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概率论与随机过程6.3

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北邮概率论与随机过程笔记

北邮概率论与随机过程笔记

北邮概率论与随机过程笔记北邮概率论与随机过程笔记第一章绪论1.1 概率论的起源与发展1.2 概率的基本概念1.3 概率论的应用领域1.4 随机过程的起源与发展1.5 随机过程的基本概念1.6 随机过程的应用领域第二章概率论的基本概念2.1 随机试验与随机事件2.2 频率与概率2.3 古典概型2.4 贝叶斯概型2.5 随机变量2.6 随机变量的函数及其分布2.7 条件概率与条件分布2.8 独立性第三章随机变量及其分布3.1 离散型随机变量及其分布3.2 连续型随机变量及其分布3.3 随机变量的数学期望3.4 随机变量的方差与标准差3.5 随机变量的矩与生成函数3.6 概率母函数与特征函数3.7 大数定律与中心极限定理第四章多维随机变量及其分布4.1 多维随机变量及其分布函数4.2 联合分布函数与边缘分布函数4.3 多维离散型随机变量的分布4.4 多维连续型随机变量的密度4.5 条件分布与独立性4.6 随机变量的矩与协方差矩阵4.7 多维随机变量的生成函数与特征函数第五章数理统计基本概念5.1 数理统计的概念与作用5.2 参数估计与假设检验5.3 点估计与区间估计5.4 最大似然估计5.5 矩估计5.6 假设检验5.7 重要的假设检验第六章随机过程基本概念6.1 随机过程的概念与分类6.2 随机过程的样本函数与轨道6.3 随机过程的数学描述6.4 平稳性与各态平衡性6.5 随机过程的独立增量性与平稳增量性第七章随机过程的数学描述7.1 随机过程的数学描述7.2 随机过程的分布函数、密度函数与生成函数7.3 平稳随机过程的均值序列与相关函数7.4 广义平稳随机过程7.5 随机过程的协方差函数与自相关函数7.6 平稳随机过程的功率谱第八章马尔可夫链8.1 马尔可夫链的概念8.2 马尔可夫链的数学描述8.3 长期行为与不可约性8.4 平稳分布与转移概率矩阵8.5 极限分布与转移概率8.6 马尔可夫链的细致平衡方程第九章扩散过程9.1 扩散过程的概念与分类9.2 布朗运动与维纳过程9.3 平稳扩散过程与布朗桥9.4 非平稳扩散过程9.5 随机微分方程及其应用第十章随机过程的数值计算10.1 随机过程的模拟方法10.2 马尔可夫链模拟10.3 扩散过程的数值模拟第十一章随机过程的应用11.1 队列论与排队模型11.2 信道容量与信息论11.3 金融工程与随机过程11.4 生物与生态系统中的随机过程11.5 电力系统中的随机过程第十二章最优控制问题12.1 动态规划问题与最优控制12.2 马尔可夫控制问题12.3 黑塞矩阵与二次型控制问题第十三章随机过程的其他扩展13.1 小波分析与随机过程13.2 分数阶随机过程13.3 非高斯与非马尔可夫随机过程总结：北邮的概率论与随机过程课程涵盖了概率论和随机过程的基础知识和应用，对于理解随机现象和建立数学模型具有重要的意义。

概率论与随机过程

概率论与随机过程

概率论与随机过程介绍概率论与随机过程是数学中的一个重要分支，研究随机现象的数学理论。

它的应用广泛，涉及到统计学、物理学、经济学等多个领域。

本文将对概率论与随机过程进行详细的介绍和解释，并讨论其在实际应用中的重要性。

概率论概率的定义概率是描述一个事件发生的可能性的数值。

在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

随机变量在概率论中，随机变量是对随机现象的数学模型。

它是一个取值不确定的变量，可以对其进行概率分析和推理。

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。

离散随机变量的取值为有限个或可数个，而连续随机变量的取值为一个区间内的任意实数。

概率分布函数概率分布函数是描述随机变量取值的概率分布的函数。

对于离散随机变量，概率分布函数用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来表示，而对于连续随机变量，概率分布函数用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来表示。

概率分布函数可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。

期望值和方差在概率论中，期望值和方差是衡量随机变量分布特征的重要指标。

期望值表示随机变量在长期观察下的平均值，而方差则表示随机变量取值与其平均值之间的离散程度。

期望值和方差可以帮助我们理解和描述随机变量的分布特征。

随机过程随机过程的定义随机过程是一系列随机变量的集合，它描述了随机现象在时间上的演化过程。

随机过程可以用来建立和分析时间序列数据的数学模型。

随机过程的定义包括一个状态空间和一个时间集合，以及描述随机变量之间关系的概率分布函数。

马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程中一个重要的性质，它指出在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去的状态无关。

具有马尔可夫性质的随机过程可以大大简化概率分析的过程，并且在实际应用中具有广泛的应用。

随机过程-第六章 鞅与停时

随机过程-第六章 鞅与停时

E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ） 设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服 从 独 立 同 分 布 ， 且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数， 则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ； （2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 均等。 对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球， 则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次 抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令

概率论与随机过程

概率论与随机过程

Aab N
AN a1 AN2 a! b!
(aAN abb)!CN a1 CN b2
Cab N
方法二：
P(A )CN a1CN b2(ab)!CN a1CN b2
A ab N
Cab N
第十页，共36页
[放回抽样] 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间
的样本点数：Na+b
由乘法、加法原理，A所含样本点数为:（分析同（2））
第十三页，共36页
（三）随机取数
例：1—N个数字任取k个数字，一个一个的取，取后放回， 求： （1）A：k个数字完全不同； （2）B：不含1，2，……，N中指定的r 个数字； （3）C：某指定的数字恰好出现m（≤ k）次; （4）D：k个数字中最大数恰好为M。 解：试验为从1，2，……，N个数中有放回地依次取k个 数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此 基本事件总数为Nk。
第三页，共36页
二、古典概型概率的定义
1．定义
若试验E具有特点 （1）试验的样本空间的元素只有有限个,比如n个，样本空 间表示为={e1,e2,…,en}； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同．
则称试验E为古典概型（或等可能概型）． 概率的计算：若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为
，且A含有k个样本点．则事件A的概率就是
第十四页，共36页
（1）因k个数字完全不同，实际为不重复的排列!
P(A)
CNk k! Nk
(2) 同理
P(B) (Nr)k Nk
(3) 同理
P(C)Ckm(N1)km Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最大
数不大于M-1的取法有(M-1)k种。

(高等数学)概率统计与随机过程

(高等数学)概率统计与随机过程

λk
k!
e −λ
式中 λ = np。
二、
随机变量与分布函数
[随机变量及其概率分布函数]
每次试验的结果可以用一个变量 ξ 的数值来表示，这个变量的
取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用 ξ ,η ,···表示。 它是随机现象的数量比。 给定随机变量 ξ ，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 P( ξ ≤ x)是 x 的函数，称为 ξ 的概率分 布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P( ξ ≤ x ) [分布函数的基本性质] 1° lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1
f ( xk ) ≤ x
∑p
k
当 ξ 是连续型随机变量时 ，其分布密度为 p(x)，则 G(x)=
∫
f ( y )≤ x
p( y) d y
[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]
如果 ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n 联系于同一组条件下的 n 个随机
变量，则称 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n )为 n 维随机变量或随机矢量。 若(x1 , x2 ,···，xn)是n维实数空间Rn上的一点，则事件“ ξ1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x2 , ···, ξ n ≤ x n 的概率 F ( x1 , x 2 , L, x n ) = P(ξ 1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x 2 , L , ξ n ≤ x n ) 作为x1 , x2 ,···, xn的函数，称为随机矢量 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的联合分布函数。 设 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 是 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 中任意取出 m(m ≤ n) 个分量构成的 m 维随机变量，则称 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的联合分布函数为( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的 m 维边缘分布函数。 这 时 ， 如 果 分 别 记 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 与 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的 分 布 函 数 为 F(x1,x2,···,xn) 与

概率论与随机过程第十讲

概率论与随机过程第十讲

2011-11-12
北京邮电大学电子工程学院
11
二维随机过程
定义6.2.2 设(Ω,F, P)为一概率空 间，T为一参数集，
T⊂R(1) ，若{ξ(ω,t), t∈T}和{η(ω,t), t∈T}是定义在(Ω, F, P)上的随机过程，则称{ξ(ω,t), η(ω,t), t∈T}为定义在
(Ω, F, P)上的二维随机过程。
有定义在f的随机变量与之对应长度重量等物理量的状态空间定义中的t是时间长度重量等物理量的并将所有可能的状4是变为定域为函数为该机程例613抛掷一枚硬币的试验例613抛掷t出现h和t的概率均为05定义costt样本空间是sh枚硬币的试验样本空间是shht??当出现当出现cos当出现thxttr??当t固定时xt是一个随机变量当样本点固定时得到两固定时得到两个样本函数costt
f
(θ
)
=
⎧ ⎪ ⎨
1
2π
,θ
∈
(0,
2π
)
⎪⎩0, 其他
则：
∫ μX (t)
=
E[a cos(ωt
+
Θ)] =
2π
a
0
cos(ω t
+θ)⋅
1
2π
dθ
=
0
RX (s, t) = E[ X (s)X (t)] = E[a cos(ω s + Θ) ⋅ a cos(ωt + Θ)]
∫2π
= a2 cos(ω s + θ ) ⋅ cos(ωt + θ )⋅
= P{ξ (t1 ) ≤ x1 ,",ξ (tm ) ≤ xm ,ξ (tm+1 ) ≤ ∞,",ξ (tn ) ≤ ∞}

概率论与随机过程考点总结

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k kp xEX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(母函数：∑∞===0)()(k kk kz p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = p q DX =二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX =泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21ex p{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T n n ---=-πT n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。

高等数学中的概率论与随机过程

高等数学是大学数学课程中的重要一环，其中概率论与随机过程是其核心内容之一。

概率论与随机过程从根本上来说是研究随机现象的理论。

我们生活中的很多事情都是随机发生的，比如抛硬币的结果、骰子的点数等等。

概率论与随机过程可以帮助我们理解和分析这些随机现象。

概率论主要研究的是随机事件发生的规律性。

从理论上来说，概率是指某种事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。

在概率论中，我们可以通过某种数学模型来描述和计算随机事件发生的概率。

随机过程是一类变量随时间变化的数学模型。

在随机过程中，我们可以研究随机变量的统计规律、平均值、方差等等。

随机过程可以用来描述许多现实中的情景，比如金融市场的价格变动、物理系统中的粒子运动等等。

概率论和随机过程在各个领域中都有广泛的应用。

在工程领域中，概率论和随机过程可以用来描述和分析信号传输、通信网络的性能等问题。

在金融领域中，概率论和随机过程可以帮助我们模拟和预测股票价格、外汇汇率等金融变量的变动。

在自然科学领域中，概率论和随机过程可以用来描述和研究分子运动、化学反应的概率等问题。

在医学领域中，概率论和随机过程可以用来模拟和预测疾病传播的概率等。

概率论和随机过程的研究方法和应用方法也在不断地发展和创新。

近年来，随机过程的发展已经从离散时间转向了连续时间，使得我们能够更好地建模和分析复杂的现实问题。

同时，概率论和随机过程也开始与其他领域进行交叉研究，如机器学习、统计学等，为这些领域提供了更多的方法和工具。

概率论和随机过程的学习对于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力有着重要的意义。

通过学习概率论和随机过程，学生可以培养对事物发展变化的观察和分析能力，提高其科学研究和实践的能力。

总之，概率论和随机过程是高等数学中的重要内容，它们帮助我们了解和分析随机现象，为各个领域的研究和应用提供了方法和工具。

通过学习概率论和随机过程，我们可以培养自己的逻辑思维能力和问题解决能力，提高自己的科学素养。

概率论与随机过程

概率论与随机过程概率论与随机过程是一门研究随机现象的数学学科，它在统计学、物理学、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。

本文将通过介绍概率论与随机过程的基本概念、性质与应用，带领读者深入了解这一学科的重要性和内容。

第一部分：概率论1. 概率论的起源与发展概率论起源于古代赌博中的各种游戏，随着数学的发展逐渐形成独立的学科。

17世纪布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费马的通信奠定了概率论的基础，18世纪朱利叶斯·雷蒙·拉普拉斯进一步发展了概率论的理论。

2. 概率论的基本概念事件、样本空间、样本点、概率、事件的运算等是概率论的基本概念。

概率的性质包括非负性、规范性、可加性和完备性。

3. 随机变量与概率分布随机变量是描述随机试验结果的数值特征，概率分布是随机变量各个取值的概率规律。

常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布，连续概率分布包括均匀分布、正态分布和指数分布等。

4. 大数定律与中心极限定理大数定律指出，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值；中心极限定理则是指在一定条件下，独立同分布的随机变量之和的极限分布接近于正态分布。

第二部分：随机过程1. 随机过程的定义与分类随机过程是指随时间变化的一族随机变量的集合，根据时间的离散性和状态的离散性可分为离散时间马尔可夫链、连续时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫过程。

2. 马尔可夫性质马尔可夫性质是指随机过程的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。

马尔可夫过程具有无后效性和马尔可夫性。

3. 随机过程的稳定性与平稳性随机过程的稳定性包括短期稳定性和长期稳定性，平稳性指随机过程的概率分布在任意时刻保持不变。

第三部分：概率论与随机过程的应用1. 统计学中的应用概率论与随机过程是统计学的重要基础，用于建立随机模型、估计参数、检验假设等，广泛应用于调查统计、贝叶斯统计、回归分析等领域。

2. 物理学中的应用量子力学中的波函数和量子力学算符可以用概率论的语言进行描述，随机过程常用于描述粒子的运动、衰变过程等。

概率论与随机过程

概率论与随机过程（工程硕士生60学时）教材及主要参考书：1．《随机过程》刘次华著，华中理工大学出版社出版。

2．《概率论与数理统计》浙江大学编，高等教育出版社出版。

3．《概率论与数理统计》同济大学编，高等教育出版社出版。

第一章 概率论第一节 预备知识一、排列与组合问题（一） 排列问题的提法：从n 个不同元素n a a a ...,21中任取r 个)(n r ≤，按先后顺序把它们排列，共有多少种不同的排列？分析：第一个位置有n 种取法，第二个位置有1-n 种取法，…第r 个位置有1+-r n 种取法，则共有：rn A r n n r n n n =-=+--)!(!)1()1(（二） 组合问题的提法：从n 个不同元素n a a a ...,21中任取r 个（n r ≤），不按先后顺序得到一种组合，共有多少中不同的组合？分析：由于不按先后顺序，因此r r a a a a 121- 与121a a a a r r -是同一组合，因此一种组合对应!r 种排列，共有：!)1()1(r r n n n +-- =)!(!!r n r n -=rn C 二、集合论（不妨假设所有集合全为Ω的子集）（一）A B ⊂，A 是B 的子集，即集合A 的元素全部属于集合B 。

例：{}全体实数=R {}全体自然数=N 则：R N ⊂（二）B A =B A ⊂⇔且A B ⊂分析：定义蕴涵了证明两个集合相等的方法。

（三）B A C =或B A C +=，即集合C 包含集合A 和集合B 的全部元素，但不包含其它元素。

例：{}全体有理数=A {}全体无理数=B 则：{}R B A C ==+=全体实数 1．运算规律（1）交换律 A B B A =（2）结合律 )()(C B A C B A =特别地：若B A ⊂，则：B B A =A A =Φ Ω=Ω A A A A =2．推广情形集合的并运算可以推广到有限个、可数多个甚至到不可数情形，为了阐述清楚，下面补充可数集合的定义。

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F ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) F ( x1 , x2 , , xn ; t1 h, t 2 h, , t n h)
则称此随机过程{X(t),tT}为严（强，狭义）平稳过程。 上式称之为平移不变性或严平稳性。 易见严平稳过程的概率特性不随时间的平移而改变。
(1) E[Xn]=x(常数)，nT；
(2) Rx(m)=E[XnXn+m]只与m有关。
称{Xn}为宽平稳随机序列或宽平稳时间序列。
严平稳过程和宽平稳过程的关系
(1)．严平稳过程不一定是宽平稳过程,因为严平稳的过 程不一定是二阶矩过程,但当严平稳过程是二阶矩过 程时,则它一定是宽平稳过程。
(2)．宽平稳过程不一定是严平稳过程,但对于正态过程, 两者是等价的。
例2 随机相位正弦波X(t)=acos(0t+Θ) ，a, 0为常数，
Θ是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量,则{X(t)} 是 平稳过程，并求其自相关函数.
解: 由假设,Θ的概率密度为
1 / 2 f ( ) 0
于是,X(t)的均值函数为
0 2 其它
a E[ X ( t )] E[a cos( 0 t )] 2
则随机过程{X(t),tT}称为马尔可夫过程.
6.3.2 平稳过程 （统计规律不随时间推移而改变）
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意的 h，及T中任
意n个不同的参数t1，t2，…，tn，当t1+h,t2+h,…,tn+h T，（X(t1),X(t2),…,X(tn)）与 (X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h ))的分布函数相同，即
F ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) F ( x1 , x2 , , xn ; t1 h, t 2 h, , t n h) （*）
而正态过程的分布由μX及Rx(s,t)决定，μX为常数。 R X ( t i , t j ) R X ( t i h, t j h) C X (ti h, t j h) RX (ti h, t j h) X (ti h) X (t j h)
“”
因(X(t1),X(t2),…,X(tn))为n维正态随机变量，于是 X(t1),X(t2),…,X(tn)为正态随机变量，又CX(s,t)=0, s≠t，所以X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立。
3． {X(t)}为正态过程它的任意有限多个随机变量 的任意线性组合是正态随机变量。 事实上，由正态的性质， n维正态随机变量的充 要条件是其任意一维线性组合为一维正态随机变量， 显然成立。


与t无关，可见{X(t)}为平稳过程，其自相关函数为 1 2 R X ( ) a cos 0 2 一般地，设s(t)是一周期函数，ΘU(0,T). 称
{X(t)=s(t+Θ)}为随机相位周期过程，则其为平稳过程。
例3 考虑随机电报信号,信号X(t)由只取 +I 或-I 的电流给出(图1画出了的一条样本曲线).这里 P{ X ( t ) } p{ X ( t ) } 1 2 而正负号在区间(t,t+ρ)内变化的次数N(t,t+ρ) 是随机的，且假设N(t,t+ρ)服从泊松分布,亦 即事件 AK { N ( t , t ) k } 的概率为
6.3 几类重要的随机过程
6.3.1．马尔可夫过程(Markov)
设{X(t),tT}是随机过程，对于任意整数n≥3及T中任
意n个不同的参数t1<t2<…<tn，在
（X(t1),X(t2),…,X(tn-1)）=（x1,x2,…,xn-1） 的条件下，若有
P{ X (t n ) xn | X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 , , X (t n 1 ) xn 1 , } P{ X (t n ) xn | X (t n 1 ) xn 1 },
例. 设{Xn,n0}是独立同分布的随机变量序列,且
XnU(0,1),n=1,2,…, 讨论{Xn,n0}是否为严平稳过程。 并求E(Xn)与E(Xn Xm),n、m=0,1,2,…. 解：设U(0,1)的分布函数为F(x),则对任意的正整数k和h,任意
0<n1 <n2< …< nk , X , X , X 及 X n h , X n h , X n h n1 n2 nk 1 2 k 的分布函数均为 k
它只与τ有关,因此随机电报信号X(t)是一平稳过程.
6.3.3 高斯(正态)过程
1.定义
设{X(t)}为随机过程，如果对任意的正整数n及任意 t1,t2,…,tnT，n 维随机变量(X(t1),X(t2),…,X(tn))服 从n维正态分布，则称{X(t)}为高斯过程或正态过程。 正态过程是二阶矩过程。 记其均值函数为μX(t),协方差函数为CX(s,t)。
4．{X(t)}为正态过程，则{X(t)}是严平稳过程{X(t)} 是宽平稳过程。 证明：“” 因高斯过程是二阶矩过程，由严平稳过程性质， 显然成立。 “”由已知：μX(t)=μX，Rx(t,t+)只与有关。 由严平稳过程定义，对任意的正整数n及任意 t1,t2,…,tnT, t1+h,t2+h,…,tn+hT,要证：
P(A0)+ P(A2)+ P(A4)+…,
{ X ( t ) X ( t ) I 2 } 的概率为P(A1)+ P(A3)+…,

E[ X ( t ) X ( t )] I 2 p( A2 k ) I 2 P ( A2 k 1 )
k 0 k 0 k ( ) I 2 e I 2 e 2 k! k 0
平稳过程的参数集T,一般为(- ,+),0,+,
{0,1,2,…},{0,1,2,…}。 当参数集T为离散时平稳过程称为平稳序列。 以下如无特殊说明，均认为参数集T=(-,+)
将过程分化为平稳与非平稳的意义
1. 2.
平稳过程可以不考虑开始时间 平稳过程有很好的统计性质（数字特征）
2 RX (ti , t j ) X C X (ti , t j )
定义
设{X(t),tT}是二阶矩过程,如果 (1) E[X(t)]=x(常数)，tT； (2) 对任意的t,t+T, Rx()=E[X(t)X(t+)]只依赖于。 则称{X(t),tT}为宽平稳过程,简称为平稳过程.
特别地，当T为离散参数集时，若随机序列{Xn}满足 E(Xn2)<+,以及
注1 一般来说用定义去判断某个随机过程是否具有严 平稳性是很困难的。 若在实际问题中产生随机过程的环境和主要条件在时 间进行中保持不变，则可认为此过程就是平稳的。 注2 严平稳过程的所有样本函数都在某一水平直线上 下随机波动。
严平稳过程的基本性质
(1) 严平稳过程的一维分布函数与时间t无关。
(2) 严平稳过程的二维分布与时间起点无关只与时 间间隔有关。



F ( x1 , x 2 , , x k ) F ( x j )
j 1
可见，满足定义条件，故{Xn,n0}是严平稳过程。 因为XnU(0,1)，且相互独立，所以 E(Xn)=1/2，
2
1 1 nm n m 12 4 E( X n ) E( X n X m ) 1 E( X n )E( X m ) n m nm 4
在严平稳过程的定义中，令h=-t,由定义X(t)与X(0)
同分布，所以E[X(t)]= E[X(0)]为常数。一般记为X.
(2) 由Cauchy-Schwarze不等式 { E[X(s)X(t)]}2 E[X2(s)]E[X2(t)]<+, 所以E[X(s)X(t)]存在。 在严平稳过程的定义中，令h=-s, 由定义(X(s),X(t))与
严平稳过程的数字特征 定理 如果{X(t),tT}是严平稳过程，且对任意的tT，
E[X2(t)]<+,则有 (1)E[X(t)]=常数，tT； (2)E[X(s)X(t)]只依赖于t-s,而与s,tT的具体取值无关。
证：(1)由Cauchy-Schwarze不等式
{E[X(t)]}2E[X2(t)]<+, 所以E[X(t)]存在。
2．正态过程{X(t),tT}为独立随机过程对任意的 s,t,s≠t时，协方差函数CX(s,t)=0.
证明：“” n2,因为X(t1),X(t2),…,X(tn)是相互独立的正态随 机变量，而正态随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独 立其两两互不相关，即：CX(s,t)=0, s≠t.
确定。 反之，可以证明，T=[0,+∞),给定μ(t)和非负二元函 数C(s,t)，则存在正态过程{X(t)}，使μX(t)=μ(t)， CX(s,t)=C(s,t)。
定义：设随机过程{X(t),tT}，且对任意正整数n2，任 意n个不同的t1,t2,…,tnT，随机变量 X(t1),X(t2),…,X(tn)相互独立，则称此过程为独立随机 过程。
( )k P ( Ak ) e , k 0,1, 2, k!
其中λ>0是单位时间内变号次数的数学期望, 试讨论X(t)的平稳性。
x(t) I 0 -I 图 1 t
解: 显然,E[X(t)]=0现在来计算E[X(t) X(t+τ)], 先设τ>0我们注意,如果电流在(t,t+τ)内变号 偶数次,则X(t)和X(t+τ)必同号且乘积为I2,因 2 { X ( t ) X ( t ) I } 的概率为 此事件