x) = e x - 2 x ， x > 0 ，则 ϕ '( x ) = e x - 2 ，所以函数 ϕ ( x ) 在 (0， ln 2)上单调递减，在 (ln 2， +∞) 上单调递增， 所以 ϕ( x )min= ϕ(ln 2) = 2 - 2ln 2，所以 b … 2 - 2ln 2．1 (x + 1)(axe x + 1)x x①若 a …时，则 g '(x) > 0 ，所以函数 g (x) 在 (0,+∞) 上单调递增，所以函数 g (x) 至多有一个零点，不合题意；②若 a < 0 时，令 g '(x) = 0 ，得 xe x = - 1 > 0 ．a由第（2）小题知，当 x > 0 时，ϕ ( x) = e x - 2 x …2 - 2ln2 > 0 ，所以 e x > 2 x ，所以 xe x > 2x 2 ，所以当 x > 0 时，函数 xe x 的值域为 (0,+∞) ．所以存在 x > 0 ，使得 ax ex + 1 = 0 ，即 ax ex = -1①，0 0 0 0且当 x < x 时， g '(x) > 0 ，所以函数 g (x) 在 (0, x ) 上单调递增，在 ( x ， +∞) 上单调递减．因为函数有两个零点 x ， x ，12所以 g ( x )max= g ( x ) = ax ex + x + ln x = -1 + x + ln x > 0 ②．0 0 0 0 0 0 0设 ϕ (x) = -1 + x + ln x ， x > 0 ，则 ϕ '( x ) = 1 + 1 > 0 ，所以函数 ϕ ( x) 在 (0,+∞) 上单调递增．x由于 ϕ (1) = 0 ，所以当 x > 1 时， ϕ ( x) > 0 ，所以②式中的 x > 1 ．又由①式，得 x ex = - 1 ．由第（1）小题可知，当 a < 0 时，函数 f ( x) 在 (0,+∞) 上单调递减，所以 - 1 > e ，a即 a ∈ (- 1 ， 0)．ee a a1 (i ) 由于 g (1 ) = ae e + (1 - 1) < 0 ，所以 g ( 1 )g g ( x ) < 0 ． ee e e 0因为 1 < 1 < x ，且函数 g (x) 在 (0, x ) 上单调递减，函数 g (x) 的图象在 (0, x ) 上不间断， 0 0 0 所以函数 g (x) 在 (0, x ) 上恰有一个零点； 0(ii) 由于 g (- 1 ) = - e - 1 - 1 + ln (- 1 ) ，令 t = - 1 > e ， a a a a a 设 F (t ) = -e t + t + ln t ， t > e ，由于 t > e 时， ln t < t ， e t > 2t ，所以设 F(t) < 0 ，即 g (- 1 ) < 0 ． a 由①式，得当 x > 1 时， - 1 = x ex > x ，且 g (- 1 )g g ( x ) < 0 ， 0 0 0 0 0 同理可得函数 g (x) 在 ( x ， +∞) 上也恰有一个零点． 0综上， a ∈ (- 1 ， 0)． e页 10第。

江苏省苏州市2020届高三数学上学期调研测试试题理（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的表面积公式S=4πr2，其中r为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知i为虚数单位，复数的模为_____．【答案】【解析】，故答案为.2.已知集合，，且，则正整数______．【答案】2【解析】，，且，，故答案为.3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线方程为的焦点坐标为，故答案为.4.苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．【答案】【解析】每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为，故答案为.5.已知，，则正实数______．【答案】【解析】，则，得，故答案为.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为_________．【答案】48【解析】输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，结束循环，输出，故答案为.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知变量x，y满足则的最大值为______．【答案】-9【解析】画出表示的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时，直线截距最小，最大，最大值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知等比数列的前n项和为，且，，则的值为____．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，即，得，，解得，故答案为.9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为______．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】【解析】该球形容器最小时，正四棱柱与球内接，此时球直径等于正四棱柱的对角线，即，球形容器的表面积为，故答案为.10.如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离____m．【答案】18【解析】试题分析：过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．考点：直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．11.在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，结合题意可得，解得m、n、r的值，代入圆的标准方程即可得答案．【详解】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2，则有，解可得：m＝1，n＝﹣2，r，则圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2，故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2【点睛】本题考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心以及半径，属于基础题．12.已知正实数 a，b，c满足，，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【详解】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.13.如图，△ABC为等腰三角形，，，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧上的一点，则的取值范围是______．【答案】【解析】以为原点，以的垂线平行线为轴，建立直角坐标系，由，，可得，可设，，，,故答案为.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: ① 配方法（适合二次函数）；② 换元法（代数换元与三角换元）；③ 不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”）；④ 三角函数法（注意恒等变形）；⑤ 图像法（根据图象的最高和最低点求解）；⑥ 函数单调性法求解（根据其单调性求凼数的取值范围即可），本题主要应用方法④解答的.14.已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．【答案】【解析】，设与平行的的切线的点为，则切线斜率为，切线方程为，则与，被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段的最小值，因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，可得，线段的最小值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及最值问题以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将被直线和曲线截得线段的最小值转化为，被直线和曲线截得线段的最小值，是解题的关键.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；（2）若，求函数的单调增区间．【答案】（1）取得最小值0，（2）单调增区间是和．【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质可得当，即时，取得最小值；（2）令，解得，结合，分别令，可得函数在的单调增区间是和.试题解析：（1）．当，即时，取得最小值0．此时，取得最小值时自变量x的取值集合为．（2）因为，令，解得，又，令，，令，，所以函数在的单调增区间是和．【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函数的图像与性质，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16.如图，在正方体中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．（1）求证：EF∥平面ABHG；（2）求证：平面ABHG⊥平面CFED．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由是的中点，可得，从而可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据线面垂直的性质可得，根据相似三角形的性质可得，从而根据线面垂直的判定定理可得平面，进而根据面面垂直的判定定理可得结论.试题解析：（1）因为E，F是A1D1，B1C1的中点，所以，在正方体中，A1B1∥AB，所以．又平面ABHG，AB平面ABHG，所以EF∥平面ABHG，．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD 平面BB1C1C，又平面，所以．①设，△BCH≌△，所以，因为∠HBC+∠PHC=90，所以+∠PHC=90．所以，即．②由①②，又，DC，CF平面CFED，所以平面CFED．又平面ABHG，所以平面ABHG⊥平面CFED．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于中档题 . 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.（1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．【答案】（1），定义域为（2）17.68【解析】试题分析：（1）由轮船航行的方位角为，可得，，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得，，所以，则由经到所用时间与的函数关系为，可得函数的定义域为，其中锐角的正切值为；（2）利用导数研究函数的单调性，可得在上递减，在上递增，（），所以可得时函数取得最小值，此时≈17.68.试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以，，则，．．由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为．函数的定义域为，其中锐角的正切值为.（2）由（1），，，，令，解得，设θ0，使θ0减函数极小值增函数所以，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=≈17.68，答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少．18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】（1）（2）存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，结合，列出关于、、的方程组，求出、、即可得结果；（2）设过点的直线的方程为与椭圆交于,则整理得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可将表示为的函数，消去可得，从而可得，存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为.试题解析：（1）由题意，故，又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，所以，解得，，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为．当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为，联立解得，即两圆过点．猜想以AB为直径的圆恒过定点．对一般情况证明如下：设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,则整理得，所以．因为，所以．所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.19.已知各项是正数的数列的前n项和为．（1）若（n N*，n≥2），且．①求数列的通项公式；②若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）数列是公比为q（q＞0， q1）的等比数列，且{a n}的前n项积．为．若存在正整数k，对任意n N*，使得为定值，求首项的值．【答案】（1）①②（2）【解析】试题分析：（1）①当时，由可得两式相减得，即，，数列为等差数列，可得，②由①知，，所以，可得对一切恒成立，记，，判断数列的单调性，求出最大项，从而可得结果；（2）设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，化为.对恒成立，问题等价于，从而可得结果.试题解析：（1）①当时，由则两式相减得，即，当时，，即，解得或（舍），所以，即数列为等差数列，且首项，所以数列的通项公式为.②由①知，，所以，由题意可得对一切恒成立，记，则，，所以，，当时，，当时，，且，，，所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为.（2）由题意，设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，则，即对恒成立，因为，问题等价于将代入，解得.因为，所以，所以，又故.20.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）时，,分段求出导函数，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，所以在区间上有解，等价于在区间上有解，设，对利用导数研究函数的单调性，结合函数图象及零点存在定理，即可得到符合题意的的取值范围即可；（3）先排除的情况，到，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，问题转化为解得，所以.试题解析：（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满足题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件矛盾，所以.令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.三．【选做题】本题包括四大题，请选定其中两题．．．．，若多做，则．．．．．．，并在相应的答题区．．．．．．．．域内作答按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.如图，，与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，于点D，于点E，于点F.求证：.【答案】见解析.【解析】试题分析：连根据同弧上的圆周角与弦切角相等，可得. 再由，，可得，从而得.同理，，又，，因此，故，从而可得，即.试题解析：连PB，PC，因为分别为同弧BP上的圆周角和弦切角，所以. 因为，，所以△PDB∽△PFC，故.同理，，又，，所以△PFB∽△PEC，故.所以，即.22.选修4-2：矩阵与变换已知，，求．【答案】【解析】试题分析：矩阵的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，所以解得，从而可得结果.试题解析：矩阵的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，所以解得．所以．23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【答案】12.【解析】试题分析：（1）先根据极坐标与直角坐标的互化公式得到的直角坐标方程，利用代入法将直线的参数方程转化为普通方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何意义可求得，从而根据三角形面积公式可得结果.试题解析：由曲线C的极坐标方程是，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x．由直线l的参数方程 (t为参数)，得，所以直线l的普通方程为．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以，因为原点到直线的距离，所以△AOB的面积是．24.选修4-5：不等式选讲已知a，b，c∈R，，若对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（1）根据柯西不等式可得，对一切实数a，b，c恒成立，等价于，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：因为a，b，c∈R，，由柯西不等式得，因为对一切实数a，b，c恒成立，所以．当时，，即；当时，不成立；当时，，即；综上，实数x的取值范围为．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB BP2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。

江苏省2020届高三数学教学质量调研试题理一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝{}(3)0x x x -<，B ＝{﹣1，0，1，2，3}，则A B ＝ ．答案：{1，2} 考点：集合的运算解析：因为集合A ＝{}(3)0x x x -<， 所以A ＝(0，3)，又B ＝{﹣1，0，1，2，3}， 所以A B ＝{1，2}．2．已知x ，y ∈R ，则“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空）． 答案：充分必要考点：常用的逻辑用语，充要条件解析：当a ＝1时，两直线平行；当两直线平行时，a ＝1，故“a ＝1”是“直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的充要条件． 3．函数y =的定义域为 ．答案：(1，2]考点：函数的定义域解析：由题意得：12log (1)010x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，则21x x ≤⎧⎨>⎩，故原函数的定义域为(1，2]．4．若不等式210ax ax ++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 ． 答案：[0，4)考点：一元二次不等式解析：当a ＝0时，1＞0符合题意； 当2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，综上所述，则实数a 的取值范围为[0，4)．5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是 ．考点：双曲线的标准方程及性质解析：因为双曲线22221x y a b -=的焦点到渐近线的距离是b ，故双曲线22143x y -=的焦点到渐6．设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则23z x y =+的最大值为 ．答案：18考点：线性规划解析：由题意，图中阴影部分即为可行域，设图中的两条直线的交点为A(4，3)，显然，当位于可行域中A 点时，23z x y =+的值最大，即z max ＝2×3＋3×4＝18．7．若5cos 26sin()04παα++=，α∈(2π，π)，则sin2α＝ ． 答案：﹣1考点：三角恒等变换 解析：∵5cos 26sin()04παα++=∴225(cos sin )6cos )02αααα-+⨯+=化简得：(sin cos )[5(cos sin )0αααα+-+= 当34πα=时，sin2α＝﹣1；当5(cos sin )αα-+0，即cos sin αα-=则181sin 225α-=，所以7sin 225α= 而α∈(2π，π)，2α∈(π，2π)，所以sin 2α＜0，可得7sin 225α=（舍）综上所述，sin2α＝﹣1． 8．将函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称，则ϕ＝ ． 答案：3π-考点：三角函数的图像与性质解析：因为函数()sin(2)()2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移56π个单位长度后关于原点对称 即函数55sin[2()]sin(2)63y x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数 所以53k πϕπ-+=，k Z ∈ 则53k πϕπ=+，k Z ∈ 因为2πϕ<，求得ϕ＝3π-． 9．已知点F 是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点，A 为右顶点，点P 是椭圆上一点，PF ⊥x轴，若PF ＝1AF 4，则该椭圆的离心率为 ． 答案：34考点：椭圆的离心率解析：∵点P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，∴PF ＝2b a∵PF ＝1AF 4∴2b a ＝1()4a c +将222b ac =-代入上式，并化简得：22430c ac a +-= 等式两边同时÷2a 得：2430e e +-=，解得34e =（负值已舍去） 综上所述，该椭圆的离心率为34．10．设函数()2x xf x e e x -=--，则不等式2(21)()0f x f x -+≤的解集为 ．答案：[﹣1，12] 考点：函数的奇偶性与单调性 解析：∵()2()xx f x ee xf x --=-+=-，∴()f x 是奇函数又∵()20x xf x e e -'=+-≥，∴()f x 是单调增函数∵2(21)()0f x f x -+≤，则2(21)()()f x f x f x -≤-=- ∴221x x -≤-，解得﹣1≤x ≤12，故不等式的解集为[﹣1，12]． 11．在平面直角坐标系xOy 中，AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝存在线段AB 的中点P ，使得点P 关于x 轴对称的点Q 在直线30kx y ++=上，则实数k 的取值范围是 ． 答案：[43-，0] 考点：直线与圆解析：根据AB 是圆C ：22(2)(2)4x y -+-=的弦，且AB＝AB 的中点P 满足CP ＝1，即点P 在以C(2，2)为圆心，1为半径为圆上，由于点P 关于x 轴对称的点为Q ，则动点Q 在以(2，﹣2)为圆心，1为半径的圆上运动，又点Q 在直线30kx y ++=上，则(2，﹣2)到该直线的距离小于等于11≤，求得403k -≤≤，故实数k 的取值范围是[43-，0]． 12．已知a ，b R +∈，且(2)7a b b ++=，则32ab a b ++的最小值为 ． 答案：10考点：基本不等式解析：因为(2)7a b b ++=，则729211a b a a -==-++， 所以93272327141ab a b a b a b a b a a ++=--++=++=++++410≥= 当且仅当2a =，1b =时取“＝”． 故32ab a b ++的最小值为10．13．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点A(α，sin α)(0＜α＜2π)，且直线l 与函数()y f x =的图象交于点B(β，sin β)，若α﹣β＝π，则tan α的值为 ．答案：2π 考点：利用导数研究函数的切线，诱导公式，同角三角函数关系式解析：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以在点A 处切线斜率为cos α，由题意可得：sin sin cos αβααβ-=-，又α﹣β＝π，则β＝α﹣π所以sin sin()cos ααπαπ--=，化简得：2sin cos ααπ=，故tan α＝2π． 14．若函数()1xx af x e-=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[212e -，﹣1) 考点：函数与方程解析：要使函数()1xx af x e -=-在x ∈[﹣2，+∞)有三个零点 则方程1xx ae--＝0在x ∈[﹣2，+∞)有三个不相等的实数根 即函数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点 当y x a =-与函数xy e =相切时，求得a ＝﹣1，则要使数y x a =-与函数xy e =在x ∈[﹣2，+∞)有三个不同的交点，需满足：2(2)1a e a -⎧--≥⎨<-⎩，解得2121a e -≤<-．故实数a 的取值范围是[212e -，﹣1)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ﹣b )sinA ＝(b ＋c )(sinC ﹣sinB)．（1）求角C 的值；（2）若cos(B ＋6π)＝13，求sinA ．16．（本题满分14分）已知函数22164()2()f x x a x x x=+--，x ∈[1，2]． （1）求函数()f x 的最小值()g a ；（2）对于（1）中的()g a ，若不等式2()212g a a at <++对于任意a ∈(﹣3，0)恒成立，求实数t 的取值范围．17．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一条准线方程为3x =右焦点0)，圆O ：222x y b +=，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P 且与椭圆相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若△OAB 的面积为7，求直线l 的斜率．18．（本题满分16分）在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点(0，)，右焦点F 到右准线和左顶点的距离相等，经过点F 的直线l 交椭圆于点M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是直线l 上在椭圆外的一点，且PM ·PN ＝PF 2，证明：点P 在定直线上．19．（本题满分16分）某市在精准扶贫和生态文明建设的专项工作中，为改善农村生态环境，建设美丽乡村，开展农村生活用水排污管道“村村通”．已知排污管道外径为1米，当两条管道并行经过一块农田时，如图，要求两根管道最近距离不小于0.25米，埋设的最小覆土厚度（路面至管顶）不低于0.5米．埋设管道前先挖一条横截面为等腰梯形的沟渠，且管道所在的两圆分别与两腰相切．设∠BAD＝α．（1）为了减少对农田的损毁，则当α为何值时，挖掘的土方量最少？（2）水管用吊车放入渠底前需了解吊绳的长度，在（1）的条件下计算O1B长度．20．（本题满分16分）已知：函数()1ln f x x bx =+-，21()1g x x=-． （1）求函数()g x 在点(1，0)处的切线方程； （2）求函数()f x 在(0，1]上的最大值；（3）当b ＝0时，试讨论函数()()()1h x f x a g x =-⋅-的零点个数．附加题（每题10分，共40分）21(A)．已知线性变换T 1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M ，线性变换T 2：3x xy y'=⎧⎨'=⎩对应的矩阵为N ． （1）写出矩阵M 、N ；（2）若直线210x y +-=先经过T 1变换，再经过T 2变换后的曲线方程．21(B)．已知曲线C 的参数方程为sin 2cos x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，直线l 过点P(0，1)．（1）求曲线C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．22．为迎接国庆汇演，学校拟对参演的班级进行奖励性加分表彰，每选中一个节目，其班级量化考核积分加3分．某班级准备了三个文娱节目，这三个节目被选中的概率分别为12，13，14，且每个节目是否被选中是相互独立的． （1）求该班级被加分的概率；（2）求该班级获得奖励性积分ξ的分布列与数学期望．23．已知抛物线E ：24y x ，过点Q(2，0)作直线与抛物线E 交于A ，B 两点，点P 是抛物线上异于A ，B 两点的一动点，直线PA ，PB 与直线x ＝﹣2交于M ，N 两点． （1）证明：M ，N 两点的纵坐标之积为定值； （2）求△MNQ 面积的最小值．。

2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学理科（Ⅰ）试题 2019.12．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 ． 答案：3-3. 函数2()log (1)f x x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：235. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为 ．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠答案：2006. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ． 答案：87.若抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y -=的右焦点，则p =____． 答案为：68. 已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为 ． 答案：2-9. 已知数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ．答案：2010. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134DE DF =u u u r u u u rg ，则线段BD 的长为 ．311. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB∆的面积均为4，则r 的取值范围是 ． 答案：2922 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使0()3f x =成立，则实数a 的值为 ． 答案：12ln -13.已知函数32ln ,0(),0e x x f x x x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-U14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111tan tan tan A B C++的最小值为 ．答案：13 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的纵坐标是1010． （1）求3cos()4πα-的值；（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5-，求αβ+的值．分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α= 从而cos 3101sin 210αα=-=．（1）3cos()cos 4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α 34π，31021025()=⨯-+⨯=-． （2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5-， 所以cos 5β=-，从而sin 251cos2ββ=-=． 于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252()2β=⨯-+⨯=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点．（1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ．分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．（2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点，1//OD A B ∴，Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/Q 平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. （本小题满分14分）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r …（单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，则22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r r π=+；再由254203r r ->，则3133r <„所以定义域为3{|133}r r <„，（2）254()f r r r=+，3133r <„解：（1）由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r=-， 所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-g ，即25460()y r rπ=⨯+；因为1r …，0h >，所以254203r r ->，则3133r <„，所以定义域为3{|133}r r <„， （2）设254()f r r r=+，3133r <„，则254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，333)时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点(0,3)，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； （3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．分析：（1）由题意知3b =12c a=，可得32b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S S AF AF F F r =++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论． 解：（1）由题意知3b =12c a=，所以3b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=． （2）因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 则12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r ====++++V V g g ．（3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+． 由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. （本小题满分16分）设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值.（3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （1）解：设{}n b 的公比为q ，则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；（2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d=，则n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =-（3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …；112a b =Q ；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯…④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-g …⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-；若13a d =-，则40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. （本小题满分16分）设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出，（2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，（3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞．（2）由2()2f x x bx +…，得22xaxe x bx +…，由于0x >， 所以2x ae x b +…对任意的1a …及任意的0x >恒成立． 由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，则()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增，所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -„2．（3）由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①若0a …时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=--… 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数xxe的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，则1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-．由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<g ． 因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<g ，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点．综上，1(a e∈-，0)．2019年江苏省天一中学十二月份调研考试高三数学理（Ⅱ）试题 2019.12 21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页包含填空题（第1~14题）、解答题（第15~20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠已知矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （1）求矩阵A ；（2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程．分析：（1）由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：（1）1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦Q ，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩ 故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； （2）1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦Q ，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 则2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩ 4x y -=Q ，23y ∴'=， ∴直线l 的方程为23y =． B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4cos, 1cos2xyαα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos2()48xy xα===，又1cos1α-Q剟，44x∴-剟．∴曲线C的普通方程为21(44)8y x x=-剟．将直线l的方程代入曲线方程中，得218x x=，解得0x=，或8x=（舍去）．∴直线l与曲线C的交点P的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，底面四边形ABCD为菱形，12A A AB==，3ABCπ∠=，E，F分别是BC，1A C的中点．（1）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段1A D上，11A MA Dλ=．若//CM平面AEF，求实数λ的值．分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（2）点M在线段1A D上，11A MA Dλ=．求出平面AEF的法向量，利用//CM平面AEF，即可求实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D-为直四棱柱，所以1A A⊥平面ABCD．又AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以1A A AE⊥，1A A AD⊥．在菱形ABCD中3ABCπ∠=，则ABC∆是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC AE⊥．因为//BC AD，所以AE AD⊥．建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(3C ，1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，(3E ，0，0)，3(F ，12，1)． （1）(0AD =uuu r ，2，0)，3(EF =-u u u r ，12，1)， 所以异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为2211=+． （2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=，则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．则(0M ，2λ，22)λ-，(3CM =-u u u u r ，21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =r ，0y ，0)z ．因为(3AE =u u u r ，0，0)，3(AF =u u u r ，12，1)， 由0000303102x x y z ⎧=⎪⎨++=⎪，得00x =，00102y z +=． 取02y =，则01z =-，则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，则0n CM =u u u u r r g ，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束．（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X的分布列和数学期望()E X．分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值；（2）由题意知随机变量X的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A，则P（A）1112213525C C CC==g g；（2）由题意随机变量X的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C CC+=g g；则2122351 (1)5C CP XC===g，436(2)51025P X==⨯=，43228(3)(1)5105125P X==⨯-⨯=，43342(4)(1)5105125P X==⨯-⨯=，X∴的分布列为：X 1 2 3 4P156252812542125162842337 ()1234525125125125E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．。