2021高考数学考点精讲精练《02 解析式》(讲解)(解析版)

【题型综述】探究代数表达式包括以下若干类型：（1）参数值的探索，根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆 锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在，否则不存在(2)等式恒成立问题，根据题 中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法，转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题，若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。

【典例指引】类型一 参数值的探究例 1 【2016 年高考四川理数】（本小题满分 13 分）已知椭圆 E ： x a 2 y 2+ = 1(a > b > 0) 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点， 直线b2l : y = -x + 3与椭圆 E 有且只有一个公共点 T .（Ⅰ）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；（Ⅱ）设 O 是坐标原点，直线 l’平行于 OT ，与椭圆 E 交于不同的两点 A 、B ，且与直线 l 交于点 P ．证明： 存在常数λ，使得 PT 2= λPA ⋅ PB ， 并求λ的值.23 2 25 2 4方程②的判别式为∆=16(9 - 2m 2) ，由∆>0 ，解得-3 2< m < . 2由②得 x 1 + x 2 = -所以 PA = 4m 3, x 1x 2 4m 2 -12. 3= 2 -2m- x ，31同理 PB = 2 - 2m3- x 2 ，学*科网52m 2m所以 PA ⋅ PB = (2 - 43 - x 1 )(2 - 3 - x 2 )= 5 (2 - 2m )2 - (2 - 2m)(x + x ) + x x4 3 31 2 1 2= 5 (2 - 2m )2 - (2 - 2m )(- 4m ) + 4 3 3 3 = 10 m 2 .9故存在常数λ= ，使得PT 25类型二 恒等式成立探究= λPA ⋅ PB .(2 - 2m - x )2 + (1+ 2m - y )2 3 1 3 15 2 4m 2 -12 3 =2 PAPB | y 0 - 2 | | y 0 + 2 | 2 -1 2 +1= 例 2. 【2015 高考四川，理 20】如图，椭圆 E ： x a2 y 2 + b2= 1(a > b > 0) 的离心率是 2，过点 P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于 A ，B 两点，当直线l 平行与 x 轴时，直线l 被椭圆 E 截得的线段长为2.(1)求椭圆 E 的方程；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在与点 P 不同的定点 Q ，使得= 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.（2）当直线l 与 x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于 C 、D 两点.如果存在定点 Q 满足条件，则| QC | = | PC |= 1，即| QC |=| QD |.| QD | | PD |所以 Q 点在 y 轴上，可设 Q 点的坐标为(0, y 0 ) .当直线l 与 x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于 M 、N 两点.则 M (0, 2), N (0, - 2)，| QM | | PM | 由，有 = ，解得 y = 1或 y = 2 .| QN | | PN | 0 0所以，若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件，则 Q 点的坐标只可能为Q (0, 2) .2 QA QB 2下面证明：对任意的直线l ，均有| QA |=| PA |.学*科网| QB | | PB | 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A、B 的坐标分别为(x1, y1), (x2, y2) .⎧x2+y2 =⎪联立⎨4 2⎪⎩y =kx +1 1, 得(2k 2 +1)x2 + 4kx - 2 = 0 .学*科网其判别式∆= 16k 2 + 8(2k 2 +1) > 0 ，类型三面积最小值存在性例3【2015 高考湖北，文22】一种画椭圆的工具如图1 所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN =ON = 1，MN = 3 ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带．动．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C．以O 为原点，AB 所在的2 m 2 1-4 k 2= 4k 1 2 直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线l 1 : x - 2 y = 0 和l 2 : x + 2 y = 0分别交于 P , Q 两点．若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究： ∆OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．S= 1 | PQ | ⋅d = 1 | m || x - x |= 1 ⋅ | m | ∆OPQ 2 2 P Q2 + 2 m= . ②1 +2 k 将①代入②得，S ∆OPQ = 时 ， S ∆ 2 + 8( ) = 8(-1 + ) . 因 0 ≤ k 2 < 1 ， 则 0 < 1 - 4k 2 ≤ 1 ， 2 ≥ 2 ， 所 以 OPQ 1 - 4k 2 1 - 4k 2 4 1 - 4k 22 m 1 -2 k 2m 2 = 8 4k 2 + 1 . 当 k 2 > 1时，S ∆ = 8( 4k 2 + 1 ) = 8(1 + 2 ) > 8；当0 ≤ k 2 < 11 - 4k2 4k 2 -1 4 OPQ4k 2 -1 4k 2 -14+= >> S 2S ∆OPQ = 8(-1 + 2 1 - 4k 2 ) ≥ 8 ，当且仅当k = 0 时取等号.所以当 k = 0 时， S∆OPQ 的最小值为 8. 学*科网 综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时， ∆OPQ 的面积取得最小值 8. 类型四 面积关系探究x 2 例 4.（2011 湖南理 21）如图 7,椭圆C 1 :a 2y 2 b 21(a b 0) 的离心率为, x 轴被曲线C 22: y = x 2- b 截得的线段长等于C 1 的长半轴长. (Ⅰ)求C 1 , C 2 的方程;(Ⅱ)设C 2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点O 的直线l 与C 2 相交于点 A , B ,直线 MA , MB 分别与C 1 相交于点D ,E .(ⅰ)求证: MD ⊥ ME ;(ⅱ)记∆MAB , ∆MDE 的面积分别为 S , S .问:是否存在直线l ,使得S 1 = 17?请说明理由.12323【扩展链接】1. F 为椭圆xa2+y2b2= 1(a >b > 0) 的其中一个焦点，若P 是椭圆上一点，则a -c ≤| PF |≤a +c .2. F 为双曲线x2-y2=1(a > 0, b> 0)的右焦点，若P 是双曲线右支上一点，则| PF |≥-，若P 是双a2 b2a c曲线左支上一点，则| PF |≥a +c ，.23. F 为椭圆xa2+y2b2= 1(a >b > 0) 的左焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则b2 b2 2ab2| AF | a +c cosθ| AF |=, | B F |=, | AB |=, =.a -c cosθ a +c cosθ a2 -c2 cos2 θ | BF | a -c cosθ4. F 为抛物线y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦，点A 在x 轴上方，则| AF |=p1- cosθ，|BF |=p1+ cosθ, | AB |=2 p=1-c os2 θ2 p,sin 2 θ| AF || BF |=1+ cosθ.1- cosθ【新题展示】1．【2019四川二诊】已知，椭圆C过点，两个焦点为，，E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为，直线l与椭圆C相切于点A，斜率为．求椭圆C 的方程；求的值．【思路引导】可设椭圆C 的方程，由题意可得，由椭圆的定义计算可得，进而得到b，即可得到所求椭圆方程；设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理可得E 的坐标，由题意可将k 换为，可得F 的坐标，由直线的斜率公式计算可得直线EF 的斜率，设出直线l 的方程，联立椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，可得直线l 的斜率，进而得到所求斜率之和．【解析】由题意可设椭圆C 的方程，且，即，，所以椭圆的方程；设直线，代入椭圆方程可得，2可得 ，即有 ，，由直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，可将 k 换，可，，则直线 EF 的斜率，设直线 l 的方程，代入椭圆方程可得：，化简可 ，解，则．2．【2019 河南新乡二模】设椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的焦距为，直线 的斜率 ． （1）求椭圆的标准方程；（2）设直 （）与椭圆交 ，两点，且 在第二象限 与延长线交于 ， 的面积面积 倍， 的值．【思路引导】（1）利用椭圆的焦距和的斜率列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆标准方程．（2）设出两点的坐标，利用“ 的面积是 面积的 倍”得到 ，转化为向，并用坐标表示出来，求两点横坐标的关系式．联立直的方程和直 的方程，求 点的横坐标；联立椭圆的 方程和直 的方程，求 点的横坐标，根据上述求得 两点横坐标的关系式列方程，解方程求 的 可能取值，验 点横坐标为负数后得 的值． 【解析】（1）设椭圆的焦距 ，由已知得 ，所 ，，，由直线 l 与椭圆 C 相切，可得所以椭圆的方程．（2）设，，由题意且，由的面积面积倍，可，所，从，所，．易知直线的方程为，，消去，可．由方程组，消去，可．由，可得，整理得或．，解得当时，符合题意；当时，不符合题意，舍去．综上，的值．3．【2019陕西汉中3月联考】顺次连接椭圆：的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积的菱形．（1）求椭的方程；（2），是椭圆上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（为坐标原点），线段上有一点满，连接并延长交椭圆于点，的值．【思路引导】（1）由菱形的面积公式可得2ab＝2，由勾股定理可得a2+b2＝3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．【解析】（1）由题可，，解，．所以椭的方程为．（2），，，∵，∴，∴，．又∵ ，即，．∵在椭圆上，∴，即．∵ ，在椭圆上，① ．②又直线，斜率之积，∴，，③将①②③代入，解．4．【2019东北三省三校一模】已知椭圆：的左、右两个顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，设直的斜率分别，若动与的连线斜率分别，且，记动的轨迹为曲．（1）当时，求曲的方程；（2）已知，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若，的取值范围．【思路引导】(1)由题意设，，再表示出得出．然后求得结果．(2) 由题求出直的方程为，直的方程为，然后分别与曲线联立，求得点E、F 的纵坐标，然后再代入面积公式表示出再利用函数的单调性求得范围．【解析】（1）设，，因，则所，整理得．所以，当时，曲的方程为．（2）．由题意知，直的方程为，直的方程为．由（Ⅰ）知，曲线的方程为，联立，消去，得，得联，消去，得，得设则在上递增又，的取值范围为5．【2019安徽江南十校3月检测】已知抛物线的准线方程为．（1）求抛物的标准方程；（2）设，，则，同理（2）过作斜率的直线交抛物线于两点，，连接与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记，问：是否存在实数，使成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）根据标准方程与准线的关系，可直接求得；（2）假设存在，通过假设四点坐标，可以表示出和，然后利用韦达定理求解出．【解析】（1）由准线方程可知，（互不相等）三点共线即同将抛物线与直联立得由韦达定理：6．【2019安徽六校联考】已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率为，直线：与椭圆交于，四边形的面积．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）作与平行的直线与椭圆交两点，且线的中点，的斜率分别，的取值范围．【思路引导】（1）运用椭圆的离心率公式和四边形的面积求法，以及椭圆的关系，列出对应的方程组，即可求得结果；（2）设出直的方程，与椭圆方程联立，利用判别式大于零，得出范围，利用韦达定理以及中点坐标公式，得到（），根据的范围求得结果．【解析】由（1）可得，，带入得，椭圆方程（2）设直线的方程由，，，设，则（）7．【2019安徽黄山一模】已知点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为．直线与抛物线交两点，且线段的中点．（Ⅰ）求直线的方程．（Ⅱ）点是直上的动点，的最小值．【思路引导】(Ⅰ)由点到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，得到，可以求出，即可得到抛物线的方程，然后利用点差法，根据直线与抛物线交两点，且线段的中点，可以求出斜率，从而得到直线方程都在直线上，，，可以表示，然后将直线与抛物线联立，可以得到关于x 的一元二次方程，结的表达式，可以求出最小值。

专题2：圆锥曲线求解析式（解析版）一、单选题1．已知双曲线22221(0,0)x y a b a a -=>>的左、右焦点分别为1,F 2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．2743x y-=B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A =-+， 若2121()0F F F A F A +⋅=，即为()222112()0F F F F A A F F -+⋅=+， 可得22221AF F F =， 即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．2．以椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22142x y +=C ．2214x y +=D ．22184x y +=【答案】A 【解析】 【分析】由题意，在正三角形中得到基本量,,a b c 间的关系，结合焦点到椭圆上的点的最短距离为a c -，故可求出,a b 的值，从而可椭圆的方程 【详解】解：因为椭圆短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形， 所以31,2b c a ==， 因为椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1， 所以1a c -=， 所以2,1,3a c b ===所以椭圆的方程为22143x y +=，故选：A 【点睛】此题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质的应用，属于基础题3．椭圆()22211x y a a+=>的焦距为2，则a =（ ）A B ．2C ．5D【答案】A 【解析】 【分析】由()22211x y a a+=>可得椭圆的焦点在x 轴上且1b =，由焦距22c =可得：1c =，代入公式即可得解. 【详解】由()22211x y a a+=>，设短轴长为2b ， 可知：椭圆的焦点在x 轴上，且1b =， 由焦距22c =可得：1c =， 所以由222+112a b c ==+=，所以a =故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆的基本量的运算，考查了椭圆的基本性质，是概念题，属于基础题.4．方程1x -= ） A ．一个圆 B ．两个半圆C ．两个圆D ．半圆【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】221(1)(1)1x x y -=⇒-+-=,表示一个圆，选A5．若椭圆22194x y m +=+的焦距为2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或7D ．4或6【答案】D 【解析】 【分析】就焦点在x 轴上、在y 轴上分类讨论后可得实数m 的值. 【详解】若焦点在x 轴上，则941c m =--=，故4m =； 若焦点在y 轴上，则491c m =+-=，故6m =；故选：D. 【点睛】本题考查椭圆基本量的计算，注意对焦点位置进行讨论，本题属于基础题.6．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45 ）A ．2213616x y +=B ．2211636x y +=C ．22164x y +=D ．22164y x +=【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，由此可求得椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得22210245a b c c a b +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得64a b =⎧⎨=⎩，因此，椭圆的标准方程为2213616x y +=.故选：A. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题.7．若双曲线C ：222mx y -=的实轴长等于虚轴长的一半，则m =（ ） A ．14B ．12C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线的方程222mx y -=化为标准方程，求出其实轴长和虚轴长，再利用实轴长等于虚轴长的一半，列方程可求出m 的值. 【详解】解：双曲线C ：222mx y -=化为标准方程是C ：22122x y m -=，12=，解得4m =. 故选:C. 【点睛】此题考查的是双曲线的标准方程及基本概念，属于基础题.二、填空题8．已知双曲线2222:1,x y C a b-=且圆22(2):1E x y -+=的圆心是双曲线C 的右焦点.若圆E 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为____________.【答案】2213x y -=【解析】 【分析】由已知可得双曲线右焦点坐标为(2,0)，再由圆心到渐近线的距离为1，得到,a b 关系，结合2c =，即可求解. 【详解】∵2224c a b =⇒+=.①取渐近线0bx ay -=，2222213b a b a b =⇒=+.②由①②可得23a =，21b =，∴双曲线C 的方程为2213x y -=.故答案为:2213x y -=.【点睛】本题以圆为背景，考查双曲线的性质，考查计算求解能力，属于基础题.9．双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案； 【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩， ∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.10．抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为________ 【答案】24y x = 【解析】 【分析】由椭圆方程可求得右焦点坐标，从而得到12p=，求得p 后即可得到抛物线方程. 【详解】由椭圆方程知，椭圆右焦点为()1,0 设抛物线方程为：22y px =，则12p= 2p ∴= ∴抛物线方程为：24y x = 故答案为24y x = 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，关键是能够根据椭圆标准方程求得焦点坐标，属于基础题. 11．定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为45，焦点三角形的周长为4512+，则椭圆C 的方程是__________．【答案】2213616x y +=【解析】设椭圆的半焦距为c ，由题意得，2451225245{{a c a c ++===⇒，所以4b =，故椭圆C 的方程是2213616x y +=. 12．已知点(),1A m 是抛物线()220x py p =>上一点，F 为抛物线的焦点，且3AF =，则p =_______.【答案】4【解析】 【分析】利用抛物线的定义，由132pAF =+=求解. 【详解】因为132pAF =+=， 所以4p =. 故答案为：4 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查运算求解能力.13．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若AB 4=，3BC =，则此双曲线的标准方程为________________．【答案】x 2-23y =1 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意可知24c =2c ∴=，23=b a所以223-=c a a ，则1a =，23b =故方程为：2213y x -=考点：双曲线的几何性质 点评：双曲线中通径长为三、解答题14．（1）求与双曲线221164x y -=有相同焦点，且经过点(27,6)的双曲线的标准方程；（2）已知椭圆22(3)(0)x m y m m ++=>的离心率3e =m 的值. 【答案】（1）226114x y -=；（2）6. 【解析】 【分析】（1）先求焦点坐标，再利用已知条件设所求的双曲线方程，列出方程组，求解22,a b 即可得出结果；（2）先利用作差法确定焦点坐标在x 轴上，求出,a c，再利用e =即可得出答案. 【详解】（1）双曲线221164x y -=的焦点()±，设所求的双曲线方程为：22221x y a b-=，可得：2222202861a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2214,6a b ==，所求双曲线的标准方程为：226114x y -=；（2）椭圆方程可化为2213x y mm m +=+， 因为()2033m m m m m m +-=>++， 所以3mm m >+， 可知椭圆的焦点坐标在x 轴上，即22,,3m a m b c m ====+由22e =得2233c m e a m +===+， 解得：6m =， 所以m 的值为6.15．（1）求椭圆22110036x y +=的焦点坐标；（2）求椭圆229436x y +=的焦点坐标；（3）求椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，求k . 【答案】（1）()8,0±；（2）(0,5；（3）1k = 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的标准方程容易求出焦点坐标.(2)将椭圆方程标准化，根据椭圆的标准方程容易求出焦点坐标.;(3)将椭圆方程标准化，根据椭圆的标准方程容易求出焦点坐标，进而得结果.. 【详解】(1)椭圆22110036x y +=,焦点在x 轴上，其中22100,36a b ==，则22264c a b =-=，故8c =，所以焦点坐标为()8,0±.(2) 椭圆229436x y +=,标准化为：22149x y +=，焦点在y 轴上，其中229,4a b ==，则2225c a b =-=，故5c =(0,5.(3) 椭圆2255x ky +=，标准化为：2215y x k+=，一个焦点是(0,2)，焦点在y 轴上，其中2c =,225,1a b k==，则2224c a b =-=，故1k =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查焦点坐标，属于基础题.16．（1）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的焦距为x =±，求椭圆1C 的方程；（2）已知双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，求双曲线2C 的方程.【答案】（1）22196x y +=；（2）22145x y -=【解析】 【分析】（1）由已知可得c =2a c±=±（2）由已知可得b a =，29c =，计算即可得出结果. 【详解】（1）焦距为c =x =±，则2a c ±=±3a =，由222a b c =+，可得：26b =，所以椭圆1C 的方程为22196x y +=；（2）由双曲线的一条渐近线方程为2y x =可知，2b a =， 且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则29c =，又因为222a c b =-，即22232c ba a cb =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得：2a =，b =3c =，所以双曲线2C 的方程为22145x y -=.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.17．中心在原点，一个焦点为(23,0)F -，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的方程.【答案】221164x y +=【解析】 【分析】依题意假设椭圆方程，根据23,2c a b ==以及222a b c =+，简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：椭圆的焦点在x 上，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>则3,2c a b ==由222a b c =+，所以224,16b a ==故得到椭圆方程为：221164x y +=．故答案为：221164x y +=．【点睛】本题考查椭圆的方程，本题考查计算，属基础题. 18．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）4a =，1b =，焦点在x 轴上； （2）4a =，15c =，焦点在y 轴上；【答案】（1）22116x y +=.（2）22116y x +=【解析】 【分析】（1）直接写出标准方程即可；（2）根据222b a c =-得到21b =，再根据焦点位置，直接写出标准方程. 【详解】（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22116x y +=.（2）由4a =，c =2221b a c =-=， 焦点在y 轴上，∴其标准方程为22116y x +=. 【点睛】本题考查了由,,a b c 的值，求椭圆的标准方程，属于基础题. 19．在下列条件下求双曲线标准方程. （1）经过两点()3,0，()6,3--；（2）焦点在y 轴上，双曲线上点到两焦点距离之差的绝对值为且经过点()2,5-.【答案】（1）22193x y -=；（2）2212016y x -=. 【解析】 【分析】（1）根据题意可设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，将题干中两点坐标代入双曲线的方程，可求出2a 、2b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程；（2）根据题可设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，根据双曲线的定义可求出a 的值，再将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程，求出b 的值，即可得出所求双曲线的标准方程. 【详解】（1）由于双曲线过点()3,0，则该双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意可得()()2222291631a a b ⎧=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩，解得2293a b ⎧=⎨=⎩， 因此，所求双曲线的标准方程为22193x y -=；（2）由双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b-=>>，由双曲线的定义可得245a =5a =222120y x b-=，将点()2,5-的坐标代入双曲线的标准方程得()22252120b--=，解得4b =， 因此，所求双曲线的标准方程为2212016y x -=.【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，解题时要确定双曲线的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.20．求适合下列条件的曲线标准方程.（1）虚轴长为162 （2）过点()1,3P-的抛物线的标准方程.【答案】（1）2216464x y -=或2216464y x -=；（2）29y x =或213x y =-. 【解析】 【分析】（1）设双曲线的实轴长为()20a a >，焦距为()20c c >，根据题意求出a 、c 的值，再分双曲线的焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，可得出双曲线的标准方程； （2）分两种情况讨论，抛抛物线的焦点在x 轴上和y 轴上，分别设出抛物线的标准方程，将点P 的坐标代入抛物线的标准方程，求出参数值，即可得出所求抛物线的标准方程. 【详解】（1）设双曲线的实轴长为()20a a >，焦距为()20c c >，则cc a==，双曲线的虚轴长为162a ==，可得8a =，当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为2216464x y-=；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为2216464y x-=.综上所述，所求双曲线的标准方程为2216464x y -=或2216464y x -=；（2）当抛物线的焦点在x 轴上时，可设所求抛物线的标准方程为22y px =，将点P 的坐标代入抛物线的标准方程得()29232p p =-⇒=， 此时，所求抛物线的标准方程为29y x =；当抛物线的焦点在y 轴上时，可设所求抛物线的标准方程为22x ty =，将点P 的坐标代入抛物线的标准方程得216t =-，解得16t =-， 此时，所求抛物线的标准方程为213x y =-. 综上所述，所求抛物线的标准方程为29y x =或213x y =-. 【点睛】本题考查双曲线和抛物线标准方程的求解，解答时要注意对双曲线和抛物线的焦点位置进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.。

第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。

2.2 直线的方程（精练）1 直线的点斜式1．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=平行的直线方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-=C ．230x y --=D ．240x y +-=【答案】A【解析】因为所求直线与直线l 平行，所以设所求直线方程为：()2403x y m m -+=≠，又所求直线过点()2,1A ，代入可得22410m ⨯-⨯+=，解得0m =， 所以所求直线为240x y -=，即20x y -=. 故选：A2．（2022·湖南岳阳·高二期末）过点()2,1A 且与直线:2430l x y -+=垂直的直线的方程是（ ） A ．20x y -= B ．250x y +-= C ．230x y --= D ．240x y +-=【答案】B【解析】由题意可知，设所求直线的方程为420x y m ++=，将点()2,1A 代入直线方程420x y m ++=中，得42210m ⨯+⨯+=，解得10m =-， 所以所求直线的方程为42100x y +-=，即250x y +-=. 故选：B.3．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知直线l 的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l 的方程为（ ）A ．y =B ．2y =-C ．1y =+D ．3y =+【答案】C【解析】由题意知：直线l l 的方程为1y +.故选：C.4．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知直线l 过点(2,3)且与直线:250m x y -+=平行，则直线l 的方程为（ ） A ．270x y +-=B ．210x y --=C ．240x y -+=D ．210x y -+=【答案】C【解析】因为直线l 与直线:250m x y -+=平行，所以直线l 的斜率为12，又直线l 过点(2,3)， 所以直线l 的方程为()1322y x -=-，即240x y -+=，故选：C. 5．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）直线l 经过点()2,3-，且倾斜角45α=，则直线l 的方程为（ ） A ．10x y +-= B ．50x y -+=C ．10x y ++=D ．50x y --=【答案】B【解析】因为直线l 的倾斜角45α=，所以直线l 的斜率为1， 又直线l 经过点()2,3-，所以直线l 的方程为32yx ，即50x y -+=，故选：B6．（2022·江苏·高二课时练习）过点(P -且与直线20x +=的夹角为3π的直线方程是（ ）A ．)2y x =+B ．2x =-C ．)2=+y xD ．)2=+y x 或2x =- 【答案】D【解析】根据一般方程20x +=可得y =，所以斜率为k =6πθ=，和该直线夹角为3π的直线的倾斜角为2π或56π，根据直线过点(P -，所以该直线方程为2x =-或2)y x =+.故选：D 7．（2022·江苏·高二）经过点A (0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A ．230x y --= B ．230x y ++=C ．260x y --=D ．260x y ++=【答案】A【解析】因为直线经过点(0,3)A -且斜率为2，所以直线的方程为32(0)y x +=-， 即230x y --=，故选：A ．8．（2022·江苏·高二）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ） A ．1 B ．1-C ．2-或1D ．2或1【答案】D【解析】当0a =时，直线2y =，此时不符合题意，应舍去；当2a =时，直线:20l x y +=，在x 轴与y 轴上的截距均为0，符合题意； 当0a ≠且2a ≠，由直线:20l ax y a +-+=可得：横截距为2aa-，纵截距为2a -. 由22aa a-=-，解得：1a =.故a 的值是2或1.故选：D 9．（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（ ）条 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入， 得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①， 解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ； 共有3条；故选：C.10．（2022·江苏·高二课时练习）已知三角形的三个顶点(2,1),(3,3),(0,4)A B C --. (1)求BC 边所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线方程； (3)求BC 边的中垂线所在直线方程.【答案】(1)3120x y -+=；(2)350x y ++=；(3)310x y ++=. 【解析】(1)利用点斜式可得BC 直线方程为403430y x --=---，整理可得3120x y -+=； (2)由341303BC k -==--，所以BC 边上的高所在直线的斜率3-， 所以BC 边上的高所在直线方程为3(2)1y x =-++，整理可得350x y ++=； (3)由,B C 中点为37(,)22-，由（2）知BC 边的垂直平分线的斜率3-，所以BC 边的垂直平分线为31y x =--，整理可得310x y ++=.11．（2022·江苏·高二课时练习）分别求满足下列条件的直线的方程：(1)过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行； (2)过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直； (3)过点()5,4，且与x 轴垂直；(4)过点()2,3C -，且平行于过两点()1,2M 和()1,5N --的直线． 【答案】(1)4140x y +-=(2)230x y --=(3)50x -=(4)72200x y --= 【解析】(1)由题意设直线方程为40x y m ++=，因为直线过点()3,2A ， 所以4320m ⨯++=，得14m =-，所以所求直线方程为4140x y +-=(2)由题意设直线方程为20x y n -+=，因为直线过点()3,0B ，所以300n -+=，得3n =-， 所以所求直线方程为230x y --=(3)因为直线过点()5,4，且与x 轴垂直，所以所求直线方程为50x -= (4)由题意可知所求直线的斜率为527112k --==--， 所以直线方程为()7322y x +=-，即72200x y --= 2 直线过定点1．（2021·重庆市石柱中学校高二阶段练习）直线l ：()240a x y a ++--=恒过的定点坐标为____________. 【答案】()1,2【解析】由()240a x y a ++--=可得(1)240a x x y -++-=，由10240x x y -=⎧⎨+-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以该直线恒过的定点(1,2).故答案为：(1,2).2．（2022·四川）直线(1)y k x =-过定点 _________________. 【答案】()1,0【解析】直线(1)y k x =-，令10x -=，得1,0x y ==，所以直线(1)y k x =-过定点()1,0，故答案为：()1,0. 3．（2022·全国·高二课时练习）设直线()23260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为________. 【答案】(0,2)【解析】由直线方程()23260x k y k +--+=，可化简为(236)(2)0x y k y -++-=，又由236020x y y -+=⎧⎨-=⎩，解得0,2x y ==，即直线恒经过定点(0,2)P .故答案为：(0,2).4．（2022·安徽·高二开学考试）直线()()():21132R l m x m y m m +++=+∈经过的定点坐标是___________. 【答案】()1,1【解析】把直线l 的方程改写成：()()2230x y m x y +-++-=，令20230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点()1,1.故答案为：（1,1）.5．（2021·重庆·铜梁中学校）直线()()():211107l m x m y m m R +++=+∈经过的定点坐标是______． 【答案】(3,4)【解析】把直线l 的方程改写成：(7)(210)0x y m x y +-++-=，由方程组702100x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得：34x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 总过定点(3,4)，故答案为：(3,4)6．（2021·全国·高二专题练习）已知直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数）过定点P ，则点P 的坐标为____． 【答案】(0,6)-【解析】直线:(31)(1)660(l x y λλλλ++-+-=为实数），即(36)(6)0x y x y λ--+++=，则36060x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得6x y =⎧⎨=-⎩，所以直线恒过定点(0,6)P -，故答案为：(0,6)-． 3 直线所过象限1．（2022·陕西渭南）如果0AB >且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由0AB >且0BC <，可得,A B 同号，,B C 异号，所以,A C 也是异号； 令0x =，得0C y B=->；令0y =，得0Cx A =->；所以直线0Ax By C ++=不经过第三象限. 故选：C.2．（2021·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，过点(2,0)-且倾斜角为135︒的直线不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵直线的倾斜角为135︒，则直线的斜率1k =-∵直线的方程：()2y x =-+即2y x =--直线不经过第一象限．故选：A ． 3．（2022·江苏·高二课时练习）设k 为实数，若直线:13l y k x不经过第四象限，则k 的取值范围为______．【答案】⎡⎢⎣⎦【解析】直线:13l y kx 经过定点)，当0k =时，此时直线:1l y =，符合要求；当0k ≠时，直线:13l y kxk ，要想不经过第四象限，则满足010k >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得：0k <≤，综上：0k ≤≤故答案为：⎡⎢⎣⎦4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线2(2)68a y x a a -=+-+不经过第二象限，求实数a 的取值范围 ． 【答案】[]2,4【解析】当2a =时，直线方程为0x =，不过第二象限，满足题意； 当20a -≠即2a ≠时，直线方程可化为()142y x a a =+--． 由题意得2010240a a a -≠⎧⎪⎪>⎨-⎪-≤⎪⎩，解得24a <≤． 综上可得，实数a 的取值范围是24a ≤≤，即[]2,4a ∈．4 直线与坐标轴围成的三角形面积1（2022·江苏·高二）过点(1,1)P 作直线l ，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l 有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】由题意设直线l 的方程为1x y a b +=，直线过(1,1)P ，则111a b+=，直线与坐标轴的交点为()(),0,0,a b , 又142S ab ==，8ab =±， 111a b a abb ++==，a b ab +=，8ab =时，8a b +=，由88a b ab +=⎧⎨=⎩， 得44a b ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩44a b ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8ab =-时，8a b +=-，由88a b ab +=-⎧⎨=-⎩， 得44a b ⎧=-+⎪⎨=--⎪⎩或44a b ⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩，所以直线l 共有4条． 故选：D ．2．（2021·湖南·长郡中学高二阶段练习）过点()1,3的直线分别交x 轴正半轴和y 轴正半轴于点A 、B ，则AOB （O 为原点）面积的最小值为________.【答案】6【解析】设点(),0A a 、()0,B b ，其中0a >且0b >，则直线AB 的方程为1x ya b+=，由已知可得131a b +=，由基本不等式可得131a b +=≥12ab ≥， 当且仅当2a =，6b =时，等号成立，故162AOB S ab =≥△. 故答案为：6.3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l 的方程为：()()()212430m x m y m ++-+-=． (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求1l 的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)240x y ++=【解析】(1)证明：原方程整理得：()23240x y m x y --+++=．由230240x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得12x y =-⎧⎨=-⎩，∴不论m 为何值，直线必过定点()1,2M --(2)解：设直线1l 的方程为()12(0)y k x k =+-<． 令20k y x k-==-，，令02x y k ==-，．()121412444222k S k k k k ⎛⎫-⎡⎤∴=-=-++≥= ⎪⎢⎥ ⎪--⎣⎦⎝⎭． 当且仅当4k k-=-，即2k =-时，三角形面积最小． 则1l 的方程为240x y ++=．4．（2022·江苏·高二）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，求： (1)直线l 与坐标轴围成面积的最小值及此时直线l 的方程； (2)直线l 与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l 的方程． 【答案】(1)6；360x y +-=.(2)4+1=. 【解析】(1)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以131a b =+≥12ab ≥，当且仅当2,6a b ==时，等号成立， 所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积1112622ab ≥⨯=，所以直线l 与坐标轴围成面积的最小值为6，此时直线:126x yl +=，即360x y +-=.(2)设直线:1x yl a b +=(0,0)a b >>，则131a b+=，所以13()()a b a b a b +=++=3444b a a b ++≥+=+当且仅当1a =33b 时，等号成立.此时直线l 1=. 5 直线的综合运用1．（2022·江苏·高二课时练习）不论实数m 为怎样的实数，直线()1(21)5m x m y m -+-=-（ ） A ．互相平行B ．都经过一个定点C ．其中某一条直线与另两条直线垂直D ．其中不可能存在两条直线互相垂直 【答案】B【解析】直线方程整理为：(21)50m x y x y +---+=，由21050x y x y +-=⎧⎨--+=⎩，得94x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点(9,4)-，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B ．2．（2021·江苏·常州市第一中学高二期中）（多选）已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点【答案】BD【解析】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解100x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点(0,1)-，故B 正确；对C ，当12k =-时，21111:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C 错误；对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD3．（2022·江苏·高二课时练习）（多选）已知直线l 过点(P ，且与x 轴和y 轴围成一个内角为6π的直角三角形，则满足条件的直线l 的方程可以是（ ）A ．)1y x -B ．)1y x -=-C ．)1y x -D ．)1y x -【答案】ABC【解析】由题意，直线l 的倾斜角可以是6π或3π或56π或23π，所以直线l 的斜率6tanπk ==或tan 3k π=5tan 6k π==2tan 3k π==所以直线l 的方程可以为1)y x -或1)y x -或 1)y x -或1)y x -，由1)y x -，整理得y =，此时直线过原点，无法与x 轴和y 轴围成直角三角形. 故选：ABC.。

1.5 全称量词与存在量词思维导图新课标要求1.全称量词与存在量词通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。

2.全称量词命题与存在量词命题的否定①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。

②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。

知识梳理1.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．2.全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x 。

全称命题的否定是特称命题。

特称命题p ：x ∃∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∀∈M ，()p x 。

特称命题的否定是全称命题。

名师导学知识点1 全称命题、特称命题的判断1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．2.判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．(2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．【例1-1】（2022·湖南·高一课时练习）下列命题中为全称量词命题的是（）A．有些实数没有倒数B．矩形都有外接圆C．存在一个实数与它的相反数的和为0D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】解：对于A，含有存在量词有些，为存在量词命题；对于B，含有全称量词都有，为全称量词命题；对于C，含有存在量词存在一个，为存在量词命题；对于D，含有存在量词有一条，为存在量词命题.故选：B.【例1-2】（2021·江苏·高一课时练习）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断真假．（1）实数都能写成小数形式；（2）存在实数m，n，使m－n＝1.【解】（1）∀x∈R，x能写成小数形式．因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题．（2）∃m，n∈R，m－n＝1.当m＝2，n＝1时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．【变式训练1-1】（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校高一阶段练习）下列命题为存在量词命题的是（）0,5A．某些二次函数的图象与y轴有交点()B．正方体都是长方体C．不平行的两条直线都是相交直线D．存在实数大于或等于2【答案】AD【解析】由题意，选项A ，D 中研究的是部分二次函数和实数的性质； 选项B ，C 中研究的是全部正方体和不平行的两条直线的性质 根据全称量词和存在量词的定义，可知AD 为存在量词命题 故选：AD【变式训练1-2】（2021·江苏·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．（1）有的质数是偶数； （2）所有的质数都是奇数； （3）负数的平方是正数；（4）每一个多边形的外角和都是360°. 【解】（1）“有的”是存在量词，故命题为存在量词命题； （2）“所有的”是全称量词，故命题为全称量词命题； （3）题中指“所有的”负数，故命题为全称量词命题； （4）“每一个”是全称量词，故命题为全称量词命题.故答案为：（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题.知识点2 全称量词命题与存在量词命题的否定全称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p(x)，它的否定：∃x ∈M ，()p x ⌝．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p ：∃x ∈M ，p(x)，它的否定：∀x ∈M ，()p x ⌝．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．【例2-1】（2022·江苏南通·高一期末）命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是（ ） A ．1x ∃≥，21x < B ．1x ∃<，21x ≥ C ．1x ∃≥，21x ≥ D ．1x ∃<，21x <【答案】A 【解析】因为用存在量词否定全称命题，所以命题“1x ∀≥，21x ≥”的否定是“1x ∃≥，21x <”. 故选：A【例2-2】（2022·浙江浙江·高一期中）0x ∃>，12x x+>的否定是___________． 【答案】0x ∀>，12x x+≤ 【解析】解：因为0x ∃>，12x x+>是存在量词命题， 所以其否定是全称量词命题，即0x ∀>，12x x+≤， 故答案为：0x ∀>，12x x+≤. 【变式训练2-1】（2022·安徽阜阳·高一期中）命题“1x ∀>，都有220x ->”的否定是（ ） A ．1x ∀>，都有220x -≤ B ．1x ∀>，都有220x -> C ．1x ∃≤，使得220x -≤ D ．1x ∃>， 使得220x -≤【答案】D 【解析】命题“1x ∀>，都有220x ->”的否定是“1x ∃>， 使得220x -≤” 故选：D【变式训练2-2】（2021·湖北孝感·高一期中）命题“0x ∃>，01xx <-”的否定是（ ） A ．0x ∃>，01xx ≥- B ．0x ∀>，01xx <- C ．0x ∃≤，01xx <- D ．0x ∀>，01xx ≥- 【答案】D 【解析】由特称命题的否定知原命题的否定为：0x ∀>，01xx ≥-. 故选：D.【变式训练2-3】（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）写出下列命题p 的否定，并判断其真假. (1)p ：R x ∃∈，21x =.(2)p ：不论m 取何实数，方程210x mx +-=必有实数根. (3)p ：有的三角形的三条边相等.(4)p ：等腰梯形的对角线垂直．【解】(1)解：p ：R x ∃∈，21x =；所以p ⌝：R x ∀∈，21x ≠； 显然当1x =±时21x =，即p ⌝为假命题．(2)解：p ：不论m 取何实数值，方程210x mx +-=必有实数根； 所以p ⌝：存在一个实数m ，方程210x mx +-=没有实数根；若方程没有实数根，则判别式240m ∆=+<，此时不等式无解，即p ⌝为假命题． (3)解：p ：有的三角形的三条边相等；p ⌝：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题．正三角形的三条边相等，则命题p 是真命题，所以p ⌝是假命题．(4)解：p ：等腰梯形的对角线垂直；则p 是假命题， 所以p ⌝：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，p 是假命题，p ∴⌝是真命题．知识点3 全称量词命题与存在量词命题的综合应用（难点）1.依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．(2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围． 2.求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x ∈M ，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y 的最大值(或最小值)，即a>y max (或a<y min )．(2)对于存在量词命题“∃x ∈M ，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y 的最小值(或最大值)，即a>y min (或a<y max )．【例3-1】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅，若命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围． 解 由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题， 所以B ⊆A ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3. 延伸探究1．把本例中命题p 改为“∃x ∈A ，x ∈B ”，求m 的取值范围． 解 p 为真，则A ∩B ≠∅，因为B ≠∅，所以m ≥2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤m ＋1≤5，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2m －1≤5，m ≥2，解得2≤m ≤4.2．把本例中的命题p 改为“∀x ∈A ，x ∈B ”，是否存在实数m ，使命题p 是真命题？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由． 解 由于命题p ：“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题， 所以A ⊆B ，B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，解得m ∈∅，所以不存在实数m ，使命题p 是真命题．【例3-2】已知命题p ：∀x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立．求实数m 的取值范围． 解 令y ＝x 2＋4x －1，x ∈R ，则y ＝(x ＋2)2－5≥－5， 因为∀x ∈R ，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立， 所以只要m <－5即可．所以所求m 的取值范围是{m |m <－5}． 延伸探究1．把本例中的条件变为：“存在实数x ，使不等式－x 2＋4x －1>m 有解”，求实数m 的取值范围．解 令y ＝－x 2＋4x －1，因为y ＝－x 2＋4x －1＝－(x －2)2＋3≤3， 又因为∃x ∈R ，－x 2＋4x －1>m 有解， 所以只要m 小于函数的最大值即可， 所以所求m 的取值范围是{m |m <3}．2．把本例中的条件“∀x ∈R ”改为“∀x ≥1”，求实数m 的取值范围． 解 令y ＝x 2＋4x －1，x ≥1， 则y ＝(x ＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4， 因为∀x ≥1，不等式x 2＋4x －1>m 恒成立， 所以只要m <4即可．所以所求m 的取值范围是{m |m <4}．【变式训练3-1】（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知“2,0x x a ∀∈-R ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}0a a ∣B ．{0}aa <∣ C ．{0}aa >∣ D ．{}0aa ∣【答案】A 【解析】命题“2,0x x a ∀∈-R ”是真命题，即2a x 恒成立，得0a . 故选：A【变式训练3-2】（2021·广东·广州市培英中学高一阶段练习）已知命题:{|13}p x x x ∀∈≤≤，0x a -≥，若命题p 是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{|1}a a <B ．{|3}a a >C ．{|1}a a ≤D ．{|}3a a ≥【答案】C【解析】由题意，p 是真命题，则13{|}x x x ∀∈≤≤，0x a -≥ 即min ()1a x ≤=则实数a 的取值范围是{|1}a a ≤ 故选：C【变式训练3-3】（多选）（2021·江西·高一期中）命题:p x ∃∈R ，210x bx ++是假命题，则实数b 的值可能是（ ） A ．94-B ．32-C ．1-D ．12-【答案】BCD【解析】由:p x ∃∈R ，210x bx ++，得:p x ⌝∀∈R ，210x bx ++>.由于命题p 是假命题，所以p ⌝是真命题，所以210x bx ++>在x ∈R 时恒成立，则240b ∆=-<，解得22b -<<.故选：BCD.【变式训练3-4】2021·河北·承德市双滦区实验中学高一期中）解答： (1)已知命题p ：“x R ∀∈，2230ax x ++≥”是真命题，求实数a 的取值范围； (2)已知命题q ：“x ∃满足12x ≤≤，使220x x a ++≥”为真命题，求实数a 的范围. 【解析】(1)命题p 为真命题，即2230ax x ++≥在R 上恒成立. ①当0a =时，不等式为230x +≥显然不能恒成立；②当0a ≠时，由不等式恒成立可知202430a a >⎧⎨∆=-⨯⨯≤⎩即013a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩ 所以13a ≥；综上，a 的取值范围是13a ≥；(2)当12x ≤≤时，由()22211y x x x =+=+-，当1x =时，函数的最小值3， 当2x =时，函数有最大值8，2328x x ≤+≤，由题意有80a +≥，所以8a ≥-.【变式训练3-5】（2021·黑龙江·哈尔滨市呼兰区第九中学高一阶段练习）从两个符号“∀”“∃”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题.已知集合56{|}A x x =≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若命题：①x A ∈，则x B ∈是真命题，求m 的取值范围. 【解】解：由已知集合56{|}A x x =≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-， 若选∀，则“x A ∀∈，则x B ∈”是真命题，则A B ⊆，所以15216m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得742m ≤≤；若选∃，则p ：“x A ∃∈，满足x B ∈”是真命题，若p ⌝即“x A ∀∈，则x B ∉”为真命题，则121m m +>-，或12116m m m +≤-⎧⎨+>⎩，或121215m m m +≤-⎧⎨-<⎩，解得3m <，或5m >，故若p 为真，只需35m ≤≤名师导练A 组-[应知应会]1．（2021·山东临沂·高一期中）下列命题中，是全称量词命题的是（ ） A ．R x ∃∈，20x ≤B ．当3a =时，函数()f x ax b =+是增函数C ．存在平行四边形的对边不平行D ．平行四边形都不是正方形 【答案】D 【解析】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个.A C 选项含有存在量词：存在，所以是特称命题，B 选项存在一个3a =使得函数是增函数， 所以B 选项也是特称命题. D 选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称命题. 故选：D.2．（2022·安徽·高一期中）已知命题:,0p x R x x ∀∈+>，则p 的否定为（ ） A ．,0x R x x ∀∈+≤ B ．,0x R x x ∃∈+<C ．,0x R x x ∃∈+≤D ．,0x R x x ∀∈+< 【答案】C【解析】:,0p x R x x ∀∈+>的否定为,0x R x x ∃∈+≤，故选：C3．（2021·河南南阳·高一阶段练习）下列命题中，是全称命题又是真命题的是（ ） A ．对任意的,a b ∈R ，都有222220a b a b +--+< B ．菱形的两条对角线相等C ．0x R ∃∈200x x =D ．一次函数在R 上是单调函数 【答案】D 【解析】选项A ，含有全称量词“任意”，因为2222222(1)(1)0a b a b a b +--+=-+-≥，所以A 是假命题；选项B ，叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不相等，所以B 是假命题；选项C ，是特称命题；选项D ，叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”， 一次函数在R 上或为增函数，或为减函数，故D 是真命题. 故选：D4．（2021·辽宁·高一期末）已知命题：“x R ∀∈，方程240x x a ++=有解”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．4a ≤C ．4a >D ．4a ≥【答案】B 【解析】“x R ∀∈，方程240x x a ++=有解”是真命题，故1640a ∆=-≥，解得：4a ≤， 故选：B5．（多选）（2021·河南·范县第一中学高一期中）下列命题中，是全称量词命题的有（ ） A ．至少有一个x 使x 2＋2x ＋1＝0成立 B ．对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0成立 C ．对任意的x 都有x 2＋2x ＋1＝0不成立 D ．存在x 使x 2＋2x ＋1＝0成立 【答案】BC 【解析】A 和D 用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题，B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题， ∴B 、C 是全称量词命题. 故选：BC.6．（多选）（2021·湖南·长郡中学高一期中）下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( )A ．x ∃∈R ，2210x x -+<B ．有的矩形不是平行四边形C ．x ∃∈R ，2220x x ++≥D ．x ∀∈R ，330x +≠【答案】AB 【解析】ABC 均为存在量词命题，D 不是存在量词命题，故D 错误， 选项A ：因为2221(1)0x x x +=-≥-，所以命题为假命题； 选项B ：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C ：2222(1)10x x x ++=++>，故命题为真命题，故C 错误， 故选:AB ．7．（多选）（2021·湖南·长沙一中高一期中）下列命题中正确的是（ ） A ．已知集合,M P 满足命题“1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P ⊆B ．已知集合,M P 满足命题“221212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，则M P ⊆C ．已知集合M 满足命题“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，则{}12M x x ⊆-<<D ．已知集合M 满足命题“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，则{}02M x x ⊆<< 【答案】AD 【解析】A ， “1212,,0x M x P x x ∀∈∃∈-=”为真命题，21x x =,则M P ⊆，A 正确.B ，“()()2212121212,,0x M x P x x x x x x ∀∈∃∈-=+-=”为真命题，21x x =或21x x =-，所以,M P不一定有包含关系，B 错误.C ，“2,2x M x x ∃∈-<”为真命题，()()22210,12x x x x x --=-+<-<<，如R M =符合，所以C 错误.D ，“,11x M x ∃∈-≥”为假命题，“,11x M x ∀∈-<”为真命题，111x -<-<，02x <<，则{}02M x x ⊆<<，D 正确.故选：AD8．（2021·全国·高一课时练习）下列语句是全称量词命题的是______（填序号）． ①有的无理数的平方是有理数； ②有的无理数的平方不是有理数；③对于任意x ∈Z ，21x +是奇数；④存在x ∈R ，21x +是奇数．【答案】③【解析】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以①②④均为存在量词命题，③为全称量词命题．故答案为：③9．（2022·广东茂名·高一期中）命题“3x ∀<-，223x x +>”的否定是___________．【答案】3x ∃<-，223x x +≤【解析】命题“3x ∀<-，223x x +>”的否定是： 3x ∃<-，223x x +≤.故答案为：3x ∃<-，223x x +≤.10．（2022·贵州铜仁·高一期末）若命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，则实数a 的取值范围是___________.【答案】21a -<<【解析】解：因为命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，所以2,220x R x ax a ∀∈++-≠，所以222=44(2)4480,20,21a a a a a a a ∆--=+-<∴+-<∴-<<.故答案为：21a -<<11．（2021·全国·高一课时练习）指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。