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过程控制被控对象的数学模型

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被控过程数学模型

被控过程数学模型


总结与展望
06
研究成果总结
01
建立了一套完整的被控过程数学模型，为实际工业过程控制提供了理 论支持。
02
针对不同类型的过程，提出了多种建模方法和技巧，提高了建模的准 确性和实用性。
03
结合实际应用案例，验证了所提出模型的可行性和有效性，为工业过 程控制提供了有效的工具。
04
针对模型参数的估计和优化问题，提出了多种参数估计和优化算法， 提高了模型参数的估计精度和优化效果。
分析结果
对验证与评估结果进行分析， 判断模型的准确性、可靠性和 有效性。
确定验证与评估方法
根据被控过程的特性和需求， 选择合适的验证与评估方法。
进行验证与评估
将实验数据输入模型，进行验 证与评估，并记录验证与评估 结果。
改进模型
根据验证与评估结果，对模型 进行必要的调整和改进，以提 高模型的准确性和可靠性。
被控过程数学模型的
04
验证与评估
模型验证方法
1 2 3
对比实验法
通过在被控过程中进行实际操作，将实验数据与 模型预测数据进行对比，以验证模型的准确性。
输入-输出法
通过输入不同的控制信号，观察被控过程的输出 响应，并与模型预测的输出进行对比，以验证模 型的准确性。
时间序列法
将被控过程的历史数据输入模型，通过比较模型 的预测输出与实际历史数据，评估模型的准确性。
线性系统模型的性质
线性系统模型具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。叠加性是指多个输入产生的输出等 于各自输入产生的输出之和；均匀性是指系统对输入信号的放大系数是常数；时不变性是 指系统对输入信号的响应不随时间变化而变化。
线性系统模型的建立方法
建立线性系统模型的方法包括机理建模、统计建模和混合建模等。机理建模是根据系统的 物理和化学原理建立数学模型；统计建模是根据系统的输入和输出数据建立数学模型；混 合建模则是结合机理建模和统计建模的方法。
第1章被控对象数学模型分析解析

第1章被控对象数学模型分析解析


h KQ1 (1 e
t / T
)
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
2．无自平衡单容过程
所谓无自平衡过程是指受扰过程的平衡状态被破坏后， 在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被控过程自身能力不 能重新回到平衡状 态。如图所示为无 自平衡单容液位过 程。
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
1.3 机理法建立被控对象的数学模型
机理法建模的基本步骤如下：
根据建模过程和模型使用目的做出合理假设。
根据被控对象的结构以及工艺生产要求进行基本分析，确 定被控对象的输入变量和输出变量。 根据被控对象的内在机理，列写原始动态方程组。 消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方 程式或传递函数。
1.2 被控对象的数学模型 的建立
1.2.2 实验法建模
实验法建模是根据被控对象输入/输出的 实验测试数据通过数学处理后得出数学模 型。此方法又称为系统辨识。 系统辨识是根据测试数据确定模型结构 （包括形式、方程阶次以及时滞情况等）， 在已定模型结构的基础上，再由测试数据 确定模型的参数即为参数估计。
1.2.1 机理法建模
机理法建模就是根据生产过程中实际发生的 变化机理，写出各种相关的平衡方程，如：物质 平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平 衡方程以及反映流体流动、传热、化学反应等基 本规律的运动方程、物性参数方程和某些设备的 特性方程，从中获得所需的被控过程的数学模型。
1.2 被控对象的数学模型 的建立
由上可见，液位变化dh/dt由两个因素决定： 一是储存罐的截面积A；
一是流入量与流出量之差Q1-Q2。
A越大，dh/dt越小；Q1-Q2越大，dh/dt越大。 在过程控制系统中，被控对象一般都有一定储存物料或 能量的能力，储存能力的大小通常用容量或容量系数表示， 其表示符号为C。其物理意义是：引起单位被控量变化时被 控对象储存能量、物料量变化的大小。 本例中A是决定液位变化率大小的因素。
过程控制系统建模方法

过程控制系统建模方法


容量C：生产设备和传输管路都具有一定的储蓄物质或能量的 能力。被控对象储存能力的大小，称为容量或容量系数，其意 义是：引起单位被控量变化时，被控过程储存量变化量。种类 有电容、热容、气容、液容等等。
实际上，储槽底面积，及液容类似于电容。电容越大，相同的 电流变化（增量）造成的电压改变越小；同样，储槽底面积越 大，相同流量的改变造成的液位改变越小。
根据过程的内部机理（运动规律），运用一些已知的定律、原 理，如：物料平衡方程，能量平衡方程、传热传质原理等，建 立过程的数学模型。
试验建模方法
黑箱模型
建立输入输出模型，根据输入和输出的实测数据进行某种数 学处理后得到的模型。
混合建模方法
灰箱建模
把过程机理和输入输出数据结合建模的方法
建立数学模型不能也没有必要无限追求非常高的模型精度， 而应该根据实际需要来确定。否则就可能会为建立模型而付 出过大代价，又对生产并无太大的实际意义。
q3
以q1作为输入量，h2为输出量
q1
q2
C1
d h1 dt
q2
q3
C2
d h2 dt
初始时刻处于平衡状态： Qi= Qo，h=h0 当进水阀开度发生阶跃变化u时：
Qi Qo
dV dt
A dh dt
③ 消去中间变量
当阀前后压差不变时， Qi与u成正比：
Qi= Kuu， Ku ：阀门流量系数，m/s
液位越高，水箱内水的静压力增大，流出量亦增大，设它们之 间为线性关系：
Qo
h R
R：阀门的阻力，即液阻，s/m2，与工作点处流出量的值有关
dh T dthKu(t0) G(s)H(s) K e0s
U(s) Ts1
u(t)
6.7被控对象的数学模型

6.7被控对象的数学模型


L 0 v
从测量方面看，由于测量点选择不当、测量元件安装不合适等 原因也会造成传递滞后。下图为一个蒸汽直接加热器。输入量 蒸汽量；输出量 出口管道的溶液温度，测温点离槽的距离为 Ｌ
例子
相对于蒸汽流量变化的时刻，实际测得的溶液温度Ｔ要经过 时间τｏ后才开始变化
下图为有、无纯滞后的一阶阶跃响应曲线。X为输入量，y(t) 为无纯滞后时的输出量， yτ (t)为有纯滞后时的输出量
T:是当对象受到阶跃输入作用后，被控变量到达新稳定值的 63.2%所需的时间。显然，T越大，被控变量的变化越慢， 到达新稳定值所需的时间也越长。
下图中，四条曲线分别表示对象的时间常数为T1 、T2 、 T3、T4时，在相同的阶跃输入作用下被控变量的反应曲线。
小结
希望To适中 希望Tf大
（1）控制通道时间常数To对控制系统的影响 在相同的控制作用下，对象的时间常数To越大，被控变量 的变化越缓慢。 To越小，被控变量的变化越快,控制作用 及时。但To过小，响应过快，易引起震荡，使系统稳定性 下降。 （2）扰动通道时间常数Tf对控制系统的影响 对象的时间常数Tf 越大，被控变量对干扰的响应越迟缓， 越容易克服干扰而获得较高的控制质量。
a , a a a 及 b , b b b 分别为方程中的各项 数 n n 1 , , 1 , 0 m m 1 , , 1 , 0
在允许的范围内，多数化工对象可忽略输入项的导数 项，因此可表示为：
( n ) ( n 1 ) a y ( t ) a y ( t ) a y '( t ) a y ( t ) x ( t ) n n 1 1 0
此式称为被控变量过渡过程的函数表达式，表示对象在受到阶跃作 用 Q1=A 后，被控变量h随时间变化的规律。根据此式可画出 h～t 曲线，称为阶跃反应曲线或飞升曲线。
第二章_对象特性和建模

第二章_对象特性和建模


23
第二节 机理建模
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然， 与皮带输送机的传送速度v和传送距 显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度 和传送距 L 有如下关系： 离L有如下关系： 有如下关系 τ = （2-16） ）
0
v
24
第二节 机理建模
x为输入量 为输入量
x (t − τ 0 ), y= 0, t ≥τ0 t ≤τ0
Y (s ) bm s m + bm −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0 G (s ) = = X (s ) a n s n + a n−1 s n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a0
（2-8） ）
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第一节 数学模型及描述方法
对于一阶对象,由式 (2-4)两端取拉氏变换,得 对于一阶对象, (2-4)两端取拉氏变换, 两端取拉氏变换
过程的输入、 图2-1 过程的输入、输出量
3
？
第一节 数学模型及描述方法
过程的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
4
第一节 数学模型及描述方法
用于控制的数学模型（ 、 ）与用于工艺设计与分析 工艺设计与分析的数学 用于控制的数学模型（a、b）与用于工艺设计与分析的数学 控制的数学模型 模型（ ）不完全相同。 模型（c）不完全相同。 一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况， 情况 ， 研究过 程的输入变量 程的 输入变量 是如何影响输 出变量的。 出变量的。
对象可以用一阶微分方程式来描述, 对象可以用一阶微分方程式来描述, 但输入变量与 输出变量之间有一段时滞τ 输出变量之间有一段时滞 0
过程控制 第4章_被控过程的数学模型

过程控制 第4章_被控过程的数学模型


进行拉普拉斯变换，整理 得到传递函数、数学模型
4.3 实验法建立过程的数学模型
试验辨识法可分为经典辨识法与现代辨识法两大类。 在经典辨识法中，最常用的有基于响应曲线的辨识方法； 在现代辨识法中，又以最小二乘辨识法最为常用。
4.3.1 响应曲线法
响应曲线法是指通过操作调节阀，使被控过程的控制输入产生一阶跃 变化或方波变化，得到被控量随时间变化的响应曲线或输出数据，再 根据输入－输出数据，求取过程的输入－输出之间的数学关系。响应 曲线法又分为阶跃响应曲线法和方波响应曲线法
Ke s (0 1) G( s) 2 2 (T s 2 Ts 1)
4．具有反向特性的过程 对过程施加一阶跃输入信号， 若在开始一段时间内，过程 的输出先降后升或先升后降， 即出现相反的变化方向，则 称其为具有反向特性的被控 过程。
4.1.3
过程建模方法
1．机理演绎法 根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系，用数学解析 的方法求取被控过程的数学模型。 2．试验辨识法 主要思路是： 先给被控过程人为地施加一个输入作 用，然后记录过程的输出变化量，得 到一系列试验数据或曲线，最后再根 据输入－输出试验数据确定其模型的 结构（包括模型形式、阶次与纯滞后 时间等）与模型的参数。 主要步骤： 3. 混合法
K0的确定与一阶环节确定方法相同
机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法
4.2
解析法建立过程的数学模型
4.2.1．解析法建模的一般步骤
1） 明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2） 依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写静态方程或 动态方程； 3） 消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分）方程或传 递函数（脉冲传递函数）等；
过程控制 第2章被控过程的数学模型

过程控制 第2章被控过程的数学模型

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4. 建立数学模型的依据 要想建立一个好的数学模型，要掌握好以下三类 主要的信息源。 (1) 要确定明确的输入量与输出量 (2)要有先验知识 (3) 试验数据
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5．被控对象数学模型的表达形式 被控对象的数学模型可以采取各种不同的表达形 式，主要可以从以下几个观点加以划分： (l ) 按系统的连续性划分为：连续系统模型和离散系统 模型。 (2) 按模型的结构划分为：输入输出模型和状态空间 模型。 (3) 输入输出模型又可按论域划分为：时域表达（阶 跃响应，脉冲响应）和频域表达（传递函数）。
9
1．建立数学模型的目的 在过程控制中，建立被控对象数学模型的目的主要 有以下几种： (l) 设计过程控制系统和整定控制器的参数 (2) 控制器参数的整定和系统的调试 (3) 利用数学模型进行仿真研究 (4) 进行工业过程优化 另外，设计工业过程的故障检测与诊断系统、制 订大型设备启动和停车的操作方案和设计工业过程运 行人员培训系统，等等都也需要被控过程的数学模型。
6
也有一些被控对象，例如图2-3中的单容积分水槽， 当进水调节阀开度改变致使物质或能量平衡关系破坏后， 不平衡量不因被控变量的变化而改变，因而被控变量将 以固定的速度一直变化下去而不会自动地在新的水平上 恢复平衡。这种对象不具有自平衡特性，具有这种特性 的被控过程称为非自平衡过程，其阶跃响应如图2-4所 示
第2章 被控过程的数学模型
目 录
2.1 过程模型概述 2.2 机理法建模 2.3 测试法建模 2.4 利用MATLAB建立过程模型 本章小结
1
2.1 过程模型概述
2.1.1 被控过程的动态特性
在过程控制中，被控过程（简称过程）乃是工业生 产过程中的各种装置和设备，例如换热器、工业窑炉、 蒸汽锅炉、精馏塔、反应器等等。被控变量通常是温 度、压力、液位、成分、转速等。被控对象内部所进 行的物理、化学过程可以是各式各样的，但是从控制 的观点看，它们在本质上有许多相似之处。 在生产过程中，控制作用能否有效地克服扰动对 被控变量的影响，关键在于选择一个可控性良好的操 作变量，这就要对被控对象的动态特性进行研究。因 此，研究被控对象动态特性的目的是据以配置合适的 控制系统，以满足生产过程的要求。
过程控制原理与工程第2章

过程控制原理与工程第2章


2.1 建立被控对象的数学模型
描述系统的输出量与输入量之间关系的微分方程是系 统最基本的数学模型。 建立微分方程的一般步骤是： 1) 确定输出量和输入量。 2) 从输入端开始，根据相应的物理规律，依次列写各 环节的方程式。 3) 将各方程式联立起来消去中间量，获得一个只含有 输出量和输入量的微分方程式。 图2-1 R、C串联电路过程控制原理与工程第2章 过 程控制系统的数学模型4) 将该方程式整理成标准形式。 即把与输出量有关的各项放在等式的左边，把与输入 量有关的各项放在等式的右边，各导数项按降幂排列。
图2-7 比例环节的功能框图和阶跃响应曲线
过程控制原理与工程
2.积分环节
(1)微分方程 (2)传递函数 (3)动态响应
过程控制原理与工程
2.积分环节
图2-8 积分环节的功能框图和阶跃响应曲线
过程控制原理与工程
3.理想微分环节
(1)微分方程 (2)传递函数 (3)动态响应
过程控制原理与工程
3.理想微分环节
2.结构图的等效变换规则
图2-17 分支点互换
(3)比较点的后移 需乘以所越过环节的传递函数，如图218所示。
过程控制原理与工程
2.结构图的等效变换规则
图2-18 比较点后移
(4)比较点的前移 需乘以所越过环节的传递函数的倒数， 如图2-19所示。
过程控制原理与工程
2.结构图的等效变换规则
图2-19 比较点前移
过程控制原理与工程
2.3.1 拉氏变换的概念
表2-1 常用函数拉氏变换对照表
过程控制原理与工程
2.3.1 拉氏变换的概念
表2-1 常用函数拉氏变换对照表
过程控制原理与工程
2.3.2 拉氏变换的运算定理
被控过程的数学模型

被控过程的数学模型


3机理法建模
机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。
STEP1
STEP2
当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业对象可以用一阶特性描述。
0
Δh2（∞）
Δh2
为简化数学模型，可以用带滞后的单容过程来近似。
0
Δh2（∞）
Δh2
τ0
0
T0
Δh2（∞）
在S形曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反应曲线的起点，则曲线可表达为带滞后的一阶特性：
∆h2(t)=
K0∆μ1 (1－e ) t ≥τc
此时，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是液位h。
G(S)
Q1
h
机理建模步骤： 从水槽的物料平衡关系考虑，找出表征h与Q1关系的方程式。 设水槽的截面积为A Ql0= Q20时，系统处于平衡状态，即静态。 这时液位稳定在h0
0
阀门1
阀门2
Q10
Q20
假定某一时刻，阀门1突然开大∆μ1 ， 则Q1突然增大，不再等于Q2，于是 h也就开始变化。 Q1与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。
阶跃响应曲线法建模 给对象输入一阶跃信号或方波信号测其输出响应。 1．阶跃响应曲线的直接测定
在被控过程处于开环、稳态时，将选定的输入量做一阶跃变化（如将阀门开大） ，测试记录输出量的变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。
注意事项
合理的选择阶跃输入信号的幅度 试验时被控过程应处于相对稳定的工况 要仔细记录阶跃响应曲线的起始部分（自衡、非自衡） 多次测试，消除非线性
自动化仪表与过程控制

自动化仪表与过程控制

自动化仪表与过程控制被控对象的数学模型一、填空题(本大题共1小题,总计1分)1.滞后时间又叫时滞，它是从输入产生变化的瞬间起，到它所引起的输出量开始变化的瞬间为止的___生变化的瞬间起，到它所引起的输出量开始变化的瞬间为止的___二、选择题(本大题共31小题,总计62分)1.当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变化，达到新的稳态之所需的时间称为（）。

(A)时间常数(B)滞后时间(C)振荡周期(D)过渡时间2.被控对象可以存放物料量或能量的能力称为对象的（）。

(A)负荷(B)容量(C)时间常数(D)惯性3.被控对象在受到输入作用后，被控变量不能立即而迅速的变化，这种现象称为（）。

(A)滞后现象(B)滞后时间(C)容量滞后(D)传递滞后4.被控对象的传递滞后,输出变量的变化落后于输入变量变化的时间称为（）。

(A)滞后时间(B)传递滞后(C)滞后现象(D)过渡滞后5.被控对象的传递滞后也称为（）。

(A)容量滞后(B)纯滞后(C)过渡滞后(D)系统滞后6.一个具有容量滞后对象的反应曲如图所示，被控对象的容量滞后是（）秒。

122050(A)12(B)20(C)8(D)507.操作变量的选择时干扰通道的放大系数尽可能小些，时间常数尽可能大些，干扰作用点尽量靠近()，加大对象干扰通道的容量滞后，使干扰对被控变量的影响减小。

(A)调节阀(B)被控对象(C)测量点(D)采样点8.干扰通道的()要尽可能大些。

(A)放大系数(B)时间常数(C)微分时间(D)滞后时间9.测量元件安装位置不当，会产生()。

它的存在将引起最大偏差增大，过渡时间延长，控制质量变差。

(A)放大系数(B)时间常数(C)纯滞后(D)滞后时间10.测量元件安装位置不当，会产生纯滞后。

它的存在将引起最大偏差()，过渡时间延长，控制质量变差。

(A)减少(B)增大(C)变化(D)不一定11.减少由于测量变送单元引起的纯滞后，可以选取惰性小的测量元件，减小时间常数。

过程控制第4章被控对象数学模型讲解

过程控制第4章被控对象数学模型讲解


令T RC、K R

dh T dt h K qi

T
dh dt

h

K

qi
对上式作拉氏变换： TsH (s) H (s) K Qi (s)
H(s) K
一阶对象的传递函数：

Qi (s) Ts 1
该对象的阶跃响应： 如果qi为幅值为a的阶跃响应，则
H
(s)

K Ts 1Qi
qi C
q0
R
单位时间流入水槽的物料 — 单位时间流出水槽的物料 ＝水槽物料储藏量的变化率
qi

qo

dV dt
V Ch

qi

qo

C
dh dt
由于出口流量可以近似地表示为：
qo

h R
R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）
h dh
消去qo： qi
R

C dt
dh RC dt h R qi
根据流体力学原理，水箱出口流量与H是存在一定的对应关系的： q0 H / R
R：出口阀门的阻力系数、液阻（与阀门开度有关）
因此，qi H qo，直至qi=qo可见该系统受到干扰以后，即使不加控制，最 终自身是会回到新的平衡状态，这种特性称为“自衡特性”。 右图：如果水箱出口由泵打出，其不同之处在于：qi当发生变化时，qo不发生变化。如
建模目的：
设计过程控制方案（被控变量及检测点选择，控制 变量的确定，控制结构形式都与对象特性有关） 整定控制器参数（控制规律的选择） 指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 培训系统运行操作人员
4.2被控对象数学模型的建立

被控过程的数学模型

被控过程的数学模型
被控过程的数学模型可以基于物理原理建立，也可以根据经验或实验数据建立。

常见的数学模型包括：
1. 差分方程模型：将被控变量在不同时间点的变化量与输入变量联系起来，建立差分方程模型。

2. 微分方程模型：考虑系统内部的动态特性，建立微分方程模型来描述系统的状态变化。

常见的微分方程包括一阶、二阶、高阶微分方程。

3. 线性回归模型：对已有的数据进行统计分析，建立被控变量和输入变量之间的线性关系。

4. 神经网络模型：利用神经网络的非线性映射性质，建立被控变量与输入变量之间的复杂映射关系。

5. 模糊逻辑控制模型：考虑现实问题的模糊性和不确定性，建立基于模糊逻辑的控制模型。

6. 最优控制模型：基于最优化理论，建立被控过程的最优控制模型，实现最小化损失或最大化收益。

这些数学模型可以根据实际应用需要选择和组合使用。

6.第二章 被控对象的数学模型

第二章被控对象的数学模型主要研究内容：⏹化工过程的特点及其描述方法⏹对象数学模型的建立（建模）•建模目的•机理建模•实验建模⏹描述对象特性的参数•放大系数Κ•时间常数Τ•滞后时间τ第二章被控对象的数学模型⏹控制效果取决于控制对象（内因）和控制系统（外因）两个方面。

۝外因只有通过内因起作用，内因是最终效果的决定因素。

⏹设计控制系统的前提是：正确掌握工艺系统、控制作用（输入）与控制结果（输出）之间的关系——对象的特性。

自动控制系统是由被控对象、测量变送装置、控制器和执行器组成。

研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。

建立对象特性的数学描述就称为建立对象的数学模型（建模）。

第二章被控对象的数学模型对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型。

静态数学模型动态数学模型基础特例对象在稳定时(静态)输入与输出关系；在输入量改变以后输出量跟随变化的规律；•比较与区别：动态数学模型是更精确的模型，静态数学模型是动态数学模型在对象达到平衡时的特例。

一、化工对象的特点⏹被控对象常见种类：换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、贮液槽罐、加热炉等⏹1. 对控制质量影响程度相差大（内因决定外因）；⏹2. 类型繁多，特性相差悬殊；⏹3. 非线性、分布参数较多；第二章被控对象的数学模型§2.1 化工对象的特点及其描述方法二、对象特性定义⏹对象特性，即过程特性：指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变化规律。

⏹输入量：干扰作用、控制作用。

⏹输出量：被控参数。

⏹数学建模——就是用数学的方法来描述出对象输入量与输出量之间的关系。

⏹通道：被控过程的输入量与输出量间的信号联系。

⏹控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系.⏹扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系.被控变量(输出量)扰动变量（输入量）操纵变量（输入量）数学模型的描述方法：1. 非参量模型：用曲线、数据图表表示的系统输入与输出量之间的关系；非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定性的特征。

第二章被控对象的数学模型


（1）R－C电路
用途：整流滤波、 闪光灯等 在图2－2所示的电路中，设ei为输入电压， 是该系统的输入变量；电容两端的电压 为输出电压，是该系统的输出变量；i是 流过电阻R的电流。根据电路原理中的科 希霍夫定律，有： ei＝iR＋e0 和 消去中间变量i，得到ei与e0之间的关系式： （2-3）
将由输入输出曲线测得的参数数值， 代入已推得的的微分方程或传递函数， 就得到了完整的数学模型。 在已知系统的数学模型结构的基础 上，再通过实验来确定数学模型中参数 的方法，又称为系统的参数估计。


除了上面介绍的这种方法之外，还 有矩形脉冲法和周期扰动法。另外，还 可以直接从正常生产过程的记录数据中 分析过程特性，建立数学模型。这种方 法称为在线辨识。但它需要大量的数据、 较长时间、较多的数据处理技术水平， 而且精确度也不够高。为了提高所得模 型的可信度和精度，有时采用多种方法 相互验证，相互补充。
第二章 被控对象的数学模型
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第一节 概述 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数

第一节 概述
数学模型是系统输入作用与输出作 用之间的数学关系。其表达形式主要有 两类：即非参量模型和参量模型。 非参量模型 是指用曲线或数据表格 形式来表示的数学模型。 参量模型 是指用数学表达式来描述 的数学模型。 下面我们主要讨论参量模型。
由方程（2-7），且此时 q0=0，得 1 h q i dt （2-9） C 所以该系统也常称为积分对象。 该系统的传递函数为


（2-10）

（注：上两式中C为液容，也可以用横截面积A）
3．二阶系统

当一个对象可以用二阶微分方程描述其 特性时，它就是一个二阶系统或二阶对象。 我们设其微分方程为：

东北大学过程控制系统第二章1 被控过程的数学模型-单容多容

传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研 究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出量 （响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的拉 普拉斯变换之比。 拉普拉斯变换为：
F ( s ) L[ f (t )] f (t )e st dt 0
（a）无时延的阶跃响应
（b）有时延阶跃响应
2.2 物理机理方法建模
例2 右图为由电炉和加热容器组成的温度过程。 容器内水温T1保持恒定，为被控参数，即输出量。电炉
连续给水供热Q1为输入量（控制参数）。盛水容器向室内散 发热量Q2，室温为T2，试建立温度过程的数学模型。 解：根据能量动态平衡关系：
（1）
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程； 消去中间变量； 在零初始条件下取拉氏变换； 求输出与输入拉氏变换之比。
方法二：列写系统中各元件的微分方程； 在零初始条件下求拉氏变换； 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量； 整理成传递函数的形式。
2.1 概述
(c) 频率特性 频域模型主要描述系统的频率特性。
l
Q0
l
Q1
Q0
Q1
Q1
0th来自h h2Q2
解：根据动态物料平衡，有
Q2 0, 增量微分方程
传递函数：
0
t
Q2
图5 无自衡过程及其响应曲线
（有时延）
2.2 物理机理方法建模
(2) 多容过程的建模
多容过程：过程控制中由多个容积和阻力件构成。
例4 ：
图7为有自衡能力双容过程及阶跃响应曲线。
以h2为被控参数， Q1为控制参数。
如果过程为n个容积相接，多容过程的模型为
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过程控制系统与仪表 第5章
单容无自衡特性
若阀门1突然开大∆μ1 ， 则Q1增大，Q2不变化。
Q1
Q2
A dh
dt
∆ Q1 = Kμ∆μ1
阀门1
ΔQ2 =0
A dh
dt
K 1
令 k — 称飞升速度
A
Q10 h
则：
dh
dt
1
h0
Q20 传函： W(s) H(s)
1(s) s
过程控制系统与仪表 第5章
写成标准形式
T
dh
dt
h
K1
进行拉氏变换 TS H(S) + H(S) = Kμ1(S)
传递函数为：
H(s) K
μ1(s) Ts 1
过程控制系统与仪表 第5章
阶跃响应（飞升）曲线 输入量μ1作一阶跃变化（Δμ1）时，其输出 （Δh）随时间变化的曲线。
Δμ1 1
因 H(s) K μ1(s) Δh
t 则 H(s) K 1
Ts 1 s
T
K
t
时域表达式
t
Δh K (1 e T )Δμ1
又称一阶惯性特性或单容特性
过程控制系统与仪表 第5章
对象的特性参数K、T反映了对象的物理本质。 因为工艺过程就是能量或物质的交换过程，在 此过程中，肯定存在能量的储存和阻力。
（1）容量系数——反映对象存储能量的能力。 如水槽面积A，它影响时间常数 T 的大小。
阀门2
平衡状态，即静态。
h0
这时液位稳定在h0
Q20
过程控制系统与仪表 第5章
假定某一时刻，阀门1突然开大∆μ1 ， 则Q1突然 增大，不再等于Q2，于是 h也就开始变化。
Q1与Q2之差被囤积在水槽中，造成液位上升。
（ ∆Ql - ∆ Q2 ）/ A = d∆h / dt
阀门1
h Q2 Rs ∆ Q1 = Kμ∆μ1
若阀门1阶跃增大∆μ1 ， 则Δh（t）持续增长。
即： Δh（t）=∫εΔμ1dt
T = ARS （2）阻力系数——反映对象对物料或能量传递
的阻力。
如阀门阻力系数 RS ，它影响放大系数 K 的大
小。
K = RS
过程控制系统与仪表 第5章
5.3.2.2被控过程的自衡特性与单容贮液箱液位过程II
从一阶惯性特性曲线可 Δμ1 以看出，对象在扰动作用下，1 其平衡状态被破坏后，在没 有人工干预或调节器干预下，
式中：
Q10
∆h h0
阀门2
RS ——阀门2阻力系数；Kμ ——阀门1比例系数；μ1 — Q20 —阀门1的开度；
过程控制系统与仪表 第5章
解得
d h dt
1 A
(
K
1
1 Rs
h)
即
dΔh ARs dt Δh K μ Rs Δμ1
令：T = ARs ——时间常数； K = KμRs——放大倍数。
由于影响生产过程的因素较多，单纯用机理法 建模较困难，一般用机理法的分析结论，指导测试 结果的辨识。
过程控制系统与仪表 第5章
5.3机理法建模 5.3.1机理法建模的基本原理 通过分析生产过程的内部机理，找出变量之间的 关系。如物料平衡方程、能量平衡方程、化学反应定 律、电路基本定律等，从而导出对象的数学模型。
如果想通过调节阀门1 来控制液位，就应了解进 水流量Q1变化时，液位h是 如何变化的。
过程控制系统与仪表 第5章
此时，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对 象的输出量是液位h。
机理建模步骤：
Q1
W(S)
h
从水槽的物料平衡关
系考虑，找出表征h与Q1关
阀门1
系的方程式。
设水槽的截面积为A
Q10
Ql0= Q20时，系统处于
X r i (s)
被控对象
+e
给定值 －
控制器
实测值
执行器 变送器
X c i (s)
干扰f
被控对象
被控量
过程控制系统与仪表 第5章
5.1被控过程数学模型的作用与要求 被控对象大都是生产中的工艺设备，它是控制系
统的重要环节。无论是设计、还是操作控制系统，都 需要了解被控对象的特性。
在经典控制理论中：用单输入、输出的数学模型 动态数学模型：输入变量与输出变量之间动态关系的 数学描述。 静态数学模型：系统运行在稳定的平衡工况下，输入 变量与输出变量之间的数学关系。
模型的阶次一般不高于3阶，主要采用具有纯
滞后的一阶和二阶模型，带纯滞后的一阶最
常用。
x r (t)
被控对象
x c (t)
X c (s) W (s) =
X r (s)
过程控制系统与仪表 第5章
5.2建立被控过程数学模型的基本方法
求对象的数学模型有两条途径： 机理法：根据生产过程的内部机理，列写出有 关的平衡方程，从而获取对象的数学模型。 测试法：通过实验测试，来识别对象的数学模 型。
过程控制系统与仪表 第5章
第5章 被控过程的数学模型
控制系统的控制过程品质主要取决于系统的结构 和系统中各组成环节的特性。 系统特性—是指控制系统输入输出之间的关系。 环节特性—是指环节本身输入输出之间的关系。
+e
给定值 －
控制器
实测值
执行器 变送器
干扰f
被控对象
被控量
过程控制系统与仪表 第5章
变送器和执行器的特性一般是比例关系、控制器的 特性由控制规律决定。本章讨论被控对象的特性。
Δh
能自动达到新的平衡状态， 这种特性称为“自衡特性”。
T
t
K t
用自衡率ρ表征对象自衡能力的大小
过程控制系统与仪表 第5章
1 1 h() K
与放大系数K互为倒数
Δμ1 1
如果ρ大，说明对象的自 Δh
衡能力大。即对象能以较小
的自我调整量Δh（∞），来抵
消较大的扰动量Δμ1。
T
t
K t
并不是所有被控过程都具有自衡特性。同样的 单容水槽如果出水用泵抽出，则成为无自衡特性。
5.3.2单容过程建模 当对象的输入输出可以用一阶微分方程式来描 述时，称为单容过程或一阶特性对象。 大部分工业 对象可以用一阶特性描述。 典型代表是水槽的水位特性。
过程控制系统与仪表 第5章
5.3.2.1单容贮液箱液位过程I
如图是一个水槽，水经过阀门l不断地流入水槽， 水槽内的水又通过阀门2不断流出。工艺上要求水槽 的液位h保持一定数值。在这里，水槽就是被控对象， 液位h就是被控变量。
过程控制系统与仪表 第5章
数学模型的作用：
1、设计过程控制系统及整定控制参数的重要依据； 2、指导生产工艺及其设备的设计与操作； 3、对被控过程进行仿真研究； 4、培训运行操作人员； 5、工业过程的故障检测与诊断。
数学模型的要求：尽量简单，正确可靠
过程控制系统与仪表 第5章
最常用的是传递函数。
传递函数是指用拉氏变换式表示的对象特性。