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光栅衍射实验报告一、实验目的1、深入理解光栅衍射的原理。
2、学会使用分光计测量光栅常数。
3、观察光栅衍射现象，研究衍射条纹的特点。
二、实验原理光栅是由大量等宽、等间距的平行狭缝组成的光学元件。
当一束平行光垂直照射在光栅上时，每条狭缝都将产生衍射，由于各狭缝衍射的光之间存在干涉，所以在屏幕上会形成明暗相间的衍射条纹。
根据光栅衍射方程：＄d\sin\theta ＝ k\lambda$ （其中＄d$ 为光栅常数，＄＼theta$ 为衍射角，＄k$ 为衍射级数，＄＼lambda$ 为入射光波长），通过测量衍射角＄＼theta$ 和已知的入射光波长＄＼lambda$，可以计算出光栅常数＄d$。
三、实验仪器分光计、光栅、汞灯、平面反射镜等。
四、实验步骤1、调整分光计粗调：使望远镜、平行光管和载物台大致水平。
细调：通过调节望远镜目镜和物镜，使分划板清晰；调整望远镜与平行光管共轴；使载物台平面与分光计中心轴垂直。
2、放置光栅将光栅放在载物台上，使光栅平面与入射光垂直。
3、观察衍射条纹打开汞灯，通过望远镜观察光栅衍射条纹。
4、测量衍射角找到中央明纹两侧的一级、二级等明纹，分别测量其衍射角。
5、数据记录与处理五、实验数据记录与处理｜衍射级数＄k$ ｜衍射角＄＼theta$（左）｜衍射角＄＼theta$（右）｜平均衍射角＄＼bar{＼theta}＄｜｜｜｜｜｜｜ 1 ｜＄10°20'＄｜＄190°20'＄｜＄10°20'＄｜｜ 2 ｜＄21°30'＄｜＄201°30'＄｜＄21°30'＄｜已知汞灯绿光波长＄＼lambda ＝ 5461nm$，根据光栅衍射方程＄d\sin\theta ＝ k\lambda$，计算光栅常数＄d$。
对于一级衍射，＄d\sin10°20' ＝ 1\times5461nm$，解得＄d ＝302×10^｛－6}m$。
衍射光栅实验报告一、实验目的：1.了解光栅的分光特性2.测量光栅常量二、实验用具：分光仪、平面透射光栅、平面反射镜、低压汞灯三、实验原理：光栅是在空间上具有周期性的栅状物，并作为衍射元件的光学元件。
从产生衍射的机制上，光栅可分为振幅型和相位型两种。
振幅型光栅是利用栅状物的透过率（或反射率）对入射光振幅在空间上进行调制，相位型光栅则是利用栅状物对入射光的相位在空间上进行调制。
通常在光谱仪器中所用的光栅是振幅型的。
振幅型光栅多为面光栅。
根据振幅型光栅的形状又可分为平面光栅和凹面光栅。
目前常用的栅状物透过率有正弦型（理想的全息光栅）和二元型（平行、等宽、等间距的刻痕）两种。
振幅型光栅又分透射和反射两种类型。
本实验使用的是透射型的全息光栅。
二元光栅是平行等宽、等间距的多狭缝，它的分光原理如图所示狭缝S处于透镜L1的焦平面上，并认为它是无限细的；G是衍射光栅，它有N个宽度为a的狭缝，相邻狭缝间不透明部分的宽度为b。
如果自透镜L1出射的平行光垂直照射在光栅上，透镜L2将与光栅法线成θ角的光会聚在焦平面上的P点。
光栅在θ方向上有主干涉极大的条件为(a+b)sin θ=kλ这就是垂直入射条件下的光栅方程，式中，k为光谱的级次、λ是波长、θ是衍射角、（a+b）是光栅常量。
光栅常量通常用d表示，d=a+b。
当入射光不是垂直照射在光栅上，而是与光栅的法线成φ角时，光栅方程变为d(sin φ±sin θ)=kλ式中“+”代表入射光和衍射光在法线同侧，“-”代表在法线两侧。
光栅的衍射角θ仍定义为与光栅表面法线的夹角。
在复色光以相同的入射角照射到光栅，不同波长的光对应有不同的θ角，也就是说在经过光栅后，不同波长的光在空间角方向上被分开了，并按一定的顺序排列。
这就是光栅的分光原理。
四、实验操作1、按照“分光仪的原理与调节”中的方法将分光仪调节到可以用于测量的状态；2、调节光栅将光栅按如图所示方式放置在载物台上光栅平面与V1、V3的连线垂直。
利用分光计研究光栅衍射分光计是一种用来研究光的性质和特性的仪器。
它可以通过分析光的波长和波长的变化，来研究光的衍射现象。
在研究光栅衍射时，分光计可以用来测量光栅的衍射角度和衍射的强度，以及计算光栅的准确波长。
光栅是一种光学元件，它由均匀间距排列的平行线所组成。
当光线通过光栅时，由于光栅的结构，光线会发生衍射现象。
这种衍射现象可以通过分光计进行研究。
分光计的基本原理是使用光栅将入射光分散成不同波长的光束，并将其聚焦到测量器件上。
这个测量器件通常是一个刻度盘，上面刻有角度刻度。
通过转动刻度盘，我们可以测量到衍射光的角度。
通过测量衍射角度，我们可以计算出波长与光栅常数之间的关系。
在实验中，首先需要将光源对准分光计的入口，确保光线垂直地射入分光计。
然后，将光栅放置在光路上，并将光线对准光栅。
通过调整刻度盘的角度，我们可以观察到衍射光的出射角度。
在观察到衍射峰后，可以通过测量衍射角度来计算光栅的波长。
在利用分光计研究光栅衍射时，我们可以通过改变光源的波长或光栅的常数，来观察到不同的衍射模式。
根据衍射模式的变化，我们可以推导出光栅的特性，并进一步研究光的波长和光栅的常数之间的关系。
除了波长和光栅常数的研究，分光计还可以用来观察衍射强度的变化。
通过测量不同角度的衍射强度，我们可以研究光的能量分布和衍射的相对强度。
总之，分光计是一种非常重要的工具，用于研究光栅衍射和光的特性。
通过测量光的波长、衍射角度和强度，可以得到有关光栅和光的相关参数的重要信息。
这些信息对于许多应用领域，如光谱学、物理学和化学分析等都具有重要意义。
实验五 光栅衍射实验——光栅距的测定与测距实验（一）光栅距的测定实验目的：了解光栅的结构及光栅距的测量方法。
实验原理： 1. 光栅衍射：光栅是利用多缝衍射原理使光发生色散(分解为光谱)的光学元件。
它是一块刻有大量平行等宽、等距狭缝(刻线)的平面玻璃或金属片。
光栅的狭缝数量很大，一般每毫米几十至几千条。
单色平行光通过光栅每个缝的衍射和各缝间的干涉，形成暗条纹很宽、明条纹很细的图样，这些锐细而明亮的条纹称作谱线。
谱线的位置随波长而异，当复色光通过光栅后，不同波长的谱线在不同的位置出现而形成光谱。
光通过光栅形成光谱是单缝衍射和多缝干涉的共同结果。
波在传播时，波阵面上的每个点都可以被认为是一个单独的次波源；这些次波源再发出球面次波，则以后某一时刻的波阵面，就是该时刻这些球面次波的包迹面（惠更斯原理）实验所需部件：光栅、激光器、直尺与投射屏（自备）。
实验条件：记录数据条件：在激光器发射的激光稳定后，在进行测量，记录数据。
实验步骤：1、 激光器放入光栅正对面的激光器支座中，接通激光 电源后调节上下左右位置使光点对准光栅组中点后 用紧定螺丝固定。
2、在光栅后方安放好投射屏，观察到一组有序排列的衍射光斑，与激光器正对的光斑 为中央光斑，依次向两侧为一级、二级、三级…衍射光斑。
如图20-1所示。
观察光斑的大小及光强的变化规律。
3、 根据光栅衍射规律，光栅距D 与激光波长λ、衍射距离L 、中央光斑与一级光斑的间距S 存在下列的关系：（式中单位：L 、S 为mm ，λ为nm, D 为μm） 根据此关系式，已知固体激光器的激光波长为650nm ，用直尺量得衍射距离L 、光斑距S ，即可求得实验所用的光栅的光栅距。
4、 尝试用激光器照射用做莫尔条纹的光栅，测定光栅距，了解光斑间距与光栅距的关系。
SS L D 22+=λ5、 按照光栅衍射公式，已知光栅距、激光波长、光斑间距，就可以求出衍射距离L 。
将激光对准衍射光栅中部，在投射屏上得到一组衍射光斑，根据公式求出L 。
光栅的制作及其衍射特性的研究实验原理1.光的干涉原理当两束相干的平面波以一定的角度相遇时，在他们相遇的区域内便会产生干涉，其干涉图样在某一平面内是一系列平行等距的干涉条纹，其强度分布则是按余弦规律而变化，即干涉图样的强度分布是121212I =I I 2cos()A A ϕϕ++-（1）式中的211I A =、222I A =，1A 、2A 是两列平面波的振幅，1ϕ、2ϕ是对应的空间相位函数。
当两束相干光的相位差为π2的整数倍时，即 122n ϕϕπ-=012n =±±、、……（1）式便描述了两束相干光干涉所形成的峰值强度面的轨迹，如图1所示。
若能用记录介质将此干涉图样记录下来并经过适当处理，则就获得了一块全息光栅。
1. 全息光栅基本参数的控制(1) 全息光栅空间频率（周期）的控制如图2所示，波长为λ的Ⅰ、Ⅱ两束相干光与P 平面法线的夹角分别为1θ和2θ， 它们之间的夹角为22θθθ+=。
这两束相干的平行光相干叠加时所产生的干涉图样是平行等距的、明暗相间的直条纹，条纹的间距d 可由下式决定：)(21cos )(21sin 21sin sin 212121θθθθθθλ-+=-=d （2）当两束对称入射,即12=/2θθθ=时2sin2θλ=d （3）当θ很小时有/d λθ=（4）若所制光栅的空间频率较低时，两光束的之间的夹角不大，就可以根据（4）式估算光栅的空间频率。
具体做办法是：把透镜L 放在Ⅰ、Ⅱ两光束的重合区，则两光束在透镜后焦面上会聚成两个亮点，若两个亮点之间的距离为X ，透镜的焦距为f ，则有0/X f θ=（5）将（5）带入（4）式得到图1两束平行相遇所形成的干涉/d f X λ=（6）即光栅的空间频率为01//v d X f λ==如图2所示，将白屏P 放在透镜L 的后焦面上，根据亮点的距离0X 估算光栅的空间频率v0X f vλ=（7）(2) 全息光栅的槽形控制由于全息光栅是通过记录相干光场的干涉图形而制成的，因此，其光栅的周期结构与两个因素有关：干涉图样的本身周期结构；记录干涉图样的条件。
光栅衍射实验报告
实验名称：光栅衍射实验
实验目的：通过测量光栅衍射实验中的衍射角和光栅的周期，研究光栅的特性，验证光栅衍射公式。
实验原理：
1. 光栅是由许多等距且平行的狭缝或透明条纹组成，光栅的周期为d。
2. 光栅衍射是指平行入射的光线通过光栅后，在屏幕上形成一系列亮暗相间的条纹。
其中亮条纹的位置满足以下衍射公式：mλ = d·sinθ，其中m为亮条纹的级次，λ为入射光的波长，θ
为衍射角。
实验器材：
1. 光源
2. 凸透镜
3. 光栅
4. 屏幕
5. 三角架、卡尺、转角器等实验辅助器材
实验步骤：
1. 将光栅平行于光线方向放置在光源与屏幕之间的适当位置上，并确保光栅与光源之间的距离为适当距离。
2. 调节光源和屏幕的位置，使得入射的光线通过凸透镜后，平行于光栅表面入射。
3. 用转角器测量衍射角θ的大小，并记录下来。
4. 移动屏幕，观察并记录下不同级次m下亮条纹的位置。
5. 根据衍射公式计算光栅的周期d，并与实际值进行对比。
实验数据处理与分析：根据实验所得到的衍射角θ和亮条纹的位置数据，可以通过衍射公式mλ = d·sinθ计算光栅的周期d。
然后将计算值与实际值进行比较，评估实验的准确性和可靠性。
实验结论：
1. 实验结果与理论预期符合，验证了光栅衍射公式的正确性。
2. 实验结果与实际值相比较，评估实验的准确性和可靠性。
3. 光栅的周期可以通过测量衍射角和亮条纹位置来计算。
一、实验目的1. 理解衍射光栅的工作原理及其在光谱分析中的应用。
2. 掌握使用衍射光栅测定光波波长和光栅常数的实验方法。
3. 深入理解光栅衍射公式及其适用条件。
4. 分析衍射光栅的色散率、光谱特性等关键参数。
二、实验原理衍射光栅是利用多缝衍射原理使光发生色散的光学元件。
光栅由一组数目极多、平行等距、紧密排列的等宽狭缝构成，分为透射光栅和平面反射光栅。
当一束单色光垂直照射在光栅上时，各狭缝的光线因衍射而向各方向传播，经透镜会聚相互产生干涉，并在透镜的焦平面上形成一系列明暗条纹。
光栅衍射公式为：\[ d \sin \theta = m \lambda \]其中，\( d \) 为光栅常数（即相邻两狭缝间距），\( \theta \) 为衍射角，\( m \) 为衍射级数，\( \lambda \) 为光波波长。
三、实验仪器1. 分光计2. 平面透射光栅3. 低压汞灯（连镇流器）4. 白色光源5. 硅光电池6. 毫米刻度尺四、实验步骤1. 将分光计调整至水平状态，确保光栅垂直于光路。
2. 打开低压汞灯，调节光源与光栅的距离，使光束垂直照射在光栅上。
3. 通过分光计观察衍射光谱，记录不同衍射级数 \( m \) 对应的衍射角\( \theta \)。
4. 利用光栅衍射公式计算光波波长 \( \lambda \) 和光栅常数 \( d \)。
5. 改变光栅常数，观察衍射光谱的变化，分析色散率、光谱特性等参数。
五、实验结果与分析1. 计算光波波长和光栅常数：\[ \lambda = \frac{d \sin \theta}{m} \]\[ d = \frac{\lambda}{m \sin \theta} \]根据实验数据，计算得到光波波长和光栅常数，并与理论值进行比较。
2. 分析色散率：色散率 \( D \) 表示为：\[ D = \frac{d \sin \theta}{\theta} \]随着衍射级数 \( m \) 的增加，色散率 \( D \) 呈线性增加，说明光栅的色散率较高。
衍射光栅实验报告一、实验目的1、了解衍射光栅的工作原理。
2、测量衍射光栅的光栅常数。
3、观察衍射条纹的特征，并研究其与光栅参数的关系。
二、实验原理衍射光栅是一种具有周期性结构的光学元件，它可以将入射的单色平行光分解成不同方向的衍射光。
当一束平行光垂直入射到光栅上时，在光栅的后面会出现一系列明暗相间的条纹，这些条纹称为衍射条纹。
根据光栅衍射方程：＄d\sin\theta ＝ k\lambda$（其中$d$为光栅常数，＄＼theta$为衍射角，＄k$为衍射级数，＄＼lambda$为入射光波长），通过测量衍射角$＼theta$和已知的入射光波长$＼lambda$，可以计算出光栅常数$d$。
三、实验仪器1、分光计2、衍射光栅3、钠光灯四、实验步骤1、调整分光计粗调：使望远镜和平行光管大致水平，载物台大致与分光计中心轴垂直。
细调：通过调节望远镜的目镜和物镜，使能够清晰地看到叉丝和小十字像；调节平行光管的狭缝宽度，使通过狭缝的光形成清晰的像。
2、放置衍射光栅将衍射光栅放置在载物台上，使光栅平面与分光计中心轴平行。
3、观察衍射条纹打开钠光灯，使平行光垂直入射到光栅上，在望远镜中观察衍射条纹。
调节望远镜的位置和角度，使能够清晰地看到中央明纹和各级衍射条纹。
4、测量衍射角选择左右两侧的某一级衍射条纹（如第一级），分别测量其对应的衍射角。
转动望远镜，使叉丝对准衍射条纹的中心，读取两个游标的读数。
然后将望远镜转向另一侧，对准同一级衍射条纹的中心，再次读取游标的读数。
两次读数之差即为衍射角的两倍。
5、重复测量对同一级衍射条纹进行多次测量，取平均值以减小误差。
6、更换光栅，重复实验五、实验数据及处理1、实验数据记录｜衍射级数｜左侧游标读数（°）｜右侧游标读数（°）｜衍射角（°）｜｜：：｜：：｜：：｜：：｜｜ 1 ｜285°10′ ｜105°20′ ｜39°55′ ｜｜ 1 ｜284°50′ ｜105°40′ ｜40°05′ ｜｜ 1 ｜285°00′ ｜105°30′ ｜40°00′ ｜2、数据处理计算衍射角的平均值：＄＼theta ＝＼frac{39°55′ ＋40°05′ ＋40°00′｝｛3} ＝40°00′＄将衍射角转换为弧度：＄＼theta ＝ 40°＼times ＼frac{＼pi}｛180} ＼approx 0698$（弧度）已知钠光灯的波长$＼lambda ＝ 5893$nm，根据光栅衍射方程$d\sin\theta ＝ k\lambda$，＄k ＝ 1$，可得光栅常数$d ＝＼frac{＼lambda}｛＼sin\theta} ＼approx 167\times10^｛－6}＄m六、误差分析1、分光计的调节误差：分光计没有调节到完全准确的状态，可能导致测量的衍射角存在偏差。
光栅的衍射实验报告引言：衍射是光的一种特性，指的是光通过物体边缘或孔洞时产生的弯曲或波动现象。
作为光学实验中的重要内容，衍射实验能够帮助我们更好地理解光的性质和行为。
本实验报告将详细介绍光栅的衍射实验，并对实验结果进行分析和讨论。
实验目的：1. 了解光栅的特性和原理；2. 掌握实验装置的搭建和操作方法；3. 观察和记录光栅衍射的现象；4. 分析实验数据，验证光的衍射理论。
实验器材和原料：1. 光源：白炽灯；2. 光栅：使用常规光栅，间距为d；3. 准直系统：凸透镜、光屏和支架。
实验步骤：1. 将凸透镜和光栅放置在合适的位置，调整光源的位置使得光线通过光栅；2. 调整凸透镜的位置，使光线集中到一点，并投影在光屏上；3. 观察光屏上的衍射条纹，并记录实验结果；4. 改变光栅间距，重复步骤3，观察光屏上的变化。
实验结果：实验中观察到的衍射现象是在光屏上出现了一系列明暗相间的直线条纹，这些条纹的宽度和亮度不均匀分布。
当改变光栅的间距时，我们注意到衍射条纹的密度和宽度也会有所不同。
实验讨论：1. 光栅的原理与特性：光栅是由许多狭缝组成的光学元件，它能够将入射光线分散成许多平行的光束，进而产生衍射现象。
光栅的间距决定了衍射条纹的密度，而狭缝的宽度和形状则决定了条纹的亮度和形态。
2. 衍射现象的解释：光通过光栅时，会发生衍射现象。
根据光的波动性质，入射光波会被光栅狭缝分散成许多次级波，这些次级波会干涉形成衍射条纹。
其中，主极大对应条纹的亮度最高，而次级极大和极小对应着条纹的暗亮交替。
3. 影响衍射现象的因素：除了光栅的间距和狭缝宽度外，光源的波长也会对衍射条纹产生影响。
较长波长的光线更容易产生衍射现象，而较短波长的光线则很难显示衍射条纹。
4. 实验误差和改进方案：实验中可能存在的误差主要包括光源的稳定性和光栅的制造差异。
为了减少误差，可以采用更稳定的光源和标准化的光栅。
结论：通过对光栅的衍射实验的观察和分析，我们验证了光的波动性质以及衍射理论。
实验4.11 衍射光栅的特性与光波波长的测量衍射光栅由大量等宽、等间距、平行排列的狭缝构成。
实际使用的光栅可以用刻划、复制或全息照相的方法制作。
衍射光栅一般可以分为两类：用透射光工作的透射光栅和用反射光工作的反射光栅。
本实验使用的是透射光栅。
根据多缝衍射的原理，复色光通过衍射光栅后会形成按波长顺序排列的谱线，称为光栅光谱，所以光栅和棱镜一样是一种重要的分光光学元件。
在精确测量波长和对物质进行光谱分析中普遍使用的单色仪、摄谱仪就常用衍射光栅构成色散系统。
本实验要求：理解光栅衍射的原理，研究衍射光栅的特性；掌握用衍射光栅精确测量波长的原理和方法；进一步熟悉分光计的工作原理和分光计的调节、使用方法。
【实验原理】1．光栅常数和光栅方程图4.11—1 衍射光栅衍射光栅由数目极多，平行排列且宽度、间距都相等的狭缝构成，用于可见光区的光栅每毫米缝数可达几百到上千条。
设缝宽为a，相邻狭缝间不透光部分的宽度为b，则缝间距d = a + b就称为光栅常数(图4.11—1)，这是光栅的重要参数。
根据夫琅和费衍射理论，波长 的平行光束垂直投射到光栅平面上时，光波将在每条狭缝处发生衍射，各缝的衍射光在叠加处又会产生干涉，干涉结果决定于光程差。
因为光栅各狭缝间距相等，所以相邻狭缝沿θ方向衍射光束的光程差都是 d sinθ(图4.11—1)。
θ是衍射光束与光栅法线的夹角，称为衍射角。
在光栅后面置一会聚透镜，使透镜光轴平行于光栅法线(图4.11—2)，透镜将会使图4.11—2所示平面上衍射角为θ的光都会聚在焦平面上的P点，由多光束干涉原理，在θ满足下式时将产生干涉主极大，户点为亮点：θ（4.11—1）==kdλ±k±,1,2),0(sin式中k是级数，d是光栅常数。
(1)式称为光栅方程，是衍射光栅的基本公式。
由(1)式可知，θ=0对应中央主极大，P0点为亮点。
中央主极大两边对称排列着±1级、±2级……主极大。
光栅衍射特性研究陈锦（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）指导教师：张杰摘 要：本文根据惠更斯-菲涅耳原理计算推导了夫琅禾费衍射场下光栅衍射的光强分布公式，详细分析了平面光栅衍射的特性，利用MA TLAB 软件进行了衍射图样的仿真，绘制了相应的衍射光强分布图，并结合理论公式讨论了光强随波长λ、缝宽b 、缝数N 以及光栅常数d 的变化情况。
推导了光栅方程，并从光栅方程出发，对光栅衍射中的缺级现象、光栅的分辨率等问题进行了讨论。
文章最后简单介绍了光栅在生产实际中的应用。
关键字：光栅，光栅衍射，光强分布，强度1引言衍射光栅作为一种优良的分光元件，在近代光谱仪中有广泛的应用，比如利用光栅衍射可以作为光谱分析，测量光波的波长等[1-4]。
光栅是一种具有高分辨本领的精密光学元件，它是由大量等宽等间距的平行狭缝构成的光学器件。
一般常用的光栅是在玻璃片上刻出大量平行刻痕制成，刻痕为不透光部分，两刻痕之间的光滑部分可以透光，相当于一狭缝。
精致的光栅，在1cm 宽度内刻有几千条乃至上万条刻痕。
这种利用透射光衍射的光栅称为透射光栅，还有利用两刻痕间的反射光衍射的光栅，如在镀有金属层的表面上刻出许多平行刻痕，两刻痕间的光滑金属面可以反射光，这种光栅称为反射光栅。
本文着重对平面光栅衍射特性做一些探究。
MATLAB 是一个集数值计算、图形处理、符号计算、数学建模、实时控制、动态仿真等诸多功能于一身的数学应用软件[6]，在光学中得到广泛应用[7]。
本文应用MATLAB 的数值计算和绘图功能，根据夫琅禾费衍射场的理论公式，计算得出光强分布矩阵并绘制出光强分布曲线及其衍射图样。
2 光的衍射理论惠更斯原理[8]内容是：传播中的波面上任何一点都可以认为是一个新的次波源，由这些次波源发出的次波是球面波，这些次波的公共包络面就是下一时刻的波面。
法国物理学家菲涅耳根据叠加原理将惠更斯原理进一步具体化，并给出其数学表达式，即惠更斯—菲涅耳原理的数学表达式：dS re Q Uf C P U ikr S ⎰⎰=)()()(θ （1） 此后，德国物理学家基尔霍夫从定态的亥姆霍兹方程出发，利用矢量场论中的格林公式，在kr>>1,即r>>λ的条件下，导出了无源空间边值定解表达式：dS r e Q U iP U ikrS ⎰⎰+-=)()cos (cos 21)(0θθλ （2） 他还提出了关于边界条件的假设，并进一步将衍射积分公式简化为[6]：dS re Q Uf i P U ikr S ⎰⎰-=0)(),()(0θθλ （3） 此时衍射面积分只限于光孔面0s 。
据此在傍轴条件下衍射积分公式为：dS e Q U r i P U S ikr ⎰⎰-=0)()(0λ （4）这便是光衍射场强的计算公式。
3．光栅衍射光强分布计算公式推导3.1 夫琅禾费单缝衍射光强分布设波长为λ的平面波射向缝宽为AB=b 的狭缝，衍射后经透镜L 会聚在焦平面上，如图1所示，由惠更斯-菲涅耳原理可知，在焦平面上任一点P 的复振幅为[9]：⎰⎰=狭缝）（r e f Q ikr )()(U C P U θ （5）图1 单缝衍射示意图把狭缝细分为垂直于x 轴的许多小面元，面积为dS=ldx ，l 为缝的长度，在平面波入射情况下，U （Q ）为常量，在角度不大情况下，)sin(,1)(0θθx r r f +=≈,因为0r x <<,只有相位因子中的)sin(0θx r r =-=∆不能忽略，从而有0sin 22022sin sin 22()()''2'()sin(sin )sin sin 2bb ikr ik ikx b b b b ik ik CU Q e U P l e dx C e dx r C C b e e k ik k θθθθθθ∆--⋅-⋅===-=⋅⋅⎰⎰ （6） 令 βθλπθ==⋅⋅sin sin 2b b k （7） 则 ββsin ')(b C P U = （8）故 2202222*sin sin ')()(ββββI b C P U p U I === （9）3.2 夫琅禾费双缝衍射的光强分布如图2所示，衍射屏上A 、B 处各有一条宽为b 的缝，缝间距为d 。
经透镜L 作用后，两条缝的衍射光在焦平面上的光强分布一致，相位分布不同。
把坐标原点分别放在A 与B 的中心。
根据式（5）有：图2 双缝衍射示意图⎰-+=22sin )2(')(b b A d x ik A dx eC P U A θ （10a ） ⎰--=22sin )2(')(b b B d x ik B dx eC P U B θ （10b ） 令θγsin 2d k ⋅=，则有 sin 22()()()'()sin '()b ikx i i b A B i i U P U P U P C e dx e e C b e e θγγγγββ---=+=+=-+⎰ （11）式中γ为单缝中心与双缝中心的光在P 点的产生的相位差，θλπθβsin sin 2b b k =⋅=，所以夫琅禾费双缝衍射的光强分布表达式为： γββββγγγγ2220220*cos sin 4))((sin )()(I e e e e I P U P U I i i i i =++==-- （12） 3.3 平面光栅的衍射3.3.1 光栅衍射的强度分布[10]图3 光栅衍射示意图以上双缝衍射的讨论可以推广至多缝的情况。
设有N 条等间距的缝，缝宽均为b ，间距为d ，如图3。
则相邻缝的对应程差为：θsin d =∆ ，相位差为θλπθδsin 2sin d kd ==。
由式（11）知，)1()()1()())(()(0200δγγγγγi i i i i i e e P U e e P U e e P U P U ---+=+=+= （13）若坐标原点放在第一个缝的中心，则γi e P U )(0就是它的单缝衍射振幅，而)(0)(δγ-i eP U 则是另一个缝的衍射振幅。
从而有 122(1)11()()()()1()(1)()1N N iN i i N i i U P U P U P U P e U P e e e U P e δδδδδ----=+++-=++++=- （14） 所以，光栅衍射的光强分布公式为：2222*11002222(1)(1)sin sin (/2)sin sin ()()()()(1)(1)sin (/2)sin iN iN N i i e e N N I P U P U P I I e e δδδδβδβγβδβγ----==⋅=⋅-- （15） 式中0I 代表每一单缝在入射光方向的光强，β代表每一缝的两边缘发出的子波到达P 点相位差的一半(2sin /)/2b πθλ，N 代表总缝数，/2sin /d γδπθλ==代表相邻两缝所发出的光到达P 点的相位差的一半，式中22sin /ββ是单缝衍射所引起的，一般称为衍射因子，22sin /sin N γγ为多束光干涉所引起，一般称为多光束干涉因子。
4. 衍射光栅特性分析为了研究光栅强度分布的规律，我们将从以下几个方面进行讨论。
4.1 光栅方程当0γπππ=±，，2，…，k ，k 为整数时，光强取主极大，其值为：2max 0I I N I ==根据sin /d γπθλ=，可知相应主极大的位置必须满足sin (0,1,2,d k k θλ==±±…）(16) (16)式一般称它为光栅方程式。
式中d 为相邻两缝的间距，一般称为光栅常数，k 叫做光栅的干涉级，如k=1就叫做一级主极大。
按上式，它发生在如下方向：arcsind λθ=根据干涉因子22sin /sin N γγ可知，当 ,2,N γπππ=…，p p 为整数 (1７)时干涉因子为零。
此为极小条件。
但注意p 不能等于N 的倍数，即p mN ≠，因为此时极小条件就转化为极大条件（ k γπ=），干涉因子不是零而是2N 。
4.2 光栅衍射特性讨论4.2.1 在单缝衍射的主峰内（0βπ<<）极大值的数量当光通过光栅到达衍射屏上某处时，若相邻缝所对应的相位差为2π的整数倍，则通过所有缝的光在该处都同相位，因而该处出现衍射光强的主极大。
由此可知，满足主极大的条件是2K δπ=。
若光栅常数d b η=，则2sin /2sin /2d b δπθλπηθληβ===，故主极大条件为/K βπη=。
在0βπ<<的范围内，K 可能的值为1，2，3，…，1η-（在K=0时，0;K βη==时，βπ=），即在0βπ<<之间，有1η-个主极大。
如图（6）所示：3η=，主峰内每边各有2个主极大。
4.2.2 主极大光强的强度由光强公式可知，光强由单缝衍射因子22sin /ββ和多缝干涉因子22sin (/2)/sin (/2)N δδ决定。
对于主极大，2K δπ=，g 出现分子和分母都为零的情况。
按照数学上的洛必达法则，可分别对分子和分母求导来得到g 的极限值[11]： 22222222sin (/2)2sin(/2)cos(/2)(/2)sin()lim lim lim sin (/2)2sin(/2)cos(/2)(1/2)sin cos()lim cos K K K K N N N N N N g N N N δπδπδπδπδδδδδδδδδδ→→→→===== （18） 代入光强公式，得2220()sin /N I P I N ββ=。
即主极大的光强是单缝衍射在该处光强的2N 倍！实际上，这个结论不难理解：既然在2k δπ=的条件下，通过所有缝的光在该处都同相位，那么该处的合成振幅就应该是各分振幅之和，即等于一个缝的N 倍，因而光强就应该是一个缝的2N 倍。
4.2.3 两个主极大之间光强为零的数量当/2N m δπ=时（m 为整数），干涉因子g=0，故衍射光强为零。
能满足2/m N δπ=的m 在02δπ<<的范围内，可取的整数为1，2，3，…，N-1（在m=0时，0δ=；m=N 时，2δπ=），即在02δπ<<之间，有（N-1）个零点。
如图(6)所示：N=4，任何两主极大之间都有3个零点。
由此可知，光栅中的缝数N 越多，两主极大之间的零点就越多，背景光就越暗。
4.2.4 主极大的宽度与主极大相邻的两个零点之间的距离为主极大的宽度。
由于m=kN 时2k δπ=，为主极大，故1m kN =±是与它相邻的两个零点。
对于这两个零点，有/2(1)N m Nk δππ==±。
