线性规划的应用

运筹学应⽤例题线性规划在⼯商管理中的应⽤⼀、⼈⼒资源分配的问题例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务⼈员⼈数如下表所⽰：设司机和乘务⼈员分别在各时间段开始时上班；并连续⼯作8⼩时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务⼈员，既能满⾜⼯作需要，⼜使配备司机和乘务⼈员的⼈数最少？例2 ⼀家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如下表所⽰：为了保证售货员充分休息，要求售货员每周⼯作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货员的休息⽇期，既能满⾜⼯作需要，⼜使配备的售货员的⼈数最少？⼆、⽣产计划问题例3 某公司⾯临⼀个是外包协作还是⾃⾏⽣产的问题。

该公司有甲、⼄、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机械加⼯和装配三道⼯序。

甲、⼄两种产品的铸件可以外包协作，亦可以⾃⾏⽣产，但产品丙必须由本⼚铸造才能保证质量。

有关情况如下表所⽰，公司中可利⽤的总⼯时为：铸造8000⼩时，机械加⼯12000⼩时和装配10000⼩时。

为了获得最⼤利润，甲、⼄、丙三种产品各应⽣产多少件？甲、⼄两种产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外包协作？三、套裁下料问题例4 某⼯⼚要做100套钢架，每套钢架需要长度分别为2.9⽶、2.1⽶、和1.5⽶的圆钢各⼀根。

已知原料每根长7.4⽶，问应如何下料，可使所⽤原料最省？四、配料问题例5某⼯⼚要⽤三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、⼄、丙，产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价如下表所⽰：问该⼚应如何安排⽣产，才能使利润最⼤？五、投资问题例6 某部门现有资⾦200万元，今后五年内考虑给以下的项⽬投资：项⽬A ：从第⼀年到第五年每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项⽬B ：从第⼀年到第四年每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最⼤投资额不能超过30万元；项⽬C ：第三年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定每年最⼤投资额不能超过80万元；项⽬D ：第⼆年初需要投资，到第五年末能收回本利155%，但规定每年最⼤投资额不能超过100万元。

第3章线性规划模型的应用1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。

乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。

丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。

三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。

又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。

试求企业的最优生产计划。

解：首先将问题中的数据表示到如下表格：imaxZ=300x1+200x2+100x317x1+10x2+2x3≤10008x1+4x2+2x3≤500x1≤50x2≤80x3≤150x1,x2,x3≥02. 某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是3.25%~5.5%。

目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。

这些炉料的价格是：锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。

这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。

表3.22成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下：设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下：maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4x1+x2+x3+x4=100.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*104%x1+1%x2+0. 5%x3≥3.25%*104%x1+1%x2+0. 5%x3≤5.5%*10xi≥0（i=1，2，3，4）3. 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。

已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。

解：4. 绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。

这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。

产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。

高三线性规划知识点线性规划是高中数学中的一个重要知识点，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将全面介绍高三线性规划的相关知识，包括定义、基本概念、解题步骤以及一些典型例题。

一、线性规划的定义线性规划是一种数学模型，用于求解一个线性函数在一组线性约束条件下的最优值。

在实际生活中，我们常常需要在一定的条件下寻找最优解，例如：生产成本最小、收益最大、资源利用最佳等等。

线性规划通过建立数学模型，帮助我们找到最优解。

二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标通常是最大化或最小化一个线性函数。

这个函数被称为目标函数，记作Z。

2. 线性约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式，限制了变量的取值范围。

3. 变量：线性规划的变量是我们要求解的未知数，可以用任意字母表示。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解的集合称为可行域。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取到最大值或最小值的解称为最优解。

三、线性规划的解题步骤1. 建立数学模型：根据问题的描述，将目标函数和约束条件用代数式表示出来。

2. 确定可行域：将约束条件化为不等式形式，并将它们表示在坐标系中，找出它们的交集，确定可行域的范围。

3. 确定最优解：在可行域内寻找目标函数的极值点，得出最优解。

4. 检验最优解：将最优解代入原问题中，检验是否满足所有约束条件。

四、典型例题例题1：某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品每吨利润为1000元，乙产品每吨利润为1200元。

已知生产一吨甲产品需要材料A 30千克，材料B 10千克；生产一吨乙产品需要材料A 20千克，材料B 40千克。

工厂每天可以使用材料A 600千克，材料B 200千克。

问如何安排生产，使得利润最大化？解：首先，我们定义两个变量x和y，分别表示甲、乙产品的生产量（吨）。

目标函数Z表示利润的最大值，即Z=1000x+1200y。

约束条件如下：30x+20y ≤ 60010x+40y ≤ 200x，y ≥ 0我们可以将该问题转化为图形解法，将约束条件绘制在坐标系中，确定可行域的范围。

高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一个重要内容，它是线性代数的一部分，主要涉及到线性方程组的解法和应用。

线性规划是一种优化问题，通过数学模型和计算方法，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值。

在实际应用中，线性规划可以用于资源分配、生产计划、投资决策等方面。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行解。

目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，约束条件是限制变量取值范围的线性不等式或等式，可行解是满足所有约束条件的变量取值组合。

二、线性规划的解法线性规划的解法主要有图形法、单纯形法和对偶理论等。

其中，图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解。

单纯形法是一种迭代计算方法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。

对偶理论是线性规划的一个重要理论基础，通过对原始问题和对偶问题的转化和求解，可以得到最优解。

三、线性规划的应用案例1. 资源分配问题：某公司有限定的人力和物力资源，需要合理安排生产计划，以最大化利润。

通过线性规划，可以确定各项生产任务的分配比例，使得总利润最大化。

2. 投资决策问题：某投资者有一定的资金，希望通过投资股票和债券来获取最大的回报。

通过线性规划，可以确定投资比例，使得预期收益最大化。

3. 运输问题：某物流公司需要将货物从多个仓库运送到多个客户处，希望通过合理的运输方案，使得运输成本最小。

通过线性规划，可以确定货物的运输路径和运输量，使得总运输成本最小化。

四、线性规划的局限性线性规划在实际应用中存在一定的局限性。

首先，线性规划的模型假设目标函数和约束条件均为线性关系，但实际问题中往往存在非线性关系。

其次，线性规划的解法可能存在多个最优解或无解的情况，需要结合实际情况进行判断。

此外，线性规划对数据的准确性要求较高，对于不确定性较大的问题，可能需要引入其他方法进行处理。

总结：高中线性规划是数学课程中的一部分，主要涉及到线性方程组的解法和应用。

线性规划知识点总结引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。

它在各种领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。

本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法和应用进行详细阐述。

一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标函数是一个线性函数，用于表示需要最大化或者最小化的目标。

1.2 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性等式或者不等式，用于限制变量的取值范围。

1.3 可行解与最优解：线性规划问题存在无穷多个可行解，但惟独一个最优解，即使满足所有约束条件且使目标函数取得最大（或者最小）值的解。

二、线性规划模型构建2.1 决策变量：线性规划模型中的决策变量是需要优化的变量，可以是实数、整数或者二进制数。

2.2 目标函数的构建：根据问题的具体要求，将目标转化为线性函数的形式，并确定是最大化还是最小化。

2.3 约束条件的建立：根据问题的限制条件，将其转化为线性等式或者不等式的形式，并确定约束条件的数学表达式。

三、线性规划的求解方法3.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

通过绘制约束条件的直线或者曲线，找到目标函数的最优解点。

3.2 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。

通过迭代计算，不断改变基变量和非基变量的取值，直到找到最优解。

3.3 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划法进行求解。

该方法将线性规划问题转化为整数规划问题，并采用分支定界等算法求解最优解。

四、线性规划的应用4.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化产量或者最小化成本。

4.2 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，如确定最佳的人力资源配置、物资采购策略等。

4.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，如确定最佳的货物运输路线和运输量，以降低运输成本。

4.4 金融投资：线性规划可以用于优化金融投资组合，以最大化收益或者最小化风险。

线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性目标函数和线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。

本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z=c1x1+c2x2+...+cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。

2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a1x1+a2x2+...+anxn≤b，其中ai为系数，b为常数。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

三、模型建立1. 决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，例如生产数量、销售数量等。

2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的形式，并确定系数。

3. 约束条件：根据问题要求确定约束条件的形式，并确定系数和常数。

4. 非负约束：线性规划中的决策变量通常要求非负，即xi≥0。

四、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线来求解最优解。

2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整基变量和非基变量的取值，逐步接近最优解。

3. 整数规划：当决策变量需要为整数时，可以使用整数规划方法进行求解。

整数规划通常比线性规划更加复杂，求解时间也更长。

五、应用案例1. 生产计划：某公司有两种产品A和B，每单位产品A需要2小时加工时间和3小时装配时间，每单位产品B需要1小时加工时间和2小时装配时间。

公司每天有8小时的加工时间和10小时的装配时间可用。

产品A的利润为100元，产品B 的利润为80元。

如何安排生产计划，使利润最大化？2. 资源分配：某公司有三个项目需要分配资源，每个项目需要的资源量不同。

第七届新世纪杯参评论文研究性学习——线性规划的实际应用天津一中高二数学备课组: 吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林申报人姓名:天津一中高二数学备课申报学科:数学学科联系方式:(天津一中高二数学备课组)研究性学习——线性规划的实际应用高二备课组: 吉学静、牛美娜、庞湃、何强、魏春晓、李俊山、顾若政、董楠、付善林摘要本文就是在学生掌握简单的线性规划知识的基础上,结合教材课程安排布置数学研究性学习作业,目的就是对某些数学问题的探讨或者从数学角度对某些日常生活中与其它学科中出现的问题进行研究,充分体现教育新理念——以学生发展为本,调动学生自主学习的积极性与团结协作的意识,使学生注意体验数学活动的过程,以培养学生的创新精神与应用能力。

序言:《研究性学习与实习作业:线性规划的实际应用》就是在学习了“简单的线性规划”之后,安排的一节研究性的活动与实习课。

这就是高二(上)的一节研究性活动课,体现出它的独特地位。

线性规划就是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,就是一门研究如何使用最少的人力,物力去最优地完成任务,它就是解决科学研究、工程设计、经济管理、生产实践等许多方面的实际问题的专门科学。

由于它可以为我们提供最合乎经济原则的科学工作方法,因此在当前知识经济的潮流中,能发挥出越来越重要的作用。

虽然中学数学讲的线性规划就是一些简单初步的知识,但在实际工作中的很多地方都能找到它的应用。

按照教材的课程安排,我们结合学生的实际情况让高二年级同学充分利用“十一”长假的机会进行社会实践,又通过学生自主学习,通过报刊、书籍及其它媒体获取有关资料确定研究主题,用线性规划的知识,在实际问题中提炼数学模型进行分析,独立或合作写出的研究报告。

目的在于启发学生体会与领悟其中的数学思想与方法,提高学生的综合素质、能力与培养学生树立知识的纵横联系、交叉、融合、渗透的学习意识,提高学生用数学知识解决实际问题的能力。

密封线线性规划的实际应用摘要线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。

本文应用线性规划模型，以某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使造价最低为目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性规划模型的建立方法，并分别通过单纯形法和MATLAB软件进行求解。

关键词线性规划模型单纯形法 MATLAB一、专著背景简介《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广Lagrange方法、非线性半定规划的增广Lagrange方法、非线性二阶锥优化的增广Lagrange方法以及整数规划的Lagrange松弛方法。

《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和算法论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。

最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。

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