2021高考数学考点精讲精练《01 定义域》(讲解)(解析版)

第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。

集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C AB C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( ) 【答案】错误集合{},,,A a b c d =的子集共有4216=个， 故答案为：错误2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 【答案】√由集合相等的定义可知，集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一集合. 故答案为：√.3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( ) 【答案】正确因{}{}11,2,3M ⋃=，则{2,3}M =或{1,2,3}M =，所以的集合M 的个数是2个. 故答案为：正确4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M xx x =+=∣，则1M -∈.( ) 【答案】正确因为{}{}200,1M xx x =+==-∣ 所以1M -∈5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( ) 【答案】错误因集合M 满足{}{}11,2,3M ⋃=，于是得{2,3}M =或{1,2,3}M =，即符合条件的集合M 有2个，所以原命题是错误的.故答案为：错误 二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R【答案】B由题意，集合A R =，{}|1B y y =≥，∴{}|1x x A B =≥. 故选：B.2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ） A ．{}1,2,2- B ．{}1,2 C ．{}1,2- D ．{}1【答案】D集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ， 又{}4A B ⋂=∴314a +=或24a =，解得1a =或2a =或2a =-， 当1a =时，}{2,5,4,1A =-，}{6,9,0,4B =，{}4A B ⋂=，符合题意； 当2a =时，}{2,5,7,4A =-，}{7,9,1,4B =-，{}7,4⋂=A B ，不符合题意；当2a =-时，}{2,5,5,4A =--，}{3,9,3,4B =，不满足集合元素的互异性，不符合题意.1a，则实数a 的取值的集合为{}1.故选：D.3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}3x x ≥D ．{}2x x ≥【答案】C二次不等式求出集合B ，进而求出B R，()RAB .【详解】由题意可得:{}23B x x =-<<，则{2R B x x =≤-或}3x ≥，故(){}R 3A B x x ⋂=≥． 故选：C4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() UA B ⋂D ．(U A B )【答案】A由图可知阴影部分属于A ，不属于B ， 故阴影部分为() UB A ⋂，故选：A.高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A{}{}2|280|42{3,2,1,0,1}A x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=---， {}2|{0,1,4,9}B x x A =∈=，B 中元素个数为4个.故选:A.本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.【答案】1-{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈， 则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-.故答案为：1- 3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B共6 个．故选B4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D,,所以集合中的元素个数为4个，故选D.考点：集合的表示5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9【答案】B 因为x A ∈，yA ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1． 故选:B.【点睛】本题考查集合中元素个数的求法，属于基础题.6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ） A ．16 B ．18C ．14D ．8【答案】A由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后 再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义，再求解时注意把握集合元素的三特性中的“互异性”.高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ） A ．P Q ⊆ B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃=【答案】B由题意，{}{}21,0,1Q x Z x =∈<=-，{}3P x x =< 故Q P ⊆，A 错，B 对又{1,0,1}P Q Q =-=，{|3}P Q x x P ⋃=<=，故C ，D 错 故选：B2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__. 【答案】0若1x =，则21x =，不符合条件；若2x x =，则0x =或1x =(舍去)，经验证0x =符合条件． 故答案为：0．3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 【答案】0；因为{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，所以+222m m m =⎧⎨=⎩，解得0m =，故答案为：0.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解m 的值是解题关键,属于基础题. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；【答案】7 满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 有{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,a a b a c a d a b c a b d a c d ，共7个.故答案为：75．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(],1-∞ D ．(),1-∞【答案】C∵集合{}{}2131M x x x x =+<=<，且N M ⊆，∴1a ≤. 故选：C ．6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-.（1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}R A B xx x ⋂=≤≥或∣；（2）52m ≤. （1）{|05}A B x x ⋃=<≤；(){14}RA B x x x ⋂=≤≥或∣（2）因为B C C =，所以C B ⊆. 当B φ=时，121m m +≥-，即2m ≤； 当B φ≠时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤综上，52m ≤7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{|57}A B x x =<≤；（2）{|2a a ≤或}4a >. （1）当4a =时，易得{|57}A x x =≤≤，{|3B x x =≤或5}x >，{|57}A B x x ∴=<≤.（2）若211a a -<+，即2a <时，A =∅，满足A B ⊆， 若211a a -≥+，即2a ≥时，要使A B ⊆，只需2132a a -≤⎧⎨≥⎩或152a a +>⎧⎨≥⎩，解得2a =或4a >，综上所述a 的取值范围为{|2a a ≤或}4a >.【点睛】本题考查根据集合的基本关系求参数，属于基础题. 重点考查结论：（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个． （2）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（3）若A B ⊆注意要讨论①A =∅②A ≠∅高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ）A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<【答案】A{}{}{}|321|33|1A x x x x x x =->=>=>{}{}{}260(2)(3)023B x x x x x x x x =--<=+-<=-<<所以{}13A B x x ⋂=<<， 故选：A2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ） A ．{|11}x x -<< B ．{|11}x x -<≤ C ．{|22}x x -<< D ．{|22}x x -<≤【答案】D∵集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤， ∴{|22}A B x x ⋃=-<≤. 故选：D.3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．[]3,4B ．[]1,4C ．[)1,3D ．[)3,+∞【答案】C解：由()214x -≥，即310x x ，解得3x ≥或1x ≤-，即(){}214{|3B x x x x =-≥=≥或1}x ≤-，所以()1,3R B =-，又{}14A x x =≤≤，所以()[)1,3R A B ⋂=； 故选：C4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ） A ．(]0,2 B ．()2,e C ．()0,2 D ．[)1,e -【答案】C102x x +≤-，解得：12x -≤<，故集合[)1,2A =-，ln 1x ≤，解得：(]0,e x ∈，集合(]0,e B =，则()0,2A B =， 故选：C ．5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C依据集合元素互异性可知，0,1n n ≠≠-，排除选项AB ； 当1n =时，{}1,0,1A =-，{}{},,110B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， 满足A B A =.选项C 判断正确；当2n =时，{}1,0,2A =-，{}{},,2,014B x x a b a A b A ==⋅∈∈=-，，， {}0A B A ⋂=≠.选项D 判断错误.故选：C6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________. 【答案】3把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A ，B ，C ，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)， 因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为50473-=. 故答案为：37．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则UA__________.【答案】{1,6,7,8,9}-由题意，289(9)(1)019x x x x x --=-+≤∴-≤≤，又x ∈Z{}1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U -∴=又y =由于20(4)2525x ≤--+≤05∴≤，又y Z ∈{}0,1,2,3,4,5A ∴= 故{1,6,7,8,9}UA =-故答案为：{1,6,7,8,9}- 集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂ B ．()UB AC ．()UA BD ．()U A B【答案】A由图知：阴影部分属于A ，不属于B ，故为()U B A ⋂. 故选：A2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB xx x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}xx <<∣ 【答案】C解：由题意得：{10}{1}A x y xx x x ⎧==->=<⎨⎩∣∣∣ {}220{12}B x x x x x =--<=-<<∣∣{}()1,{12}UUA x x AB x x ∴=≥⋂=≤<∣∣故选：C3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()MP S B ．()MP S C ．()UM P S ⋂⋂D ．()UM P S ⋂⋃【答案】C解：由图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中， 故阴影部分所表示的集合是()UM P S ⋂⋂.故选：C.4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示椿树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则UA 表示除草合格的学生，则UB 表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合,A B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C把学生50人看出一个集合U，选择物理科的人数组成为集合A，选择化学科的人数组成集合B，选择生物颗的人数组成集合C，要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人，单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人，以上人数最少42人，可作出如下图所示的韦恩图，所以单选物理、化学的人数至多8人，+=人.所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多10818故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()UA B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B因为{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，所以{}2,4,5A B -=， 又因为{}1,0,1,2,3,4,5U =-，所以(){}U1,0,1,3A B -=-.故选：B.2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ） A ．[0,1](2,)+∞ B ．[0,1)(2,)⋃+∞ C ．[0,1] D ．[0,2]【答案】A集合A 中，220x x -≥，即()20x x -≤， 解得02x ≤≤，即{}[]|0202A x x =≤≤=，， 又{}|1B x x =>，所以)0,A B ⎡⋃=+∞⎣，](1,2A B ⋂=， 则[]0,1(2,)A B ⨯=⋃+∞. 故选：A ．3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3C ．8D ．9【答案】B解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3. 故选：B.4．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．16【答案】C由题意可知，集合A 不能是空集，也不可能为{}1,2,3,4,5.若集合A 只有一个元素，则集合A 为{}4；若集合A 有两个元素，则集合A 为{}1,3、{}3,4、{}3,5； 若集合A 有三个元素，则集合A 为{}1,2,4、{}1,2,5、{}2,4,5； 若集合A 有四个元素，则集合A 为{}1,2,3,5. 综上所述，有序集合对(),A B 的个数为8. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对集合A 中的元素个数进行分类讨论，由此确定集合A ，由此得解.5．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.【答案】ABDA ：2011除以5，所得余数为1，满足[]1的定义，故正确；B ：整数集Z 就是由除以5所得余数为0,1,2,3,4的整数构成的，故正确；C ：()3512-=⨯-+，故[]33-∉，故错误；D ：设{}112212125,5,,,,0,1,2,3,4a n m b n m n n Z m m =+=+∈∈， 则()12125a b n n m m -=-+-；若整数a ，b 属于同一“类”，则120m m -=，所以[]0a b -∈； 反之，若[]0a b -∈，则120m m -=，即12m m =，,a b 属于同一“类”. 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”，正确. 故选：ABD .1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ） A ．{}1,2,3 B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}2【答案】B{}1,2,3A =，{}1,3B =，{}1，3∴⋂=A B . 故选：B .2．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,5【答案】A因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B = 所以{}1,3A B =， 故选：A.3．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】B 因为{}1,2,3MN =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意；若121a a -=⇒=-，经验证满足题意. 所以1a =-. 故选：B.4．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4}【答案】C{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴. 故选：C.5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<. 故选：D.7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误； B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确. 故选：B.2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B由250x x -≤得：05x ≤≤，所以{}05A x x =≤≤，又{}21,B x x k k Z ==-∈，令0215k ≤-≤，解得：132k ≤≤，k Z ∈，当1k =时，1x =，当2k =时，3x =，当3k =时，5x =，故A B 中元素的个数为3. 故选：B3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．±1【答案】A∵集合(){}{}100,1A x x x =-==，{}20,,B m m =，A B B ⋃=，∴1m =或21m =，即1m =±，当1m =时，{}0,1,1B =不合题意，当1m =-时，{}0,1,1B =-成立， ∴1m =-. 故选：A.4．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B xx A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C依题意{}2,3,4B =，所以集合B 的子集的个数为328=， 故选：C.5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ） A ．M B ．N C ．∅ D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭【答案】B由已知2,6n M x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,6n N x x n Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，又2n +表示整数，21n 表示奇数，故M N N =，故选：B6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】D根据题意，可得：{}3,1A =- A B A ⋃=，则有：B A ⊆当0m =时，B =∅，满足题意； 当0m ≠时，则有：1x m=- 则有：13m -=，11m-=-解得：13m =-或1m =综上，解得：0m =或13m =-或1m =故答案选：D7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ）A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3【答案】B 由题意得，{}2|40{|2A x x x x =->=<-或2}x >，{}|3B y y =≤，故A B ⋂()(],22,3∞=--⋃， 故选：B8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ） A ．{-2，-1，0，1} B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}【答案】B 因为102x x -≤+等价于(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩等价于21x -<≤， 所以{|21}A x x =-<≤，又{}2,1,0,1B =--， 所以A B ={}1,0,1-. 故选：B 二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 【答案】8{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：810．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.【答案】7由{}a {},,,M a b c d ⊆可知，M 中的元素个数多于{}a 中的元素个数，不多于{},,,a b c d 中的元素个数因此M 中的元素来自于b ,c,d 中，即在b ,c,d 中取1元素时，M 有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个， 故足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数有7个，故答案为：7.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦()R A B A =⋂，R A B ∴⊆ {}2280B x x x =--≤，{2R B x x ∴=<-∣或4}x > 当A =∅时，123,4a a a -+-，满足R A B ⊆当A ≠∅时，要使得R A B ⊆，则4232a a >-⎧⎨+≤-⎩或414a a >-⎧⎨-⎩ 解得542a -<≤-或5a 综上，实数a 的取值范围是[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：[)5,5,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________. 【答案】[]2,1--{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =-->=-+>=<-或}4x >， 因为{B x x a =≤或}5x a ≥+，所以{}R 5B x a x a =<<+，若()R A B ⋂=∅，则254a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤-. 所以a 的取值范围是[]2,1--，故答案为：[]2,1--.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[1,1]=-M N ，()()()(),11,R R M N ∞∞⋃=--⋃+(2)[5,)+∞ (1){}{}(3)(5)035M x x x x x =+-≤=-≤≤，当1m =时，[1,1]N =-，∴[1,1]=-MN ， (,3)(5,)=-∞-+∞R M ，(,1)(1,)=-∞-+∞R N ，∴()()(,1)(1,)=-∞-+∞R R M N .(2)由题可知M N ， 所以35-≤-⎧⎨≥⎩m m ， 解得5m ≥，所以实数m 的取值范围为[5,)+∞.14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)1(2)条件选择见解析，502a ≤≤(1)因为()0B C ∈，所以0C ∈，所以2230a a +-=，解得：1a =或3a =-.当3a =-时，{}51B x x =-<<-，不合题意；当1a =时，{}13B x x =-<<，满足题设.∴实数a 的值为1.(2)集合1112212x A x x x x +⎧⎫⎧⎫=>=<<⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭. 集合{}{}2224022B x x ax a x a x a =-+-<=-<<+. 若选择①A B A =，即22501222a A B a a +≥⎧⎪⊆⇒⇒≤≤⎨-≤⎪⎩若选择②()12502222R a A B a a ⎧-≤⎪⋂=∅⇔⇔≤≤⎨⎪+≥⎩， 若选择③()R B A R ⋃=，则22501222a a a +≥⎧⎪⇒≤≤⎨-≤⎪⎩15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.【答案】(1){}1A B ⋂=-(2){3a a ≤-或}2a =-.(1)当1a =时，{}{}22301,3B x x x =--==-. 因为{}{}24303,1A x x x =++==--， 所以{}1A B ⋂=-.(2)因为A B A ⋃=，所以B A ⊆.当()224434120a a a a ∆=---=+<时，解得3a <-，B =∅，符合题意； 当4120a ∆=+=，即3a =-时，{}3B =-，符合题意；当4120a ∆=+>，即3a >-时，{}3,1B A ==--，则()()2312,313,a a a ⎧-+-=⎪⎨-⨯-=--⎪⎩解得2a =-. 综上，a 的取值集合是{3a a ≤-或}2a =-.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.【答案】(1){}2,4,6S =，{}0,2T =(2){}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，理由见解析(3)1347(1)根据题意，由{}1,3A =，则{}2,4,6S =，{}0,2T =；(2)由于集合{}1234,,,A x x x x =，1234x x x x <<<，且T A =，所以T 中也只包含四个元素，即{}2131410,,,T x x x x x x =---，剩下的324321x x x x x x -=-=-，所以1423x x x x +=+；(3)设{}12,,k A a a a =满足题意，其中12k a a a <<<，则11213223122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<， ∴21S k ≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，∴T k ≥， ∵S T ⋂=∅，31S T S T k ⋃=+≥-， S T 中最小的元素为0，最大的元素为2k a ， ∴21k S T a ⋃≤+，∴()31214041*k k a k N -≤+≤∈， 1347k ≤，实际上当{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 证明如下：设{},1,2,,2020A m m m =++，m N ∈，则{}2,21,22,,4040S m m m =++，{}0,1,2,,2020T m =-， 依题意有20202m m -<，即16733m >， 故m 的最小值为674，于是当674m =时，A 中元素最多， 即{}674,675,676,,2020A =时满足题意， 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值是1347.。

考点4：单调性【思维导图】【常见考法】考法一：单调性的判断1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x －x D ．f (x )＝ln(x ＋1)[答案】C【解析】 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）A ．y x =B ．2yxC ．y x =D ．1y x =-【答案】D【解析】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2yx 在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．考法二：求单调区间1．函数()()2ln 56f x x x =-+-的递减区间是__________.【答案】5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】意可知2560x x -+->，解得23x <<，所以()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是()2,3，令()256u x x x =-+-,对称轴是52x =， ()256u x x x =-+-在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，又()ln f u u =在定义域()0,∞+上是增函数，()()2ln 56f x x x =-+-是()ln f u u =和()256u x x x =-+-的复合函数， ()()2ln 56f x x x ∴=-+-的单调递减区间是5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：5,32⎛⎫⎪⎝⎭．2.求的函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的增区间 ，减区间 。

重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。

函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。

在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。

第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。

二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

第一讲 函数的图象与性质真题试做►———————————————————1．(最新·高考江西卷)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]2．(最新·高考北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．(最新·高考四川卷)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )4．(最新·高考湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1考情分析►———————————————————高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现，若是解答题，多与导数结合命题，试题难度较大．对函数图象性质的考查多考查函数的定义域、函数的周期性、奇偶性以及单调性的结合，而对图象的考查，一是识图；二是用图，即利用图象来解决问题．考点一 函数及其表示(1)给定函数解析式求定义域及值域；(2)给出分段函数表达式结合函数的性质求值，分段函数问题是近几年高考的一个热点．(1)(最新·高考安徽卷)函数y ＝ln(1＋1x)＋1－x 2的定义域为________；(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【思路点拨】 (1)列出函数有意义的限制条件，解不等式组．(2)解题的关键是考虑f (1－a )和f (1＋a )需要代入解析式的哪一段，进而需讨论1－a 和1＋a 与1的大小关系，即a 与0的大小关系，构造关于a 的方程求解．(1)根据具体函数y＝f(x)求定义域时，只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可．(2)根据抽象函数求定义域时：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．(3)求f(g(x))类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．强化训练1 (1)在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b ＝a；当a<b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________；(2)若将例1(2)中“f(1－a)＝f(1＋a)”变为“f(1－a)≥f(1＋a)”，则a的取值范围是________．考点二函数的图象(1)已知函数的解析式判定函数的图象，(2)利用一些基本初等函数的图象，通过伸缩变换、平移变换、对称变换得到一些新的函数的图象．(3)在解方程或不等式问题时，利用图象求交点个数或解集的范围，是高考考查的热点，常以选择题形式考查，难度中档．(1)(最新·高考湖南卷)函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(2)(最新·东城模拟)如图，半径为2的⊙O与直线MN相切于点P，射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM，旋转过程中，PK交⊙O于点Q，设∠POQ为x，弓形PmQ的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象大致是( )【思路点拨】(1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．(2)由于弓形PmQ的面积随角x的变化而变化，且其形状以x＝π为分界，故应分0≤x≤π和π<x≤2π两种情况求其解析式，然后再作图．(1)作图、识图、用图的方法技巧①作图：应依据函数的性质，注意在定义域内选取关键的一部分点连接而成．②识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系．③用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．但是，在利用图象求交点个数或解的个数时，作图要十分准确，否则容易出错．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．强化训练2 (1)(最新·高考江西卷)如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )(2)(2012·高考湖北卷)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )考点三 函数的性质(1)给出具体函数，判定函数的单调性与奇偶性．(2)已知函数单调性与奇偶性求参数范围及求函数的单调区间等．(1)(最新·辽宁省大连市高三双基测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1(2)(最新·高考天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2] 【思路点拨】 (1)先确定y ＝－3|x |的奇偶性及单调性，再验证． (2)根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式求解．(1)求解这类涉及函数性质的题目时，既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断，又要合理地运用函数性质之间的联系，结合已知的结论进行间接地判断，若能画出图象的简单草图，“看图说话”，往往起到引领思维方向的作用．(2)判断函数的单调性的一般规律：对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法；对于抽象函数一般用定义法．强化训练3 (1)(2012·高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x ＜－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x ＜3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012(2)(最新·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．新定义型试题的解题技巧——函数中的新定义问题“创新是一个民族进步的灵魂、是一个国家兴旺发达的不竭动力”；在这个充满挑战的年代里，创新也是机遇；做学生、迎高考，关注试题创新是应该的也是必须的；君不见年年高考有新题、岁岁选拔有新招．也正是“新题”、“新招”才将考生分出了三、六、九等；在命题中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型入手设计试题是近年命题创新的整体趋势，因此必须引起我们的重视，但对于考生来说，有些题目存在一定难度，解决此类问题要依据题目所给条件或提供的信息，结合所学知识选择合适方法求解．(最新·高考江西卷节选)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围．(1)要证f (x )的图象关于直线x ＝12对称，只需证明f (12＋x )＝f (12－x )．(2)二阶周期点的定义给出了两个条件：一是x 0满足f (f (x 0))＝x 0；二是f (x 0)≠x 0，求解时关键表示出f (f (x ))，由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2ax x ≤122a －2ax x >12，再表示f (f (x ))时，应确定2ax及2a －2ax 的范围，从而对a 要分类讨论．抓关键 寻思路【解】 (1)证明：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝a (1－2|x |)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝a (1－2|x |)，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ， 所以函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．(2)当0<a <12时，有f (f (x ))＝⎝⎛4a 2x ， x ≤12，4a 2（1－x ），x >12，所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0. 又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当a ＝12时，有f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ≤12，1－x ，x >12，所以f (f (x ))＝x 有解集⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12.又当x ≤12时，f (x )＝x ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12中的所有点都不是二阶周期点． 当a >12时，有f (f (x ))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x >4a －14a，所以f (f (x ))＝x 有四个解：0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a21＋4a2.又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2， 故只有2a 1＋4a 2，4a21＋4a2是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为a >12.跟踪训练 (最新·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D 上的函数f (x )，若满足对∀x 1，x 2∈D 且 x 1<x 2时都有f (x 1)≥f (x 2)，则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”．若f (x )为区间[0，1]上的“非增函数”且f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，又当x ∈[0，14]时，f (x )≤－2x ＋1恒成立．有下列命题：①∀x ∈[0，1]，f (x )≥0；②当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)；③f (18)＋f (511)＋f (713)＋f (78)＝2；④当x ∈[0，14]时，f (f (x ))≤f (x )．其中你认为正确的所有命题的序号为________.体验真题·把脉考向_1．【解析】选B.因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．【解析】选C.A 项，y ＝1x是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.3．【解析】选C.由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝（－1）313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.4．【解析】选B.∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)． 又g (x )是偶函数， ∴g (－1)＝g (1)．∵f (－1)＋g (1)＝2，∴g (1)－f (1)＝2.① 又f (1)＋g (－1)＝4，∴f (1)＋g (1)＝4.② 由①②，得g (1)＝3. _典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x 2≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1，解得0<x ≤1，所以定义域为(0，1]．(2)当a <0时，f (1－a )＝f (1＋a )⇔－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ⇔a ＝－34；当a >0时，f (1－a )＝f (1＋a )⇔2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ⇔a ＝－32(舍去)，所以a ＝－34. 【答案】(1)(0，1] (2)－34[强化训练1]【解析】(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]x 3－2，x ∈（1，2].当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]，∴当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]．(2)当a >0时，由f (1－a )≥f (1＋a )得：(2－2a )＋a ≥－1－a －2a ，解得a ≥－32.所以a >0；当a <0时，由f (1－a )≥f (1＋a )得：－1＋a －2a ≥2＋2a ＋a ，解得a ≤－34，综上可知a 的取值范围为(－∞，－34]∪(0，＋∞)．【答案】(1)[－4，6] (2)(－∞，－34]∪(0，＋∞)【例2】【解析】(1)g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．(2)依题意得，当0≤x ≤π时，f (x )＝2x －2sin x ；当π<x ≤2π时，f (x )＝2x ＋2sin(2π－x )＝2x －2sin x ．故f (x )＝2x －2sin x ，0≤x ≤2π.该函数不是分段的，可以排除选项A 、B ；再根据函数f (x )在x ＝π2时，f (x )＝π－2<π2，排除选项C.【答案】(1)C (2)D[强化训练2]【解析】(1)选B.法一：取特值x ＝0时t ＝0，则y ＝1，排除A ，D ，取x ＝π2时，t ＝1－22≈0.3<0.5，故选B. 法二：依题意可知cos x2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1(0≤t ≤1)，故选B.(2)选B.y ＝f (x )和y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝1对称，因此y ＝f (2－x )是A 图，而y ＝－f (2－x )和y ＝f (2－x )的图象关于x 轴对称，因此，故选B.【例3】【解析】(1)函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 是偶函数但单调性不符合，只有选项C 符合要求．(2)∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a≤2.【答案】(1)C (2)C[强化训练3]【解析】(1)∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＝3， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝335＋3＝338.(2)设x <0，则－x >0，于是f (－x )＝x 2＋4x ，由于f (x )是R 上的奇函数，所以－f (x )＝x 2＋4x ，即f (x )＝－x 2－4x ，且f (0)＝0，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.当x >0时，由x2－4x >x 得x >5；当x <0时，由－x 2－4x >x 得－5<x <0，故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．【答案】(1)B (2)(－5，0)∪(5，＋∞) _名师讲坛·精彩推荐_[跟踪训练]【解析】f (0)＝1，f (x )＋f (1－x )＝1，令x ＝1得，f (1)＝0，即0＝f (1)≤f (x )≤f (0)＝1，①正确；令x ＝12得，f (12)＝12，令x ＝34，得f (34)＝1－f (14)≤f (14)，得f (14)≥12，又f (x )≤－2x ＋1在x ∈[0，14]上恒成立，所以f (14)≤－12＋1＝12，所以f (14)＝12，结合“非增函数”的定义可知，当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，即②错；对于③，显然f (18)＋f (78)＝1，又当x ∈[14，12]时，f (x )＝12，所以f (511)＝f (613)＝12，又f (613)＋f (713)＝1，所以f (713)＝12，即③正确；对于④，令f (x )＝t ，不等式左边为f (t )，右边为f (x )，当x ∈[0，14]时，t ＝f (x )∈[12，1]，f (t )∈[0，12]，f (t )≤f (x )，即④正确，故填①③④. 【答案】①③④附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉A A B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A⇒A＝B A＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合{x|x∈A且x∈B} A∩B 并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A或x∈B} A∪B 补集全集U中不属于A的元素组成的集合{x|x∈U，x∉A} ∁U A[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．(2018·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁U A＝( )A．∅B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}C[∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁U A＝{2,4,5}．故选C.]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含义与表示1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根． 当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为()A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则ba＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集. 2看这些元素满足什么限制条件.3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.集合间的基本关系A x x 2x xB x x x A ．B ⊆A B ．A ＝BC ．AB D ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 的子集个数为( ) A ．5 B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则AB ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] [规律方法] 1.集合间基本关系的两种判定方法 1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系. 2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.2.根据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观进行求解.易错警示：B ⊆A A ≠∅，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.为()A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． (1)C (2)[2，＋∞) [(1)由A ⊆C ⊆B 得C ＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C. (2)A ＝{x |0≤x ≤2}，要使A ⊆B ，则a ≥2.]集合的基本运算►考法1 集合的运算【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1＜x ＜2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{－1,1}，则下列关系正确的是( ) A ．M ∪N ＝{－1,1,3} B ．M ∪N ＝{x |－1≤x ＜3} C ．M ∩N ＝{－1}D ．M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1,2}．(2)法一：A ＝{x |(x －2)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B. 法二：因为A ＝{x |x 2－x －2＞0}，所以∁R A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需注意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍.A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2} C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}． 故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.] 自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

高考数学知识点精讲：函数的定义域如何提高学习率，需要我们从各方面去努力。

小编为大伙儿整理了2021年高考数学知识点精讲：函数的定义域，期望对大伙儿有所关心。

定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使关于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯独确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范畴A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范畴叫做那个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)差不多不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个差不多元件。

平常数学中，实行定义域优先的原则，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手硬一手软，使学生对函数的把握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，况且它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情形。

才能获得正确答案，从那个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，假如加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的明白得，从而深化对函数本质的认识。

范畴与值域相同吗?范畴与值域是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

值域是所有函数值的集合(即集合中每一个元素差不多上那个函数的取值)，而范畴则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足那个条件)。

高考数学知识点精讲：函数的定义域如何提高学习率，需求我们从各方面去努力。

小编为大家整理了2021年高考数学知识点精讲：函数的定义域，希望对大家有所协助。

定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假设按某个确定的对应关系f，使关于集合A中的恣意一个数x，在集合B 中都有独一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。

其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域称号定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量一切值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法那么、值域是函数结构的三个基本元件。

往常数学中，实行定义域优先的原那么，无可置疑。

但是事物均具有二重性，在强化定义域效果的同时，往往就削弱或谈化了，对值域效果的探求，形成了一手硬一手软，使先生对函数的掌握时好时坏，理想上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于相互转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

假设函数的值域是有限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必需联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来思索函数的取值状况。

才干取得正确答案，从这个角度来讲，求值域的效果有时比求定义域效果难，实际证明，假设增强了对值域求法的研讨和讨论，有利于对定义域内函的了解，从而深化对函数实质的看法。

范围与值域相反吗?范围与值域是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同窗经常将它们混为一谈，实践上这是两个不同的概念。

值域是一切函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而范围那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。

8.1 定义域（精讲）（基础版）考点一 具体函数求定义域【例1】（1）（2022·山东济南·二模）函数216x y x-=的定义域是（2）（2022.广东潮州）函数()0.2log 54y x =-的定义域 【答案】（1）[4,0)(0,4]-⋃（2）4,15⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】（1）由21600x x ⎧-≥⎨≠⎩，得44x -≤≤，且0x ≠，所以函数216x y x -=的定义域是[4,0)(0,4]-⋃. 故选：A.（2）要使函数()0.2log 54y x =-有意义，需满足()0.2540log 540x x ->⎧⎨-≥⎩，即540541x x ->⎧⎨-≤⎩，解得415x <≤ 思维导图考点呈现例题剖析故函数定义域为4,15⎛⎤⎥⎝⎦【一隅三反】1．（2022·宁夏·银川一中）函数421y x x =-的定义域为（ ） A ．[)0,1 B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞【答案】D【解析】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D2．（2022·宁夏·银川一中一模）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（ ） A ．[)0,1 B ．0,1C ．0,1D ．(]1,0-【答案】A【解析】由于不等式20x x -≤等价于()10x x -≤，解得01x ≤≤，故集合{}01M x x =≤≤ 函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ，满足10x ->，故集合{}|1N x x =<， 因此通过集合的交集的运算可知，{|01}MN x x =≤<故选：A.3．（2022·北京·模拟预测）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______． 【答案】1[,2)2-【解析】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤<则函数()()21lg 2f x x x =+-的定义域是1[,2)2-故答案为：1[,2)2-4．（2021·银川市·宁夏银川二十四中）函数()21log f x x=-的定义域为___________.【答案】(0,2) 【解析】因为()21log f x x =-21log 00x x ->⎧⎨>⎩，即2log 10x x <⎧⎨>⎩解得02x <<，所以函数的定义域为(0,2),故答案为：(0,2)5．（2020·甘肃武威市·武威十八中高三月考）函数2()34lg(2)f x x x x -++-的定义域是（ ） A ．[－1，4]B ．（－1，4]C ．[2，4]D ．（2，4]【答案】D【解析】由234020x x x ⎧-++≥⎨->⎩，解得142x x -⎧⎨>⎩，所以24x <所以函数的定义域为(2,4]故选：D考点二 复合函数求定义域【例2-1】（2022·陕西·西安高新第三中学）已知函数()ln 162x f x x =+-，则()2f x 的定义域为（ ）A ．()01，B ．()12， C ．(]04，D ．(]02，【答案】D【解析】要使函数()ln f x x =+162x -有意义，则01620xx >⎧⎨-≥⎩，解得04x <≤，()f x 的定义域为(]0,4，由024x <≤，解得02x <≤，()2f x 的定义域为(]0,2，故选D.【例2-2】（2022·广东·化州市第三中学）已知函数y ＝f （x ＋1）定义域是[－2，3]，则y ＝f （x －2）的定义域是（ ） A ．[1，6] B ．[－1，4]C ．[－3，2]D ．[－2，3]【答案】A【解析】由题意知，－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，∴－1≤x －2≤4，得1≤x ≤6，即y ＝f （x －2）的定义域为 [1，6]；故选：A.【一隅三反】1.抽象函数求定义域解题思路：对应法则不变，括号内等范围2.定义域求解口诀定义域是何意，自变量有意义；分式分母不为0，对数真数只取正； 偶次根式要非负，三者高考最常考；和差积商定义域，不等式组求交集； 抽象函数定义域，对应法则内相同。

学习界的⎨x > 0, x ≠ 1 专题 1 函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试 题难度较小．方法一 直接法【例 1】 【河南省新乡市 2020 届高三年级第三次模拟考试】函数 y =的定义域是（ ）ln xA ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【答案】A【解析】 y =ln x⎧-x 2+ 3x + 4 ≥ 0⎨ ⎩ ln x ≠ 0, x > 0∴⎧ -1 ≤ x ≤ 4∴ x ∈(0,1) ⋃ (1, 4] ⎩∴2 4 2 4 2 4 故选：A【名师点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.【变式演练 1】【2020 届北京市高考适应性测试】函数 f ( x )）A ．{x x ≤ 2 或 x ≥ 3} C ． {x 2 ≤ x ≤ 3} B ．{x x ≤ -3 或 x ≥ -2} D ． {x -3 ≤ x ≤ -2}【答案】A【解析】由题意可得 x 2 - 5x + 6 ≥ 0 ，解得 x ≤ 2 或 x ≥ 3 . 因此，函数 y = f (x ) 的定义域为{x x ≤ 2 或 x ≥ 3} . 故选：A.【名师点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.例 2．【黑龙江省大庆市第四中学 2020 届月考】函数y = log 1 (1- tan x ) 的定义域为（ ）2⎛ π π ⎫ ⎛ π π ⎫A ． - + k π, + k π⎪, k ∈ Z⎝ ⎭C ． ⎛ π+ k π,π+ k π⎫, k ∈ ZB ． - + 2k π, + 2k π⎪, k ∈ Z⎝ ⎭D ． ⎛ π+ 2k π,π+ 2k π⎫, k ∈ Z4 2 ⎪ 4 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭【答案】A【解析】函数 y = log 1 (1- tan x ) 有意义，2⎧1- tan x > 0⎪则⎨x ≠ k π+ π(k ∈ Z ) ，⎩⎪ 2π π解得- + k π< x <+ k π(k ∈ Z ) ，24⎛ π π ⎫所以函数的定义域为 - + k π, + k π⎪, k ∈ Z .⎝ ⎭故选：A【名师点睛】本题考查了求具体函数的定义域、正切函数的性质，属于基础题.a ⎩【变式演练 2】求函数y = log (a x-1) (a > 0且a ≠ 1) 的定义域．【答案】当 a > 1 时，函数的定义域为{x | x > 0}；当0 < a < 1时，函数的定义域为{x | x < 0}．【解析】要使原式有意义需要满足a x-1 > 0 ，即 a x> 1 = a当 a > 1 时， y = a x是 R 上的增函数，所以 x > 0 ；当0 < a < 1时， y = a x是 R 上的减函数，所以 x < 0 ； 综上所述，当 a > 1 时，函数的定义域为{x | x > 0}；当0 < a < 1时，函数的定义域为{x | x < 0}．例 3．若函数 f ( x ) =R ，则实数 a 取值范围是（）A ． [-2, 2]B ． (2, +∞)C ． (-∞, 2)D ． (-2, 2)【答案】A【解析】由于函数f ( x ) =的定义域为 R ， 所以 x 2 + ax +1 ≥ 0 在 R 上恒成立， 即方程x 2 + ax + 1=0 至多有一个解，所以∆ = a 2 - 4 ≤ 0 ，解得-2 ≤ a ≤ 2 ，则实数 a 取值范围是[-2,2]． 故选 A ．【名师点睛】已知函数的定义域求有关参数问题，往往转化为不等式恒成立问题．【变式演练 3】已知函数 f （x ）= ax 2 + ax - 3的定义域是 R ，则实数 a 的取值范围是（ ）A ． -12 < a ≤ 0【答案】AB ． -12 < a < 0C. a > 13D. a ≤ 13【 解 析 】 函 数⎧a ≠ 0f ( x ) =ax 2+ ax - 3的 定 义 域 为 R ， 只 需 分 母 不 为 0 即 可 ， 所 以 a = 0 或 ⎨∆ = a 2- 4a ⨯ (-3) < 0 ，可得-12 < a ≤ 0 ，故选 A ．方法二 抽象复合法33x - 13 3 ⎩解题模板利用抽象复合函数的性质解答：(1) 已知函数 f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求复合函数 f [g (x )] 的定义域：只需解不等式 a < g (x ) < b ，不等式的解集即为所求函数 f [g (x )] 的定义域．(2) 已知复合函数 f [g (x )] 的定义域为(a , b ) ，求函数 f (x ) 的定义域：只需根据 a < x < b 求出函数 g (x ) 的值域，即为函数 f (x ) 的定义域．例 4．求下列函数的定义域：（1） 已知函数 （f x)的定义域为[-2, 2] ，求函数 y = f (x2-1) 的定义域．（2） 已知函数 y = f (2x + 4) 的定义域为[0,1] ，求函数 （fx)的定义域．（3） 已知函数 （f x)的定义域为[-1, 2] ，求函数 y = f (x +1) - f (x2-1) 的定义域．【答案】（1） [- 3, 3] ；（2）[4, 6] ；（3）[- 3,1] ．【解析】（1）令-2≤ x 2 —1≤ 2 得-1≤ x 2 ≤3，即 0≤ x 2≤3，从而 - ≤ x ≤∴函数 y = f (x 2-1) 的定义域为[- 3, 3] ．（2）∵ y = f (2x + 4) 的定义域为[0,1] ，即在 y = f (2x + 4) 中 x ∈[0,1] ，令t = 2x + 4 ， x ∈[0,1] ，则t ∈[4, 6] ，即在 f (t ) 中， t ∈[4, 6] ∴ （f x)的定义域为[4, 6] ．⎧-1 ≤ x +1 ≤ 2 （3）由题得⎨-1 ≤ x 2-1 ≤ 2 ∴- ≤ x ≤ 1，∴函数 y = f (x +1) - f (x 2 -1) 的定义域为[- 3,1] ．【名师点睛】（1）已知原函数 f (x ) 的定义域为(a , b ) ，求复合函数 f [g (x )] 的定义域：只需解不等式a < g (x ) <b ，不等式的解集即为所求函数的定义域．第 1 小题就是典型的例子；（2）已知复合函数 f [g (x )]的定义域为(a , b ) ，求原函数 f (x ) 的定义域：只需根据 a < x < b 求出函数 g (x ) 的值域，即得原函数 f (x )的定义域．第 2 小题就是典型的例子；（3）求函数 y = f (x ) + g (x ) 的定义域，一般先分别求函数 y = f (x )和函数 y = g (x ) 的定义域 A 和 B ，在求 A B ，即为所求函数的定义域．3( ) ⎩ 【变式演练 4】 【陕西省西安中学 2020 届模拟】已知函数 f ( x ) 的定义域为[0，2]，则 g ( x ) =f (2x ) x -1定义域为（）A ． [0,1)(1, 2]B ． [0,1) (1, 4]C ． [0,1)D ． (1, 4]【答案】C【解析】函数 f ( x ) 的定义域是[0，2]，要使函数 g ( x ) =f (2x ) 有意义,需使 f (2x ) 有意义且 x -1 ≠ 0 .x -1⎧ 所以⎨x -1 ≠ 0 解得0 ≤ x < 1 ⎩0 ≤ 2x ≤ 2故答案为 C【名师点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.【变式演练 5】【山东省泰安市 2020 届高三 6 月三模】已知函数 f (x ) =x，则函数f x -1 的定x +1义域为（）A ． (-∞,1) C ． (-∞, -1) U (-1, 0 )B ． (-∞, -1) D ． (-∞, -1) (-1,1)【答案】D【解析】令 2x > 4x即2x < 1 ，解得 x < 0 .若f ( x -1) 有意义，则⎧x -1 < 0,即 x ∈(-∞, -1)⋃ (-1,1).x +1⎨x +1 ≠ 0故选：D.【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题.【变式演练 6】【山西省太原市第二十一中学 2020 届高三上学期期中】已知函数 f (x ) 的定义域是[0,1) ，则 函数 F (x ) = f [log 1 (3 - x )] 的定义域为（）2A ． [0,1) 【答案】CB ． (2, 3]5C ． [2, )25D ． (2, ]2的[2, ) 1【解析】因为函数f (x ) 的定义域时[0,1] ，所以0 ≤ log 1 (3 - x ) < 1 ，即log 1 1 ≤ log 1 (3 - x ) < log 1 ，2所以 1 < 3 - x ≤ 1 ，解得 2 ≤ x < 5，22222故函数 F (x ) 的定义域为 522．故选：C ．【名师点睛】本题主要考查抽象函数定义域的求法及对数函数不等式的解法．方法三 实际问题的定义域万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题 解题模板第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步取前后两者的交集，即得函数的定义域．例 5．用长为 L 的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）．若矩形底边长为 2x ，求此框架围成的面积 y 与关于 x 的函数解析式，并求出它的定义域．【答案】 y = -π+ 4x 2+ Lx ，函数的定义域为(0,2L π+ 2) L - 2x -πx L - 2x -πx πx 2 【解析】如图，设 AB = 2x ，则CD = πx ，于是 AD = ，因此 y = 2x ⨯ + ，即 y = -π+ 4⎧ x 2 + Lx ，再由题得⎪2x > 0 2 ，解之得0 < x < 2 2L，所以函数解析式是2⎨ L - 2x -πx > 02 +π⎩⎪2y = -π+ 4x 2+ Lx ，函数的定义域是 (0,2L) ． π+ 2⨯ 80 4r 【名师点睛】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义的条件，还有保证实际意义；⎧ 2x > 0 ⎪（2）该题中考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都要有意义，即⎨ L - 2x -πx > 0 ，不能⎩⎪ 2遗漏．【变式演练 7】某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左 右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且 l ≥2r ．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 c （c ＞3）千元．设该容器的建造费用为 y 千元．写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；80 + (2c - 4)r 3【答案】 y = 2π⋅，定义域为(0, 2] ．r43280π 80 - 4r 3【解析】由体积V =πr +πr l =，解得l =，333r2∴ y = 2πrl ⨯ 3 + 4πr 2 - 3c = 6πr ⨯ + 4c πr 23r 280 + (2c - 4)r 3= 2π⋅ ，r又l ≥ 2r ，即 80 - 4r 33r 2≥ 2r ，解得0 < r ≤ 2 ．【高考再现】1. 【2017 山东理】设函数的定义域 A ，函数y=ln(1-x) 的定义域为 B ，则 A ⋂ B =（A ）（1，2） （B ）(1,2⎤⎦【答案】D（C ）（-2，1） （D ）[-2，1)【考点】 1．集合的运算 2．函数的定义域 3．简单不等式的解法．2 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．2. 【2016·全国卷Ⅱ】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝ 1x【答案】D【解析】 y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项 D 满足题意．3. 【2014 山东．理 3】 函数 f (x )=1(log 1x )2 -1的定义域为（ ）11A ． (0, )2B ． (2,+∞)C ． (0, ) (2,+∞)2 D ． (0, ] [2,+∞)2【答案】C【解析】由已知得(log 2x )2-1 > 0, 即logx >1 或log 2x < -1，解得 x > 2 或0 < x < 1，故选C ． 2【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立 不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性．4. 【2015 高考重庆，文 3】函数 f (x) = log (x 2+2 x - 3) 的定义域是（ ）(A) [-3,1](B) (-3,1)(C) (-∞, -3] [1, +∞) (D) (-∞, -3) (1, +∞)【答案】D【解析】由 x 2+ 2x - 3 > 0 ⇒ (x + 3)(x - 1) > 0 解得 x < -3 或 x > 1，故选 D ．【考点定位】函数的定义域与二次不等式．【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解． 本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．x 2 - 5x + 6 5. 【2015 高考湖北，文 6】函数 f (x ) =lg x - 3的定义域为（ ）A ． (2, 3)B ． (2, 4]C ． (2, 3) (3, 4]D ． (-1, 3) (3, 6]【答案】C ．【解析】由函数 y = f (x ) 的表达式可知，函数 f (x ) 的定义域应满足条件： 4- | x |≥ 0,-2 ≤ x ≤ 2, x > 2, x ≠ 3 ，即函数 f (x ) 的定义域为(2, 3) (3, 4] ，故应选C ．x 2 - 5x + 6x - 3> 0 ，解之得 2 2⎩ 【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的 计算能力和思维的全面性．6. 【2020 年高考北京卷 11】函数 f (x )=【答案】(0, +∞)1x +1+ ln x 的定义域是 ．【解析】要使得函数 f (x ) =1+ ln x 有意义，则⎧x +1 ≠ 0，即 x > 0 ，∴定义域为(0, +∞)．x +1 ⎨x > 0【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．7. ．【2015 高考山东， 理 14 】已知函数a +b = ．3f (x ) = a x + b (a > 0, a ≠ 1) 的定义域和值域都是[-1, 0] ， 则【答案】 -2⎧a -1 + b = -1【解析】若 a > 1，则 f ( x ) 在[-1, 0]上为增函数，所以⎨ ⎩1+ b = 0⎧a -1 + b = 0，此方程组无解；⎧a = 1 3若0 < a < 1，则 f ( x ) 在[-1, 0]上为减函数，所以⎨ ⎩1+ b = -1 ⎪ ，解得⎨ 2 ，所以 a + b = - ． 2 ⎪⎩b = -2【考点定位】指数函数的性质．【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用．8. 【2019 年高考江苏】函数 y =【答案】[ -1,7]的定义域是 ▲．【解析】由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域．由已知得7 + 6x - x 2 ≥ 0 ，即 x 2 - 6x - 7 ≤ 0 ，解得-1 ≤ x ≤ 7 ，故函数的定义域为[-1, 7] ．【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求 出它们的解集即可．【反馈练习】x 2- 2xx1. 【北京市丰台区 2020 届高三下学期二模】函数 f ( x ) =1 的定义域为（ ）A ． (0, 2)C ． (-∞, 0)(2, +∞) B ． [0, 2]D ． (-∞, 0] [2, +∞ )【答案】C【解析】由 x 2 - 2x > 0 ，得 x < 0 或 x > 2 .∴函数 f (x ) = 的定义域为(-∞, 0)(2, +∞) .故选：C.【名师点睛】本题考查了求二次根式函数的定义域，分式函数的定义域,一元二次不等式的解法,属于基础题.2. 【云南省昆明市第一中学 2020 届高三考前第九次适应性训练】设函数 y=1 A ，函数y = 2x -1 的值域为 B ，则A B = ( )A ． (0,1)B ． (0,1]C ． (-1,1)D ．[-1,1]【答案】A【解析】函数定义域满足：1- x 2 > 0 ，即-1 < x < 1 ，所以 A = {x -1 < x < 1}， 函数 y = 2x -1的值域 B = {y y > 0}，所以 A B = (0,1) ，故选：A.【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3. 【海南省海南中学 2019-2020 学年高三第四次月考】下列函数中，与函数 y = ln x 有相同定义域的函数是（）A. y = 3xB. y = - tan xC. y = 1D. y = 1e x【答案】C【解析】函数 y = ln x 的定义域为(0, +∞) ，x 2- 2x1- x 2xx⎨ ⎩21对于 A ， y = 3的定义域为{x x ≠ 0} ， A 错误；对于 B ， y = - tan x 的定义域为⎧x x ≠ k π+ π, k ∈ Z ⎫， B 错误；⎨ ⎬ ⎩⎭对于C ， y = 1 对于 D ， y = 1ex故选： C . 【名师点睛】的定义域为(0, +∞) ， C 正确；的定义域为 R ， D 错误.本题考查函数定义域的求解，属于基础题.4. 【2020 届河南省郑州市高三第二次质量预测】设函数 y=定义域为 B ，则A B = （ ）的定义域为 A ，函数 y = ln(3 - x ) 的A ．(-∞, 3) B ． (-8, -3) C ． {3} D ．[-3, 3)【答案】D【解析】由题意，对于函数 y， 9 - x 2 ≥ 0 ，解得-3 ≤ x ≤ 3 ，即 A = [-3, 3] ；对于函数 y = ln(3 - x ) ， 3 - x > 0 ，解得 x < 3 ，即 B = (-∞, 3) ， 所以 A B = [-3, 3) .故选：D. 【名师点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题.5. 【2020 届安徽省安庆二中、天成中学高三上学期期末联考】函数 y=lg ( x - 2) +()A ．（2，3）B ．（3，4]C ．（2，4]D ．（2，3）∪（3，4]【答案】D【解析】⎧x - 2 > 0 依题意⎪x - 2 ≠ 1 ⎪16 - x 2 ≥ 0，解得 x ∈(2, 3) (3, 4] .所以函数的定义域为(2, 3) (3, 4] . 9 - x 2 9 - x 2 16 - x 22 - ⎪x ⎨ ⎩⎪ 2⎨ ⎩⎩故选：D【名师点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.6. 【2020 届百师联盟高三联考】函数 f ( x ) lg ⎛ x + 2 ⎫的定义域为( )⎝ ⎭A ．[1, 2] B ． [2, +∞) C ．[1, 2) D ．(1, 2]【答案】C⎧(x + 2)(2 - x ) > 0【解析】解：根据函数 f (x ) 解析式，有⎪x > 0 ，解得 x ∈[1, 2) ，所以函数 f (x ) 的定义域为x ∈[1, 2) ，故选：C.【名师点睛】⎪ ln x 0本题考查函数的定义域，关键是使式子有意义，一元二次不等式及对数不等式的解法，属于中档题.7．（2019·福建莆田八中月考（文））函数y = + (x -1) 定义域是（）A ．{x | -3 < x < 1} C ．{x | 0 < x < 2}B ．{x | -3 < x < 2 且 x ≠ 1} D ．{x | 1 < x < 2}【答案】B⎧2 - x > 0⎧x < 2 【解析】由题意得： ⎨12 + x - x > 0⎪x -1 ≠ 0 {x - 3 < x < 2 且 x ≠ 1} ，故选B ．⇒ ⎪-3 < x < 4 ⎪x ≠ 1 ⇒ -3 < x < 2 且 x ≠ 1，∴函数的定义域为：8．（2019·河北张家口中学月考）若函数 f (x ) =R ，则实数m 取值范围是（ ） A ．[0,8)B ． (8, +∞)C ．(0,8) D ．(-∞, 0) ⋃ (8, +∞)【答案】A【解析】∵函数 f （x ）的定义域为 R ，∴不等式 mx 2 - mx +2>0 的解集为 R ， ①m ＝0 时，2>0 恒成立，满足题意；=⎩ ⎩ ⎧m ＞0②m ≠0 时，则⎨2⎩ m- 8m < 0 ，解得 0＜m <8．综上得，实数 m 的取值范围是[0,8) ，故选 A ．【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为 R 时，判别式△需满足的条件．9．【河北省衡水市第二中学 2020 届高三上学期期中】已知函数 f (x ) =log 2 (2 - x ) ，则 f (x ) 的定义域为 .【答案】⎛ 1 , 2 ⎫2 ⎪ ⎝ ⎭【解析】因为 f (x ) =log 2(2 - x ) ，所以⎧2x -1 > 0 ，解得 1 < x < 2 .⎨2 - x > 02 【名师点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.10．【上海市南模中学 2019-2020 学年高三模拟】函数 y 【答案】 ⎡-3, -5π⎫ ⎛ - π,π⎫ ⎛ 5π, 3⎤+ lg (2 c os 2x -1)的定义域是 .⎣⎢6 ⎪ 6 6 ⎪ 6 ⎥⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎦【解析】因为 y = lg (2 c os 2x -1) ， ⎧9 - x 2 ≥ 0所以⎨2 cos 2x -1 > 0 ，⎧-3 ≤ x ≤ 3⎪ 所以⎨cos 2x > 1 ，⎩⎪ 2⎧-3 ≤ x ≤ 3 ⎪ 所以⎨kπ π，⎪⎩ π- 6 < x < k π+ 6,k ∈ Z 解得-3 ≤ x < - 5π或 -π < x < π或5π< x ≤ 3 . 6 6 6 6⎩ ⎪ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎦故答案为：⎡-3, - 5π⎫ ⎛ - π,π⎫ ⎛ 5π, 3⎤ ⎢⎣ 6 ⎪ 6 6 ⎪ 6 ⎥ 【名师点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及一元二次不等式，三角不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1. 【2020 届湖南省湘潭市高三下学期第三次模拟考试】函数 f ( x )=+ ln (e x - 1) 的定义域为．5【答案】(0, ] 2【解析】因为函数 f ( x )⎧25 - 4x 2 ≥ 0,+ ln (e x - 1)有意义， 所以⎨e x -1 > 0, ，⎧- 5≤ x ≤ 5 , 解得⎨ 2 2 ⎪⎩x > 0,所以0 < x ≤ 5 ，即 f (x ) 的定义域为(0, 5] ．22 5故答案为： (0, 2] .【名师点睛】本题考查了函数定义域的求法，一元二次不等式及指数不等式的求解，属于基础题.12. 【2020 届江苏省高三高考全真模拟】函数 y=【答案】[25, +∞)的定义域是.【解析】由题意可得log 3 (x + 2 ) - 3 ≥ 0 ，即log 3 ( x + 2) ≥ 3 ，∴ x + 2 ≥ 33 = 27 ，解得 x ≥ 25 .因此，函数 y故答案为： [25, +∞) . 【名师点睛】[25, +∞) .本题考查函数定义域的求解，涉及对数函数单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.13. 【2020 届陕西省咸阳市高三上学期期末】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称⎩这几个函数为“同域函数”. 试写出 y =-“同域函数”的解析式为.【答案】 y = 2x - 3 ， x ∈[1, 2]（答案不唯一）⎧x -1 ≥ 0 【解析】由⎨2 - x ≥ 0 得：1 ≤ x ≤ 2∴ y =的定义域为[1, 2]又y =∴ y=∴值域为[-1,1]的一个“同域函数”为 y = 2x - 3 ， x ∈[1, 2]故答案为： y = 2x - 3 ， x ∈[1, 2]（答案不唯一） 【名师点睛】本题考查函数新定义的问题，关键是能够明确新定义的含义实际是确定定义域和值域相同的函数，通过求 解函数的定义域和值域得到所求函数.14. 【2020 届江西省分宜中学高三上学期第一次段考】已知函数 f (2x -1) 的定义域为(-1, 2) ，则函数f (2 - 3x ) 的定义域为.【答案】⎛- 1 , 5 ⎫3 3 ⎪ ⎝ ⎭【解析】因为 f (2x -1) 的定义域为(-1, 2) ，即-1 < x < 2 。

1．函数的概念一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A 专高中数学函数的定义域（解析版）．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．复合函数一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))，其中y ＝f (u )叫做复合函数y ＝f (g (x ))的外层函数，u ＝g (x )叫做y ＝f (g (x ))的内层函数．考点一求给定解析式的函数的定义域【方法总结】常见函数定义域的类型【例题选讲】[例1](1)函数y ＝ln(1－x )x ＋1＋1x的定义域是()A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)答案D解析－x >0，＋1>0，≠0，解得－1<x <0或0<x <1．所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg(x ＋1)的定义域为()A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3]答案B解析要使函数有意义，xx 2＋2x ＋3≥0，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0或0<x ≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．(3)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是()A ．(－2，0)∪(1，2)B ．(－2，0]∪(1，2)C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]答案C 解析，>0，所以x ∈(－2，0)∪[1，2)．(4)函数f (x )＝2－2x ＋1log 3x的定义域为()A ．{x |x <1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x >1}答案B解析－2x ≥0，>0，3x ≠0，∴0<x <1．(5)函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．答案(0，2]解析－|x －1|≥0，x －1≠0，x ≤2，≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0，2]．【对点训练】1．下列函数中，与函数y 的定义域相同的函数为()A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x1．答案D解析函数y 的定义域为{x |x ≠0}；y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z}；y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}；y ＝x e x 的定义域为R ；y ＝sin xx 的定义域为{x |x ≠0}．故选D ．2．函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是()A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(2，3)∪(3，＋∞)2．答案D解析由题意，x －4>0，－3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．3．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为()A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)3．答案C解析x －1≥0，－2≠0，解得x ≥0，且x ≠2．4．函数f (x )＝10＋9x －x 2lg(x －1)的定义域为()A ．[1，10]B ．[1，2)∪(2，10]C ．(1，10]D ．(1，2)∪(2，10]4．答案D解析要使函数f (x )有意义，则x ＋9x －x 2≥0，－1>0，x －1)≠0，x ＋1)(x －10)≤0，>1，≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1，2)∪(2，10]．5．函数y ＝＋1－x 2的定义域为________．5．答案(0，1]解析＋1x >0，－x 2≥0<－1或x >0，1≤x ≤1⇒0<x ≤1．所以该函数的定义域为(0，1]．考点二求抽象函数的定义域【方法总结】求抽象函数定义域的方法【例题选讲】[例2](1)已知函数f (x )的定义域为(－1，0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1，1)B 1C ．(－1，0)D 答案B解析令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1，0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0，得－1<x <－12．(2)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f (x －1)的定义域为()A ．(－2，0)B ．(－2，2)C ．(0，2)D －12，答案C解析1<x2<1，1<x －1<1，2<x <2，x <2，∴0<x <2，∴函数g (x )＝f (x －1)的定义域为(0，2)．(3)已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f (2x )＋8－2x 的定义域为()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，3]答案A解析x ≤2，－2x ≥0，解得0≤x ≤1．故选A ．(4)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．答案[－1，2]解析因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．(5)若函数y ＝f (2x)的定义域为12，2，则y ＝f (log 2x )的定义域为________．答案，16]解析由题意可得x ∈12，2，则2x ∈[2，4]，log 2x ∈[2，4]，解得x ∈，16]，即y ＝f (log 2x )的定义域为，16]．【对点训练】6．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，则函数f (3x －2)的定义域为()A ．13，53B ．－1，53C ．[－3，1]D ．13，16．答案A解析由－x 2＋2x ＋3≥0，解得－1≤x ≤3，即f (x )的定义域为[－1，3]．由－1≤3x －2≤3，解得13≤x ≤53，则函数f (3x －2)的定义域为13，53，故选A ．7．设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为()A ．(－9，＋∞)B ．(－9，1)C ．[－9，＋∞)D ．[－9，1)7．答案B解析f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]－x >0，－lg(1－x )>0的解集，解得－9<x<1，所以f [f (x )]的定义域为(－9，1)．故选B ．8．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0，1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是()A ．[1，2]B ．(－1，1]C ．－120D ．(－1，0)8．答案D解析由f (2x －1)的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，∴f (x )的定义域是[－1，1]，∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足1≤2x ＋1≤1，＋1>0，＋1≠1，解得－1<x <0．9．若函数f (x ＋1)的定义域为[0，1]，则f (2x －2)的定义域为()A ．[0，1]B ．[log 23，2]C ．[1，log 23]D ．[1，2]9．答案B解析∵f (x ＋1)的定义域为[0，1]，即0≤x ≤1，∴1≤x ＋1≤2．∵f (x ＋1)与f (2x －2)是同一个对应关系f ，∴2x －2与x ＋1的取值范围相同，即1≤2x －2≤2，也就是3≤2x ≤4，解得log 23≤x ≤2．∴函数f (2x －2)的定义域为[log 23，2]．考点三已知函数定义域求参数【方法总结】解决已知定义域求参数问题的思路方法【例题选讲】[例3](1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为_________．答案[－2，2]解析若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2]．(2)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是()A ．[0，4)B ．(0，4)C ．[4，＋∞)D ．[0，4]答案D解析由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立．当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4．综上可得：0≤m ≤4．(3)若函数f (x )2221x ax a+--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．答案[－1，0]解析因为函数f (x )的定义域为R ，所以22+2-x ax a－1≥0对x ∈R 恒成立，即22+2-x ax a≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0．(4)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A 0，34B ．0，34C ．0，34D ．0，34答案D 解析∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3≠0，∴m ＝0或m ≠0，Δ＝16m 2－12m <0，即m ＝0或0<m <34，∴实数m 的取值范围是0，34【对点训练】10．函数y ＝ln(x 2－x －m )的定义域为R ，则m 的范围是________．10．答案－∞，－14解析由条件知，x 2－x －m >0对x ∈R 恒成立，即Δ＝1＋4m <0，∴m <－14．11．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．11．答案－92解析函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92．12．若函数y＝ax＋1的定义域为R，则实数a的取值范围是________．ax2＋2ax＋312．答案[0，3)解析因为函数y＝ax＋1的定义域为R，所以ax2＋2ax＋3＝0无实数解，即函ax2＋2ax＋3数u＝ax2＋2ax＋3的图象与x轴无交点．当a＝0时，函数u＝3的图象与x轴无交点；当a≠0时，则Δ＝(2a)2－4·3a＜0，解得0＜a＜3．综上所述，a的取值范围是[0，3)．。

函数定义域问题典型例题：例1. 〔2021年山东省文5分〕函数21()4ln(1)=+-+f x x x 的定义域为【 】 A [2,0)(0,2]- B (1,0)(0,2]- C [2,2]- D (1,2]- 【答案】B 。

【考点】函数的定义域。

分式、对数、二次根式有意义的条件。

∴函数21()4ln(1)=+-+f x x x 的定义域为(1,0)(0,2]-。

应选B 。

例2. 〔2021年江西省理5分〕以下函数中，与函数31y x=定义域相同的函数为【 】 A ．1sin y x = B. ln x y x = C. x y xe = D. sin x y x= 【答案】D 。

【考点】函数的定义域。

【解析】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。

其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：〔4〕实际问题还需要考虑使题目本身有意义。

由函数31y x=的意义可求得其定义域为{|0}x x R x ∈≠，，于是对各选项逐一判断即可得答案：对于A ，1sin y x=的其定义域为{|}x x k k Z π≠∈，，故A 不满足； 对于B ，ln x y x =的定义域为{|0}x x R x >∈，，故B 不满足； 对于C ，x y xe =的定义域为{|}x x R ∈，故C 不满足；对于D ，sin x y x=的定义域为{|0}x x R x ∈≠，，故D 满足。

综上所述，与函数31y x=定义域相同的函数为：sin x y x =。

应选D 。

例3. 〔2021年四川省文4分〕函数1()12f x x =-的定义域是 ▲ 。

〔用区间表示〕【答案】〔21-，∞〕 【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

例4. 〔2021年江苏省5分〕函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

新高考数学复习基础知识专题讲义知识点28 定义域知识理解 一．概念定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域 二．定义域的求法 （一）具体函数求定义域已知函数解析式求定义域，一般遵循下面原则，列出不等式组解不等式。

1. 分式：分母不为02. 根式：开偶次方根，被开方数大于等于03. 对数：对数的真数大于0，底数大于0且不等于14. 指数：指数的底数大于0且不等于15. 0:1,0x x x =≠ 6. 正切：()2x k k z ππ≠+∈7. 无以上情况定义域为R ，实际应用题实际考虑 （二）抽象函数求定义域未知解析式函数的定义域求解：一般遵循对应法则不变，括号内同范围1.若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；2.若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域考向一 具体函数求定义域【例1】（1）（2021·浙江高三学业考试）函数1()2f x x =+的定义域是（ ） A ．[3,)-+∞B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞（2）（2021·全国高一课时练习）函数y = ） A ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦B ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】（1）C （2）A【解析】（1）根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C.（2）由()0.5log 320320x x ⎧-≥⎨->⎩，即321320x x -≤⎧⎨->⎩，解得213x <≤，所以y =2,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A【举一反三】1．（2021·云南省保山第九中学高三开学考试（理））函数y =的定义域是（ ） A ．()1,+∞B ．()0,∞+C ．[)1,+∞D ．()()0,11,+∞考向分析【答案】A【解析】对于函数y =，有010x x >⎧⎨->⎩，解得1x >，因此，函数y =()1,+∞.故选：A. 2．（2021·山东日照市·高一期末）已知函数()ln(3)f x x =++则函数()f x 的定义域为（ ） A ．(3,)+∞B ．()3,3-C ．(,3)-∞-D ．(,3)-∞ 【答案】A【解析】要使函数()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x > 所以函数()f x 的定义域为(3,)+∞故选：A3．（2021·福建高三学业考试）函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．()2,3B ．(]2,4C ．()(]2,33,4D ．()(]1,33,6-【答案】C【解析】由题意得240560330x x x x x ⎧-≥⎪-+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩，即()()2423030x x x x ⎧≤⎪⎪-->⎨⎪-≠⎪⎩，解得4423x x x -≤≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即23x <<或34x <≤所以函数的定义域为(2,3)(3,4].故选：C考向二 抽象函数求定义域【例2】（1）（2021·全国高三专题练习）已知函数()2xy f =的定义域是[1,1]-，则函数()3log f x 的定义域是（ ）A ．[1,1]-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[1,3]D．（2）（2021·黑龙江哈尔滨市·高三月考（理））已知函数()2y f x =+的定义域是[)2,5-，则函数()31y f x =-的定义域为（ ）A ．[)7,14-B ．(]7,14-C ．18,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．18,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭（3）．（2021·四川资阳市）已知函数()f x 的定义域为[]2,1-，则函数()()2g 13l x f x y -=-的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．()0,1【答案】（1）D （2）D （3）D【解析】（1）因为[]1,1x ∈-，所以1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ⎤∈⎦，故选：D. （2）∵函数()2y f x =+的定义域是[)2,5-，∴25x -≤<，∴027x ≤+<， ∴函数()f x 的定义域为[)0,7，∴对于函数()31y f x =-，有0317x ≤-<，解得1833x ≤<， ∴()31y f x =-的定义域是18,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：D ． （3）已知函数()f x 的定义域为[]2,1-，对于函数()()2g 13l x f x y -=-，有()232110lg 10x x x ⎧-≤-≤⎪->⎨⎪-≠⎩，即23211011x x x -≤-≤⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解得01x <<.因此，函数()()2g 13l x f x y -=-的定义域为()0,1.故选：D.【举一反三】1．（2021·河南南阳市·高三期中）已知函数()f x 的定义域[]22-,，则函数()1f x -的定义域为（ ） A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]0,2 【答案】B【解析】由题意212x -≤-≤，解得13x -≤≤，所以(1)f x -的定义域是[1,3]-．故选：B ． 2．（2021·甘谷县第四中学高三月考）已知函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ） A ．[0，52]B ．[-1，4]C ．[-5，5]D ．[-3，7] 【答案】A【解析】函数y =f （x +1）定义域是[-2，3]，则114x -≤+≤，所以1214x -≤-≤，解得502x ≤≤， 所以函数的定义域为[0，52].故选：A 3．（2021·甘肃张掖市第二中学高三月考）已知函数()f x 的定义域为[3,6]，则函数y =的定义域为（ ）A ．3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B【解析】由函数()f x 的定义域是[]3,6，得到326x ，故1232620(2)0x x log x ⎧⎪⎪->⎨⎪->⎪⎩即332212x x x ⎧⎪⎪>⎨⎪<<⎪⎩解得：322x <；所以原函数的定义域是：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ． 考向三 根据定义域求参数【例3】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．02a <<B ．02a ≤≤C ．02a <≤D ．02a ≤< 【答案】D【解析】由题意可知：当x ∈R 时，不等式2220ax ax -+>恒成立. 当0a =时，22220ax ax -+=>显然成立，故0a =符合题意； 当0a ≠时，要想当x ∈R 时，不等式2220ax ax -+>恒成立， 只需满足0a >且2(2)420a a --⋅⋅<成立即可，解得：02a <<， 综上所述：实数a 的取值范围是02a ≤<.故选：D【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）若函数()f x R ，则实数a 取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,2)- 【答案】A【解析】由题意可知210x ax ++≥对于x R ∈恒成立，所以240a ∆=-≤，所以[]2,2a ∈-.故选A.2．（2021·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）函数y =的定义域是R ，则a 的取值范围是_________．【答案】[)0,4【解析】由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，0a ∴=符合题意；②当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<．综上可得04a ≤<， ∴实数a 的取值范围为[)0,4．故答案为：[)0,4.3．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知函数2123y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】0k ≤<3. 【解析】当k=0时，13y =，满足条件 当k 0≠时，24120k k -<综上：0k 3≤<．一、单选题1．（2021·广西）函数ln(3)()1x f x x -=-的定义域为（ ）A ．(,1)(1,3]-∞--B ．(,1)(1,3]-∞⋃C ．(,1)(1,3)-∞-⋃-D ．(,1)(1,3)-∞【答案】D【解析】由题意可知30,10,x x ->⎧⎨-≠⎩解得3x <且1x ≠.所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,3)-∞故选：D强化练习2．（2021·山西太原市·高三期中）函数()ln 1y x ++= ）A ．[)1,2-B ．()1,2-C ．(]1,2-D ．[]2,1- 【答案】B【解析】要使函数()ln 1y x ++=21040x x +>⎧⎨->⎩，解得12x -<<， ∴原函数的定义域为(1,2)-．故选：B ．3．（2021·全国高三专题练习）x ∈[0，2π]，y） A ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,22ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】由题意，tan 0cos 002x x x π≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，解得32x ππ≤<，所以函数的定义域为3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C. 4．（2021·宁夏石嘴山市第一中学高三期中）函数()lg f x x =的定义域是（ ）A ．{}02x x <≤B ．{}01x x <≤C ．{}12x x -<≤D ．{}12x x <≤ 【答案】A【解析】由题意，函数()lg f x x =有意义，则满足20x x -≥⎧⎨>⎩，解得02x <≤，所以函数()f x 的定义域为{}02x x <≤.故选：A. 5．（2021·扬州大学附属中学高三月考）若集合{A x y ==∣，函数()ln 2y x =-的定义域为B ，则AB =（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)2,+∞【答案】C【解析】由题得1{[,)2A xy ===+∞∣，{}()20,2B x x =->=-∞，所以A B =1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C.6．（2021·太原市·山西大附中高三期中）函数()ln 1y x =+的定义域是（ ）A ．[)1,2-B ．1,2C ．1,2D ．[]1,2-【答案】B【解析】要使函数()ln 1y x ++=240010x x ⎧-≥≠+>⎩，解得12x -<<， ∴函数()2ln 114y xx ++-=的定义域是()1,2-.故选：B.7．（2021·陕西省黄陵县中学高三期中（理））函数()()2ln 2f x x x =-的定义域为（ ） A ．()2,+∞B ．()1,2C ．()0,2D ．[]1,2 【答案】B【解析】要使函数有意义，则210,20,x x x ->⎧⎨->⎩解得12x <<. 所以函数()()2ln 2f x x x =+-的定义域为()1,2.故选：B 8．（2021·安徽高三月考（文））已知函数2()log f x x =则函数()f x 的定义域为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(0,2]D ．(0,4] 【答案】C【解析】由题意，函数2()log f x x =01640xx >⎧⎨-≥⎩，解得02x x >⎧⎨≤⎩， 即02x <≤，所以函数的定义域为(]0,2.故选：C.9．（2021·新疆实验高三月考）已知函数()y f x =定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[1,4]-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[5,5]-【答案】C 【解析】()y f x =的定义域是[2-，3]，(21)y f x ∴=-满足2213x --，解得122x -， (21)y f x ∴=-的定义域是1[,2]2-．故选：C ． 10．（2021·南昌市第十九中学）已知函数()f x 的定义域为()3,3-，设()21f x -的定义域为M，N x y ⎧==+⎨⎩，则M N ⋃=（ ） A ．[)7,5-B ．(]7,5-C ．()1,2-D ．(]1,5- 【答案】D【解析】因为函数()f x 的定义域为()3,3-，所以在函数()21f x -中有3213x -<-<，解得12x -<< 所以设()21f x -的定义域为{}12M x x =-<<因为N x y ⎧==⎨⎩，所以{}15N x x =<≤ 所以{}15M N x x ⋃=-<≤故选：D11．（2021·河南南阳市·南阳中学高三月考（文））函数()f x =()32-f x 的定义城是（ ）A ．24,35⎡⎫⎪⎢⎭⎣B ．114,155⎡⎫⎪⎢⎭⎣C ．1113,1515⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,15⎡⎫+∞⎪⎢⎭⎣ 【答案】B【解析】因为函数()f x =所以()12log 250250x x ⎧-≥⎪⎨⎪->⎩，解得 1255x ≤<，所以函数()f x 的定义域为 12[,)55，令123255x ≤-<，解得 114155x ≤< ， 所以()32-f x 的定义城是114[,)155故选：B12．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三月考）已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,4C ．[)0,1D ．[)(]0,11,4【答案】C【解析】()g x 有意义需02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得01x ≤<，所以()g x 的定义域为[0,1).故选：C.13．（2021·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试（理））已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y2f x 的定义域为（ ）A ．[32，＋∞)B ．[32，2) C ．(32，＋∞)D ．[12，2)【答案】B【解析】要使函数y2f x 有意义，需满足3261log (2)02x x ≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩332021x x ⎧≤≤⎪⎨⎪<-<⎩⇒32≤x <2.故选：B.14．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是（ ）A ．[0,1]B ．(0,1)C ．[0,1)D ．(0,1] 【答案】B【解析】由题意，函数()f x 的定义域为[1,1]-，即11x -≤≤，令1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤，又由()f x 满足10x ->且11x -≠，解得1x <且0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(0,1)，故选B ．15．（2021·安徽省涡阳第一中学高三月考（文））已知函数f (x )的定义域是[－1，1]，则函数g (x )＝(21)ln(1)f x x --的定义域是（ ）A ．[0，1]B ．(0，1)C ．[0，1)D ．(0，1] 【答案】B【解析】由函数f (x )的定义域为[－1，1]，得－1≤x ≤1，令－1≤2x －1≤1，解得0≤x ≤1， 又由1－x >0且1－x ≠1，解得x <1且x ≠0，所以函数g (x )的定义域为(0，1)，故选：B.16．（2021·全国高三专题练习（理））函数()f x =f (2x -1)的定义域是（ ） A ．25[,)36B ．11[,)33-C ．12[,]33D ．2[,)3+∞【答案】A【解析】由()f x 12log (23)0230x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩，即0231x <-≤，解得1233x ≤<， 即()f x 的定义域为12{|}33x x ≤<，令122133x ≤-<，解得2536x ≤<， 所以(21)f x -的定义域为25[,)36，故选：A二、填空题17．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高一期末）函数()f x 定义域为[1,8]，则函数2()3x f g x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-的定义域为____________． 【答案】[)(]2,33,16【解析】由于函数()f x 定义域为[1,8]，对于函数2()3x f g x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，有18230x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≠⎩，解得216x <<且3x ≠.因此，函数2()3x f g x x ⎛⎫⎪⎝⎭=-的定义域为[)(]2,33,16.故答案为：[)(]2,33,16.18．（2021·贵溪市实验中学高三一模）函数12y x=-的定义域是________． 【答案】{1xx ≥-∣且2}x ≠． 【解析】由题设可得1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，故12x -≤<或2x >．故函数的定义域为：{1xx ≥-∣且2}x ≠． 故答案为：{1xx ≥-∣且2}x ≠． 19．（2021·北京高三期末）函数()ln f x x =的定义域为__________.【答案】()0,∞+【解析】对于函数()ln f x x =，有100x x +≥⎧⎨>⎩，解得0x >.因此，函数()ln f x x =的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.20．（2021·福建省长乐第一中学高三月考）若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数()2f x f x =的定义域是__________.【答案】](1,2【解析】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤故答案为：](1,221．（2021·上海市进才中学高三期中）函数()f x =______. 【答案】[-1，2]【解析】由题设可得3210x --≥即213x -≤，故3213x -≤-≤，所以12x -≤≤， 故答案为：[]1,2-.22．（2021·河北高三月考）函数ln(sin )y x =___________． 【答案】[5,)(0,)ππ--【解析】由题意得：2sin 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得5x π-≤<-或0πx <<.故答案为：[5,)(0,)ππ--. 23．（2021·九龙坡区·重庆市育才中学高三开学考试）已知(1)f x +的定义域为[]0,2，则(2)1f x x -的定义域为___________ 【答案】13[,1)(1,]22【解析】函数(1)f x +的定义域为[]0,2，02x ∴≤≤，113x ∴≤+≤，()f x ∴的定义域为[]1,3，所以(2)1f x x -中：12310x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得112x ≤<且312x <≤∴函数(2)1f x x -的定义域为13[,1)(1,]22．故答案为:13[,1)(1,]22． 24．（2021·合肥一六八中学高三月考（理））已知函数()f x 的定义域是1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则()2xf 的定义域是_______． 【答案】[1,3]-【解析】因为函数()f x 的定义域是1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1282x ≤≤，得13x -≤≤， 所以()2xf 的定义域为[1,3]-，故答案为：[1,3]-25．（2021·西藏山南二中高三月考）已知函数()f x 的定义域为()3,1-，则函数()21f x -的定义域为______． 【答案】()1,1-【解析】因为函数()f x 的定义域为()3,1-，3211x ∴-<-<，解得11x -<<，即函数()21f x -的定义域为()1,1-.故答案为：()1,1-.26．（2021·全国高三专题练习）已知函数()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则函数()21y f x =+的定义域为______. 【答案】5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】()24y f x =-的定义域是[]1,5-，则[]244,21x -∈-，即函数()f x 的定义域为[]4,21-，令[]214,21x +∈-，解得5,102x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.则函数()21y f x =+的定义域为5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,102⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 27．（2021·全国高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数(21)()2f xg x x +=+的定义域为______________【答案】(]9,22,02⎡⎫--⋂-⎪⎢⎣⎭【解析】【解析】由题意可知，函数()y f x =的定义域为[8,1]-，令8211x -≤+≤，解得902x -≤≤， 又由20x +≠，解得2x ≠-，所以函数()g x 的定义域是9[,2)(2,0]2---.28．（2021·全国高三专题练习）若函数f(x)R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【解析】因为函数()f x 的定义域为R ，所以22210x ax a+--≥对x R ∈恒成立，即220x ax a +-≥恒成立因此有2440a a =+≤解得10a ≤≤－则a 的取值范围为[]10-，故答案为[]10-，29．（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】(]12,0-【解析】由0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤，故答案为：(]12,0-. 30．（2021·全国高三专题练习）若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________.【答案】11,22⎡---+⎢⎣⎦【解析】由函数()f x =R,得221202x ax a---≥恒成立,化简得2210x ax a --+≥恒成立,所以由()24410a a =--≤解得:⎣⎦. 故答案为:⎣⎦. 31．（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】函数f （x）=的定义域为R ，则对任意实数x ，mx 2+4mx +3＞0恒成立， 当m ＝0时，不等式3＞0恒成立；当m ≠0时，要使mx 2+4mx +3＞0恒成立，则20(4)120m m m ⎧⎨-⎩＞＜，解得：034m ＜＜． 综上，实数m 的取值范围是[0，34）． 故答案为：[0，34）．32．（2021·全国高三专题练习）已知函数2()lg1f x x ax 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】[1,1]-【解析】函数f （x ）＝lg ax ）的定义域为R ，ax ＞0恒成立，∴-ax 恒成立，设y x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ； 令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．。

考点1：定义域【题组一 已知解析式求定义域】 1．函数()11f x x =+-的定义域为 . 【答案】[)()0,11,+∞U【解析】由100x x -≠⎧⎨≥⎩，解得x ≥0且x ≠1．∴函数()11f x x =-[0，1）∪（1，+∞）．2．函数f(x)的定义域为 .【答案】(2，＋∞)【解析】要使函数有意义，则2log 10x x >⎧⎨->⎩解得x ＞2.3．函数01()()2f x x =-的定义域为 .【答案】11[2,)(,)22-+∞U【解析】欲使函数有意义则11022202x x x x ⎧⎧-≠≠⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+≥≥-⎩⎩，所以()f x 的定义域为112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 4．已知0()(2)f x x =-的定义域是 . 【答案】(1,2)(2,10]U【解析】由题意可得291001020x x x x ⎧-++≥⎪->⎨⎪-≠⎩，即291001020x x x x ⎧--≤⎪->⎨⎪-≠⎩，解得：12x <<或210x <≤，5．函数f （x ）的定义域为 .【答案】[3，4）∪（4，+∞）【解析】要使函数有意义，则30150x x -≥⎧⎨+-≠⎩，解得34x x ≥≠且.6．函数()f x =__________. 【答案】(2,1)-【解析】函数()1f x x =-的自变量x 满足：2650140210xx x x ⎧--≥⎪⎪⎛⎫->⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≠⎩，解得6121x x x -≤≤⎧⎪>-⎨⎪≠⎩ 即 21x -<<. 7．函数0y =的定义域是 ．【答案】{}|01x x x <≠-且【解析】10{x x x +≠->，解得01x x <≠-且．8．函数21log 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 . 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】要使21log 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有意义，须110x ->，即10x x->，解得1x >或0x <，即函数21log 1y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()(),01,∞∞-⋃+；故答案为()(),01,∞∞-⋃+.9．函数y =________ 【答案】[2,1)(1,2]-⋃ 【解析】要使函数有意义，须21040x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得22x -≤≤且1x ≠， ∴函数y =[2,1)(1,2]-⋃.故答案为：[2,1)(1,2]-⋃.10．函数0(2)()1x f x x +=+-的定义域___________【答案】(,2)(2,1)(1,)-∞--+∞U U .【解析】由题意可得22102010x x x x ⎧-+≥⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得2x ≠-且1x ≠，所有函数的定义域是：(,2)(2,1)(1,)-∞--+∞U U ，故答案为：(,2)(2,1)(1,)-∞--+∞U U .11．函数y =的定义域是________【答案】7(2,2)()66k k k Z ππππ-++∈ 【解析】由正弦函数的定义和分式的意义，得12sin 0x +>，即1sin 2x >-，解得722,66k x k k Z ππππ-+<<+∈.故答案为：7(2,2)()66k k k Z ππππ-++∈12.若()f x =，则()f x 的定义域为____________.【答案】1(,0)2-【解析】由题12210log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩解得1(,0)2-【题组二 抽象函数求定义域】1．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为 . 【答案】（1，2）【解析】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭， 应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 2．已知()21f x -定义域为[]0,3，则()21f x -的定义域为 .【答案】90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为()21f x -定义域为[]0,3，所以2118x -≤-≤，令1218x -≤-≤，解得902x ≤≤，所以()21f x -的定义域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3.已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是 .【答案】(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U 【解析】由于函数()y f x =的定义域为[]8,1-，由题意得821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得902x -≤≤且2x ≠-，因此，函数()()212f xg x x +=+的定义域是(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U 4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =__________．【答案】3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈，其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．【题组三---根据定义域求参数】1．函数2()lg(43)f x x x a =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】43⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【解析】∵()f x 的定义域为R ，∴2430x x a ++>恒成立，即判别式16120a ∆=-<， 得43a >，即实数a 的取值范围是4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2．若函数y =R ，则a 的取值范围为 .【答案】[0,4]【解析】由题得210ax ax ++≥恒成立，a=0时，不等式恒成立. a≠0时，由题得2,0 4.40a a a a >⎧∴<≤⎨∆=-≤⎩综合得0 4.a ≤≤. 3.函数24()43x f x mx mx -=++的定义域是R ，则m 的取值范围是 . 【答案】304m ≤<【解析】由题意,2430mx mx ++≠恒成立. 若0m =,则30≠成立,符合题意;若0m ≠,只需二次函数243y mx mx =++与x 轴无交点,即()24120m m ∆=-<,解得304m <<. 所以,m 的取值范围是304m ≤<.4已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】－12<a ≤0【解析】由题意可知230ax ax +-≠对于一切实数都成立,当a ＝0时，不等式成立，即符合题意； 当0a ≠时，要想230ax ax +-≠对于一切实数都成立，只需24(3)0a a ∆=-⨯-<，解得 －12<a <0,综上所述，实数a 的取值范围是－12<a ≤0.5.若函数R ，则a 的取值范围为_______.【答案】[]10-，【解析】220212xax a--≥=恒成立，220xax a ⇒--≥恒成立，2(2)40(1)010.a a a a a ⇒∆=+≤⇒+≤∴-≤≤6.若函数()f x =R ，则实数a 取值范围是___________.【答案】[-22⎤⎦，【解析】由题意x ∈R 时，210x ax ++≥恒成立，∴240a ∆=-≤，22a -≤≤．故答案为：[2,2]-．7．若函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是__________.【答案】⎣⎦【解析】由函数()f x =R,得221202x ax a---≥恒成立,化简得2210x ax a --+≥恒成立,所以由()24410a a ∆=--≤解得:⎣⎦. 8.函数21xy kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．【答案】[)0,4【解析】由题意知，对任意的x ∈R ，210kx kx ++≠. ①当0k =时，则有10≠，合乎题意；②当0k ≠时，则有240k k ∆=-<，解得04k <<. 综上所述，实数k 的取值范围是[)0,4. 9.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________.【答案】.30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】函数f （x ）=的定义域为R ，则对任意实数x ，mx 2+4mx +3＞0恒成立，当m ＝0时，不等式3＞0恒成立；当m ≠0时，要使mx 2+4mx +3＞0恒成立，则20(4)120m m m ⎧⎨-⎩＞＜，解得：034m ＜＜． 综上，实数m 的取值范围是[0，34）．故答案为：[0，34）．10已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】函数f （x ）＝lg +ax ）的定义域为R +ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y 21x =+，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y 21x =+的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．12.已知22()ln[(1)(1)1]g x m x m x =---+的定义域为R ，求实数m 的取值范围 .． 【答案】53m <-或 1m ≥．【解析】由题设得：22(1)(1)10m x m x ---+>在x ∈R 时恒成立， 当210m -=时：当1m =时，10>恒成立；当1m =-时，210x -+>不恒成立∴1m =；若210m -≠，则2211105531(1)24(1)03m m m m m m m m ⎧-⎧->⎪∴∴<-⎨⎨-∆=---<⎩⎪⎩或或或1m > 综上所述：实数m 的取值范围是实数53m <-或 1m ≥．13.函数22()(1)3(1)6f x a x a x =-+-+.若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】5111a -≤≤. 【解析】（1）当1a =时，()6f x =，()f x 的定义域为R ，符合题意；（2）当1a =-时，()66f x x =+，()f x 的定义域不为R ，所以1a ≠-；（3）当1a ≠1a ≠-时，()f x 的定义域为R 知抛物线22(1)3(1)6y a x a x =-+-+全部在x 轴上方（或在上方相切），此时应有，解得5111a -≤<；综合（1），（2），（3）有a 的取值范围是5111a -≤≤.。

1．4.2 充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.3.能对充要条件进行证明．知识点 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考1 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？ 答案 正确．若p 是q 的充要条件，则p ⇔q ，即p 等价于q ，故此说法正确． 思考2 “p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”的区别在哪里？ 答案 (1)p 是q 的充要条件说明p 是条件，q 是结论． (2)p 的充要条件是q 说明q 是条件，p 是结论．1．“x >1”是“x ＋2>3”的________条件． 答案 充要解析 当x >1时，x ＋2>3；当x ＋2>3时，x >1，所以“x >1”是“x ＋2>3”的充要条件． 2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件． 答案 必要不充分解析 设命题p ：(2x －1)x ＝0，命题q ：x ＝0，则命题p ：x ＝0或x ＝12，故p 是q 的必要不充分条件．3．△ABC 是锐角三角形是∠ABC 为锐角的________条件． 答案 充分不必要4．若p 是q 的充要条件，q 是r 的充要条件，则p 是r 的________条件． 答案 充要解析 因为p ⇔q ，q ⇔r ，所以p ⇔r ， 所以p 是r 的充要条件．一、充分、必要、充要条件的判断例1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p .故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练1 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x 2>0，q ：x >0；(2)p ：a 能被6整除，q ：a 能被3整除； (3)p ：两个角不都是直角，q ：两个角不相等； (4)p ：A ∩B ＝A ，q ：∁U B ⊆∁U A .解 (1)p ：x 2>0，则x >0或x <0，q ：x >0， 故p 是q 的必要不充分条件．(2)p ：a 能被6整除，故也能被3和2整除，q ：a 能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．(4)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．二、充要条件的证明例2设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.(学生)反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．跟踪训练2求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.证明①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，当x＝0时，y＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点，所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，所以b＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 三、充要条件的应用例3 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.2．本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练3 已知当a <0时，设p ：3a <x <a ，q ：x <－4或x ≥－2.若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 设A ＝{x |3a <x <a ，a <0}， B ＝{x |x <－4或x ≥－2}． 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以A B ，∴a ≤－4或3a ≥－2， 即a ≤－4或a ≥－23.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0，即实数a 的取值范围为a ≤－4或－23≤a <0.1．“x >0”是“x ≠0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 2．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1， 则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立， 但当x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立． 3．“a <b ”是“ab <1”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 D4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的________条件． 答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件．5．函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________． 答案 m ＝－2解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m2＝1，即m ＝－2；反之，若m ＝－2，则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．1．知识清单：(1)充要条件概念的理解． (2)充要条件的证明． (3)充要条件的应用． 2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：条件和结论辨别不清．1．“1<x <2”是“x ≤2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x ≤2}，A B .故“1<x <2”是“x ≤2”的充分不必要条件． 2．“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 若x ＝1，则x 2－2x ＋1＝0；若x 2－2x ＋1＝0，即(x －1)2＝0，则x ＝1.故为充要条件． 3．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得0≤x ≤2. 当x ≤2时不一定有0≤x ≤2， 而当0≤x ≤2时一定有x ≤2，∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要不充分条件．4．已知a ，b 是实数，则“a <0，且b <0”是“ab (a －b )>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 D解析 已知a ，b 是实数，则若a <0，且b <0，则不一定有ab (a －b )>0，比如当a <b <0时，ab (a －b )<0；反之，若ab (a －b )>0，则a －b 和ab 同号，当a >b >0时满足ab (a －b )>0，当b <a <0时也满足ab (a －b )>0，故不能确定a 和b 的正负．故是既不充分又不必要条件．5．使“x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12”成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5} D ．x ≤－12或x ≥3答案 C解析 选项中只有x ∈{－1,3,5}是使“x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12”成立的一个充分不必要条件． 6．已知△ABC ，△A 1B 1C 1，两三角形对应角相等是△ABC ≌△A 1B 1C 1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 必要不充分解析 由两三角形对应角相等⇏△ABC ≌△A 1B 1C 1；反之由△ABC ≌△A 1B 1C 1⇒∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1.7．对于集合A ，B 及元素x ，若A ⊆B ，则x ∈B 是x ∈A ∪B 的________条件． 答案 充要解析 由x ∈B ，显然可得x ∈A ∪B ； 反之，由A ⊆B ，则A ∪B ＝B ， 所以由x ∈A ∪B 可得x ∈B ， 故x ∈B 是x ∈A ∪B 的充要条件．8．设a ，b 是实数，则“a ＋b >0”是“ab >0”的________条件． 答案 既不充分又不必要解析 若a ＋b >0，取a ＝3，b ＝－2，则ab >0不成立； 反之，若ab >0，取a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b >0也不成立， 因此“a ＋b >0”是“ab >0”的既不充分又不必要条件．9．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0.充分性：由ac <0，可推得b 2－4ac >0，及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.10．设命题p ：12≤x ≤1；命题q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}， 由p 是q 的充分不必要条件，可知A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1， 解得0≤a ≤12，故所求实数a 的取值范围是0≤a ≤12.11．“函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方”是“0≤a ≤1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 函数y ＝x 2－2ax ＋a 的图象在x 轴的上方， 则Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1， 由集合的包含关系可知选A.12．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A解析 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得0<x <1，所以0<x 2<1； 由x 2<1，得－1<x <1，不能推出0<x <1.所以“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 2<1”的充分不必要条件． 13．已知“p ：x >m ＋3或x <m ”是“q ：－4<x <1”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 m ≤－7或m ≥1解析 因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1，故m ≤－7或m ≥1.14．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≤0}解析 α：x ≥a ，可`看作集合A ＝{x |x ≥a }．∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.15．设m ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根的充要条件是m ＝________.答案 3或4解析 x ＝4±16－4m2＝2±4－m ，因为x 是整数，即2±4－m 为整数， 所以4－m 为整数，且m ≤4， 又m ∈N *，取m ＝1,2,3,4. 验证可得m ＝3,4符合题意，所以m ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0有整数根．16．已知a ，b ，c ∈R ，a ≠0.判断“a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．解 “a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的充要条件． 理由如下：当a ，b ，c ∈R ，a ≠0时，若“a －b ＋c ＝0”，则－1满足二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，即“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”，故“a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的充分条件， 若“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”，则“a －b ＋c ＝0”， 故“a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的必要条件， 综上所述，“a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1”的充要条件．。

专题07：函数的定义域精讲温故知新一．已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域 求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠例1：1．求下列函数的定义域：（1）1ln(5)3y x x =+--； （2）y =； （3）()01y x =-；（4）y ；【答案】（1）[2,3)(3,5)⋃；（2）2(,6]3-；（3）[2,1)(1,5]-；（4）[1,2]；（5）[3,1)(1,)-⋃+∞；（6）[2,3)(3,5]⋃；（7）[,0)a -.【分析】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.【详解】（1）1ln(5)3y x x x =-+--，203050x x x -≥⎧⎪∴-≠⎨⎪->⎩解得：23x ≤<或35x <<所以函数1ln(5)3y x x =+--的定义域为[2,3)(3,5)⋃； 故答案为：[2,3)(3,5)⋃.（2）63y x -=3206032x x x +≠⎧⎪∴-⎨≥⎪+⎩ 解得：263x -<≤， 所以函数y =2(,6]3-； 故答案为：2(,6]3-. （3）()051y x =--502010x x x -≥⎧⎪∴+≥⎨⎪-≠⎩ 解得：21x 或15x <≤所以函数()01y x =-的定义域为[2,1)(1,5]-； 故答案为：[2,1)(1,5]-. （4）y x =-2320x x ∴-+-≥解得：12x ≤≤，所以函数y =的定义域为[1,2]；故答案为：[1,2].举一反三求下列函数的定义域（1）y =；（2）y=； （3）y x x=-(0a >).解析：（1）x y x +=- 3010x x +≥⎧∴⎨-≠⎩ 解得：31x -≤<或1x> 所以函数1y x =-的定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞； 故答案为：[3,1)(1,)-⋃+∞.（2）2y x=24050x x ⎧-≥⎪∴-≥⎨≠ 解得：23x ≤<或35x <≤所以函数y =的定义域为[2,3)(3,5]⋃； 故答案为： [2,3)(3,5]⋃.（3）2a y x x =-(0a >). 2200a x x x ⎧-≥⎪∴⎨-≠⎪⎩解得：0a x -≤< 所以函数y =(0a >)的定义域为[,0)a -； 故答案为：[,0)a -.二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。