2020年江苏省无锡市锡山区天一中学高考数学第一次模拟测试试卷 (解析版)

江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A ．12B ．18C ．24D ．302．设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充分且必要D ．既不充分也不必要3．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()1g x f x =-，则函数()y g x =的图象关于（ ）A ．直线1x =-对称B ．直线1x =对称C ．原点对称D ．y 轴对称4．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，双曲线C 上的点,M N 关于原点对称，且3904MFN MOF ︒∠=∠=，则22b a=（ ）A ．323+B ．423+C ．33D ．435．为得到函数sin 33y x x =-的图象，只需要将函数2cos3y x =的图象（ ） A ．向左平行移动6π个单位 B ．向右平行移动6π个单位 C ．向左平行移动518π个单位 D ．向右平行移动518π个单位6．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．2y x -= B ．1y x -= C ．2y x = D ．13y x = 8．在V ABC 中，sin 32B A =，2BC =4C π=，则AB =（ ）A 26．5C ．33．69．设正数,x y 满足,23x y x y >+=,则195x y x y+-+的最小值为( ) A ．83B ．3C ．32 D ．2310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．33y x =±C ．2y x =±D ．12y x=± 11．某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为n 的样本，若从丙车间抽取6件，则n 的值为（ ） A ．18B ．20C ．24D ．2612．设,x y 满足约束条件010x y a x y ++≥⎧⎨-+≤⎩，且2z x y =+的最小值为2，则a =（ ）A ．-1B ．-1C ．53-D ．53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}，则A∩B=()A. [0,1]B. {7}C. [0,1]∪{7}D. [1,7]2.设复数z=(5+i)(1−i)(为虚数单位)，则的虚部是()A. 4iB. −4iC. −4D. 43.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是()．A. 11月份人均用电量人数最多的一组有400人。

B. 11月份人均用电量不低于20度的有300人C. 11月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40)一组的概率为5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7−a8=5，则S11为()A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7.已知sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=()A. 58B. −78C. −58D. 788.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 17C. 24D. 2610.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1|AB|+1|CD|=()A. 2B. 4C. 12D. 1411.已知函数f(x)=3sin(πx)x2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2√3，侧面积为8√3，则它的体积为()A. 4B. 8C. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗⋅b⃗ 的值是______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，则该圆柱的侧面积为__________．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：C1F//平面ABE；(2)设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，直线l 1：kx −y +k =0.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的方程为cosθ−2sinθ=4ρ．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程；(2)l 1与曲线C 交于不同的两点M ，N ，MN 的中点为P ，l 1与l 2的交点为Q ，l 2恒过点A ，求|AP|·|AQ|的值．23. 设函数f(x)=|x|．(1)设f(x −1)+f(x +2)<4的解集为A ，求集合A ；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，以及一元二次不等式的解法，属基础题．求出集合B，根据交集定义进行求解．解：集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，∴A∩B={x|0≤x≤1或x=7}=[0,1]∪{7}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：z=(5+i)(1−i)=6−4i，∴虚部是−4，故选C．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，逐一判断求解即可．解：根据频率分布直方图知，11月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；11月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；11月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为110，∴D正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B 解析：利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：2a7−a8=2(a1+6d)−(a1+7d)=a1+5d=a6=5，∴S11=11×a1+a112=11a6=55．故选B．7.答案：B解析：解：由sin(π3−α)=14，可得：cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．那么：cos(π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos2(α+π6)−1=2×116−1=−78．故选：B．利用诱导公式和二倍角公式即可计算．本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．8.答案：B解析：解：F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：2b−c ⋅−ba=3，可得2b2=3ac，即2c2−2a2=3ac，可得2e2−3e−2=0，e>1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：D解析：解：第一次，S=2，i=3，⇒S=5，i=5，⇒S=10，i =7，⇒S =17， i =9，⇒S =26， i =11>10，程序终止， 输出S =26， 故选：D根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB|+1|CD|=14k 2+4+k 24k 2+4=14， 故选D ．11.答案：D解析：解：①若f(x)的最小值为−4等价为3sin(πx)x 2−3x+3≥−4恒成立，且能取等号， 即4x 2−12x +12+3sin(πx)≥0恒成立，设g(x)=4x 2−12x +12+3sin(πx)，则g(x)=4(x −32)2+3+3sin(πx)≥3+3sin(πx)≥0， 当x =32时，g(x)=3+3sin 32π=3−3=0，即0能取到，故①正确， ②∵x =32是y =3sin(πx)和y =x 2−3x +3共同的对称轴， ∴x =32是f(x)的对称轴，即f(x)是轴对称图形，故②正确， ③∵y =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34，∴f(x)≤|f(x)|≤|3sinπx34|=4|sinπx|，只要证明|sinπx|≤π|x|，即可， 设|sint|≤|t|，(t ≥0) 当t ≥1时不等式恒成立， 当0≤t <1时，即证明sint ≤t ，设ℎ(t)=sint −t ，ℎ′(t)=cost −1≤0，即ℎ′(t)在0≤t <1上是减函数， 则ℎ(t)=sint −t ≤ℎ(0)=sin0−0=0， 即sint ≤t 成立，综上，4|sinπx|≤4π|x|成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 故选：D ．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．12.答案：A解析：解：作PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结OE ，PE ， ∵正四棱锥P −ABCD 中，AB =2√3，侧面积为8√3， ∴O 是四边形ABCD 的中点，E 是BC 的中点，PE ⊥BC ， 4×12BC ×PE =8√3，解得PE =2，∴PO=√PE2−OE2=√4−3=1，∴正四棱锥P−ABCD的体积V=13×S正方形ABCD×PO=13×2√3×2√3×1=4．故选：A．作PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE=2，从而PO=1，由此能求出正四棱锥P−ABCD的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.答案：−4解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4√3π解析：本题主要考查了圆柱的侧面积和球的相关知识，属于基础题．由它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，可求出圆柱底面圆的半径r =√22−12=√3，进而求得侧面积．解：∵圆柱的高为2，且它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上， ∴可得圆柱底面半径r =√22−12=√3， ∴圆柱的侧面积．故答案为4√3π．16.答案：6解析：解：∵BC =6,AB =4,cosB =13，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2) ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1. (Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ， 在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点， ∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ， ∵C 1M ∩FM =M ， ∴平面FC 1M ⊄平面ABE ， ∵C 1F ⊂平面FC 1M ， ∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ， 则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ； (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813．∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=1x(x+1)−lnax (x+1)2=1+1x−lnax (x+1)2，由f′(1)=2−lna 4=12，解得a =1．(2)∵a =1，∴f(x)=lnx x+1，∴由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，设g(x)=2+lnx x+1，则g′(x)=1x−lnx−1(x+1)2，再设ℎ(x)=1x−lnx−1(x+1)2，则ℎ′(x)=−x+1x 2<0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减， 又ℎ(1)=0，∴当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为增函数； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上为减函数； ∴g(x)max =g(1)=1，∴只需b ≥g(x)max =1，即b ≥1， ∴b 的最小值b min =1．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，由导数值等于12，求得实数a 的值； (2)由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，构造g(x)=2+lnx x+1，求出g(x)max =1，即可求实数b 的最小值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，∴(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2：cosθ−2sinθ=4ρ，即ρcosθ−2ρsinθ=4， ∴x −2y =4，即x −2y −4=0. (2)∵直线l 1：kx −y +k =0， 即y =k(x +1)，∴直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C ：(x +3)2+(y −4)2=16，得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0. 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=4(2sinα−cosα)，t 1t 2=4.设点Q 对应的参数为t 3.将l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)代入直线l 2：x −2y −4=0， 得t 3=5cosα−2sinα.∴|AP|·|AQ|=|t 1+t 22||t 3|=2|2sinα−cosα||5cosα−2sinα|=10．解析：(1)消去θ可得(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2即ρcosθ−2ρsinθ=4，可得x −2y =4； (2)直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C 得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，根据几何意义及根与系数的关系求解．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2| ={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2． 因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2，所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}； (2)由(1)知m =1，则a +b +c =1， 又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−cc =b +c a ·a +c b ·a +bc≥2√bca·2√acb·2√ab c=8，当且仅当a =b =a =13时等号成立． 所以1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1−aa ·1−bb·1−cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1−aa ·1−bb·1−cc≥8，注意等号成立的条件．。

江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学试卷（Word 版，含答案）注意事项：1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合A ＝{x|x>0}，B ＝{x|－2<x<1}，则A ∩B ＝________．2. 设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．3. 有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．错误!4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．5. 执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．6. 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y ≤0，x ≥0，则z ＝x ＋y 的取值范围是________．7. 在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．8. 以双曲线x 25－y 24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．10. 设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________． 11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）的值为________．12. 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0)与函数y ＝|cos x|的图象恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 13. 已知点P 在圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且AB ＝23，则PA →·PB →的最小值是________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B)，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B)，且m ∥n.(1) 求角C 的大小；(2) 若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.(1) 求证：BC∥平面PAD；(2) 求证：平面PAD⊥平面ABCD.(第16题)17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈，1≤x≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为⎝⎛⎭⎫3－14x万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D. (1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a2x 2－ax(a>0)．(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立； (2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 22<ln a.20. (本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；(3) 设c n ＝1b n ＋4，对于任意给定的正整数k(k ≥2)，是否存在正整数l ，m(k<l<m)，使得c k ，c l ，c m成等差数列？若存在，求出l ，m(用k 表示)；若不存在，请说明理由.数学附加题 注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. (本小题满分10分)选修4-2：矩阵与变换 设旋转变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab 1 2·A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，求ad －bc 的值．22. (本小题满分10分)选修4-4 坐标系与参数方程自极点O 作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM·OP ＝12，若Q 为曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)上一点，求PQ 的最小值．23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 上的动点M(x ，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M 到直线x ＝－1的距离等于1.(1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线y ＝k(x ＋2)与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补．24. (本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝23，1a n －1＝2－a n －1a n －1－1(n ≥2)．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2 )设数列{a n }的前n 项和为S n ，用数学归纳法证明：S n <n ＋12－ln.数学参考答案及评分标准1. {x|0<x<1}2. －13. 364. 13 5. 256. [0，3]7. 梯形8. y 2＝12x9. 3π 10. 21 11.5214 12. －2 13. 19－122 14. 13215. (1) 由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B)，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B)， 得a(sin A ＋sin B)－(b ＋c)(sin C －sin B)＝0，(2分) 由正弦定理，得a ⎝⎛⎭⎫a 2R ＋b 2R －(b ＋c)⎝⎛⎭⎫c 2R －b2R ＝0， 所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab ， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ， 所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2abcos C ， 所以ab ＝－2abcos C ，(5分) 因为ab>0，所以cos C ＝－12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(7分) (2) 在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ， 所以a 2＋b 2－2abcos 2π3＝9，即(a ＋b)2－ab ＝9，(9分)所以ab ＝(a ＋b)2－9≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，所以3（a ＋b ）24≤9，即(a ＋b)2≤12，所以a ＋b ≤23，(12分)又因为a ＋b>c ，所以6<a ＋b ＋c ≤23＋3，即周长l 满足6<l ≤3＋23， 所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分) 16. (1) 因为AB ⊥AD ，AB ⊥BC ，且A ，B ，C ，D 共面， 所以AD ∥BC.(3分)(第16题)因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD.(5分)(2) 如图，过点D 作DH ⊥PA 于点H ，因为△PAD 是锐角三角形，所以H 与A 不重合．(7分)因为平面PAD ⊥平面PAB ，平面PAD ∩平面PAB ＝PA ，DH ⊂平面PAD ， 所以DH ⊥平面PAD.(9分)因为AB ⊂平面PAB ，所以DH ⊥AB.(11分)因为AB ⊥AD ，AD ∩DH ＝D ，AD ，DH ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD.因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD.(14分) 17. (1) 由题意得1×⎝⎛⎭⎫1＋x203≥1.6， 因为5x<100－5x ，所以x<10且x ∈.(2分) 因为y ＝⎝⎛⎭⎫1＋x203在x ∈[1，9]上单调递增， 由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6， 所以x20≥0.2，得x ≥4.(5分)又x ＜10且x ∈，故x ＝4，5，6，7，8，9. 答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x ⎝⎛⎭⎫3－14x ＋⎝⎛⎭⎫1＋x 20(100－5x)]≥1.35有正整数解，(8分)化简整理得3x 2－30x ＋70≤0，(10分) 所以－153≤x －5≤153.(11分) 因为3<15<4，且x ∈，所以－1≤x －5≤1，即4≤x ≤6. (13分)答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)18. (1) 由题意得⎩⎨⎧3a 2＋14b 2＝1，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，b 2＝1，(4分) 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(5分)(2) 由题意设l AP ：y ＝k(x ＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2，由x A ＝－2得x P ＝2－8k 21＋4k 2，故y P ＝k(x P ＋2)＝4k 1＋4k 2， 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2，(8分)设D(x 0，0)，因为B(0，1)，P ，B ，D 三点共线，所以k BD ＝k PB ，故1－x 0＝4k1＋4k 2－12－8k 21＋4k 2，解得x D ＝2（1＋2k ）1－2k， 得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（1＋2k ）1－2k ，0，(10分) 所以S △PCD ＝S △PAD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1＋2k ）1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k 2－2k ＝4|k （1＋2k ）|1＋4k 2，(12分)因为－12<k<0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2×1－2k 1＋4k 2，令t ＝1－2k ，1<t<2，所以2k ＝1－t ， 所以g(t)＝－2＋2t 1＋（1－t ）2＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋222－2＝2－1，(14分) 当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.(16分)19. (1) 由f(x)＝e x －12x 2－x ，则f′(x)＝e x －x －1，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x －1，(3分)当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分) 进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分) (2) f′(x)＝e x －ax －a ，因为x 1，x 2为f(x)的两个极值点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f′（x 1）＝0，f′（x 2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ex 1－ax 1－a ＝0，ex 2－ax 2－a ＝0.两式相减，得a ＝ex 1－ex 2x 1－x 2，(8分)则所证不等式等价于x 1＋x 22<ln ex 1－ex 2x 1－x 2，即e x 1＋x 22<ex 1－ex 2x 1－x 2，(10分)不妨设x 1>x 2，两边同时除以ex 2可得：e x 1－x 22<ex 1－x 2－1x 1－x 2，(12分)令t ＝x 1－x 2，t>0，所证不等式只需证明： e t 2<e t －1t⇔te t 2－e t ＋1<0.(14分)设φ(t)＝te t 2－e t＋1，则φ′(t)＝－e t 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤e t2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1，因为e x ≥x ＋1，令x ＝t 2，可得e t2－⎝⎛⎭⎫t 2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0， 所以x 1＋x 22<ln a ．(16分) 20. (1) 因为2a 1a 3＝a 4，所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3， 所以a 1＝q 2，所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分)因为2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，① 所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1)，n ∈N ，②②－①，得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ，n ∈N *， 所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ， 所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1，n ∈N *，③(4分) 所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1，n ∈N ，④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ，n ∈N *， 所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1，n ∈N *，所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1， 所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ，所以{b n }为等差数列． 因为n ＝1时b 1＝－1，又b 2＝1， 所以公差为2，所以b n ＝2n －3.(6分)(2) 由(1)得S n ＝q 2（1－q n ）1－q ，所以S n ＋12t ＝q2（1－q n ）1－q ＋12t ＝q n ＋t 2（q －1）＋q 2（1－q ）＋12t ，要使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q 2（1－q ）＋12t＝0，解得t ＝q －1q .(9分)此时S n ＋1＋12t S n ＋12t ＝q n ＋22（q －1）q n ＋12（q －1）＝q ， 所以存在t ＝q －1q ，使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12t 为等比数列．(10分) (3) c n ＝1b n ＋4＝12n ＋1，设对于任意给定的正整数k(k ≥2)，存在正整数l ，m(k<l<m)，使得c k ，c l ，c m成等差数列，所以2c l ＝c k ＋c m ，所以22l ＋1＝12k ＋1＋12m ＋1.所以12m ＋1＝22l ＋1－12k ＋1＝4k －2l ＋1（2l ＋1）（2k ＋1）. 所以m ＝2kl －k ＋2l4k －2l ＋1＝（－4k ＋2l －1）（k ＋1）＋（2k ＋1）24k －2l ＋1＝－k －1＋（2k ＋1）24k －2l ＋1.所以m ＋k ＋1＝（2k ＋1）24k －2l ＋1.因为给定正整数k(k ≥2)，所以4k －2l ＋1能整除(2k ＋1)2且4k －2l ＋1>0， 所以4k －2l ＋1＝1或2k ＋1或(2k ＋1)2.(14分)若4k －2l ＋1＝1，则l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，此时m －l ＝4k 2＋k>0，满足(k<l<m)； 若4k －2l ＋1＝2k ＋1，则k ＝l ，矛盾(舍去)；若4k －2l ＋1＝(2k ＋1)2，则l ＝2k 2，此时m ＋k ＝0(舍去)．综上，任意给定的正整数k(k ≥2)，存在正整数l ＝2k ，m ＝4k 2＋3k ，使得c k ，c l ，c m 成等差数列．(16分)数学附加题 参考答案及评分标准21. 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34c d ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，－a ＝4，2＝c ，－1＝d ，(6分) 即a ＝－4，b ＝3，c ＝2，d ＝－1，(8分) 所以ad －bc ＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)22. 以极点O 为直角坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)， 因为OM·OP ＝12，所以ρρ′＝12.因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ，(3分)化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0， 即(x －2)2＋y 2＝4.(5分)由⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)得普通方程为x －y ＋3＝0，(7分)所以PQ 的最小值为圆上的点到直线距离的最小值， 即PQ min ＝d －r ＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分)23. (1) 由题意得（x －2）2＋y 2－|x ＋1|＝1，(2分)即（x －2）2＋y 2＝|x ＋1|＋1. 因为x>0，所以x ＋1>0， 所以（x －2）2＋y 2＝x ＋2，两边平方，整理得曲线C 的方程为y 2＝8x.(4分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝kx ＋2，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.(6分) 由k FA ＋k FB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k （x 1＋2）x 1－2＋k （x 2＋2）x 2－2＝k （x 1＋2）（x 2－2）＋k （x 1－2）（x 2＋2）（x 1－2）（x 2－2）＝2k （x 1x 2－4）（x 1－2）（x 2－2）.(8分)将x 1x 2＝4代入，得k FA ＋k FB ＝0，所以直线FA 和直线FB 的倾斜角互补．(10分) 24. (1) 因为n ≥2，由1a n －1＝2－a n －1a n －1－1， 得1a n －1＝1－a n －1a n －1－1＋1a n －1－1， 所以1a n －1－1a n －1－1＝－1，(1分) 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－3，公差为－1的等差数列，且1a n －1＝－n －2，所以a n ＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 下面用数学归纳法证明：S n <n －ln ⎣⎡⎦⎤n ＋32＋12. ①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝23，右边＝32－ln 2，因为e 3>16⇔3ln e>4ln 2⇔ln 2<34，32－ln 2>32－34＝34>23， 所以命题成立；(5分)②假设当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时成立， 即S k <k －lnk ＋32＋12， 则当n ＝k ＋1，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1<k －lnk ＋32＋12＋k ＋2k ＋3， 要证S k ＋1<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证k －ln k ＋32＋12＋k ＋2k ＋3<(k ＋1)－ln （k ＋1）＋32＋12，只要证ln k ＋4k ＋3<1k ＋3，即证ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3.(8分) 考查函数F(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)， 因为x>0，所以F′(x)＝11＋x －1＝－x 1＋x<0， 所以函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数， 所以F(x)<F(0)＝0，即ln(1＋x)<x ，所以ln ⎝⎛⎭⎫1＋1k ＋3<1k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立． 综上所述，S n <n －ln n ＋32＋12.(10分)高考模拟数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共21题，共150分。

2020年江苏省高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为．7．若函数是偶函数，则实数a的值为．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为．14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？2020年江苏省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（∁U B）=（﹣1，0] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中的一元二次不等式的解集，确定出集合B，由全集R，求出集合B的补集，求出集合A与集合B的补集的交集即可【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），∴C u B=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴A∩∁U B=（﹣1，0]，故答案为：（﹣1，0]．2．已知复数，则z的共轭复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数与它的共轭复数的模相等，即可求出结果．【解答】解：复数，则z的共轭复数的模为||=|z|====．故答案为：．3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【考点】等可能事件的概率．【分析】求出所有基本事件，两数之积为偶数的基本事件，即可求两数之积为偶数的概率．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．4．运行如图所示的伪代码，其结果为．【考点】伪代码．【分析】根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，用裂项法即可求值得解．【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值，所以S=S=++…+=×（1﹣+﹣…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设出所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），求出渐近线方程和准线方程，由题意可得=，=，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±x，准线方程为y=±，由题意可得=，=，又a2+b2=c2，解得a=2，b=，即有所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为﹣2．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可得a≤f（x）的最小值，运用单调性，可得f（0）取得最小值，即可得到a的范围，进而得到a的最大值．【解答】解：由，可得0≤x≤4，由f（x）=﹣，其中y=在[0，4]递增，y=﹣在[0，4]递增，可得f（x）在[0，4]递增，可得f（0）取得最小值﹣2，可得a≤﹣2，即a的最大值为﹣2．故答案为：﹣2．7．若函数是偶函数，则实数a的值为﹣．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由题意可得，f（﹣）=f（），从而可求得实数a的值．【解答】解：∵f（x）=asin（x+）+sin（x﹣）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴f（﹣）=f（），即﹣=a，∴a=﹣．故答案为：﹣．8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为20．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出底面中心到边的距离，棱锥的高，然后求解棱锥的体积．【解答】解：设正五棱锥高为h，底面正五边形的角为108°，底面正五边形中心到边距离为：tan54°，h=，则此正五棱锥体积为：×=20．故答案为：20．9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，3）．【考点】分段函数的应用．【分析】判断f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解不等式即可得到所求解集．【解答】解：当x＜3时，f（x）=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，即有f（x）递增；故f（x）在R上单调递增．由f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4），可得或，解得或，即为1＜x≤或＜x＜3，即1＜x＜3．即有解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为[，1）．【考点】余弦定理．【分析】设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．由于⊥，可得•=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．利用函数的单调性即可得出．【解答】解：设=t（0≤t≤1），=﹣=t﹣，=﹣=﹣．∴•=（t﹣）•（﹣）=﹣t2+（+1）•﹣2．∵⊥，∴•=﹣t2+（+1）•﹣2=0．化为：﹣16t+12（+1）cos∠BAC﹣=0，整理可得：cos∠BAC==（32﹣）=f（t），（0≤t≤1）．由于f（t）是[0，1]是的单调递增函数，∴f（0）≤f（t）≤f（1），即：≤f（t）≤，即：≤cosA≤，∵A∈（0，π），∴cosA＜1，∴cosA的取值范围是：[，1）．故答案为：[，1）．11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是（0，1）∪[3，+∞）．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由题意作平面区域，从而结合图象可知y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，结合图象可知，y=a x的图象过点（3，1）时为临界值a=3，且当0＜a＜1时，一定成立；故答案为：（0，1）∪[3，+∞）．12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是{a|a≤﹣4或a≥0} ．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点⇔函数f（x）在（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（01，）内恒成立．再利用导数的运算法则、分离参数法、函数的单调性即可得出．【解答】解：函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值⇔函数f（x）=x2+2x+alnx 在区间（0，1）内单调⇔函数f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）内恒成立．由f′（x）=2x+2≥0在（0，1）内恒成立⇔a≥（﹣2x﹣2x2）max，x∈（0，1）．即a≥0，由f′（x）=2x+2≤0在（0，1）内恒成立⇔a≤（﹣2x﹣2x2）min，x∈（0，1）．即a≤﹣4，故答案为：a≤﹣4或a≥0．故答案为：{a|a≤﹣4或a≥0}．13．若函数同时满足以下两个条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣1，1），f（x）g（x）＜0．则实数a的取值范围为（2，4）．【考点】全称命题；特称命题．【分析】由①可得当x≤﹣1时，g（x）＜0，根据②可得g（1）=a（1﹣a+3）＞0，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：∵已知函数，根据①∀x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．由f（x）≥0，求得x≤﹣1，即当x≤﹣1时，g（x）＜0恒成立，故，解得：a＞2；根据②∃x∈（﹣1，1），使f（x）•g（x）＜0成立，∴g（1）=a（1﹣a+3）＞0，解得：0＜a＜4，综上可得：a∈（2，4），故答案为：（2，4）14．若b m为数列{2n}中不超过Am3（m∈N*）的项数，2b2=b1+b5且b3=10，则正整数A的值为64或65．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，则2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得d＜4，d为正整数，得出d=1，2，3，分类讨论后求得满足条件的正整数A的值．【解答】解：依题意：，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，设b1=t，即数列{a n}中，不超过A的项恰有t项，∴2t≤A＜2t+1，同理：2t+d≤8A＜2t+d+1，2t+2d≤125A＜2t+2d+1，可得：2t≤A＜2t+1，2t+d﹣3≤A＜2t+d﹣2，，故max{}≤A＜min{}，由以下关系：2t+d﹣3＜2t+1，，得d＜4，∵d为正整数，∴d=1，2，3．当d=1时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=2时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＜2t，不合题意，舍去；当d=3时，max{}=max{}=2t，min{}=min{}=＞2t，适合题意．此时2t≤A＜，b1=t，b2=t+3，b5=t+6，∴t+3≤b3≤t+6．∵b3=10，∴4≤t≤7，∵t为整数，∴t=4，t=5，t=6或t=7．∵f（3）=27A，b3=10，∴210≤27A＜211，∴≤A＜．当t=4时，24≤A＜，∴无解．当t=5时，25≤A＜，∴无解．当t=6时，26≤A＜，∴64≤A＜．当t=7时，27≤A＜，∴无解．则26≤A＜．∵A∈N*，∴A=64或A=65．综上：A=64或65．故答案为：64或65．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，且．（1）求的值，（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）利用已知条件求出sin（）与cos（），然后利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．（2）求出正切函数的二倍角的值，利用两角和的正切函数化简求解即可．【解答】解：（1）角α终边逆时针旋转与单位圆交于点，可得sin（）=，cos（）=，sin（2）=2sin（）cos（）==，cos（2）=2×=．=sin（2﹣）=sin（2）cos﹣sin cos（2）==．（2）∵，∴tan（2α+2β）===．sin（2）=，cos（2）=．tan（2）=．tan（2α+2β）=tan[（）+（2）]==，解得=．16．在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D 一个平面角．（1）若四边形ABCD是菱形，求证：BD⊥平面PAC；（2）若四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PA⊥AB，PA⊥AD，从而BD⊥PA，由四边形ABCD是菱形，得AC ⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．（2）由四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，得CD与AB有交点P，从而直线l∩平面ABCD=P，由此得到直线l不能与平面ABCD平行．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面四边形ABCD中AD∥BC，∠BAD为二面角B﹣PA﹣D一个平面角，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊥PA，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）直线l不能与平面ABCD平行．理由如下：∵四边形ABCD是梯形，且平面PAB∩平面PCD=l，∴CD与AB有交点P，∴P∈l，∴直线l∩平面ABCD=P，∴直线l不能与平面ABCD平行．17．在平面直角坐标系xOy中，已知P点到两定点D（﹣2，0），E（2，0）连线斜率之积为．（1）求证：动点P恒在一个定椭圆C上运动；（2）过的直线交椭圆C于A，B两点，过O的直线交椭圆C于M，N两点，若直线AB与直线MN斜率之和为零，求证：直线AM与直线BN斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到所求轨迹方程；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理，点满足直线方程，再由过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，求得M，N的坐标，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到直线AM与直线BN斜率之和为定值0．【解答】解：（1）设P（x，y），由题意可得k PD•k PE=﹣，即有•=﹣，化为+=1；（2）设过F的直线为x=my+，代入椭圆方程x2+2y2=4，可得（2+m2）y2+2my﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1=my1+，x2=my2+，由题意可得，过O的直线x=﹣my交椭圆C于M，N两点，解得M（﹣，），N（，﹣），可得k AM+k BN=+，通分后的分子=x2y1﹣x2﹣y1+x1y2+x1+y2+=2my1y2+（y1+y2）+（x1﹣x2）+（y2﹣y1）+=﹣﹣+（y1﹣y2）+（y2﹣y1）+=0．即有直线AM与直线BN斜率之和为定值0．18．将一个半径为3分米，圆心角为α（α∈（0，2π））的扇形铁皮焊接成一个容积为V立方分米的圆锥形无盖容器（忽略损耗）．（1）求V关于α的函数关系式；（2）当α为何值时，V取得最大值；（3）容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球？请说明理由．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）根据面积得出圆锥的底面半径，利用勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式即可；（2）利用基本不等式得出体积的最值及取得最值得条件；（3）求出圆锥内切球的半径，与0.5比较大小．【解答】解：（1）由题意知圆锥的母线l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=3α，∴r=，∴圆锥的高h===．∴V==．（2）V==≤=2．当且仅当4π2﹣α2=即α=时，取等号．∴当α=时，体积V取得最大值．（3）当圆锥体积最大时，圆锥的底面半径r=．设圆锥轴截面△ABC的内切圆⊙O半径为R，如图所示，则OD=R，CD=CE=，AC=3，∴AE=，AD=3﹣．由△AOD∽△ACE得，∴，解得R=3≈0.8．∵0.8＞0.5，∴容积最大的圆锥形容器能完全盖住桌面上一个半径为0.5分米的球．19．设首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1﹣3S n=1．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）数列{a n}是否存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和？请说明理由；（3）设，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；等比关系的确定．=1作差可知a n+1=3a n（n≥2），进而可知数列{a n}【分析】（1）通过S n+1﹣3S n=1与S n﹣3S n﹣1是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知a n=3n﹣1、S n=（3n﹣1），假设存在满足题意的项a k，则3k﹣1=S r+t﹣S t，进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣=2，进而可得结论；（3）通过（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．【解答】（1）证明：∵S n+1﹣3S n=1，=1，∴当n≥2时，S n﹣3S n﹣1两式相减得：a n+1=3a n，又∵S n+1﹣3S n=1，a1=1，∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，∴数列{a n}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）解：结论：不存在满足题意的项a k；理由如下：由（1）可知a n=3n﹣1，S n==（3n﹣1），假设数列{a n}中存在一项a k，使得a k恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，则3k﹣1=S r+t﹣S t=（3r+t﹣1）﹣（3t﹣1）=（3r+t﹣3t）=•3t（3r﹣1），于是（3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），整理得：3r﹣x﹣=2，显然r无解，故假设不成立，于是不存在满足题意的项a k；（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；理由如下：由（1）可知b n=，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，b p，b q成等差数列，则2b p=b1+b q，即2=+，整理得：2p•3q﹣p=3q﹣1+q，∴q=2p•3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，∴当p≥3时不满足题意，当p=2时，2=+即为：=+，整理得：=，解得：q=3，综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．20．（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；（2）证明：∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若ax＞lnx恒成立，则a＞，在x＞0时恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）==．即a＞．（2）设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），则f′（x）=，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），则切线斜率k=，则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm=（x﹣m）=x﹣1，即y=x﹣1+lnm，∵g（x）=ax，∴，得m=e，a=．即当a＞时，ax＞lnx恒成立．当a=时，当x0≥时，要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．当0＜a＜时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．∴∀a＞0，∃x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．三.数学Ⅱ附加题部分【理科】[选做题]（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）A[选修4-1几何证明选讲]（本小题满分10分）21．如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交BA的延长线于点C，若DB=DC，求证：CA=AO．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连结OD、AD，证出△ADB≌△ODC，得到AB=CO，从而证出结论．【解答】证明：如图示：，连结OD、AD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，AB=2AO，∵DC是⊙O的切线，∴∠CDO=90°，∵DB=DC，∴∠B=∠C，∴△ADB≌△ODC，∴AB=CO，即2OA=OA+CA，∴CA=AO．B[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设矩阵A﹣1=，通过AA﹣1为单位矩阵可得A﹣1，进而可得结论．【解答】解：设矩阵A的逆矩阵为，则=，即=，故a=﹣1，b=0，c=0，d=，从而A﹣1=，∴A﹣1B==．C[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．D[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：由得，即5≤x≤7，由平方得y2=x﹣5+7﹣x+2=2+2，∵5≤x≤7，∴当x=6时，函数y2=2+2取得最大值为y2=2+2=4，当x=5或7时，函数y2=2+2取得最小值为y2=2，即2≤y2≤4，则≤y≤2，即函数的最大值为2．四.[必做题]（第25题、第26题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．在四棱锥P﹣ABCD中，直线AP，AB，AD两两相互垂直，且AD∥BC，AP=AB=AD=2BC．（1）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；（2）求钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PC与BD所成角的余弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出钝二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设AP=AB=AD=2BC=2，则P（0，0，2），C（2，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），=（2，1，﹣2），=（﹣2，2，0），设异面直线PC与BD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线PC与BD所成角的余弦值为．（2）=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（1，2，2），设钝二面角B﹣PC﹣D的平面角为θ，cosθ=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴θ=135°，∴钝二面角B﹣PC﹣D的大小为135°．26．设数列{a n}按三角形进行排列，如图，第一层一个数a1，第二层两个数a2和a3，第三层三个数a4，a5和a6，以此类推，且每个数字等于下一层的左右两个数字之和，如a1=a2+a3，a2=a4+a5，a3=a5+a6，…．（1）若第四层四个数为0或1，a1为奇数，则第四层四个数共有多少种不同取法？（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则第十一层十一个数共有多少种不同取法？【考点】归纳推理．【分析】（1）若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得a7，a10中一个为1，一个为0，进而得到答案；（2）若第十一层十一个数为0或1，a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，且a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，进而得到答案．【解答】解：（1）若第二层的两个数为0或1，则a1=a2+a3，由a1为奇数，可得第二层的两个数有2种不同的取法；若第三层的三个数为0或1，则a1=a4+2a5+a6，由a1为奇数，可得第三层的三个数有4种不同的取法；若第四层四个数为0或1，则a1=a7+2a8+2a9+a10，由a1为奇数，可得第四层的四个数有8种不同的取法；（2）根据（1）中结论，若第十一层十一个数为0或1，则a1=a56+2（a57+a58+…+a65）+a66，若a1为5的倍数，则a56，a66中一个为1，一个为0，a57+a58+…+a65=2，或a57+a58+…+a65=7，即a57，a58，…，a65中有2个1或2个0，则第十一层十一个数共有=144种不同取法．2020年8月12日。

2020年江苏省无锡市天一中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，，，则a、b、c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的减函数，则，即；指数函数为上的增函数，则；对数函数为上的增函数，则.因此，.故选：C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.2. 如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有（）种．A．72 B．60 C．48 D．24参考答案：A【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：若选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色；若4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，其它不相同；求出每种情况的着色方法数目，由加法原理求解即可．【解答】解：由题意，分2种情况讨论：（1）、选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色方法有C43?A33=24种（2）、4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有C21?A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故选：A．3. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A. B. C. D.参考答案：A解：如图所示，在Rt△ABC中，AB=200，∠BAC=300，所以，在△ADC中，由正弦定理得，，故选择A.4. 下列数据中，拟合效果最好的回归直线方程，其对应的相关指数为（）A. 0.27B. 0.85C. 0.96D. 0.5参考答案：C越大，拟合效果越好，故选C。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．14.（填空题.5分）已知实数x.y＞0.则(2x+1)(y+1)2x2+5y2+7的最大值为___ ．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．20.（问答题.16分）已知函数f(x)=a2x2+x+1e x−1．（1）若a=2.求函数f（x）的极小值；（2）若f（x）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a的取值范围；（3）证明：当a≥1时.证明不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区天一中学高三（上）10月调研数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（填空题.5分）设全集U={1.2.3.4.5.6}.集合A={3.4}.B={2.4.5}.则（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{1.2.4.5.6}【解析】：进行并集和补集的运算即可．【解答】：解：∵U={1.2.3.4.5.6}.A={3.4}.B={2.4.5}.∴∁U A={1.2.5.6}.（∁U A）∪B={1.2.4.5.6}．故答案为：{1.2.4.5.6}．【点评】：考查列举法的定义.以及并集和补集的运算．2.（填空题.5分）若复数z满足条件（3-i）z=5（其中i为虚数单位）.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √102【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简.然后利用复数模的计算公式求解．【解答】：解：由（3-i）z=5.得z= 53−i =5(3+i)(3−i)(3+i)=32+12i .∴|z|= √(32)2+(12)2=√102．故答案为：√102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础题．3.（填空题.5分）执行如图所示的程序框图.则输出s的值为___ ．【正确答案】：[1]20【解析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值.模拟程序的运行过程.分析循环中各变量值的变化情况.可得答案．【解答】：解：第一次满足循环的条件.执行循环体后.S=5.a=4；第二次满足循环的条件.执行循环体后.S=20.a=3；第三次不满足循环的条件.不执行循环体.故输出S值为20.故选答案为：20．【点评】：本题考查了程序框图的应用问题.解题时应模拟程序框图的运行过程.以便得出正确的结论.是基础题4.（填空题.5分）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析.随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩.并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图）.则成绩在[250.400）内的学生共有___ 人．【正确答案】：[1]750【解析】：由样本的频率分布直方图求出a.从而成绩在[250.400）内的频率为0.75.由此能求出成绩在[250.400）内的学生人数．【解答】：解：由样本的频率分布直方图得：（0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003）×50=1.解得a=0.006．∴成绩在[250.400）内的频率为（0.004+0.006+0.005）×50=0.75.∴成绩在[250.400）内的学生共有1000×0.75=750．故答案为：750．【点评】：本题考查频数的求法.考查频率分布直方图等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（填空题.5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.若从袋中一次随机摸出2个球.则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.利用列举法求出摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件个数.由此能求出摸出的2个球的编号之和大于4的概率．【解答】：解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球.球的编号分别为1.2.3.4.从袋中一次随机摸出2个球.基本事件总数n= C42 =6.摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1.4）.（2.3）.（2.4）.（3.4）.共4个.∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p= 46=23．故答案为：23．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、列举法等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．6.（填空题.5分）已知f(x)=2x+a2x 为奇函数. g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.则f（ab）=___ ．【正确答案】：[1] −32【解析】：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.可求a.然后由g（x）为偶函数.结合g（-x）=g（x）.可求b.然后代入即可求解．【解答】：解：由f(x)=2x+a2x为奇函数.可得f（0）=1+a=0.∴a=-1.∵ g(x)=log2(2x+1)−12bx−1为偶函数.∴g（-x）=g（x）.∴ log2(2x+1)−12bx−1=log2(2−x+1)+12bx−1 .整理可得.2bx=2x. ∴b=1.∴f（ab）=f（-1）= 2−1−12−1 =- 32故答案为：- 32．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数解析式及求解函数值.属于基础知识的灵活应用．7.（填空题.5分）若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2 .且该函数图象关于点（x0.0）成中心对称. x0∈[0，π2] .则x0=___ ．【正确答案】：[1] 5π12【解析】：利用两角和的正弦公式化简f（x）.然后由f（x0）=0求得[0. π2]内的x0的值．【解答】：解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2.∴ 2πω=π.∴ω=2∴f（x）=sin（2x+ π6）．∵f（x）的图象关于点（x0.0）成中心对称.∴f（x0）=0.即sin（2x0+ π6）=0.∴2x0+ π6=kπ.∴x0= kπ2 - π12.k∈Z.∵x0∈[0. π2].∴x0= 5π12．故答案为：5π12．【点评】：本题考查两角和与差的正弦函数.考查了正弦函数的对称中心的求法.属于基本知识的考查．8.（填空题.5分）在等差数列{a n}中.S n为前n项和.已知a5+a7+a10=15.S15=45.则公差d的值为___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：将a5+a7+a10=15.S15=45.用基本量a1和d表示出来.消去a1即可求d．【解答】：解：根据题意.a5+a7+a10=15.所以3a1+19d=15 ① .又S15=45=15a8=45.所以a8=a1+7d=3 ② .联立① ② 得d=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查了等差数列的基本量的运算.属于基础题．9.（填空题.5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1.S2.体积分别为V1.V2.若它们的侧面积相等.且S1S2 = 94.则V1V2的值是 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：设出两个圆柱的底面半径与高.通过侧面积相等.推出高的比.然后求解体积的比．【解答】：解：设两个圆柱的底面半径分别为R.r；高分别为H.h；∵ S1 S2 = 94.∴ R r =32.它们的侧面积相等. 2πRH2πrℎ=1∴ H ℎ=23.∴ V1 V2 = πR2Hπr2ℎ= (32)2•23= 32．故答案为：32．【点评】：本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用.是基础题目．10.（填空题.5分）向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量. (a⃗+2b⃗⃗)⊥a⃗，(b⃗⃗+2a⃗)⊥b⃗⃗ .则a⃗与b⃗⃗的夹角为___ ．【正确答案】：[1] 2π3【解析】：由平面向量垂直时数量积为0.列方程求出a⃗、b⃗⃗的夹角余弦值.从而求出向量a⃗，b⃗⃗的夹角．【解答】：解：由（a⃗ +2 b⃗⃗）⊥ a⃗ .得（a⃗ +2 b⃗⃗）• a⃗ = a⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |a⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ①又（b⃗⃗ +2 a⃗）⊥ b⃗⃗ .得（b⃗⃗ +2 a⃗）• b⃗⃗ = b⃗⃗2 +2 a⃗• b⃗⃗ =0.∴ |b⃗⃗|2 +2| a⃗ |×| b⃗⃗|×cosθ=0；… ②又向量a⃗，b⃗⃗均为非零向量.则| a⃗ |=| b⃗⃗ |.且cosθ=- 12.由θ∈[0.π].得θ= 2π3.即a⃗与b⃗⃗的夹角为2π3．故答案为：2π3．【点评】：本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题.是基础题．11.（填空题.5分）已知α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.则cos(2α+π6) =___ ．【正确答案】：[1] 4√29【解析】：由已知利用诱导公式可求sin（α- π6）.根据同角三角函数基本关系式可求cos（α- π6）的值.进而根据诱导公式.二倍角的正弦函数公式化简所求即可求解．【解答】：解：∵ α∈(0，π2)，cos(α+π3)=13.∴sin[ π2 -（α+π3）]=sin（π6-α）= 13.可得sin（α- π6）=- 13.∵α- π6∈（- π6. π3）.∴cos（α- π6）= √1−sin2(α−π6) = 2√23.∴ cos(2α+π6) =sin[ π2-（2α+ π6）]=sin（π3-2α）=-sin（2α- π3）=-sin2（α- π6）=-2sin（α- π6）cos（α- π6）=-2×（- 13）× 2√23= 4√29．故答案为：4√29．【点评】：本题主要考查了诱导公式.同角三角函数基本关系式.二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．12.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的可导函数f（x）的导函数为f'（x）.满足f（x）＜x•f'（x）.且f（1）=0.则关于x的不等式f（x）＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：构造函数g（x）= f(x)x.利用函数的导数判断函数的单调性.然后转化不等式f（x）＜0.求解即可得到答案．【解答】：解：函数f（x）的定义域为x＞0.xf'（x）＞f（x）.令g（x）= f(x)x.g′（x）= xf′(x)−f(x)x2＞0.所以函数g（x）在（0.+∞）上为增函数.∵f（1）=0.关于x的不等式f（x）＜0.f(x)x＜0 .可得g（x）＜g（1）.解得0＜x＜1.故答案为：（0.1）．【点评】：本题主要考查函数的单调性与其导函数之间的关系.考查了学生的计算能力.属基础题．13.（填空题.5分）如图.A.B.C是直线l上的三点.P是直线l外一点.已知AB= 12BC=1 .∠CPB=90°.tan ∠APB=43．则PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗•PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1] −3217【解析】：设∠PBC=θ.利用三角函数的定义以及余弦定理.以及向量数量积的公式进行计算即可．【解答】：解：设∠PBC=θ.∵tan ∠APB =43 .∴cos∠APB= 35 .sin∠APB= 45 .则由AB= 12 BC=1.可得|PC|=2sinθ.|PB|=2cosθ.|PA|=sin （π-θ） •1sin∠APB = 54 sinθ. 且|PA|2=|AB|2+|PB|2-2|PB||AB|cos （π-θ）=1+4cos 2θ+4cos 2θ=1+8cos 2θ. ∴ 2516 sin 2θ=1+8cos 2θ得sin 2θ= 1617 .则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APC= 54 sinθ•2sinθcos （90°+∠APB ）= 52sin 2θ（-sin∠APB ）=- 52×1617×45 =- 3217 ．故答案为：- 3217 ．【点评】：本题主要考查向量数量积的应用.结合三角函数的定义以及余弦定理建立方程是解决本题的关键．14.（填空题.5分）已知实数x.y ＞0.则 (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1] 12【解析】：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7.然后令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0.再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 .进而求解．【解答】：解：构造新的不等式.引入参数t. (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7+t = 2tx 2+2(y+1)x+5ty 2+y+7t+12x 2+5y 2+7 . 令分子等于0.△=0.即（10t 2-1）y 2+2（t-1）y+14t 2+2t-1=0. 再令△=0.t 2（2t+1）（14t-5）=0解得t=0或t=- 12 或t= 514 . ① (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 - 12 =−2x 2+4(y+1)x−5y 2−5+2y 2(2x 2+5y 2+7) = −2(x−y−1)2−3(y−1)22(2x 2+5y 2+7)≤0. 当且仅当 {x −y −1=0y −1=0 即 {x =2y =1 时等号成立；② (2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7 + 514 =10x 2+28(y+1)x+25y 2+14y+4914(2x 2+5y 2+7) = 2(5x+7y+7)2+3(3y−7)270(2x 2+5y 2+7)≥0. 当且仅当 {5x +7y +7=03y −7=0 即 {x =−143y =73 时等号成立；综上.(2x+1)(y+1)2x 2+5y 2+7最大值为 12.故答案为： 12【点评】：考查转化思想.不等式成立的条件．15.（问答题.14分）设向量a⃗=(sinx，√3cosx)，b⃗⃗=(−1，1)，c⃗=(1，1)．（其中x∈[0.π]）（1）若(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .求实数x的值；（2）若a⃗•b⃗⃗=12 .求函数sin(x+π6)的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用(a⃗+b⃗⃗)∥c⃗ .列出方程即可求实数x的值；（2）由已知条件a⃗•b⃗⃗=12和辅助角公式得到sin(x+2π3)=14．然后由同角三角函数关系来求sin(x+π6)的值．【解答】：解：（1）∵ (a⃗+b⃗⃗)∥c⃗⇒(sinx−1)−(√3cosx+1)=0 .∴ sinx−√3cosx=2⇒2(12sinx−√32cosx)=2⇒sin(x−π3)=1 .又x∈[0，π]⇒x−π3∈[−π3，2π3] .∴ x−π3=π2⇒x=5π6．（2）∵ a⃗•b⃗⃗=−sinx+√3cosx=12⇒2(−12sinx+√32cosx)=12.∴ sin(x+2π3)=14.∴ sin(x+π6)=sin((x+2π3)−π2)=−cos(x+2π3)．又x∈[0.π]且sin(x+2π3)=14＞0⇒x+2π3∈(2π3，π) .∴ cos(x+2π3)=−√154即sin(x+π6)=√154．【点评】：本题考查向量的共线与数量积的运算.三角函数的恒等变换应用.基本知识的考查．16.（问答题.14分）如图.已知A.B.C.D四点共面.且CD=1.BC=2.AB=4.∠ABC=120°.cos∠BDC=2√77．（Ⅰ）求sin∠DBC；（Ⅱ）求AD．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sin∠BDC=√217.进而利用正弦定理即可求得sin∠DBC的值．（Ⅱ）在△BDC中.由余弦定理可求DB的值.利用同角三角函数基本关系式可求cos∠DBC=5√714.进而利用两角差的余弦函数公式可求cos∠ABD的值.在△ABD中.由余弦定理可求AD的值．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△BDC中.因为cos∠BDC=2√77.所以sin∠BDC=√217．由正弦定理DCsin∠DBC =BCsin∠BDC得. sin∠DBC=DC•sin∠BDCBC=√2114．…（5分）（Ⅱ）在△BDC中.由BC2=DC2+DB2-2DC•DBcos∠BDC. 得. 4=1+DB2−2DB2√77．所以DB2−4√77DB−3=0．解得DB=√7或DB=−3√77（舍）．由已知得∠DBC是锐角.又sin∠DBC=√2114.所以cos∠DBC=5√714．所以cos∠ABD=cos（120°-∠DBC）=cos120°•cos∠DBC+sin120°•sin∠DBC= −12•5√714+√32•√2114= −√714．在△ABD中.因为AD2=AB2+BD2-2AB•BDcos∠ABD= 16+7−2×4×√7×(−√714)=27 .所以AD=3√3．…（13分）【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式.正弦定理.余弦定理.两角差的余弦函数公式在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.数形结合思想.属于中档题．17.（问答题.14分）在如图所示的空间几何体中.四边形ABCD为正方形.四边形ABEF为直角梯形.已知AF || BE.AB⊥BE.平面ABEF⊥平面ABCD.AB=BE=2AF.点P为棱DE上一点.且DP=2PE．（1）求证：AC || 平面DEF；（2）求证：BP⊥平面DEF．【正确答案】：【解析】：（1）连结BD.设AC∩BD=O.推导出O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.推导出四边形AOGF是平行四边形.由此能证明AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.推导出△PEB∽△BED.BP⊥DE.PF⊥PB.由此能证明PB⊥平面DEF．【解答】：证明：（1）连结BD.设AC∩BD=O.∵四边形ABCD为正方形.∴O为BD中点.设G为DE的中点.连结OG.FG.BE.则OG || BE.且OG= 12∵AF || BE.且AF= 12BE.∴AF || OG.OG=AF.∴四边形AOGF是平行四边形.∴AO || FG.∴AC || FG.∵AC⊄平面DEF.FG⊂平面DEF.∴AC || 平面DEF．（2）设AF=x.则AB=BE=2x.Rt△BDE中.DE2=BD2+BE2=12x2.∴DE=2 √3x .∵DP=2PE.∴PE= 2√33x.∵ PE BE =√33. BEDE= √33.∴ PEBE=BEDE.∵∠BEP=∠DEB.∴△PEB∽△BED. ∴∠BPE=∠DBE=90°.∴BP⊥DE.在△DEF中.cos∠FED= EF 2+DE2−DF2 2•EF•DE= √155.解得PF= √213x.∵BF= √5 x.∴PF2+PB2= 219x2+249x2 =5x2=BF2.∴PF⊥PB.∵PF∩DE=P.∴PB⊥平面DEF．【点评】：本题考查线面平行、线面垂直的证明.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.16分）政府部门为加快实现塌陷区域整治和资源枯竭城市转型发展.对一片半径为1km的圆形采煤塌陷区进行生态修复和景观建设.将其开发为湿地景区．一期工程对塌陷区水面及周边整治已结束.二期工程是进行湖面观光曲桥建设.设计方案如下：在圆形水面上建设由线段AB、AP、BP、CD组成的环湖观光曲桥.其中A、B、P是湖面观光曲桥的出入口.出入口A建在湖面东西方向的正东的湖边.出入口B建在湖面南北方向方向的正北的湖边.出入口P 建在圆形湖面南偏西的某处湖边.C、D分别在东西和南北方向的轴线上.满足P、C、B共线.P、D、A共线．（1）求曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积；（2）试确定P点的位置.使得曲桥CD、DP、PC围成的水域面积最大．【正确答案】：【解析】：（1）以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系.由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.求出D.C的坐标.代入求出面积S；（2）由S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.利用三角函数的性质.求出最值即可．【解答】：解：以圆形湖面的东西方向的轴线为x轴.南北方向的轴线为y轴建立直角坐标系. 由题意可得.圆O的方程为x2+y2=1.A（1.0）.B（0.1）.设P（m.n）（m＜0.n＜0）.则m2+n2=1.（1）由拱桥AB.BC.CD.DA所围成的水面的面积为S.直线PA的方程为y=nm−1(x−1) .令x=0.得D（0. n1−m) .直线PB的方程为y=1−n−m x+1 .令y=0.得C（m1−n，0）.则S= 12AC•BD = 12|1−m1−n||1−n1−m|=(1−m−n)22(1−m)(1−n)= 1−2m−2n+m2+n2+2mn2(1−m)(1−n)=1 .所以曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2；（2）由（1）曲桥AB、BC、CD、DA围成的水域的面积为1km2.要使CD.DP.PC所围成的面积最大.只需要确定P的位置使得△PAB的面积最大.易知.直线AB的方程为x+y-1=0.AB= √2 km.点P（m.n）到直线AB的距离d=√2.所以S△PAB=12AB•d=12•|m+n−1| .因为m＜0.n＜0.所以S△PAB=1−m−n2.设m=cosα.n=sinα（π＜α＜3π2）.所以S△PAB=1−cosα−sinα2 = 1−√2sin(α+π4)2.当且仅当α=5π4时.S△PAB面积最大为1+√22km2 .此时又CD.DP.PC所围成的水面的面积最大.且最大值为1+√22−1=√2−12(km2) .所以当入口P位于湖面的正西南方向时.CD.DP.PC所围成的水面的面积最大．【点评】：考查直线与圆的位置关系.三角函数求最值.解三角形等.难度较大.综合性高．19.（问答题.16分）对于无穷数列{a n}与{b n}.记A={x|x=a n.n∈N*}.B={x|x=b n.n∈N*}.若同时满足条件：① {a n}.{b n}均单调递增；② A∩B=∅且A∪B=N*.则称{a n}与{b n}是无穷互补数列．（1）若a n=2n-1.b n=4n-2.判断{a n}与{b n}是否为无穷互补数列.并说明理由；（2）若a n=2n且{a n}与{b n}是无穷互补数列.求数量{b n}的前16项的和；（3）若{a n}与{b n}是无穷互补数列.{a n}为等差数列且a16=36.求{a n}与{b n}的通项公式．【正确答案】：【解析】：（1）{a n}与{b n}不是无穷互补数列．由4∉A.4∉B.4∉A∪B=N*.即可判断；（2）由a n=2n.可得a4=16.a5=32.再由新定义可得b16=16+4=20.运用等差数列的求和公式.计算即可得到所求和；（3）运用等差数列的通项公式.结合首项大于等于1.可得d=1或2.讨论d=1.2求得通项公式.结合新定义.即可得到所求数列的通项公式．【解答】：解：（1）{a n }与{b n }不是无穷互补数列． 理由：由a n =2n-1.b n =4n-2.可得4∉A .4∉B .即有4∉A∪B=N *.即有{a n }与{b n }不是无穷互补数列； （2）由a n =2n .可得a 4=16.a 5=32.由{a n }与{b n }是无穷互补数列.可得b 16=16+4=20. 即有数列{b n }的前16项的和为 （1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=1+202×20-30=180； （3）设{a n }为公差为d （d 为正整数）的等差数列且a 16=36.则a 1+15d=36. 由a 1=36-15d≥1.可得d=1或2.若d=1.则a 1=21.a n =n+20.b n =n （1≤n≤20）. 与{a n }与{b n }是无穷互补数列矛盾.舍去； 若d=2.则a 1=6.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5．综上可得.a n =2n+4.b n = {n ，n ≤52n −5，n ＞5 ．【点评】：本题考查新定义的理解和运用.考查等差数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算和推理能力.属于中档题．20.（问答题.16分）已知函数 f (x )=a2x 2+x+1e x−1 ．（1）若a=2.求函数f （x ）的极小值；（2）若f （x ）在x∈[0.+∞）的最小值为0.求实数a 的取值范围； （3）证明：当a≥1时.证明不等式f （x ）≤x+1对x∈R 恒成立．【正确答案】：【解析】：（1）求出 f′（x ）.求出函数的单调区间.得出极值；（2）分a 的符号讨论函数f （x ）的单调性.从而得出取最值的情况.得到参数a 的取值范围； （3）用分析法当x≥0时.要证明 e x −a 2x 2e |x|≤x +1 成立；构造函数g （x ）= a 2x 2+x+1e x.讨论函数g（x）的单调性.得出最值从而证明.同理去证明x＜0的情况．【解答】：解：（1）因为a=2.所以f(x)=x2+x+1e x −1 .∴ f′(x)=(2e x−1)xe x.所以 f（x）极小值=f（0）=0；（2）f'（x）= x(a−1e x) .∵x≥0.则e x≥1∴ 0＜1e x≤1 .① 若a≤0.则当x＞0时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；② 若0＜a＜1.则当x＜-lna时.f'（x）＜0.f（x）为减函数.而f（0）=0.从而f'（x）＜0.不符合题意.舍去；③ 若a≥1.则当x＜0时.f'（x）＞0.f（x）为增函数.而f（0）=0.从而当x≥0时.f（x）≥0.综上：实数a的取值范围是[1.+∞）；（3）由题可知f（x）≤x+1即为e x−a2x2e|x|≤x+1；① 当x≥0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e x+x+1 .即证a2x2+x+1e x≥1 ① ；令g（x）= a2x2+x+1e x.得g′(x)=ax+e x−(x+1)e x(e x)2=ax−xe x；整理得g′(x)=x(a−1e x)∵x≥0 时. 1e x≤1结合a≥1.得g′（x）≥0；∴g（x）在[0.+∞）上是增函数.故g（x）≥g（0）=1；所以① 得证；② 当x＜0时.要证明e x−a2x2e|x|≤x+1成立；只需证e x≤a2x2e−x+x+1 .即证a2x2e−2x+(x+1)e−x≥1 ② ；令m（x）= a2x2e−2x+(x+1)e−x .得m′（x）=-xe-2x[e x+a（x-1）]；而 h（x）=e x+a（x-1）在x≤0时为增函数；故h（x）≤h（0）=1-a≤0.从而m′（x）≤0；∴m（x）在x≤0时为减函数.则m（x）≥m（0）=1.从而② 式得证；故当a≥1时.不等式f（x）≤x+1对x∈R恒成立．【点评】：本题考查函数的极值.根据最值求参数范围.构造函数利用导数证明不等式.考查分类讨论的思想和构造法.属于难题．。

江苏省无锡市2020届高三第一次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若,x y满足约束条件340,{340,80,x yx yx y--≥-+≤+-≤则1yx+的取值范围是A．12 [,]23B．15[,]24C．25[,]34D．5[,)4+∞2．已知函数2()lnf x x ax=-，若()f x恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A．1,2e⎛⎫+∞⎪⎝⎭B．1,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．10,2e⎛⎫⎪⎝⎭D．1,2e⎛⎫-∞⎪⎝⎭3．已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为，，>,且，，设，则数列的前100项和等于（）A．4950 B．5250 C．5350 D．103004．已知()sin()(0,0,)2f x A x B Aπωϕωϕ=++>><的图象如图所示，则函数()f x的对称中心可以为（）A．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B．,16π⎛⎫⎪⎝⎭C．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭D．,16π⎛⎫- ⎪⎝⎭5．设锐角三角形ABC的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若2,2a B A==，则b的取值范围为（）A．(0,4)B．(2,23)C．(22,3)D．(22,4)6．边长为4的正三角形ABC中，点D在边AB上，12AD DB=u u u v u u u v，M是BC的中点，则AM CDu u u u v u u u v⋅=（）A．16B．123C．83-D．8-7．下列类比推理中，得到的结论正确的是A．把()na b+与()nab类比，则有()n n na b a b+=+B ．把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于其长宽高的平方和C ．把()log a x y +与()a b c +类比，则有()log log log a a a x y x y +=+D ．向量a ，b 的数量积运算与实数,a b 的运算ab a b=⋅类比，则有⋅=⋅a b a b8．已知曲线1C 是以原点O 为中心，12F F 为焦点的椭圆，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线，A 是曲线1C 与2C 的交点，且21AF F ∠为钝角，若1275,22AF AF ==，则12AF F ∆的面积是（） A ．3 B ．2C ．6D ．49．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 若2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，则9S =( ) A ．18 B ．19 C ．20 D ．3610．已知复数(i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2y x =上，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．13-11．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中错误的是（ ）A ．若为的外心，则B ．若为等边三角形，则C ．当时，与平面所成角的范围为D ．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为12．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是 A ．1B 3C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届江苏省天一中学高三年级第一次模拟考试
数学II(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵231t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．B ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==22321t y t x （t 为参数），在以坐
标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是)4
sin(24θπρ+=.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于两点B A ，，求线段AB 的长．
C .[选修4—5：不等式选讲
]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

本卷满分为40分，考试时间为30分钟。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在
答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号。

2020年江苏省无锡市天一中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数，则a的取值范围是( )A．a＞2 B．0＜a＜1 C．2＜a＜3 D．a＞3参考答案：C【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】利用底数大于0小于1时指数函数为减函数，直接求a的取值范围．【解答】解：∵指数函数y=（a﹣2）x在x∈R上是减函数∴0＜a﹣2＜1?2＜a＜3故答案为：（2，3）．故选C．【点评】本题考查指数函数的单调性．指数函数的单调性与底数的取值有关，当底数大于1时指数函数为增函数，当底数大于0小于1时指数函数为减函数．2. （3分）在△ABC中，点D在线段BC上，且=，点O在线段DC上（与点C，D不重合）若=x y，则x﹣y的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，﹣）C．（﹣2，﹣1） D．（﹣，﹣1）参考答案：B考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的数量关系，写出要求向量的表示式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果．解答：∵==﹣m=﹣m（﹣）=m+（1﹣m），∵=，点O在线段DC上（与点C，D不重合），∴m∈（0，），∵=x y，∴x=m，y=1﹣m，∴x﹣y=m﹣（1﹣m）=﹣1+2m，∴x﹣y∈（﹣1，﹣）故选：B点评：本题考查向量的基本定理，是一个基础题，这种题目可以出现在解答题目中，也可以单独出现，注意表示向量时，一般从向量的起点出发，绕着图形的边到终点．3. 若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A． B．C． D．2参考答案：C略4. 设，则下列关系式中一定成立的是（）A B C D参考答案：D略5. 若0＜a＜1，则不等式>0的解集是A．(a，) B．(，a)C．(－∞，)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+ ∞)参考答案：C6. ，则( )A． B．C．D．参考答案：B7. 已知直线∥平面，，那么过点且平行于的直线( )A.只有一条，不在平面内B.只有一条，在平面内C. 有两条，不一定都在平面内D.有无数条，不一定都在内参考答案：B8. 已知数列为等差数列，且，则（▲）A．11 B．12 C．17 D．20参考答案：A略9. （5分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0的位置关系是（）A．相离B．外切C．内切D．相交参考答案：D考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题．分析：把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交．[来源:学,科,网]解答：解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0 即（x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（﹣1，﹣4）为圆心，以5为半径的圆．C2：x2+y2﹣4x+4y﹣2=0 即（x﹣2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，﹣2）为圆心，以为半径的圆．两圆的圆心距d==，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选 D．点评：本题考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交．10. 不等式的解集为（）A．或B．C．或D．参考答案：B结合二次函数的图象解不等式得，∴不等式的解集为．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列为等差数列，前九项和=18，则=_________．参考答案：2略12. 已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______．参考答案：2【分析】由已知可得f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，结合f(x)-g(x)=x3+x2+2，可得f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，代入x=-1即可求解．【详解】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，则f(1)+g(1)=-1+1+2=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题．13. 棱长均为1m的正三棱柱透明封闭容器盛有a m3水，当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为h m （如图1）；当转动容器至截面A1BC水平放置时，盛水恰好充满三棱锥（如图2），则a=___；h= _____．参考答案：【分析】利用体积相等得出，进而算出，进而得出，通过面积的比值，进而求出的值，得到答案．【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为，所以，由题意可得，又由得，∴，∴∵，∴，∴在等边中，边上的高为因为，∴故答案为：．【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想象能，以及推理与运算能力，属于中档试题．14. （5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为[0，1]；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为．参考答案：④考点：根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．解答：由于符号[x]表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则[x]=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，[x]=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，[x]=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，[x]=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且 f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．15. 求函数取最大值时自变量的取值集合_______________________.参考答案：16. 若函数，则= ．参考答案：略17. ．设，若时均有，则_________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

答案一、填空题： 1. (1,2) 2．四； 3．804．35 5． 2256．257．①④ 8.1629 9．13； 10．52- 11． 5(,2)2--12．11 13．4 14．(,2)-∞-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．命题立意：本题主要考查两角和与差的正切公式与正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．（1）由(1tan )(1tan )2A B ++=得tan tan 1tan tan A B A B +=-， 所以tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==-，（4分）故△ABC 中，A B π+=4，C 3π=4（6分）（2）由正弦定理得2sin c =3π4，即c =（8分） 由余弦定理得2222cos a b ab 3π=+-4，即222a b =++，（10分）由2222a b ab =+≥得2ab ≤（当且仅当a b =时取等号）（12分）所以13sin 2S ab π=4（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．解：（1）因为EF ∥平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC平面ABD AB =，所以//EF AB ，（5分）又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上， 所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=；（7分） （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，（9分） 又AEDE E =，AE DE ⊂、平面AED ，所以BC ⊥平面AED ，（12分） 而BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面AED ．（14分）17．解：（1）在直角△中，因为，所以，所以．……………………………2分 在直角△中，因为，， 所以，NFP PF =FPN θ∠=NF θ=11(1)22NAP S NA PF θ∆=⋅=MEP 1PE =π3EPM θ∠=-πtan()3ME θ=-所以． ………………………………4分 所以，． ……………………………………………………………………………………6分 （注：定义域错误扣1分） （2）因为…8分 令，由，得，所以 ． (12)分 当且仅当时，即时等号成立．………………13分此时，． 答：当的面积最小，最小值为． ……………………………………………………………………………………14分18．解：（Ⅰ），椭圆：2219+=x y ，两个焦点1(-F ，2F设，1()=+F K x y ，2()=-F K x y ，2221212=()()8=81⋅=⋅+⋅-=+--+KF KF FK F K x y x y x y y ，∵11-≤≤y ，∴的范围是（4分）（2）设,A B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则222112222299.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，x y m x y m 两式相减，得12121212()()9()()0+-++-=x x x x y y y y ，12121212()()19()()+-+=+-y y y y x x x x ，即190+⋅=OM l k k ，故19⋅=-OM l k k ；（8分）11πtan()]1223AMP S AM PE θ∆=⋅=-⨯31πtan tan()223NAP AMP S S S θθ∆∆=+=+-π[0,]3θ∈31πtan tan()223S θθ=+-3tan 2θ=+1t θ=+π[0,]3θ∈[1,4]t ∈24)233S t t ==++22=+t =tan θ=AN =min 2S =+AN =AMPN S 23m =E (,)K x y 21KF ⋅[7,1]-（3）∵直线过点(,)3m m ， ∴直线不过原点且与椭圆有两个交点的充要条件是0>k 且13≠k ． 设(,)P P P x y ，设直线:()3=-+m l y k x m （），即:3=-+m l y kx km ， 由（2）的结论可知1:9=-OM y x k ，代入椭圆方程得，2222991=+P m k x k ， （10分） 由()3=-+m y k x m 与19=-y x k ，联立得222933,9191⎛⎫- ⎪-- ⎪++ ⎪⎝⎭m km k m km M k k ．（12分） 若四边形为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以，即22222293949191⎛⎫-= ⎪++⎝⎭k m km m kk k ，整理得29810-+=k k解得，k ．所以当4=9±k 时，四边形为平行四边形．（16分） 19． 解：（1），，的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即 又∵，∴.（2分）∴，，∴函数和的图像在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：,（4分）（2）由在有解， 令，则。

2020年江苏省无锡一中高考数学模拟试卷（4月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为______．2.在复平面内，复数（1+2i）（1-2i）所对应的点的坐标是______．3.如图是一个算法流程图，则输出的n的值是______．4.正切曲线y=tan x的对称中心的坐标是______．5.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有______根在棉花纤维的长度小于20mm．6.如果关于x的方程x2+kx+k+1=0有实数根，则实数k的取值范围是______．7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______．8.设数列{a n}的前n项和为S n，b n=，n=1，2，3，…，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的______条件．9.直线l的斜率为2，它被圆x2+y2＝80截得的弦长小于10，则l在y轴上的截距的取值范围是____．10.经过长期观测，某一公路段在交通繁忙的时段内，汽车的车流量（千辆/时）与成正比，其中v（千米/时）是汽车的平均速度．则该公路段在交通繁忙的时段内，汽车的平均速度v为______时，车流量最大．11.我们称两条相交直线所成的角中不大于90°的角为这两条直线的夹角．设直线l1：y=x，与直线l2：y=-2x+4的夹角为θ，则cosθ的值为______．12.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px与双曲线（a＞0，b＞0）有一公共焦点，还有一公共点M（1，），则双曲线的实轴长为______．13.如果直角三角形ABC的边CB，CA的长都为4，D是CA的中点，P是以CB为直径的圆上的动点，则的最大值是 .14.有2000个实数，2是其中的一个，将它们任意的排序后组成数列a1，a2，…，a2000，若该数列的所有项的和为5100，且a1+a2+…+a1050---…-是常数A（即A不随排序改变而改变），则A的值是______．二、解答题（本大题共10小题，共120.0分）15.已知函数f（x）=2⋅，x∈R，其中=（2cos x，-sin2x），=（cos x，1），（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）在△ABC中，f（A）=-2，⋅=3，求△ABC中的面积．16.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C．（1）若CA=2，CO=，且BF2=3，求椭圆的方程；（2）若椭圆的离心率为，证明：F1C⊥AB．18.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c（c ＞3）千元．设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．19.已知m是实数，函数f（x）=|e x-e2m|，x∈R，（1）若函数f（x）在区间（-1，3-m）上的图象上存在两个点，在这两点处的切线互相垂直，求m的取值范围；（2）当m＜时，求函数h（x）=f（x）+ln x的单调区间．20.有两个各项都是正数的数列{a n}，{b n}，若对于任意自然数n都有a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）如果a1=1，b1=，记数列{}的前n项和为S n，求S n．21.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．22.已知矩阵A=，矩阵B的逆矩阵B-1=，求矩阵AB的逆矩阵．23.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BC=8，侧面BCC1B1是正方形，M是CC1的中点，（1）求直线A1M与平面BCC1B1所成的角的正弦；（2）试在直线A1B求一点P，使BM⊥AP．24.记[x]r=x（x+1）…（x+r-1），x∈R，r∈N+，并规定[x]0=1，（1）分别求[3]2，[-3]2的值；（2）证明：[a+b]r=[a]r-k[b]k，a，b∈R，r∈N+．-------- 答案与解析 --------1.答案：1解析：【分析】本题考查交集运算,利用交集定义直接求解即可.【解答】解: ∵集合A={1，2}，B={a，a2+3},A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，2}，B={1，4}，成立；当a2+3=1时，方程无解．综上，a=1．故答案为1.2.答案：（5，0）解析：解：∵（1+2i）（1-2i）=1-2i+2i-4i2=5．∴复数（1+2i）（1-2i）所对应的点的坐标是（5，0）．故答案为：（5，0）．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：5解析：【分析】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为5．4.答案：（，0），k∈Z解析：解：根据正切函数图象的性质知，曲线y=tan x的对称中心的坐标是（，0），k∈Z．故答案为：（，0），k∈Z．根据正切函数图象的性质写出y=tan x的对称中心坐标即可．本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.答案：30解析：解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．故填：30．由图分析可得：易得棉花纤维的长度小于20mm段的频率，根据频率与频数的关系可得频数．本题考查频率分布直方图的知识．考查读图的能力，读图时要全面细致，同时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题．6.答案：k≤2-或k≥2+解析：解：∵关于x的方程x2+kx+k+1=0有实数根，∴△=k2-4（k+1）≥0⇒k2-4k-1≥0，解得k≤或k；故答案为：k或k．利用△≥0即可求出答案．本题考查了一元二次方程有实数根应满足的充要条件，属于基础题．7.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为n=6×6=36，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6个，∴出现向上的点数之和小于10的概率：p=1-=．故答案为：．出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．8.答案：充要解析：【分析】由等差数列的定义及充分必要条件的判定方法判断．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，则，∴b n==，为常数，则数列{b n}是等差数列；若数列{b n}是等差数列，则b n==kn+b，∴．a1=S1=k+b，当n≥2时，a n=S n-S n-1=kn2+bn-[k（n-1）2+b（n-1）]=2kn+b-k．n=1时适合上式．∴a n=2kn+b-k，数列{a n}是等差数列．∴“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件．故答案为：充要．9.答案：（-20，-5）∪（5，20）解析：解：设直线y=2x+b，圆心（0，0）到直线2x-y+b=0的距离d=，∵弦长为2，∴25＜b2＜400，解可得，5＜b＜20或-20＜b＜-5，故答案为：（-20，-5）∪（5，20）．先设直线y=2x+b，求出圆心（0，0）到直线2x-y+b=0的距离d，然后根据弦长为2，结合已知弦长范围可求b的范围．本题主要考查了直线与圆相交的弦长公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式10.答案：30解析：解：设y=（k≠0）．∵v＞0，∴y=，∵v+≥60，∴y≤，当且仅当v=，即v=30（千米/时）时，车流量最大．故答案是：30．将已知函数化简，从而利用基本不等式求车流量y最大值．本题以已知函数关系式为载体，考查基本不等式的使用，考查解不等式，解题的关键利用基本不等式求最值，同时考查计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由题意可得：tanθ==3，∴cosθ==．故答案为：．由题意可得：tanθ，结合直角三角形，根据三角形函数的定义即可得出cosθ．本题考查了直线到角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：1解析：解：抛物线y2=2px与双曲线（a＞0，b＞0）有一公共点M（1，），可得6=2p，解得p=3，所以抛物线的焦点坐标（，0），所以，并且，解得a=，b=，所以双曲线的实轴长为：1．故答案为：1．求出抛物线的方程，得到焦点坐标，利用双曲线的焦点坐标以及点在双曲线上求出a，即可得到结果．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．13.答案：8+解析：【分析】本题考查了平面向量基本定理及三角函数的辅助角公式，属中档题．由平面向量基本定理及三角函数的辅助角公式可得：=（2，-4），=（-2cosθ，-2-2sinθ），则=-4cosθ+8sinθ+8=4sin（θ+φ）+8，由三角函数的有界性可得：因为sin（θ+φ）∈[-1，1]，所以当sin（θ+φ）=1时，取最大值4+8，得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系可得：C（0，0），D（2，0），B（0，4），P（2cosθ，2+2sinθ），则=（2，-4），=（-2cosθ，-2-2sinθ），则=-4cosθ+8sinθ+8=4sin（θ+φ）+8，又sin（θ+φ）∈[-1，1]，所以当sin（θ+φ）=1时，取最大值4+8，故答案为：4+8．14.答案：350解析：解：由题意可得a1+a2+…+a2000=5100，可得a1+a2+…+a1050=5100-（a1051+a1052+…+a2000），由题意可得5100-（a1051+a1052+…+a2000）---…-是常数A，由2是其中的一个，2+=5，且3+=5，可得a1051，a1052，…，a2000，都为2或3，则A=5100-（5+5+…+5）=5100-5×950=350．故答案为：350．由题意可得a1+a2+…+a1050=5100-（a1051+a1052+…+a2000），考虑到2是其中的一个，2+=5，且3+=5，可得a1051，a1052，…，a2000，都为2或3，计算可得所求和．本题考查数列的求和：并项求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．15.答案：解：（1）因为=（2cos x，-sin2x），=（cos x，1），所以f（x）=2⋅=4cos2x-2=2cos2x-2sin2x+2=4cos（2x+）+2，由T==π，由2kπ≤2x+≤2kπ+π，解得：k≤x≤k，k∈Z故f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；（2）因为在△ABC中，f（A）=-2，所以cos（2A）=-1，所以2A+=π，即A=，又=3，所以|AB||AC|=3，即|AB||AC|=6，所以S△ABC=|AB||AC|sin=，故△ABC中的面积为．解析：（1）平面向量的数量积、三角函数图象的性质可得：f（x）=4cos（2x+）+2，由T==π，则易得：f（x）的最小正周期为π，单调减区间为：[k，k]，k∈Z；（2）由三角函数求值及三角形的面积公式可得：A=，又=3，所以|AB||AC|=3，即S△ABC=|AB||AC|sin=，得解．本题考查了平面向量的数量积、三角函数图象的性质及三角形的面积公式，属中档题．16.答案：解：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．解析：（1）根据三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17.答案：解：（1）由题意可知：a=|BF2|=3，则C点坐标为（4，1），将C代入，解得b2=8，所以椭圆的方程；（2）证明：由离心率e==，则a=c，b2=a2-c2=4c，即b=2c，则椭圆方程为4x2+5y2=20c2，则B（0，2c），F1（-c，0），F2（c，0），则直线BA的斜率为-2，则直线BA的方程为y=-2x+2c，联立，解得x A=，则y A=-2×+2c=-，所以C（，），所以=（，），=（c，-2c），则•=×c-×2c=0，所以⊥，所以F1C⊥AB．解析：（1）根据题意求得a，求得C点坐标，代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程；（2）根据椭圆的离心率，求得a，b与c的关系，求得直线AB的方程，代入椭圆方程，求得A和C 点坐标，利用向量的数量积或者直线的斜率之积为-1，即可求证F1C⊥AB．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．18.答案：解：（1）由体积V=，解得l=，∴y=2πrl×3+4πr2×c=6πr×+4cπr2=2π•，又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2∴其定义域为（0，2]．（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-，=，0＜r≤2由于c＞3，所以c-2＞0当r3-=0时，则r=令=m，（m＞0）所以y′=①当0＜m＜2即c＞时，当r=m时，y′=0当r∈（0，m）时，y′＜0当r∈（m，2）时，y′＞0所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2即3＜c≤时，当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．所以r=2是函数y的最小值点．综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；当c＞时，建造费用最小时r=解析：（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到l和r的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系式，将表达式中的l用r表示．并注意到写定义域时，利用l≥2r，求出自变量r的范围．（2）用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间（0，2]中，极值未必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中．19.答案：解：（1）当x≥2m时，f（x）=|e x-e2m|=e x-e2m，此时为增函数，当x＜2m时，f（x）=|e x-e2m|=-e x+e2m，此时为减函数，即当x=2m时，函数取得最小值0，设两个切点为M（x1，f（x1）），N（（x2，f（x2）），由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2m＜x2，即-1＜2m＜3-m，得-＜m＜1，∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=e x1•（-e x2）=-e x1+x2=-1，则e x1+x2=1，即x1+x2=0，∵-1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2m，∴2m＜1，解得m＜，综上m的取值范围为（，（2）当m＜时，由（1）当x≥2m时，f（x）=|e x-e2m|=e x-e2m，此时为增函数，当x＜2m时，f（x）=|e x-e2m|=-e x+e2m，此时为减函数，∵当x＞0时，函数y=ln x在（0，+∞）为增函数，增区间（0，+∞）解析：求出函数f（x）的表达式，利用数形结合，结合导数的几何意义进行求解即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：（1）证明：∵a n，b n2，a n+1成等差数列，∴2=a n+a n+1，①∵b n2，a n+1，b n+12成等比数列，∴=，②∵a n＞0，b n＞0，∴由②得a n+1=b n•b n+1，∴当n≥2时，a n=b n-1•b n，∴由①得=b n-1•b n+b n•b n+1，∴2b n=b n-1+b n+1，∴数列{b n}是等差数列．（2）∵a1=1，b1=，a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列，∴，，解得a2=3，，∴，，解得a3=6，，∴，，解得a4=10，，由此猜想：a2-a1=3-1=2，a3-a2=6-3=3，a4-a3=10-6=4，…a n-a n-1=n，∴a n=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（a n-a n-1）=1+2+3+4+…+n=，∴==2（），∴+…+=．解析：（1）根据题设条件，由等差数列的性质得到2=a n+a n+1，由等比数列的性质得到=，由此进行化简整理，能够证明数列{b n}是等差数列．（2）由a1=1，b1=，a n，b n2，a n+1成等差数列，b n2，a n+1，b n+12成等比数列，利用递推思想分别求出数列{a n}的前四项，再得用合理猜想和累加法求出数列{a n}的通项公式，最后利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和为S n．本题考查等差数列的证明和数列前n项和的求法，解题时要注意递推思想、函数思想的合理运用，要合理猜想，灵活运用累加法和裂项求和法进行解题．21.答案：解：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线（t为参数）的普通方程为2y-x=2，斜率为：；所求直线方程为：解析：椭圆的普通方程为，右焦点为（4，0），直线普通方程为2y-x=2，斜率为：，利用点斜式求出方程即可．本题考查参数方程与普通方程的转化．直线方程求解．属于基础题．22.答案：解：设B=，由BB-1=E，即=，可得a=1，-a+2b=0，c=0，-c+2d=1，解得a=1，b=，c=0，d=，则AB==，设矩阵AB的逆矩阵为，可得=，即有x+z=1，-z=0，y+w=0，-w=1，解得x=1，z=0，y=，w=-1，则矩阵AB的逆矩阵为．解析：设B=，由BB-1=E，结合矩阵的乘法，解方程可得a，b，c，d，求得AB，设矩阵AB的逆矩阵为，由逆矩阵的定义和矩阵的乘法可得x，y，z，w的方程，解方程即可得到所求矩阵．本题考查矩阵的逆矩阵的求法，注意运用方程思想和逆矩阵的定义，考查运算能力，属于基础题．23.答案：解：（1）取BC中点D，连结AD，以A为原点，AD为x轴，过A作BC的平行线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，8），M（3，4，4），=（3，4，-4），平面BCC1B1的法向量=（1，0，0），设直线A1M与平面BCC1B1所成的角为θ，则sinθ===．∴直线A1M与平面BCC1B1所成的角的正弦值为．（2）B（3，-4，0），设P（a，b，c），（0≤λ≤1），则（a-3，b+4，c）=（-3λ，4λ，8λ），解得P（3-3λ，-4+4λ，8λ），=（0，8，4），=（3-3λ，-4+4λ，8λ），∵BM⊥AP，∴=0+8（-4+4λ）+4×8λ=0，解得，∴P（，-2，4），即P是A1B的中点．解析：（1）取BC中点D，连结AD，以A为原点，AD为x轴，过A作BC的平行线为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1M与平面BCC1B1所成的角的正弦值．（2）B（3，-4，0），设P（a，b，c），（0≤λ≤1），推导出P（3-3λ，-4+4λ，8λ），由此能求出P是A1B的中点，使BM⊥AP．．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.答案：解：（1）[3]2=3×4=12．[-3]2=-3×（-3+2-1）=6．（2）证明：利用数学归纳法证明：r∈N+．①r=1时，[a+b]1=[a]1[b]0+=a+b成立．②假设r=n时成立，则[a+b]n=成立，则r=n+1时，[a+b]n+1=[a+b]n[a+b]1=（[a]n++……+）[a+b]=（[a]n+1+[a]n[b]1+……+[a][b]n）+（[a]n[b]+[a]n-1[b]2+……+[b]n+1．根据=．∴[a+b]n+1=（[a]n+1+[a]n[b]1+……+[b]n+1=[a]n+1-k[b]k．假设成立，即r=n+1时命题成立．综上可得：：[a+b]r=[a]r-k[b]k，a，b∈R，r∈N+．解析：（1）根据定义即可得出[3]2，[-3]2．（2）利用数学归纳法，及其=即可证明结论．本题考查了新定义、组合数的性质、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

天一大联考2020届高三年级下学期第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R2．已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．13．已知函数f (f )={(f −1)3，f ≤1fff，f＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ）A ．1f 2+1＜1f 2+1 B ．√f 3＞√f 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13 B ．12个月的PMI 值的平均值低于50% C ．12个月的PMI 值的众数为49.4% D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%5．已知函数f (f )=fff (2f −f4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数f (f )=fff (2f +f4)的图象，则φ的最小值为（ ）A ．f4B ．3f8C ．f2D ．5f 86．已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣207．已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （f2−2α）＝（ ） A ．79B ．59C ．−59D ．−798．已知双曲线f：f 2f2−f 2f2=1(f＞0，f＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√59．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？10．过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|ff |+1|ff |=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f （x ）＝x 3﹣ax ﹣1，以下结论正确的个数为（ ） ①当a ＝0时，函数f （x ）的图象的对称中心为（0，﹣1）； ②当a ≥3时，函数f （x ）在（﹣1，1）上为单调递减函数； ③若函数f （x ）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a ＜3； ④当a ＝12时，f （x ）在[﹣4，5]上的最大值为15． A ．1B ．2C ．3D ．412．已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．√26B ．13C ．√23D ．1二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．已知向量f →=（1，1），|f →|=√3，（2f →+f →）•f→=2，则|f →−f →|＝ ． 14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为．15．将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为．16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则2ffff +2ffff=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的各项都为正数，a1＝2，且f f+1f f =2f ff f+1+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[lg（log2a n）]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1，求数列{b n}的前2020项和．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1＝2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1截去三棱锥B1﹣﹣CBE后剩余部分的体积．19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7y 5 6.5 7 7.5 8y与x可用回归方程f^=f f fff+f^（其中f^，f^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率； （ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则f f∑ 5f =1(f f −f )(f f −f )∑ 5f =1(f f −f )20.546.8 1.530.45线性回归直线f^=ff fff +f ^中，f f =∑ f f =1(f f −f )(f f −f )∑ f f =1(f f −f )2，f^=f −f f f ．20．已知椭圆f：f 2f 2+f 2f 2=1(f＞f＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF 1F 2的面积的最大值为√3． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．21．已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(f )=ff −√f +f (f )+f 有且仅有一个零点． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，ff→=2ff →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{f =fffff f =1+fffff （t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程． [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：f 2+f 2+f 2≥13（Ⅱ）求证：√2+2+√2+2+√2+2≥√2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， 故选：A ．2．解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+f f=1−f ，∴z ＝﹣2﹣i ， ∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√f 3＞√f 3正确． 故选：B ．4．从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确； 由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．把函数f (f )=fff (2f −f4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−f4）的图象，即得到f (f )=fff (2f +f4)的图象， ∴2φ−f 4=2k π+f 4，k ∈Z ，∴φ的最小值为f4，故选：A ．6．根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2．由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(f 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +f (f −1)2×2=(f −92)2−814．根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．7．由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23， ∴cos α=√23，∴sin （f 2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59． 故选：C ． 8．双曲线C ：f 2f 2−f 2f2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为A （c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ），∴MF 的中点坐标为（f +f 2，f2）． 代入方程可得(f +f 2)2f 2−(f 2)2f 2=1，∴(f +f )24f 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ． 9．i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立； 运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立； 运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立； 运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立； 运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立， 输出i 的值为11，结束， 故选：B ．10．显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +f2，联立方程{f =ff +f2f 2=2ff，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2＝2pk ，∴f 1+f 2=f (f 1+f 2)+f =2ff 2+f ， 由抛物线的性质可知：|AB |＝y 1+y 2+p ＝2pk 2+2p ， ∵AB ⊥CD ，∴直线CD 的斜率为：−1f ，∴|CD |＝2p （−1f ）2+2p =2f f 2+2f=2f +2ff 2f 2， ∴1|ff |+1|ff |=12ff 2+2f +f 22f +2ff 2=f 2+12f +2ff 2=14，∴2p +2pk 2＝4+4k 2， ∴p ＝2，∴抛物线方程为：x 2＝4y ，准线方程为：y ＝﹣1，设点P 到准线y ＝﹣1的距离为d ，由抛物线的性质可知：|PF |+|PQ |＝d +|PQ |， 而当QP 垂直于x 轴时，d +|PQ |的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示： ∴|PF |+|PQ |的最小值为3， 故选：C ．11．①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确． ②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ． 当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a≥3，所以f'（x）＜0在（﹣1，1）上恒成立，所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确．③由题意知，f'（x）＝3x2﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a＞0．令f'（x）＝0，解得f=±√3f3．因为f（x）在（﹣1，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（﹣1，1）上有解，所以0＜√3f3＜1，解得0＜a＜3，即③正确．④令f'（x）＝3x2﹣12＝0，得x＝±2．当x∈[﹣4，5]时，f（x）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f（x）max＝f（﹣2）或f（5），因为f（﹣2）＝15，f（5）＝64，所以最大值为64，即④错误．故选：C．12．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13．故选：B．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．由题意可得|f→|=√2，(2f→+f→)⋅f→=f→⋅f→+2f→2=f→⋅f→+4，∴f→⋅f→+4=2，解得f→⋅f→=−2，∴|f→−f→|=√f→2−2f→⋅f→+f→2=3．故答案为：3．14．根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场， 故答案为：2．15．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−f √3=f 2，解得h =√3−√32r ．故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√32r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(f +2−f 2)2=√3f ．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3f ． 故答案为：√3f ．16．由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ． 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ． 在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ， cos A =ff 2+ff 2−ff 2−ff 22(ff ⋅ff +ff ⋅ff )=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√2=√1−(37)2=2√107， 连接AC ，同理可得cos B =ff 2+ff 2−ff 2−ff 22(ff ⋅ff +ff ⋅ff )=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−fff 2f =√1−(119)2=6√1019． 所以2ffff +2ffff =+=4√103． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（I ）由题意，且f f +1f f=2f fff +1+1，即f f +12−a n +1a n ﹣2f f 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数， ∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤f＜101，10≤f＜1002，100≤f＜10003，1000≤f＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953． 18．（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1． 因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ． 因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3， 故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为Vf 1−fff=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12，而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3， 所以剩余部分的体积为3−12=52．19．解（Ⅰ）根据题意，ff =∑ f f =1(f f −f )(f f −f )∑ f f =1(f f −f )2=1.530.45=3.4，ff =f −f f f =6.8−3.4×0.54=4.964， ∴ff =3.4f +4.964． 又t ＝lgx ，∴ff =3.4fff +4.964． ∴x ＝10时，f f =3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636． （Ⅱ）（i ）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a ，b ，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4， 设这四天分别为A ，B ，C ，D ．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB ），（AC ），（AD ），（Aa ），（Ab ），（BC ），（BD ），（Ba ），（Bb ）， （CD ），（Ca ），（Cb ），（Da ），（Db ），（ab ）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa ），（Ab ），（Ba ），（Bb ），（Ca ），（Cb ），（Da ），（Db ）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P =815． （ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{f =112×2f ×f =√3f 2=f 2+f 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为f 24+f 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32 因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32f +f ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{f 24+f 23=1f =−√32f +f，消去y 可得6x 2﹣4√3ff +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3f3，即x 1=2√3f3−x 2． 直线AD 的斜率k 1=f 1f 1−2=−√32f 1+ff 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32f 2+f −√3f 2， 所以k 1k 2=−√32f 1+f f 1−2•−√32f 2+f −√3f 2， =34f 1f 2−√32f (f 1+f 2)+32f 1+f (f −√3)(f 1−2)f 2， =34f 1f 2−√32f ⋅2√3f 3+32(2√3f 3−f 2)+f (f −√3)(f 1−2)f 2，=34f 1f 2−32f 2(f 1−2)f 2=34．故k 1k 2为定值．21．（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=f f，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ff 0=1ffff 0=f 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√f +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点．h ′（x ）=1f 2f m ＝m −116+（√f14）2①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以√f 14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增． 所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√f 1+lnx 1+t ＝（2√f 1f 1）x 1−√f 1+lnx 1+t =−√f 12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4√f 1f 1=4−√f 14f 1＞0， 所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5； （Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2，设直线l 的参数方程{f =ffffff =1+fffff ，（t 为参数），代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(f 1+f 2)2−4f 1f 2=√4(ffff +ffff )2+12=√4fff2f+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立，此时l的普通方程为x+y﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．证明：（Ⅰ）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣x+2|＝1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝（a+b+c）2≥1，∴f2+f2+f2≥13．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2＝（a+b）2，即f2+f2≥(f+f)22两边开平方得√f2+f2≥√22|f+f|=√22(f+f)，同理可得√f2+f2≥√22(f+f)，√f2+f2≥√22(f+f)，三式相加，得√f2+f2+√f2+f2+√f2+f2≥√2．。