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概率论中的随机事件及概率的定义及计算在概率论中，随机事件是指一个结果是不确定的事件，例如掷骰子的结果、抽奖的结果、病人是否能成功治愈等。
通过对随机事件的概率进行计算，我们可以预测它们发生的可能性大小，从而对未来的结果进行预测和控制。
随机事件的概率定义在概率论中，随机事件的概率定义为该事件在所有可能结果中出现的比例。
例如，在掷一次骰子时，获得6面的概率为1/6，因为6面是6个可能结果中的一个。
概率的计算方法一般来说，概率的计算方法有两种：相对频率方法和古典概型方法。
1. 相对频率方法相对频率方法是指通过实验来计算概率。
具体来说，我们可以对随机事件进行多次实验，然后统计该事件发生的次数与实验总次数之比。
例如，如果我们想要计算投掷骰子获得6面的概率，我们可以对骰子进行大量实验，并记录6面出现的次数。
然后，我们可以计算该事件发生的次数与实验总次数之比，即得到6面出现的概率。
2. 古典概型方法古典概型方法是指对于已知的固定有限集合，每个结果的概率相等时，对随机事件进行计算。
例如，对于投掷一枚骰子的情况，我们可以通过以下公式计算获得特定面的概率：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)是事件E中有利结果的数量，n(S)是样本空间中的所有结果数。
概率的性质在概率论中，概率具有以下几个重要的性质：1. 非负性：概率是非负的，即概率不会小于零。
2. 正则性：所有可能事件的概率之和等于1。
3. 加法性：对于两个不相交事件A和B，它们的概率之和等于它们的并集的概率。
4. 乘法性：对于两个事件A和B，它们的联合概率等于它们各自的概率的积。
总结概率论是应用广泛的一门学科，在许多领域都有着重要的应用，例如统计学、经济学、金融学等。
随机事件及概率的定义和计算方法是概率论中最基础的概念，建立了整个概率论体系的基础。
了解概率论的基本概念和方法，可以帮助我们更好地理解和应用它们，在实际应用中更加准确地估计未来的结果和降低风险。
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
参考书目《随机信号分析》朱华黄辉宁北京理工大学出版社《随机数学》萧树铁主编高等教育出版社《随机过程导论》周荫清编著北京航空航天大学 《随机过程与排队论》王维一编上海交通大学电子工程系授课主要内容第一章、概率论第二章、随机过程第三章、平稳随机过程的谱分析第四章、随机信号通过线性系统分析 第五章、几种常用的随机过程第一章概率论主要内容：论及概率论的基础知识，具体介绍概率空间、条件概率空间、随机变量及其概率分布、随机变量函数的分布、随机变量的数字特征、特征函数等概念，它们是学习以后各章的理论工具。
第一章概率论重点及其要求：（1）随机变量函数的分布，关键是在各种函数变换条件下求出相应的雅可比因子J。
（2）随机变量的数字特征，例如：数学期望、方差、各阶矩的定义和运算性质要熟练掌握；对于随机变量之间的统计独立、不相关、正交应各满足的条件，三者的差别与联系要有明确的认识。
（3）随机变量特征函数的定义和性质，它们与矩的关系，应该能灵活应用。
1.1 概率简述概率空间的定义规定一个试验，所有样本点之集合构成样本空间S,在样本空间中一个样本点或若干个样本点之适当集合F称为事件域，F中的每一集合称为事件。
若A∈F，则P(A)就是事件A的概率，并称这三个实体的结合（S, F,P)为一个概率空间。
1.1 概率简述2.全概率公式设有N个互斥事件B N (n=1,2,…,N),它们的和为整个S，即满足N j i B B ,...,2,1,=≠φ=I j i SBn N =U 则n =1∑==Nn n n B P B A P A P 1)()|()(此式称为全概率公式。
3.贝叶斯公式1.1 概率简述例1某一基本的二元通信系统，由一步发射机和一部接收机组成，如图1.1所示。
发射机经过信道向接收机发送两个符号0或1中的一个符号。
i B 发射机接射机信道i A 元通信系统方框图图1.1 二元通信系统方框图若发送符号1和0的概率分别为0.6和0.4，且条件概率为95.0)|()|(2211==B A P B A P 05.0)|()|(2112==B A P B A P )))))求)|(),|(),|(),|(),(),(2221121121A B P A B P A B P A B P A P A P1.1 概率简述解：由全概率公式得)()|()()|()(2211111B P B A P B P B A P A P +=59.04.005.06.095.0=×+×=)()|()()|()(2221122B P B A P B P B A P A P +=41.04.095.06.005.0=×+×=习题1.写出下列随机试验的样本空间S：1. 写出下列随机试验的样本空间S：a. 同时掷两枚骰子，记录两枚骰子点数之和；b.10件产品中有3件是次品，每次从中取1件，取b. 10件产品中有3件是次品，每次从中取1件，取出后不再放回，直到3件次品全部取出为止，记录抽取的次数；c. 生产某种产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
d. 将一尺之捶折成3段，观察各段的长度。
习题2. 设有一个二进制的数字通信系统，主要由1和0两种符号组成，如下图所示，且求条件概率。
4.0)(,6.0)(21==B P B P 9.0001B 1A 1.01.012B 2A 19.01.2 随机变量及其分布函数（一）随机变量的定义设(S, F,P)是一概率空间。
对于s∈S，X(s)是一个取实数值的单值函数。
若对于任意实数x，{s:X(s)<x}是一随机事件，亦即{s:X(s)<x} ∈F，则称X(s)为随机变量，并将它简{s:X(s)<x}记为X。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母ζ,η等表示而表示随机变量所取的值时,般采用小写字母一般采用小写字母等z y x ,,例2：一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回他不得把卖不出的报纸退回.设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示分析随机变量的表达式表示.解：分析{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}当时，报童赔钱1.0100015.0×<×X 故{报童赔钱}⇔}666{≤X1.2 随机变量及其分布函数（二）离散型随机变量及其分布律随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，称之为离散型随机变量。
离散型随机变量X的概率分布或分布律定义为,...21===n x X P ,,,}{p n n ⎧≥显然有⎪⎨==∑∞1,...2,1,0n n p n p ⎪⎩=1n1.2 随机变量及其分布函数（三）连续型随机变量及其密度函数对于随机变量X,若存在非负函数,且有+∞d )(x f ，使X取值于任意区间(a,b)的概率为∫=<<ba dx x fb X a P )(}{∫∞−∞<dx x f )(称X为连续型随机变量；为X的概率密度，且有如下性质)(x f ⎪⎪⎨⎧=≥∞+1)(0)(dx x f x f ⎩∫∞−1.2 随机变量及其分布函数（四）分布函数及其基本性质1. 分布函数设X是定义在概率空间(S, F ,P)上的一个随机变量，若对于任意的，1R x ∈}:{1+∞<<−∞=x x R 则X的分布函数定义为x X P x F ≤=}{)(对于任意实数a、b(a<b)，有)()(}{a F b F b X a P −=≤<1.2 随机变量及其分布函数2.分布函数F(x)的基本性质1)(0≤≤x F （1）（2）F(x)为x的单调非降函数（3）F(x)是右连续的，即)()0(x F x F =+（4）若X的取值全部在区间(a,b)内，a x ≤则当时，;0)(=x F bx ≥1)(=x F 当时，<0 ,0x习题3. 随机变量X服从柯西分布∞<<∞−+=x Barctgx A x F X ,)(求：（1）系数A和B;(2)落在区间(－1,1)内的概率；（3）X的概率密度。
1.3 多维随机变量及其概率分布（一）二维概率分布及其基本性质设X,Y为定义在同一概率空间(S,设X,Y为定义在同一概率空间(S,F ,P)上的两个随机变量，则(X,Y)称为二维随机变量，其联合分布函数为}其基本性质如下：1,},,{),(R y x y Y x X P y x F XY ∈≤≤=（1）1),(0≤≤y x F XY （2）F (x,y)为变量x或y的单调非降函数XY （3）F XY (x,y)对变量x或y为右连续1.3 多维随机变量及其概率分布若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限或可列无限对时，则称(X,Y)为二维离散随机变量，其概率分布或分布律定义为,...2,1,,)},(),{(===j i p y x Y X P ij j i ∞∞显然其有如下性质：∑∑====≥11,...2,1,,1,0i j ij ij j i p p =p y x F ),(二维离散随机变量(X,Y)的联合分布函数为∑∑<<x x yy ijXY i j1.3 多维随机变量及其概率分布对于(X,Y)的联合分布函数F XY (x,y)，若存在非负的函数f XY (x,y)，使对任意的x,y ∈R 1,有∫∫∞−∞−=x yXY XY dudvv u f y x F ),(),(则称(X,Y)为连续型的二维随机变量，称f XY (x,y)为该(X,Y)的联合概率密度。
1.3 多维随机变量及其概率分布例4. 给定的通信系统通过某一线路传送二元（如0与1）数码。
为方便起见，数码流被分成段（成为字），每个字由相连接的4个数码组成。
实践证明：此线路传送的各个数码皆互相独立的，且每个数码是等可能地取0和1。
现在，线路接收机记下每个字头两位数码出现1的个数及每个字中出现1的总数。
设头两位数码中1的个数用随机变量N 2表示，每个字中1的总数用随机变量N 4示之。
（1）描述一个能定义N 与N 的基本样本空间S。
24（2）确定区域样本空间与，并求出这些空间上的概率分布。
设N为向量其中s是S的任一样本点。
())()()(24s N s N s N =r2N S 4N S （3）确定向量N的范围R N 。
（4）确定由N在R N 上导出的概率分布，并列表示之。
1.3 多维随机变量及其概率分布解（1）对于基本样本空间S，我们列出所有可能出现的四码“字”，如下表。
“字”00000001001000110100010101100111N 000011112N 41121 1 223“字”10001001101010111100110111101111N 2N 11121213222323244因为每个数码是等可能地取0和1,故所有16个可能的字皆为等概率的，即：其中某一字出现的概率为1/16。
1.3 多维随机变量及其概率分布例5设(X,Y)的联合概率密度函数⎧+−)(y x ⎩⎨≥≥=其它0,0),(y x e y x f XY 1010∈=<<<<R Y X P x P ]10,10:),[(1<<<<=y x y x R 记求]10,10[<<<<y x P 解：11)(1),(]),[(],[+−==∫∫∫∫dxdyedxdy y x f y y x XY 210)1(−−−−==∫∫e dy e dx e y x1.3 多维随机变量及其概率分布（二）边沿分布二维随机变量(X,Y)具有联合概率分布函数F XY (x,y),而随机变量X、Y各自具有分布函数F X (x)、F Y (y)，称F X (x)、F Y (y)为该(X,Y)关于X、Y的边沿分布函数。
边沿分布函数可由联合分布函数来确定)(),(x F x F X XY =∞)(),(y F y F Y XY =∞1.3 多维随机变量及其概率分布对于连续型随机变量(X,Y)，可分别得到X,Y的边沿概率+∞d密度∫∫∞+∞−∞−==dxy x f y f dy y x f x f XY Y XY X ),()(),()(对于概率函数的二维离散随机},{j i ij y Y x X p p ===变量(X,Y),有∑∞∞======⋅1,...2,1),(}{),(),(j i X i i x P x X P j i p i p ∑======⋅1,...2,1),(}{),(),(i j Y j j y P y Y P j i p j p 为(X,Y)关X,Y的边沿概率函数。
