江苏省天一中学2021届高三数学上学期12月份调研考试试题(含解析).doc

（全国I 卷）2021届高三数学12月教育教学质量监测考试试题 理注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.5273i i i --=+ A.1175858i + B.1175858i -+ C.1175858i - D.1175858i --2.已知集合M ＝{x|8x 2－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ，则()R MN =A.[1,)+∞B.11(,)82 C.11[,)82 D.1(,1]23.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝35，S 3＝2120，则a 4＝ A.340-或8140 B.－8140或340 C.8140 D.3404.设向量m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，现有如下命题： 命题p ：|m －2n|的值可能为9；命题q ：“(m －2n)⊥m ”的充要条件为“cos<m ，n>＝13”； 则下列命题中，真命题为A.pB.p ∧qC.(﹁p)∧qD.p ∨(﹁q)5.记抛物线C ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =，且N(2，2)，则抛物线C 的准线方程为A.x ＝－1B.x ＝－2C.x ＝－3D.x ＝－46.函数3sin 2()xx x f x e+=在[－2π，2π]上的图象大致为7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗。

”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若输入的x的值为，输出的x值为9，则判断框中可以填A.i>4B.i>5C.i>6D.i>78.2021年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。

2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案班级 姓名 得分______一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．22．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-16．直线截得的弦AB 的长为 ___8______7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．311. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分（2）∵，∴()()22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅∴………………………………9分 又，相减得，………………………………………11分 ∴，∴即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分B CPQ16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，与交于点且平面平面为棱上一点.（1）求证：（2）若求证：平面（1）因为平面底面，平面底面，，平面，所以平面，又因为平面，所以．……………………6分（2）因为，，与交于，所以，又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分17. (本小题满分14分)平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．解：（1）设⊙M 的方程为，则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩………………………3分⊙M 的方程为，⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．∴，．∴直线MF 1的方程为， ①直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分18．(本小题满分16分)某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径. 假定拟建体育馆的高米.（1）若要求米，米，求与的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；（3）若，求的最大值.（参考公式：若，则）（1）因为，解得. …………… 2分此时圆，令，得，所以，将点代入中，解得. ………… 4分（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得. ………… 10分（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，从而，………… 12分又因为252)()5(2525t tf tt t t t-'==--⋅，令，得，………… 14分当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）19. (本小题满分16分)已知数列，满足，，，．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，则142242221221n nn n n n n n n na b b b a b a b b b +=-=-=-=++++， ………………………2分 所以，又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，即，所以， ………………………12分欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；当时，存在，，满足题设条件．…16分20. (本小题满分16分)已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，，得或，…………………………………2分 列表如下：（，）的单调增区间为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分①由得：，即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，； ………………………………12 ②由得：，即函数在上单调递增，在上恒成立， 在上恒成立；函数在上单调递减，当时，， ，综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉g33576 8328 茨25454 636E 据29111 71B7 熷 vx34469 86A5 蚥S28942 710E 焎。

江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．1D ．42．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．485．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．已知cos()sin()6παπα-+-=cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B ．C ．5+D ．3+8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.512．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ） A ．0a b << B ．0b a << C ．0a b << D ．0b a <<三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，AB CD ==S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >． (1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：△cos A △sin C =△2a =；△c =△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．△问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；△在△的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．22．已知函数()cos xf x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x >参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数. 【详解】由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ． 3．C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C 4．C 【解析】 【分析】由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.【详解】解：△二项式系数最大的项只有第三项， △展开式中共有5项，△4n =．△41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，△当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得λ的值. 【详解】()0b a a λ-=⊥，20ab a λ⋅-=，40λ⋅=，△2λ=. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果. 【详解】cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=，即11cos 25αα=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7．C 【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ，△AB 的最大值为5CD =+ 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 8．B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.【详解】解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立， 故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+， 当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，△()g x 在[)0,∞+单调递增，△()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， △()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，△()g x 在[)00,x 上单调递减，△()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 9．BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 【详解】解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．△()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．△()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ． 10．AD 【解析】 【分析】化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈，所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，△03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<△D 正确，C 错． 故选：ABD 12．ACD 【解析】 【分析】将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.【详解】()2e e 22a b b a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，△22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，△()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，△f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，△0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，△0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 13．2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 考点：点到直线的距离公式及双曲线的性质． 14．3- 【解析】 【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 【详解】 解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-， 7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅△数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，△202153a a ==-． 故答案为：-3.15．)714【解析】 【分析】连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、AC =AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值. 【详解】连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，△30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，AC =△AD =在△ADM 中，2227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，△2272MA MD MD MAMD MD =+⋅⋅≥△(722MA MD ⋅≤=，当且仅当MA MD =时等号成立， (())727271122284MADS≤⋅⨯==．故答案为：)714.16． 563【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 【详解】 解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，AC =△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则2r =，△=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，△221641OM R ⎧=⎨=⎩，△R = 17．(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=.18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． (1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，△在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，△O 是BD 中点， △E 为棱1DD 的中点，△1//OE BD ， △1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， △1//BD 平面EAC . (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-， 设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则116sin 8AB n AB nθ⋅===⋅⋅， △直线1AB 与平面EAC19．(1)证明见解析(2)证明见解析，△△△，1b = 【解析】 【分析】（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得△△不可能都成立，则△△均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案. (1)△sin cos sin B A C >，△()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+， △sin cos 0A B <，即cos 0B <， △B 为钝角； (2)△B 为钝角，△2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=，若△△均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， △△△不可能都成立，△△△均成立，△a c >，△A C >，只能选△△△．在△ABC 中，由余弦定理得2224b b +-=由0b >，解得1b =． 20．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为127- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1)由题意知22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩△椭圆C 的方程为：2211612x y +=.(2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， △()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+，△()112816,334y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， △()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．(1)532(2)△选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；△答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；△结合二项分布求解即可．(1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分， 故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分． △甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．△若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． △若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)△△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ． △前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分． △乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141 ()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， △乙总分的概率分布列为22．(1)1；(2)2个，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证. (1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立， 因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增， 所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1. (2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =， 所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0xe x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos xg x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.答案第16页，共16页。

2021-2022年高三上学期12月第一次联考数学理试题 含答案考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚。

2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．复数在复平面上对应的点到原点的距离为________________.2. 已知 全集，集合{}{}12032>⋃≥+=x x x x x A ，则 =_________. 3. 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. 则的值为 .4. 在的展开式中，的系数为 .（结果用数字表示）5. 已知无穷数列中，且满足从第二项开始每一项与前一项的比值为同一个常数，则无穷数列的各项和 .6. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，，12，13.3，18.7，20.且总体的中位数为10.5，则总体的平均数为7. 已知数列满足，且()12321-+++=n a a a a n f ,,则的值为 .8. 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则的值为________ .9. 我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性。

从“形”的角度：在区间上，若函数的图像从左到右看总是上升的，则称在区间上是增函数.那么从“数”的角度： ，则称在区间上是增函数.10.数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值．若，且 的峰值为，则正整数的值为11.函数()x x x f 2cos 222cos 3-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π在区间上的取值范围是12. 近年来，孩子的身体素质越来越受到人们的关注，教育部也推出了“阳光课间一小时”活动。

在全社会关注和推进下，孩子们在阳光课间中强健体魄，逐渐健康成长。

然而也有部分家长对该活动的实际效果提出了质疑.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的家长中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取5个人看成一个总体，从这5个人中任意选取2人，则至少有1人在30岁以下的概率为13. 数列通项为，为其前项的和，则=14. 设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的“函数”．如果定义域为的函数为上“函数”，那么实数的取值范围是二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15. 记函数的反函数为如果函数的图像过点,那么函数的图像过点[答] （）A．. B．. C．. D．.16. 下列等式的命题不成立的是 [答] （）A． B． C．是奇数D．17. 方程组共有组解． [答] （）A．1B．2 C．3 D．418. 已知两个非零向量，若条件：“”，条件“关于的不等式与的解集相同”.则条件是的 [答] （）A．充分必要条件 B．非充分非必要条件C．充分非必要条件 D．必要非充分条件三．解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（本题共2小题，满分12分。

2021年高三（上）12月综合练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设集合A={5，log2（a+3）}，B={a，b（a，b∈R）}，若A∩B=1，则A∪B={﹣1，1，5} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，进而得到集合A、B，依据并集的定义求得A∪B．解答：解：由题意可得 log2（a+3）=1，∴a=﹣1，∴b=1．∴集合A={5，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，1，5}，故答案为{﹣1，1，5}．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出a，b的值是解题的关键．2．（3分）（xx•静安区一模）（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a，则x的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；转化思想．分析：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a⇔f（a）=a+1﹣x2，a＞0，则由一次函数要在a＞0上恒成立，从而可得f（0）＞0．解答：解：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a令f（a）=a+1﹣x2，a＞0则由一次函数的性质可得f（0）=1﹣x2≥0 ﹣1≤x≤1故答案为：[﹣1，1]点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将不等式转化为函数问题，转化为关于a的一次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施化难为易中得以解决．构造函数也是本题的一个解题的技巧．3．（3分）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，则实数m最小值是2．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；解答：解：由x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），y=x2﹣x﹣2=在（﹣∞，）上递减，在（，+∞）上递增，又x＜﹣1或x＞2，所以y=x2﹣x﹣2的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），而y=lgu递增，所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，所以实数m的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．4．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]考点：充要条件．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜来确定m的取值范围．解答：解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．5．（3分）设函数f（x）在定义域R内恒有f（﹣x）+f（x）=0，当x≤0时，，则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件判断出函数是奇函数，由f（0）=0求出a的值，再由奇函数的定义得f（1）=﹣f（﹣1），代入所给的解析式求值．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0，得f（x）=﹣f（x），∴函数f（x）在定义域R内是奇函数，即f（0）=0，∵当x≤0时，，∴=0，解得a=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇函数的性质求值，再利用奇偶性对应的关系式，将所求的函数值的自变量的范围转化到已知范围内求解，考查了转化思想．6．（3分）若直线（a2+2a）x﹣y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（﹣2，0）．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．解答：解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：﹣2＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．7．（3分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为y=﹣4sin．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：观察函数的图象可得，函数的最小值﹣4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4 由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω在把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值解答：解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4观察图象可得函数的周期T=16，ω=又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（φ）=1∴φ+|φ|＜，∴φ=函数的表达式y=﹣4sin（）点评：本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=2πT，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；9．（3分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．解答：解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），若f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1﹣3x2及1+x﹣x2的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．解答：解：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又a＜0，所以f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，而1﹣3x2≤1＜2，1+x﹣x2=﹣＜2，故由f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），得1﹣3x2＜1+x﹣x2，即2x2+x＞0，解得x＜﹣或x＞0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．11．（3分）（xx•安徽模拟）已知{a n}是等比数列，a2=2，，则S n=a1+a2+…+a n（n∈N*）的取值范围是[4，8）．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据条件求出q=，a1=4，然后由前n项和公式求出S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8，进而由a1，求出结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，，∴a5=a2q3=2×q3=∴q=∴a1=4，∴S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8 又∵a1=4∴4≤S n＜8 故答案为[4，8）点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，求出数列的公比和首项是解题的关键，同时做题过程中要细心．属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+2x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣2x，∴函数是奇函数；∵f（tx﹣2）+f（x）＜0，∴f（tx﹣2）＜f（﹣x）求导函数可得f′（x）=x2+2＞0，∴函数是R上的增函数∴tx﹣2＜﹣x∴tx﹣2+x＜0∵对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，∴∴﹣1＜x＜故答案为：（﹣1，）．点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=±1．考点：直线与圆相交的性质；相等向量与相反向量．专题：直线与圆．分析：把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得M的坐标，利用点M在圆C上，即可求实数k的值．解答：解：由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，联立两方程得：（1+k2）x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A++kx B+=∵，∴M（﹣，）代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为：±1点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（3分）（普通班做）设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即﹣2 ≤a≤2 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f （x）为增函数．②当△＞0，即a＜﹣2 或a＞2 时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以a＞2 ．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[﹣2 ，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g （e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．解答：解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx 的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+ 有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．点评：本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．（xx•盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（xx•丰台区一模）已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：综合题．分析：（1）将m=﹣1代入向量，，然后用向量的数量积运算表示出•整理成•=x2+x﹣1，然后解绝对值不等式|x2+x﹣1|＜1，即可得到答案．（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，.=x2+x﹣1．∵，∴解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1．∴当m=﹣1时，使不等式成立的x的取值范围是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1}．（Ⅱ）∵，∵，所以x≠﹣m∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；当m=0时，x∈（1，+∞）；当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．18．已知﹛a n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m+k ，a n+k，a l+k也成等差数列．考点：等差关系的确定；等差数列的性质．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根据S m，S n，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．解答：解：（Ⅰ）由已知得出a n=a1q n﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S m，S n，S l成等差数列，则也有a m+k，a n+k，a1+k成等差数列；若q≠1，由S m，S n，S1成等差数列，则有2S n=S1+S m，即有，整理化简得2q n﹣1=q m﹣1+q l﹣1，两边同乘以a1，得2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q l﹣1，即2a n=a m+a l，两边同乘以q k即可得到2a n+k=a m+k+a l+k，即a m+k ，a n+k，a l+k成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．19．已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），计算，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．解答：解：（1）由题意= 可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），则=，所以当时，的最小值为．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），∴，故当x=﹣1 且y=0时，x+y取得最小值为﹣1，所以，的最大值是1﹣（﹣）=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．20．（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．精品文档实用文档 （3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．解答： 解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即 （2分）解得a 1=1，d=2，（3分）∴a n =2n ﹣1．∵==（ ﹣ ），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣ ）=．（5分）（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n ﹣﹣15恒成立．（8分）∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （），即 =．（11分）由=，可得 =＞0，即﹣2m 2+4m+1＞0，（12分）∴1﹣＜m ＜1+．（13分）又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．（14分） 点评： 本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力28507 6F5B 潛[21001 5209 刉a[35736 8B98 讘v34312 8608 蘈32610 7F62 罢 30655 77BF 瞿-29762 7442 瑂32164 7DA4 綤。

天一中学2021届高三数学上学期12月份调研考试试题〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、填空题：本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．请把答案填写上在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，那么()U C A B =_____. 答案：{2}，分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法那么即可求解． 解：{1A =，3}，{3B =，4}，{1A B ∴=，3，4}，{|5,*}{1U x x x N =<∈=，2，3，4}，(){2}U C AB ∴=2. i 是虚数单位，假设复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，那么实数a 的值是 ． 答案：3-分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++，且z 的实部与虚部相等，221a a ∴-=+，即3a =-．故答案为：3-．3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得010x x ≥⎧⎨->⎩，解得01x ≤<故函数()f x 的定义域为[0,1)4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，那么甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：23分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，一共有〔甲乙〕，〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕， 〔乙丁〕，〔丙丁〕六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，那么〔甲丙〕，〔甲丁〕，〔乙丙〕， 〔乙丁〕，一共4种，故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为4263=，故答案为：235. 对一批产品的质量〔单位：克〕进展抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为次品．那么样本中次品件数为 ．答案：200分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量⨯⨯频率组距组距求出． 解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如下图．根据HY ，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品， 其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200⨯++⨯= 故答案为：2006. 如图是一个算法流程图，那么输出的b 的值是 ． 答案：8分析：根据程序框图进展模拟运算即可． 解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，故答案为：87.假设抛物线22y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22451x y-=的右焦点，那么p =____． 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．解：双曲线22451x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32p =，6p ∴=故答案为：68. 函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ+-+<<是定义在R 上的奇函数，那么()8f π-的值是 ．答案：分析：利用辅助角公式进展化简，结合三角函数奇偶性的性质进展求解即可． 解：())cos(2)2sin(2)6f x x x x πϕϕϕ=+-+=+-，()f x 是奇函数，6k πϕπ∴-=，即6k πϕπ=+，k Z ∈，0ϕπ<<，0k ∴=时，6πϕ=，即()2sin 2f x x =，那么()2sin()284f ππ-=-=-=，故答案为：2-．9. 数列{}n a 与2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，那么10a = ．答案：20分析：设等差数列{}n a 的公差为d．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得222(2)2(22)2213d d ++⨯=+，解得d ，即可得出．解：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}na n均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，222(2)2(22)2213d d ++∴⨯=+，解得2d =．那么1029220a =+⨯=． 故答案为：20．10. 如图，在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，假设134DE DF =，那么线段BD 的长为 ．答案：3 分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =， 再由余弦定理可得：23BC =，然后设(01)BD BC λλ=，结合平面向量的线性运算可得：213()()121874DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=，解得：14λ=，即可得解．解：因为在ABC ∆中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒， 所以4AB AC =，又在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠，又4AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，得BC =， 设(01)BD BC λλ=，那么()()DE DF BE BD DC CF =-+11()[(1))22AB BC BC AC λλ=---- 11[()][()(1)]22AB AC AC AB λλλλ=-----222111()(1)()(22)224AB AC AB AC λλλλλλ=------+212187λλ=-+134=， 解得：14λ=， 即14BD BC =，即线段BD 的长为，． 11. 点(3,0)A -，(1,2)B --，假设圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，那么r 的取值范围是 ．答案： 分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的间隔 相等，写出AB 的直线方程， 根据圆上的点到直线AB 的间隔 求出r 的取值范围．解：由题意可得||AB 根据MAB ∆和NAB ∆的面积均为4，可得两点M ，N 到直线AB 的间隔 为 由于AB 的方程为032013y x -+=---+，即30x y ++=；假设圆上只有一个点到直线AB 的间隔 为那么有圆心(2,0)到直线AB 的间隔r =+2r =；假设圆上只有3个点到直线AB 的间隔 为那么有圆心(2,0)到直线AB 的间隔r =-2r =；综上，r 的取值范围是(2)2．故答案为：22． 12. 函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，假设存在实数0x 使0()3f x =成立，那么实数a 的值是 ． 答案：12ln -分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0x 的值，从而得出a 的值．解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--， 令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，那么21431()43x x g x x x x--'=--=，令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或者14x =-〔舍)，∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴〔1〕4=-，()4(4)244x a a x x a a x x a a x h x e e e e e e ------=--=-+-=-〔当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号〕， 0()3f x =，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+，12a ln ∴=-．故答案为：12ln -．32ln ,0(),0e x xf x x x x >⎧=⎨+≤⎩，假设函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，那么实数a 的取值范围是_____.答案：(0,1){2}-解：当0x ≤时，由()0g x =得，320x ax x -+=，∴0x =或者210x ax -+=①∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根当0x >时，由()0g x =得22ln 0e x ax -=，那么22ln e xa x=②， 设22ln ()e x h x x =〔0x >〕，32(12ln )'()e x h x x-=∴当x ∈时, '()0h x >，函数单调递增，当)x ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或者0a ≤时，方程②有一个根；当1a >时，方程②没有实根，综上：当01a <<或者2a =-时，()g x 有三个零点.14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，那么111tan tan tan A B C++的最小值为 ．答案：132分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用根本不等式可求得．解：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，那么tan 2B h =，2tan 3C h =，从而tan tan 2tan tan()3tan tan 114B C A B C B C h+=-+==--，所以1111313132tan tan tan 28282h h A B C h h ++=+⨯=， 〔当且仅当1328h h=，即132h =时，取等〕 故答案为：132．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内答题．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤 15. 〔本小题满分是14分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 的10． 〔1〕求3cos()4πα-的值；〔2〕假设以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标为5，求αβ+的值．分析：〔1〕直接利用三角函数的定义的应用求出结果． 〔2〕利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O 交于点A ，且点A 10， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α=． 从而cos 3101sin 2αα-． 〔1〕3cos()cos4πα-= cos α 3sin 4π+ sin α34π， 31021025(+=． 〔2〕因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5， 所以cos 5β=sin 251cos2ββ=-于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252(2β+=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2παβ+∈，3)2π，从而34παβ+=．16. 〔本小题满分是14分〕如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点． 〔1〕求证：D 为BC 的中点； 〔2〕求证：//EF 平面1ADC ．分析：〔1〕推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而//EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ．证明：〔1〕在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥，111C D CC C =，AD ∴⊥平面11BCC B ，AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点．〔2〕连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴，点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴，//EF OD ∴，EF ⊂/平面1ADC ，DO ⊂平面1ADC ．//EF ∴平面1ADC ．17. 〔本小题满分是14分〕某有一特色酒店由10座完全一样的帐篷构成〔如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分上下两层，其中上层是半径为(1)r r 〔单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体〔如图2)．经测算，上层半球体局部每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个局部平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． 〔1〕求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域；〔2〕当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值.分析:〔1〕由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543r r h πππ+=，表示出h ，那么22(222323)10y r r rh πππ=⨯+⨯+⨯⨯，化简得25460()y r rπ=+；再由254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <，〔2〕254()f r r r=+，3133r <，根据导函数求出其最小值即可．解：〔1〕由题意可得322543r r h πππ+=，所以25423h r r =-， 所以2222542(222323)1010060()3y r r rh r r r rπππππ=⨯+⨯+⨯⨯=+-，即25460()y r rπ=⨯+； 因为1r ，0h >，所以254203r r ->，那么3133r <，所以定义域为3{|133}r r <， 〔2〕设254()f r r r=+，3133r <，那么254()2f r r r'=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(3r ∈，333)时，()0f r '>，()f r 单调递增，所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元．18．〔本小题满分是16分〕如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，假设椭圆C 经过点(0,3)，离心率为12，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设点N 为△12F AF 的内心〔三角形三条内角平分线的交点〕，求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； 〔3〕设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？假设是，恳求出定点T 的坐标；假设不是，请说明理由．分析：〔1〕由题意知3b 12c a=，可得3b a =，解得a 即可得出椭圆C 的方程． 〔2〕由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，可得12121212121||21(||||||)2F NF F AF F F r S SAF AF F F r =++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y y y y x x --=--．令52x =，此时21215(4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．即可得出结论．解：〔1〕由题意知b 12c a=，所以b a =2a =， 所以椭圆C 的方程为：22143x y +=． 〔2〕因为点N 为△12F AF 的内心，所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，那么12121212121||2121223(||||||)2F NF F AF F F r S c c Sa c a c AF AF F F r ====++++．〔3〕假设直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，那么直线AE 的方程为2121(4)4y yy y x x --=--．令52x =，此时2112212112(4)3()5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825()2(4)2(4)x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+==--22221412882534342(4)k k k k k k k x -+-++=- 3332124328244002(4)(34)k k k k k x k ++--==-+，所以点5(,0)2T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2T 在直线BD 上．所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2T ．19. 〔本小题满分是16分〕设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． 〔1〕11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；〔2〕22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，假设数列{}n b 唯一，求1b 的值. 〔3〕数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式〔用含n ，d 的式子表达〕； 〔1〕解：设{}n b 的公比为q ，那么有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-；∴1(2)3n n S --=；〔2〕∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，那么公差1d=，那么n a n =数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比，2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 那么2111+=b b q ，21110b qb --=∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ∆=++= 解得：11b =-或者10b =〔舍〕 即11b =- 〔3〕解：11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋯+=-+⋯①112211(2)22n n n a b a b a b n --++⋯+=-+⋯②∴①-②，得2(2)n n n a b n n =；112a b =；∴*2()n n n a b n n N =∈⋯③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋯④令③÷④，得12(2)1n n a nq n a n -=⋯-⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴122(1)(3)2n n a n q n a n ---=⋯-⑥ 令⑤÷⑥，得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=-； ∴31234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+； 解得1a d =或者13a d =-；假设13a d =-，那么40a =，有444420a b ⨯==，矛盾；1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2nn b d=； 20. 〔本小题满分是16分〕设a 为实数，函数()x f x axe =()a R ∈． 〔1〕当0a <时，求函数()f x 的单调区间；〔2〕设b 为实数，假设不等式2()2f x x bx +对任意的1a 及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； 〔3〕假设函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：〔1〕根据导数和函数单调性的关系即可求出，〔2〕别离参数，可得2x e x b -对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ϕ=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围，〔3〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：〔1〕当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>；当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞． 〔2〕由2()2f x x bx +，得22x axe x bx +，由于0x >， 所以2x ae x b +对任意的1a 及任意的0x >恒成立．由于0x e >，所以x x ae e ，所以2x e x b -对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ϕ=-，0x >，那么()2x x e ϕ'=-，所以函数()x ϕ在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ϕϕ=2)22ln =-2， 所以22b ln -2．〔3〕由()ln xg x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x xx axe g x a x e x x++'=+++=，其中0x >．①假设0a 时，那么()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意；②假设0a <时，令()0g x '=，得10x xe a=->．由第〔2〕小题知，当0x >时，()222x x e x ln ϕ=-- 20>，所以2x e x >，所以22x xe x >，所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞．所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①，且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ，所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②．设()1ln x x x ϕ=-++，0x >，那么1()10x xϕ'=+>，所以函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增．由于(1)ϕ0=，所以当1x >时，()0x ϕ>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a=-．由第〔1〕小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a->，即1(a e∈-，0)．()i 由于111()(1)0eae g e e e =+-<，所以01()()0g g x e<． 因为011x e<<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不连续，所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点；()ii 由于1111()()g e ln aaaa-=---+-，令1t e a=->，设()t F t e t ln =-++t ，t e >，由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a-<．由①式，得当01x >时，0001x ex x a-=>，且01()()0g g x a-<，同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e∈-，0)．2021年天一中学十二月份调研考试 高三数学〔Ⅱ〕试题21．此题一共2小题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 矩阵11a A b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦〔1〕求矩阵A ；〔2〕设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：〔1〕由111211a A b αλα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即可求出a ，b ； 〔2〕设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得2,3.6x y x x y y '-'⎧=⎪⎪⎨'+'⎪=⎪⎩进而得到l 的方程；． 解：〔1〕1122112a a A b b α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，124212λα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ∴24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩解得2,4,a b =⎧⎨=⎩故1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦； 〔2〕1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，121331166A -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 那么2121333311116666x y x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴21,3311,66x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩∴2,4.x x y y x y ''=+⎧⎨''=-⎩4x y -=，23y ∴'=，∴直线l 的方程为23y =．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,(1cos 2x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数〕，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =． 由方程4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩，可得22212cos 2()48x y x α===，又1cos 1α-，44x ∴-．∴曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-．将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或者8x =〔舍去〕． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．第22题、第23题，每一小题10分，一共计20分，请在答题卡指定区域内答题，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．22．〔本小题满分是10分〕如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3ABC π∠=，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点．〔1〕求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；〔2〕点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．假设//CM 平面AEF ，务实数λ的值．分析：〔1〕建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； 〔2〕点M 在线段1A D 上，11A M A Dλ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可务实数λ的值．解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1A A ⊥平面ABCD ．又AE ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥．在菱形ABCD 中3ABC π∠=，那么ABC ∆是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥．因为//BC AD ，所以AE AD ⊥．建立空间直角坐标系．那么(0A ，0，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，1(0A ，0，2)，E 0，0)，F ，12，1)． 〔1〕(0AD =，2，0)，(2EF =-12，1)， 所以异面直线EF ，AD=． 〔2〕设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A Dλ=， 那么(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-．那么(0M ，2λ，22)λ-，(CM =-21λ-，22)λ-．设平面AEF 的法向量为0(n x =，0y ，0)z ． 因为(3AE =0，0)，3(2AF =，12，1)，由00000102y z =++=，得00x =，00102y z +=． 取02y =，那么01z =-，那么平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-．由于//CM 平面AEF ，那么0n CM =，即2(21)(22)0λλ---=，解得23λ=．23．〔本小题满分是10分〕袋中装有大小一样的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分(*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏完毕，假设四局过后仍未过关，游戏也完毕．〔1〕求在一局游戏中得3分的概率；〔2〕求游戏完毕时局数X 的分布列和数学期望()E X ．分析：〔1〕根据互相HY 事件的概率公式求出对应的概率值；〔2〕由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值，求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．解：〔1〕设在一局游戏中得3分为事件A ，那么P 〔A 〕1112213525C C C C ==； 〔2〕由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4；且在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=； 那么2122351(1)5C C P X C ===， 436(2)51025P X ==⨯=，43228P X==⨯-⨯=，(3)(1)510512543342(4)(1)P X==⨯-⨯=，5105125∴的分布列为：X162842337E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．()1234525125125125制卷人：打自企；成别使；而都那。

2021年高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∪B=（1，+∞）．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A，集合B，然后求解它们的并集即可．解答：解：因为集合A={x|y=log2（x﹣2）}={x|x＞2}，集合B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，所以A∪B={x|x＞1}．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）已知点A（﹣1，﹣5）和向量，若，则点B的坐标为（5，7）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设B（x，y），则=（x+1，y+5），然后由==（6，12）可求x，y，即可求解B解答：解：设B（x，y），则=（x+1，y+5）∵==（6，12）∴x+1=6，y+5=12∴x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．（5分）已知x∈R，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意把x2＞1，解出来得x＞1或x＜﹣1，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜﹣1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1，∴x＞1⇒x2＞1，反之不能推出，∴那么的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：阅读型．分析：根据函数的平移左加右减的原则，把y=cos2x的向右平移个单位得到函数的图象．解答：解：将函数函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到函数的图象，故答案为右，点评：本题主要考查了三角函数图象的变换．属基础题．7．（5分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．8．（5分）（xx•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆柱的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（xx•如皋市模拟）已知=．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．10．（5分）定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．11．（5分）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．12．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得c＜a＜b．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：因为=，=ln ，=，所以先比较，，的大小，然后再比较，，的大小关系．解答：解：∵=，=ln ，=，∵，，，，∴，考察对数函数y=lnx，它在（0，+∞）是增函数，∴∴．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用．13．（5分）（xx•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．14．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈（，1]时，是增函数，y∈（，1]，当x∈[0，]时，f（x）=﹣x+是减函数，∴y∈[0，]，如图．∴函数的值域为[0，1]．值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二．解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x﹣1）（x+2）＞0，解可得x＜﹣2或x＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）由（1）可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．16．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C 是菱形，，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OCA1E，得到ECA1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，所以FM，因为E为A1C1的中点，AC，所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，从而O为AC的中点．所以OCA1E，因而ECA1O1，因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC，又因为EC⊂平面EFC，所以平面CEF⊥平面ABC．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．17．（14分）若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A=a （1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形△ABC为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：（1）由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA（2分）即sinB=sinA，∴= （6分）（2）∵=，∴b=a，∴由余弦定理=得c=a（8分）∴b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，∴B=90°（10分）∴cos（B﹣A）=sinA=cosC=．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题．18．（16分）如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：综合题．分析：（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．解答：解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，由已知得：x+y+，即2（x+y）﹣xy=2…（4分）∴tan（α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S△EAF==AE×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为﹣1．∵tan=，∴tan=﹣1，故此时BE=DF=﹣1．所以，当BE=DF=﹣1时，△EAF的面积最小．…（15分）点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．①若PQ=，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．考直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．点：专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2﹣c2，可求b，即可求解椭圆C的方程（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断解答：解：（1）由题意可知：，∴a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），则圆D的方程：，直线PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圆D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2 ②证明：设P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴点P在定圆x2+y2=2上．点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y 轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．解答：解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O （O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．三、附加题21．（10分）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得到f′（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值．解答：解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）=．令f′（x）=0，则，解得．当0＜在区间是减函数，当1＞在区间是增函数．所以时取得最小值，．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键．22．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量，，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且||=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），=（3，﹣2，﹣1）∵||=||=||=∴△ABC为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积S==7 （2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，∴解得x=y=z=±1=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．23．（10分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考充分条件；命题的真假判断与应用．点：分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．24．（10分）（xx•江苏二模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1，D1P⊥平面PCE．试求：（1）线段D1P的长；（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用D1P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D1P的长；（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C （0，2，0）．设P（x，y，2），则，，因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以，解得（舍去）或…（4分）即P（），所以，所以．…（6分）（2）由（1）知，平面平面PCE，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．…（10分）点评：本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．29520 7350 獐39259 995B 饛32199 7DC7 緇b31391 7A9F 窟Ml32561 7F31 缱29074 7192 熒z 21206 52D6 勖。

2022届四校联考高三年级十二月份数学学科测试卷数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |y ＝2－x }，则A ∩B ＝A ．(－∞，3]B ．[1，2)C ．[1，2]D ．(－∞，1]2．若复数z 满足z -|1＋i|＝1－i ，则z ＝A ．22＋22i B ．22－22i C ．－i D ．i3．下列函数中，在区间上单调递增的函数是A ．y ＝cos(x －π3)B ．y ＝3sin x －cos xC ．y ＝sin(x ＋π4)D ．y ＝|sin2x |4．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为1的半球．已知该胶囊的表面积为10π，则它的体积为A ．356πB ．103πC ．133πD ．163π5．已知(x ＋2)2n ＋1的展开式中第二项与第三项的系数之比为1：8，则(x －2x )n 的展开式中常数项为A ．－24B ．24C ．－48D ．486．若sin(α－4π5)sin(α－π5)＝－3，则tan αtan π5＝A ．2B ．34C ．32D ．17．设点M，N均在双曲线x 23－y2＝1上运动，AB为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任意一条直径，则|→MA＋→MB－2→MN|的最小值为A．2B．23C．23D．4－238．已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．对平面向量a，b，有A．若a和b为单位向量，则a＝bB．若|a·b|＝|a| |b|，则a//bC．若|b|＝2，a在b上的投影向量为1b，则a·b的值为22D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线10．北京冬奥会临近开幕，大众对冰雪运动关注不断上升，各地陆续建成众多冰雪设施，广大市民有条件体验冰雪活动的乐趣，为研究市民性别和喜欢冰雪活动是否有关，某校社团学生在部分市民中进行了一次调查，得到下表：冰雪运动的喜好性别合计男性女性喜欢140b140＋b不喜欢c8080＋c合计140＋c80＋b220＋b＋c已知男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的710，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的35，则参考：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，P(χ2＞3.841)＝0.05，P(χ2＞6.635)＝0.01．A．列联表中c的值为60，b的值为120B．有95%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系C．随机对一路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动D．没有99%的把握认为市民性别和喜欢冰雪运动有关系11．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体(六面体)、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体(如图所示)，它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长均为1，则A．它有24条棱、12个顶点、14个面B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直C．它的体积为523D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等C正确；12．已知抛物线y2＝4x，焦点为F，l1，l2是过F的两条直线，斜率分别为k1，k2，且分别交抛物线于A，B两点和C，D两点，以A，B为切点的切线相交于点P，以C，D为切点的切线相交于点Q，则A．若AB中点的纵坐标为4，则k1＝2B．若k1k2＝－1，则AB＋CD的最小值为16C．P点在以AB为直径的圆上D．若k1k2＝1，则→FP·→FQ为定值8三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)＝sin x(e x－a e－x)＋b是奇函数，则a＋b＝．14．已知曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2y，则曲线C围成的图形面积为．15．对于数列{a n}，使数列{a n}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”．已知a n＝log4n＋1n，则在区间[1，2021]内的所有“幸福数”的个数为．16．若存在实数t，对任意的x∈(0，s]，不等式(ln x－x＋2－t)(1－t－x)≤0成立，则整数s的最大值为．(ln3≈1.099，ln4≈1.386)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝13，a n ＋1＝13a n ＋13n ＋1，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ．【解析】18．(本小题满分12分)宜兴紫砂壶是艺术品，它形制优美，颜色古雅该地某紫砂壶厂家为进一步提升产品质量和经济效益，决定对紫砂壶的质量实行专家鉴定制度；若一件紫砂壶被3位专家都鉴定通过，则该紫砂壶为一等品；若一件紫砂壶被3位专家中的2位鉴定通过，则该紫砂壶为二等品；若一件紫砂壶仅被3位专家中的1位鉴定通过，则该紫砂壶为三等品；若－件紫砂壶没有得到3位专家的鉴定通过，则需第4位专家进行鉴定，如果鉴定通过，则该紫砂壶为三等品，否则为四等品．已知每件紫砂壶被每位专家鉴定通过的概率均为23，且专家之间鉴定是否通过相互独立．(1)求一件紫砂壶被专家鉴定为三等品的概率；(2)一件紫砂壶若被鉴定为一等品、二等品、三等品方可出厂销售，且利润分别为2700元、1800元和820元；被鉴定为四等品则不能出厂销售，且亏损200元．记一件紫砂壶的利润为X 元，求X 的概率分布及数学期望．【解析】19．(本小题满分12分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＝255，b ＝4，点D 是AC 边上一点，且满足AD ＝BD ，∠DBC ＝π4．(1)求sin C；(2)求△BCD 的面积．【解析】A B C D20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，△PAB 为正三角形，PD ＝10，E 为线段AB 的中点，M 为线段PD (不含端点)上的一个动点，且PM ＝λPD ．(1)证明：PE ⊥平面ABCD ；(2)若二面角M －EC －D的大小为60°，求实数λ的值．【解析】C ABDE PM21．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，右顶点为A，过点B(a，1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，其中点M在第一象限当点M，N关于原点对称时，点M的横坐标为2．(1)求椭圆C的方程；(2)过点N作x轴的垂线，与直线AM交于点P，Q为线段NP的中点，求直线AQ的斜率，并求线段AQ长度的最大值．【解析】22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x e x ．(1)若函数g(x)＝f(x)＋x2－2x，求函数g(x)的单调区间；(2)若直线l为曲线y＝f(x)在点(t，f(t))处的切线，直线l与曲线y＝f(x)相交于点(s，f(s))，且s＜t，求实数t的取值范围．【解析】。

2021年高三12月第一次联考数学试题 Word 版含答案参考学校：江苏省通州高级中学；江苏省镇江第一中学；江苏省太仓高级中学；江苏省建湖高级中学；江苏省阜宁中学数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷纸相应的位置上．1. 若集合{23},{14}A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合 ▲ ．2. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为 ▲ ．3. 函数的单调递减区间为 ▲ ．4. 直线经过两点，那么直线的倾斜角的取值范围是 ▲ ．5. 在中，，且,则边AB 的长为 ▲ ．6. 已知,则 ▲ ．7. 直线：与圆：相交于两点，则“”是“的面积为”的 ▲ 条件.(填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一) 8．设是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且，则”为真命题的是 ▲ ． （填所正确条件的代号）①为直线； ②为平面； ③为直线，为平面； ④为直线，为平面. 9. 已知，则的值为 ▲ ．AC10. 长方体中，，则四面体的体积为 ▲ ． 11. 在△ABC 中，已知，，，则边的长为 ▲ ． 12．不等式对于任意的，存在成立， 则实数的取值范围为 ▲ ． 13. 函数，当时，恒成立，求 ▲ ．14. 数列、都是等比数列，当时，，若数列唯一， 则= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()()cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（１）求的最小正周期；（２）若将的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的最大值和最小值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱PD ⊥底面，， 是的中点，作⊥交于点. （１）证明：∥平面； （２）证明：⊥平面.17．(本小题满分14分)某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x∈)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万元(a ＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（１）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（２）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？18．(本小题满分16分)已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．（１）求圆的方程；（２）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（３）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围．19．(本小题满分16分)函数．（１）若，求曲线在的切线方程；（２）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（３）设点，，满足，判断是否存在实数，使得为直角？说明理由．20．(本小题满分16分)若数列的各项均为正数，，为常数，且.（１）求的值；（２）证明：数列为等差数列；（３）若，对任意给定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使1a k，1a p，1a r成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．江苏省重点中学xx届高三年级第一次联合考试数学试卷数学II （附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是⊙上的两点，⊥， 过点作⊙的切线FD 交的延长线于点．连结交 于点. 求证：.B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．D ．选修4—5：不等式选讲设，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （１）求袋中原有白球的个数；（２）求随机变量X 的概率分布及数学期望．23．（本题满分10分）已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（１）求展开式的中间项；（２）当时，试比较与的大小.江苏省重点中学xx届高三年级第一次联合考试数学试卷答题纸【考试时间120分钟满分160分】I卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，满分70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．二、解答题：（解答应写出必要的文字说明、证明过程.共6大题，满分90分）15．（本小题满分14分）解：C 17．（本小题满分14分）19．（本小题满分16分）20．（本小题满分16分）江苏省重点中学xx届高三年级第一次联合考试数学试卷答题纸【考试时间30分钟满分40分】数学II（附加题）21．（本小题满分10分）解：21．（本小题满分10分）22．（本小题满分10分）23．（本小题满分10分）江苏省重点中学xx 届高三年级第一次联合考试数学试卷参考答案（Ⅰ）卷一、填空题（每小题5分，共70分）1. 2. 3.（0,1] 4. 5. 16. 7. 充分而不必要 8．③ 9. 10. 611. 12． 13. 14.二、解答题（本大题共6小题，共90分）15． (本题满分14分)解 (1) ()()cos sin 2344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C……5分. ………………7分(2)由已知得，………………………………………9分，，………………11分故当即时，；当即时，，………………14分16．(本题满分14分)证明：(1)连结交与，连结.∵底面是矩形，∴点是的中点.又∵是的中点∴在△中，为中位线∴∥.而平面，平面，∴∥平面. ……7分(2)由⊥底面，得⊥.∵底面是正方形，∴⊥，∴⊥平面. 而平面，∴⊥.①∵，是的中点，∴△是等腰三角形，⊥.②由①和②得⊥平面.而平面，∴⊥.又⊥且=，∴⊥平面. ……14分17. (本题满分14分)解：（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x%)≥10×1000，即－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．……5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总利润为万元，则≤，……8分所以ax－≤1000＋2x－x－，所以ax≤＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立．……11分因为＋≥＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为(0，．……14分18. (本题满分16分)解：(1) ……………4分(2)或………10分（缺少一个方程扣3分）(3)，即恒成立，，从而. …16分注：多等号扣2分，其它方法类似.19. (本题满分16分)解（1）． ……………3分（2）在恒成立， ……………5分设， 值域，即在恒成立，，． ……………10分（3），121212()()(1)(1)(ln 1)(ln 1)x m x m mx mx x x =--+++--不存在实数，使得为直角． ……………16分20. (本题满分16分)解：（1）由条件，设令，得①，令，得 ②①—②，得 ， ，……………………………………4分（2）③， ④，④—③，得 ……………………………7分数列为常数数列，， 数列为等差数列. ……………10分（3）由（2）知，数列为等差数列，设公差为，则由条件，得，又数列的各项为正数，，，.……………………………………12分当k ＝1时，若存在p ，r 使1a k ，1a p ，1a r成等差数列，则1r ＝2p －1＝2－p p ≤0. 与1r >0矛盾．因此，当k ＝1时，不存在． ………………… 14分当k ≥2时，则1k ＋1r ＝2p ，所以r ＝kp 2k －p. 令p ＝2k －1得r ＝kp ＝k (2k －1)，满足k <p <r ．综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k ≥2时，存在一组p ＝2k －1，r ＝k (2k －1)满足题意． …… 16分（II ）卷21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD =90°．所以∠OFC +∠CFD =90°．因为OC =OF ，所以∠OCF =∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF +∠CEO =90°．所以∠CFD =∠CEO =∠DEF ，所以DF =DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ．B ．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵属于特征值6的一个特征向量为，可得＝6，即；由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，＝，即，解得即＝，逆矩阵是.C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线化为直角坐标方程得：，即，圆心到直线的距离，∴曲线相离．D ．选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-=．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为， 由题意知=，即，化简得．解得或（舍去） 故袋中原有白球的个数为6.（2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4.； ；；.23．（本题满分10分）解：（Ⅰ）依题意，，，由可得（舍去），或 …………………2分 所以展开式的中间项是第五项为：；…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，, 当时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=> 当时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++猜测：当时， …………………6分以下用数学归纳法加以证明：①时，结论成立， ②设当时，，则时， 21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++由可知，即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当时， …………………10分N40774 9F46 齆$ 25147 623B 戻\ 26848 68E0 棠30505 7729 眩 32653 7F8D 羍U35863 8C17 谗34885 8845 衅。

2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（） A． 2 B． 2 C． 4 D． 83．设函数，则的值为（）A． B． C． D．4．若的值（）A． B． C． D．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 126．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 27．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 010．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= ．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．xx学年山东省菏泽市曹县三桐中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|，B={y|y=2x2，x∈R}，则A∩B=（）A． {x|﹣1≤x≤1} B． {x|x≥0} C． {x|0≤x≤1} D．φ考点：函数的定义域及其求法；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={x|={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y=2x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．点评：本题考查函数的定义域与函数的值域，交集的求法，考查计算能力．2．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 8考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：先将z计算化简成代数形式，根据纯虚数的概念求出a，再代入|a+2i|计算即可．解答：解：z==．根据纯虚数的概念得出∴a=2．∴|a+2i|=|2+2i|==2故选B．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，纯虚数的概念、复数的模．考查的均为复数中基本的运算与概念．3．设函数，则的值为（）A． B． C． D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：分段函数的求值问题，必须分段考虑，由于，故利用下面一个式子求解．解答：解：由于，∴=．故选D．点评：本题考查分段函数的求值问题，“分段函数”是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，它是一个函数，解决分段函数的基本策略是：分段解决．4．若的值（）A． B． C． D．考点：二倍角的余弦；诱导公式的作用．专题：计算题．分析：利用诱导公式求得cos（α+）=，利用二倍角的余弦公式求得的值．解答：解：∵，∴cos（α+）=sin[﹣（α+）]=．∴=cos2（α+）=2﹣1=，故选A．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．5．已知一个等比数列的前三项的积为3，后三项的积为9，且所有项的积为243，则该数列的项数为（）A． 9 B． 10 C． 11 D． 12考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意可得 a1a n=a1=3，再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，倒序可得…•a1q•a1=35②，①②对应项相乘可得 =310，解得 n的值．解答：解：设等比数列的公比等于q，a1a2a3=3，且 a n﹣2a n﹣1a n=9，两式相乘可得 a1a n=a1=3．再由所有项的积为a1•a1q•…=243=35①，…•a1q•a1=35②，把①②对应项相乘可得 =35•35=310，解得 n=10，故选B．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于中档题．6．已知x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，则+的最小值是（）A． 2 B． 2 C． 4 D． 2考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由等比数列可得x+3y=1，可得+=（+）（x+3y）=2+，由基本不等式可得．解答：解：∵x＞0，y＞0，且是3x与33y的等比中项，∴3x•33y=3x+3y=3，即x+3y=1，∴+=（+）（x+3y）=2+≥2+2=4，当且仅当即x=3y=时取等号，∴+的最小值为：4故选：C点评：本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则角A的大小为（）A．或 B． C．或 D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：先利用正弦定理将边转化为角，再切化弦，利用和角的正弦公式，化简即可求得角A．解答：解：∵∴∴∴∴∵角A是△ABC的内角∴A=故选D．点评：本题考查正弦定理的运用，考查和角的正弦公式，解题的关键是利用正弦定理将边转化为角．8．已知a＞0且a≠1，函数y=log a x，y=a x，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（） A． B．C． D．考点：函数的图象与图象变化；函数图象的作法．专题：计算题．分析：根据函数y=a x与y=log a x互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y=x对称，从而对选项进行判断即得．解答：解：∵函数y=a x与y=log a x互为反函数，∴它们的图象关于直线y=x对称．再由函数y=a x的图象过（0，1），y=a x，的图象过（1，0），观察图象知，只有C正确．故选C．点评：本小题主要考查反函数、反函数的应用、对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为（）A．﹣4 B． 3 C． 4 D． 0考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，设z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过A（﹣1，﹣2）时，z有最小值，等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（） A． [﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C． [﹣8，+∞） D．（﹣8，+∞）考点：特称命题．专题：常规题型．分析：题中条件：““∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题”说明只要存在x∈[1，2]，保证x2+2x+a≥0即可，据二次函数的图象与性质得，只要在x=2处的函数值不小于0即可，从而问题解决．解答：解：设f（x）=x2+2x+a，要使∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0，据二次函数的图象与性质得：只要：f（2）≥0即可，∴22+2×2+a≥0，∴a≥﹣8．故选C．点评：本小题主要考查特称命题、特称命题的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．已知等差数列{a n}满足a3+a7=10，则该数列的前9项和S9= 45 ．考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列{a n}为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a7=2a5，由a3+a7的值，求出a5的值，然后利用等差数列的求和公式表示出数列的前9项和S9，利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a7=2a5，又a3+a7=10，∴2a5=10，即a5=5，则该数列的前9项和S9==9a5=45．故答案为：45点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．12．已知=（1，2），=（1，1），且向量与+m垂直，则m= ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵向量=（1，2），=（1，1），∴+m=（1，2）+m（1，1）=（1+m，2+m）．∵与+m垂直，∴•（+m）=1+m+2（2+m）=0，解得m=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．13．已知函数f（x）=sin2x+cos2x，则f（x）的对称中心坐标是（，0），k∈Z ．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用辅助角将函数进行化简，即可求函数的对称中心．解答：解：y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由2x+=kπ，解得x=，故f（x）的对称中心坐标为（，0），k∈Z故答案为：（，0），k∈Z点评：本题主要考查三角函数的性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．14．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：函数的零点．专题：数形结合法．分析：先把原函数转化为函数f（x）=，再作出其图象，然后结合图象进行求解．解答：解：函数f（x）==，得到图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知f（x）=m有三个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查函数的零点及其应用，解题时要注意数形结合思想的合理运用，15．给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；③已知直线l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，则l1⊥l2的充要条件是；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．其中正确结论的序号是①④（填上所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线垂直的判定．专题：综合题．分析：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，可由命题的否定的书写规则进行判断；②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真，可由不等式的运算规则进行判断；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），可由函数单调性与导数的关系进行判断．解答：解：①命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，此是一个正确命题；②由于其逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，当m=0时不成立，故逆命题为真不正确；③l1⊥l2时，a+2b=0，只有当b≠0时，结论成立，故不正确；④对于任意实数x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x），由于两个函数是一奇一偶，且在x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故当x＜0，f′（x）＞g′（x），成立，此命题是真命题．综上①④是正确命题故答案为①④点评：本题考查命题的否定，函数的单调性与导数的关系，及不等式关系的运算，涉及到的知识点较多，解题的关键是对每个命题涉及的知识熟练掌握，且能灵活运用它们作出判断．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：等差数列与等比数列的综合；等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：（1）设出公差d，由a1，a3，a9成等比数列得关于d的一元二次方程，解得d=1，d=0，{a n}是公差不为零的等差数列，d=1，再由a1=1，代入通项公式可求解；（2）由（1）知，d=1，又已知a1=1，{a n}是等差数列，选择含有首项a1和公差d等差数列的前n项和公式代入即可．解答：解：（1）由题设知公差d≠0，由a1=1，a1，a3，a9成等比数列，得（1+2d）2=1×（1+8d），即d2﹣d=0，…（4分）解得d=1，d=0（舍去），…（6分）故{a n}的通项a n=1+（n﹣1）×1=n．…（9分）（2）由（Ⅰ）及等差数列前n项和公式得…（14分）点评：本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，已知数列为等差数列，求通项公式，求首项和公差即可；求前n项和时，有两个公式，结合已知，选择一个最易计算的公式．17．已知向量=（2cosx，2sinx），向量=（cosx，cosx），函数f（x）=﹣．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递增区间．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=+．即可得出函数f（x）的最小正周期．．（2）由，解得，k∈Z．即可得出函数f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）函数f（x）=﹣===+．∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）由，解得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．点评：本题考查了向量的数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．数列{a n}的前n项的和为S n，对于任意的自然数a n＞0，（Ⅰ）求证：数列{a n}是等差数列，并求通项公式（Ⅱ）设，求和T n=b1+b2+…+b n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）令n=1求出首项，然后根据4a n=4S n﹣4S n﹣1进行化简得a n﹣a n﹣1=2，从而得到数列{a n}是等差数列，直接求出通项公式即可；（Ⅱ）确定数列通项，利用错位相减法，可求数列的和．解答：（Ⅰ）证明：∵4S1=4a1=（a1+1）2，∴a1=1．当n≥2时，4a n=4S n﹣4S n﹣1=（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）=a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2n﹣1；（Ⅱ）解：=∴T n=b1+b2+…+b n=++…+﹣﹣﹣①∴T n=++…++﹣﹣﹣②①﹣②T n=+2（++…+）﹣=∴T n=1﹣．点评：本题主要考查了数列的递推关系，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．19．△ABC中，内角A、B．C所对边分别为a、b、c，己知A=，，b=1．（1）求a的长及B的大小；（2）若0＜x＜B，求函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣的值域．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，利用等边对等角确定出B的度数即可；（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出f（x）的值域即可．解答：解：（1）∵△ABC中，A=，c=，b=1，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+3﹣3=1，即a=1，则A=B=；（2）f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），由0＜x＜，得到＜2x+＜，即＜sin（2x+）≤1，则函数的值域为（，2]．点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：x+8（0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？考点：利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．专题：计算题；应用题．分析：（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．解答：解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）．答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，．令h'（x）=0，得x=80．当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．21．已知函数f（x）=e x﹣kx，其中k∈R；（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：当k＞ln2﹣1且x＞0时，f（x）＞x2﹣3kx+1．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）若k=e，利用导数求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，只需转化为f（x）＞0对任意x ≥0成立即可．（Ⅲ）利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式．解答：解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=e x﹣ex，所以f'（x）=e x﹣e．由f'（x）＞0得x＞1，故f（x）的单调递增区间是（1，+∞），由f'（x）＜0得x＜1，故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）由f（|﹣x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．于是f（|x|）＞0对任意x∈R成立等价于f（x）＞0对任意x≥0成立．由f'（x）=e x﹣k=0得x=lnk．①当k∈（0，1]时，f'（x）=e x﹣k＞1﹣k≥0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递增．故f（x）≥f（0）=1＞0，符合题意．②当k∈（1，+∞）时，lnk＞0．当x变化时f'（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，lnk） lnk （lnk，+∞）f'（x）﹣ 0 +f（x）单调递减极小值单调递增由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k﹣klnk．依题意，k﹣klnk＞0，又k＞1，∴1＜k＜e．综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．（Ⅲ）由题，f（x）＞x2﹣3kx+1，即e x﹣kx＞x2﹣3kx+1⇔e x﹣x2+2kx﹣1＞0记g（x）=e x﹣x2+2kx﹣1，则g'（x）=e x﹣2x+2k，记h（x）=e x﹣2x+2k则h'（x）=e x﹣2，得h'（x）＞0⇔e x＞2⇔x＞ln2因此，h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，在（ln2，+∞）上递增；得h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2+2k；因为，k＞ln2﹣1，可得h（x）min=2﹣2ln2+2k＞0所以，g'（x）＞0，说明g（x）在R上递增，因此，当x＞0时有g（x）＞g（0）=0由上，e x﹣x2+2kx﹣1＞0，因此得f（x）＞x2﹣3kx+1；点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数的应用，考查学生的运算能力．33503 82DF 苟M36713 8F69 轩@*25189 6265 扥-b <33226 81CA 臊36351 8DFF 跿28230 6E46 湆。

2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科）含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB 的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简评：求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．27369 6AE9 櫩29240 7238 爸•332196 7DC4 緄x940318 9D7E 鵾F25668 6444 摄038532 9684 隄_37108 90F4 郴T。

2021年高三上学期12月联考数学（理）试题 含答案考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一：选择题：（每题5分，共60分）．1.设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则 （ ） A. B. C.D.2已知为两个命题，则“是真命题”是 “是真命题”的（ ）A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数的大致图象如图所示， 则函数的解析式应为（ ）A. B.C. D.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．5. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB ，则为（ ）A. B. C. D.6. 已知函数在上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. B C. D.7.设，曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则( ) A.80 B 32 C. 192 D. 256 8. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图2231221俯视图（圆和正方形）A. 4+B. 4+C. 4+D. 4+ 9．已知=(cos π, sin π), , ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．10. 在椭圆（ａ＞）中，记左焦点为F,右顶点为A ，短轴上方的端点为B ，若角，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在正三棱柱中，若,则与所成的角的大小是（ ）12．如果直线与圆交于M,N 两点，且M,N 关于直线对称，动点P(a ，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则点取值范围是（ ） A B C D二：填空题：（每题5分，共20分）． 13.计算定积分=________．14.夹在的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是6，则这个球的半径为_______． 15.记函数的导数为，的导数为的导数为。

2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面． 他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足， 记它们的表面积分别为、、，若， 则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ． 已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当 取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点； （Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，． （Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：； （Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14． 二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分 又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分 因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分 （Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分 设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号）， 恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分 （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得， 同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分 因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分 （2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分 所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减， 又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解； （ii ），即时，，所以c=3； （iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分 又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分 又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知， 在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分 ．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即，，，……15分 .. ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分 设，则，由下图得： ， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又 所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则， 因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立， ，所以．又，所以，故． ……4分 （Ⅱ）由，得， 设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分 （Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分 当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-， ，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，， ，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数）， 所以曲线的直角坐标方程为， ……6分 联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种： ，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以； 有以下2种：，所以； 有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分 所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分 （Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。

2021年高三上学期12月份统考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集R ，，则A ． B. C ． D ．2.下列命题中正确的个数是①若是的必要而不充分条件,则是的充分而不必要条件②命题“对任意,都有”的否定为“存在,使得”③若p ∧q 为假命题，则p 与q 均为假命题A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A ．B ．C ．D ．4.由曲线 围成的封闭图形面积为A. B. C. D. 5.已知变量满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.6.若，，则的值为A ．B ．C ．D ．7.已知数列满足，那么的值是A. xxB.xx2016C.xxD.xx8.在锐角中，角所对的边分别为，若，，，则的值为A. B. C ． D ．9.如图，设E ，F 分别是Rt△ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·AF →＝A ．8B ．10C ．11D ．1210.已知函数f (x )对定义域R 内的任意x 都有f (x )=f (4-x )，且当x ≠2时，其导数f ′(x )满足xf ′(x )>2f ′(x)，若2<a<4，则A. B.C. D.第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.已知与的夹角为，若，且，则在方向上的正射影的数量为 .12.若存在，使不等式成立，则实数a的最小值为．13.已知向量==,若，则的最小值为 .14.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有个点．15.已知函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分12分）已知，，,（）．（I）求函数的值域；（II）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，求的值．17.（本题满分12分）已知函数,求函数的单调递减区间．18.（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°．（I）求证：PB⊥AD；（II）若PB=，求二面角A—PD—C的余弦值．19.（本题满分12分）等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，且．（I）求数列，的通项公式；（II）设，求数列的前项和．20.（本题满分13分）某旅游景点预计xx年1月份起，前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝12x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝．（I）写出xx年第x个月的旅游人数f (x)(单位：人)与x的函数关系式；（II）试问xx年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？21.（本小题满分14分）已知函数．（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论函数在其定义域内的单调性；（III）若函数的图象上存在一点，使得以为切点的切线将其图象分割为两部分，且分别位于切线的两侧（点除外），则称为函数的“转点”，问函数是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由．高三数学(理科)试题参考答案一、选择题 1--5 DCDAB 6--10 ABABC二、填空题11、-1 12、1 13、6 14、91 15、三．解答题：16.（I ）解： 2(sin 2cos cos 2sin )(1cos 2)66x x x ππ=-+--1cos 221cos(2)123x x x π=+=++ ，，从而有，所以函数的值域为（II ）由得，又因为所以，从而，即因为，由余弦定理得得，解得的值为1或2. （经检验满足题意）17.解：，，()()()()22221111x a x a x a x a a h x x x x x -++--+'=-+== ①当时，由得：，所以的单调递减区间为②当时，由得：，所以的单调递减区间为③当时，，故无单调递减区间④当时，由得，此时的单调递减区间为18.(Ⅰ)证明：取AD 的中点E ，连接PE ，BE ，BD ．∵PA ＝PD ＝DA ，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，∴△PAD 和△ABD 为两个全等的等边三角形，则PE ⊥AD ， BE ⊥AD ，∴AD ⊥平面PBE又PB ⊂平面PBE ，∴PB ⊥AD ；．．．．．．4分(Ⅱ)解：在△PBE 中，由已知得，PE ＝BE ＝3，PB ＝6，则PB 2＝PE 2＋BE 2，∴∠PEB ＝90°，即PE ⊥BE ，又PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ；以点E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E (0,0,0)， C (－2,3,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,3)则＝(1,0,3)，＝(－1,3,0)，设平面APD 的一个法向量为＝(0,1,0),设平面PDC 的一个法向量为＝(x ,y ,z )，列方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－1，∴＝(3,1,－1)；则·＝1， ∴cos<m , n >＝＝ 1 5＝55由题意知二面角A －PD －C 的平面角为钝角，所以余弦值为－5519.（I ）由题意，，得，，当时，，当时，得，所以的通项公式为（II ）当为偶数时，为奇数时所以20.（I ）当2≤x ≤12，且x ∈N *时 f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ， 当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，验证x ＝1也满足此式所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)（II ）第x 个月旅游消费总额g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－3x 2＋40x ）（35－2x ）（x ∈N *，且1≤x ≤6），（－3x 2＋40x ）·160x （x ∈N *，且7≤x ≤12），即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x （x ∈N *，且1≤x ≤6），－480x ＋6 400（x ∈N *，且7≤x ≤12）. ①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0， ∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元)②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元)综上，xx 年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3125万元21.（I ）当时，，则由此得点处切线的斜率所以曲线在点处的切线方程为，即 （II ）对求导，得2121()21(0),ax x f x ax x x x--+'=--=> ①当时，， 在上递增，在上递减②当时，设， 因为，则i ）当时，，所以，于是在上单调递增ii ）当时，，方程的两根为易知，则所以在上单调递增，在上单调递减综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增当时，在上单调递增，在上单调递减（III ），设，，则在点处的切线方程为.令则.000012'()()()()(0)ax x G x f x f x x x x x x+''=-=--⋅> ①当时，，有；，有所以在上单调递增，在上单调递减，于是故都在切线的同侧，此时不存在“转点”②当时，取，即200020012()'()()0ax x x x G x x x x x x x+-=--⋅=≥,所以在上单调递增 又，所以当时，；当时，.即的图象在切线的两侧，所以为函数的一个“转点”综上所述：当时，存在是函数的一个“转点”当时，不存在“转点” *39557 9A85 骅28394 6EEA 滪21335 5357 南 30627 77A3 瞣dL36962 9062 遢21697 54C1 品39110 98C6 飆 21419 53AB 厫28117 6DD5 淕312427A0A 稊。

天一大联考2021-2021学年高中毕业班阶段性测试〔三〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

数学〔理科〕第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，所以。

选A。

2. 是虚数单位，假设复数为纯虚数〔，〕，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得为纯虚数，所以，故。

所以。

选A。

3. 如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆一共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.假设在正方形图案上随机取一点，那么该点取自白色区域的概率为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得正方形的内切圆的半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为。

选D。

4. 函数〔〕的最小值为2，那么实数〔〕A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。

选B。

5. 数列满足，，，那么数列前项的和等于〔〕A. 162B. 182C. 234D. 346【答案】B【解析】由条件得，所以，因此数列为等差数列。

又，，所以。

故。

选B。

点睛：在等差数列项与和的综合运算中，要注意数列性质的灵敏应用，如在等差数列中项的下标和的性质，即：假设，那么与前n项和公式经常结合在一起运用，采用整体代换的思想，以简化解题过程．6. 用，，…，表示某培训班10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87.执行如下图的程序框图，假设分别输入的10个值，那么输出的的值是〔〕A. B. C. D.【答案】C.....................7. 如图画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A. 16B. 32C. 48D. 60【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为4，底面为上底、下底分别为2,4，高为4的直角梯形，故此四棱锥的体积为。

2021年高三12月阶段性考试数学试题命题∶王建国xx-12-01时间∶120分钟，满分∶160分。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答卷纸相应位．．．．．．置．上。

1. 已知集合，则________.2. 已知是实数，是纯虚数，则___________.3．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差________. 4. 设等差数列的前n 项和为=+++==1413121184,20,8,a a a a S S S n 则若________.5. 已知，直线则直线的概率为 .6．已知直线，平面，且.下列命题中，其中正确命题的序号是 __. ①若，则； ②若，则；③若，则； ④若，则. 7. 已知双曲线C:的右顶点、右焦点分别为A 、F,它的左准线与轴的交点为B ，若A 是线段BF的中点，则双曲线C 的离心率为 .8. 已知222:450,:210(0)p x x q x x m m -->-+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则m的最大值为 . 9．已知结论：“在三边长都相等的中，若是的中点，是外接圆的圆心，则”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体中，若是的三边中线的交点，为四面体外接球的球心，则 ”．10. 若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则的最小值是________．11. 设x,y 满足约束条件，则的取值范围是______________.12．在平面直角坐标系中，已知A （0，－1），B （－3，－4）两点，若点C 在的平分线上，且，则点C 的坐标是_________．13. 数列中,，则数列的前项的和为_________.14. 已知函数201221122012)(+++++++-+-++-=x x x x x x x f ，且，则满足条件的实数的取值范围是_________．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)在中，角所对的边分别为．已知，，．（1）若，，求的面积； （2）求的值．16．(本小题满分14分) 在三棱柱中，， ， ．（1）求证：平面平面；（2）如果为的中点，求证：∥平面．17. (本小题满分14分) 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记. （1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；（2）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时 管道的长度.18. (本小题满分16分)如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且． （1）求椭圆的方程； （2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋2＝(1＋2|cos n π2|)a n ＋|sin n π2|，n ∈N *.(1) 证明：数列{a 2n }(k ∈N *}为等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 设b k ＝a 2k ＋(－1)k －1λ·2(λ为非零整数)，试确定λ的值，使得对任意k ∈N *都有b k ＋1＞b k 成立.20. (本小题满分16分)已知函数.(1)试判断函数在上单调性并证明你的结论； (2)若恒成立，求整数的最大值； (3)求证：江苏省东台中学xx 届高三阶段性考试数学(附加题部分)试题时间∶30分钟，满分∶40分。