《概率论与随机过程》课程自学内容小结

知识点总结第1章 概率论基础1.1概论空间随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。

其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果：（1）∈Ω （2）若∈A ，则∈A（3）若∈n A ，，， ,21n =则∈∞= 1n nA那么称为一事件域，也称为σ域.显然，如果是一事件域，那么（1）∈φ（2）若∈B A ,，则∈-B A（3）若∈n A ， ∞==1n n 2,1n A ，则，，定义 1.1.2 设Ω是样本空间，是一事件域，定义在上的实值函数)(⋅P 如果满足：（1）∈∀A 0)(,≥A P ，（2）1)(=ΩP ， （3）若∈n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则∞=∞=∑=11)()(n n n n A P A P那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω),P 为概率空间。

关于事件的概率具有如下性质：（1）;0)(=φP（2）若∈nA ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则ni ni i i A P A P 11)()(==∑=（3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=-（4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则（6）若∈A );(1)(,A P A P -=则（7）若∈n A ,,2,1, =n 则∞=∞=∑≤11)()(n n n i A P A P（8）若∈i A ,,,2,1,n i =则-===∑ ni ni i i A P A P 11)()(∑∑≤<≤≤<<≤--+-+nj i nk j i n n kj ij i A A A P A A A P A A P 11211)()1()()(一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递增的事件列，如果;,2,1,1 =⊂+n A A n n 一列事件∈n A ,2,1,=n 称为单调递减的事件列，如果,2,1,1=⊃+n A A n n .定理1.1.1 设 ∈n A ,2,1,=n（1）若 ,2,1,=n A n 是单调递增的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P （2）若 ,2,1,=n A n 是单调递减的事件列，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∞=∞→ 1)(lim n n n n A P A P 定义1.1.3.设,(Ω),P 为一概率空间，∈B A ,.且,0)(>A P 则称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)|(A P ⋅符合定义1.1.2中的三个条件，即 （1）∈∀B , 0)|(≥A B P ；（2）;1)|(=ΩA P （3）设∈n B ,,2,1,,,,2,1, =≠==j j i B B n j i φ则∞=∞=∑=11)|()|(n n n n A B P A B P定理 1.1.2. 设，Ω( ),P 是一概率空间，有： （1）（乘法公式）若∈i A ，,,,2,1n i =且0)(121>-n A A A P ，则)|()()(12121A A P A P A A A P n =(2)（全概率公式）设∈A ,∈iB ,,2,1,0)(, =>i B P i 且∞=⊃=≠=1,,,2,1,,,,i i j i A B j i j i B B φ则∑∞==1)|()()(i i i B A P B P A P（3）（贝叶斯(Bayes)公式）且∈A ∈>i B A P ,0)(,，,,2,1,0)( =>i B P i且 ∞=⊃==1,,,2,1,,i i j i A B j i B B φ则,2,1,)|()()|()()|(1==∑∞=i B A P B P B A P B P A B P j jji i i定义 1.1.4设,(Ω ),P 为一概率空间，,,,2,1,n i F A i =∈如果对于任意的)1(n k k ≤<及任意的,12n i i i k i ≤<<<≤ 有)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =则称n 21,,,A A A 相互独立。

概率论期末总结自己一、引言概率论作为数学中的一个重要分支，研究了随机现象的规律性和不确定性。

在我所学习的期末考试总结中，我将全面回顾概率论课程的主要内容，探索其在数学和现实生活中的应用，并分享我对概率论的个人理解和提升空间。

二、概率论的基本概念1. 随机试验：概率论研究的基本对象，是一个过程或实验，其结果不确定且具有多个可能的结果。

2. 样本空间：随机试验的所有可能结果的集合。

3. 事件：样本空间的子集，表示随机试验中我们感兴趣的结果。

4. 概率：用来描述事件发生的可能性的数值，介于0和1之间。

5. 概率的性质：包括非负性、单位性、互斥性和可加性等。

6. 随机变量：将样本空间中的每个元素与一个实数相关联的函数，用来描述实验的结果。

三、基本概率模型1. 古典概型：指随机试验的样本空间是有限的情况，每个样本的概率相等。

2. 几何概型：指随机试验的样本空间是无限的情况，样本的概率可以通过空间的几何性质来确定。

3. 全概率公式：指将样本空间分割成若干个互不相交的事件，并通过这些事件的概率来计算所关心事件的概率。

4. 贝叶斯公式：指已知某事件的概率，通过条件概率计算另一个事件的概率。

四、随机变量与分布函数1. 随机变量的分类：离散随机变量和连续随机变量。

2. 离散随机变量：取值有限或可数的随机变量。

3. 连续随机变量：取值可以是任意实数的随机变量。

4. 概率密度函数：描述连续随机变量的分布情况，具有非负性和积分为1的性质。

5. 分布函数：描述随机变量取值小于或等于给定实数的概率。

五、常见概率分布1. 二项分布：描述n次独立重复实验的成功次数。

2. 泊松分布：描述单位时间或单位面积内事件发生的次数。

3. 正态分布：以其钟形曲线而闻名，适用于描述连续随机变量的分布。

4. 指数分布：用于描述连续随机变量的失效时间。

5. 负二项分布：描述成功次数x之前需要进行的失败次数。

六、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：指随着样本容量的增加，样本均值趋向于总体均值。

随着科技的飞速发展，随机过程作为一门重要的数学工具，在现代科技诸多领域，如物理、化学、生物、通信、机电、自动化、地震、海洋及经济等学科中均有广泛应用。

本学期，我有幸参加了随机过程这门课程的学习，通过这段时间的学习，我对随机过程有了更为深入的理解和认识，以下是我对这门课程的总结。

首先，随机过程课程为我们系统地介绍了随机过程的基本理论及其应用。

课程内容丰富，涵盖了概率论、数理统计、信号与系统、复变函数、常微分方程等多个领域的知识。

在学习过程中，我们学习了概率论与数理统计的基础知识，了解了随机过程的基本概念、研究方法和应用技巧。

课程中，我们重点学习了泊松过程、高斯过程、马尔可夫过程、平稳过程、正态过程和布朗运动等基本随机过程。

通过对这些典型随机过程的学习，我们掌握了它们的特性、性质以及在实际应用中的体现。

例如，泊松过程在通信、排队论等领域有着广泛的应用；马尔可夫过程在经济学、生物学、社会学等领域有着重要的应用。

其次，随机过程课程强调应用性，着重于揭示随机过程基本概念的来源及背景，典型随机模型的提炼方法、特性刻画、应用背景及发展踪迹。

在课程中，我们学习了随机信号的功率谱分析、以随机信号作为输入的线性系统分析、以及窄带随机信号等应用问题。

这些知识为我们今后在相关领域的工作奠定了基础。

在学习过程中，我深刻体会到随机过程课程具有很强的实践性。

教师通过丰富的实例，引导我们分析实际问题，让我们在实际应用中体会随机过程的价值。

此外，课程还安排了大量的习题和实验，让我们在实践中巩固所学知识，提高解题能力。

最后，随机过程课程的教学方法值得我们借鉴。

教师注重启发式教学，鼓励我们积极思考、勇于探索。

在教学过程中，教师善于将抽象的理论与实际问题相结合，使我们在理解理论的同时，也能将所学知识应用到实际中。

总之，通过学习随机过程课程，我对随机过程有了更为全面的认识。

这门课程不仅提高了我的数学素养，还让我了解了随机过程在各个领域的应用。

概率论学习心得总结概率论是一门研究随机现象的学科，它在现代科学和工程中起着重要的作用。

在这门课程中，我学习了概率论的基本概念和方法，并通过大量的练习和实例加深了对概率论的理解。

以下是我在学习概率论过程中的一些心得总结。

1. 概率的基本概念概率是描述随机现象发生的可能性的数值。

在概率论中，我们用事件、样本空间和概率空间来描述随机现象。

•事件是指样本空间中的一个子集，表示某个特定的结果或一组结果。

•样本空间是指所有可能结果的集合。

•概率空间是指对于每个事件，都有一个非负实数与之对应，满足一定的概率公理。

2. 概率的计算方法概率的计算方法包括经典概型、条件概率、乘法原理和全概率公式等。

•经典概型是指所有可能结果等概率出现的情况，通过计算事件包含的基本结果数量与样本空间的基本结果数量之比来计算概率。

•条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。

条件概率的计算公式为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中 A 和 B 是两个事件。

•乘法原理是指计算多个事件同时发生的概率，乘法原理的计算公式为P(A∩B) = P(A) * P(B|A)。

•全概率公式是指当事件可以划分为多个互斥事件时，通过计算每个互斥事件发生的概率乘以其条件概率之和来计算事件的概率。

全概率公式的计算公式为P(B) = Σ P(A_i) * P(B|A_i)，其中 A_i 是样本空间的一个划分。

3. 随机变量和概率分布随机变量是指对随机现象结果的数值描述。

在概率论中，随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。

•离散随机变量是指取有限或可数个数值的随机变量。

离散随机变量的概率分布可以通过概率分布列或概率质量函数来描述。

•连续随机变量是指在一定范围内可以取无限个数值的随机变量。

连续随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来描述。

在学习中，我通过解决各种问题和练习，掌握了离散随机变量和连续随机变量的概率计算方法，如求期望、方差和概率密度等。

随机过程个人总结
随机过程是一种数学工具，用于描述随机变量随时间的变化。

它是一组随机变量的集合，每个随机变量表示系统在不同时间点上的状态。

随机过程具有以下特点：
1. 基本元素：随机过程由样本空间、状态空间、时间空间和随机变量等基本元素组成。

2. 状态空间：随机过程的状态空间描述系统所能取到的所有状态。

3. 时间空间：时间空间定义了随机过程的时间轴，用于描述系统的演变过程。

4. 随机变量：随机过程中的每个状态对应一个随机变量，表示系统在对应时间点上的
取值。

5. 独立性：随机过程中的随机变量之间可能具有相互独立性，也可能存在相关性。

6. 马尔可夫性：马尔可夫性是随机过程的重要特点，它表示在给定现在状态的条件下，未来状态与过去状态无关。

7. 特定形式：随机过程可以根据其性质的不同分为不同的类型，如离散时间随机过程
和连续时间随机过程。

个人总结：随机过程是一种有序的随机变量序列，用于描述随机现象的演化过程。

它
是概率论与统计学的重要分支，应用广泛，例如在信号处理、金融工程、通信系统等
领域都有重要应用。

掌握随机过程的基本概念和性质，对于理解和分析随机现象具有
重要意义。

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k kp xEX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(母函数：∑∞===0)()(k kk kz p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = p q DX =二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX =泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21ex p{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T n n ---=-πT n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。

随机过程课程期末论文总结随机过程是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述随机现象的演变规律。

随机过程理论广泛应用于信号处理、金融工程、电气工程等领域，并在实践中取得了很多重要的成果。

本期末论文将对随机过程的基本概念、性质、应用以及未来发展进行总结和展望。

一、随机过程的基本概念和性质1. 随机过程的定义及基本性质随机过程是一组随机变量的集合，其演变满足一定的随机性和连续性条件。

随机过程可以用概率分布、自相关函数和谱函数等来描述其随机性和统计特性。

其基本性质包括平稳性、马尔可夫性、连续性等。

2. 常见的随机过程模型常见的随机过程模型包括白噪声过程、马尔可夫过程、泊松过程、高斯过程等。

每种模型适用于不同的应用场景，有些模型可以用于描述连续时间下的随机过程，有些则适用于离散时间下的随机过程。

二、随机过程的应用1. 信号处理中的应用随机过程在信号处理领域有着广泛的应用。

通过对信号的随机过程分析，可以研究信号的平均功率、自相关函数、谱函数等统计特性，从而实现信号识别、滤波、压缩等技术。

2. 金融工程中的应用随机过程在金融工程中的应用主要用于描述金融资产价格、利率等随机变量的演变规律，从而进行金融风险的度量和管理。

基于随机过程的衍生品定价模型和风险度量模型是金融工程中的重要研究内容。

3. 电气工程中的应用随机过程在电气工程中的应用主要体现在电力系统的输电过程中。

通过对输电线路上的随机过程分析，可以对线路的带宽容量、干扰噪声等进行优化和改进，提高电力传输的效率和可靠性。

三、随机过程的发展趋势1. 随机过程在人工智能领域的应用随机过程可以用于描述许多自然或人造系统中的状态演变，而人工智能系统的学习和决策往往依赖于对状态的模型化和预测。

因此，随机过程的理论和方法在人工智能领域有着潜在的应用前景。

2. 非平稳随机过程的研究传统的随机过程理论通常假设随机现象具有平稳性质，即在整个时间域上具有相同的统计特性。

然而，许多现实中的随机现象往往是非平稳的。

随机过程个人总结随机过程是一个数学模型，用来描述随机现象的演化规律。

它在许多领域中都有广泛应用，在概率论、统计学、物理学、工程学等领域中都有重要的地位。

1. 定义和特征：随机过程是一族随机变量的集合，表示随机现象在不同时间发生的情况。

每个随机变量表示某个时刻或某个时间段内的随机事件的结果。

它具有两个维度：时间和状态。

2. 分类：根据状态空间的特征，可以将随机过程分为离散随机过程和连续随机过程。

离散随机过程的状态空间是离散的，而连续随机过程的状态空间是连续的。

根据时间的连续性，可以将连续随机过程分为时齐随机过程和时变随机过程。

时齐随机过程的统计特性不随时间变化，而时变随机过程的统计特性与时间有关。

3. 状态转移概率：随机过程的核心是状态转移概率，描述了随机过程在不同状态之间进行转移的概率。

状态转移概率可以用转移矩阵或转移函数表示，它描述了随机过程的演化规律。

4. 随机过程的性质：随机过程有许多重要的性质，包括平稳性、独立性、马尔可夫性、鞅性等。

这些性质可以帮助我们分析和理解随机过程的行为。

5. 应用：随机过程在概率论、统计学和工程学中有广泛的应用。

在概率论中，随机过程用于描述随机事件的演化过程。

在统计学中，随机过程用于建立模型和进行统计推断。

在工程学中，随机过程用于分析和设计系统，例如通信系统、控制系统和金融系统等。

总之，随机过程是一个重要的数学工具，可以帮助我们建立数学模型，描述和分析随机现象的演化过程。

它在各个领域中都有广泛应用，并且具有丰富的理论基础和实际应用价值。

上海大学2017～2018学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号： 07275061题目: 自学内容小结与专题应用范例学生姓名: 学号: 评语:成绩: 任课教师:评阅日期:自学内容小结与专题应用范例2017年11月12日摘要：本文对随机变量的特征函数、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度以及随机序列通过线性离散系统这些自学内容进行了整体小结，并介绍和分析了关于伪随机序列在扩频通信中的实际应用范例。

一、自学内容小结1. 随机变量的特征函数① 定义：随机变量X 的特征函数定义为C (u )=E [e iux ]={∫f (x )e iux dx,连续型∞−∞∑P (x i )e iux i i,离散型C (u )可看作概率密度函数的傅里叶变换，则可用傅里叶反变换公式求密度函数。

即：f (x )=12π∫C （u ）e −jux ∞−∞du由此可类推到二维情况，特征函数及其傅里叶反变换求得的联合密度函数分别为：C (u,v )=∬f (x,y )e jux e jvy dxdy +∞−∞=E [e juX e jvY ]f (x,y )=14π2∬C （u,v ）e −jux +∞−∞e −jvy dudv ②性质：I. 两两独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。

即若Y =∑X k N k=1，其中{X k },k =1,2,…N 相互独立，则C Y (u )=∏C X (u)Nk=1；II. 随机变量X 的n 阶原点距可由其特征函数的n 次求导求得。

即E [Xn ]= (−j )nd n C X (u )du n |u=0III. 将特征函数在原点处用泰勒级数展开，则其密度函数可由它的各阶矩唯一确定。

即C X (u )=∑d n C X (u )du n| u=0∞u=0∗u n n!=∑E[X n](ju)n n!∞u=0IV . 线性变换Y =aX +b 的特征方程为C Y (u )=e ibu C X (au)③个人理解：特征函数非常实用，比如它的性质I 在随后的“独立同分布随机变量的中心极限定理”的证明中起了关键作用。

上海大学2019～2020学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号： 07275061 题目: 中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用学生姓名: XXX 学号: 1712XXXX评语:成绩: 任课教师: 冯国瑞评阅日期:中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用2019.10.28摘要：本报告主要是对随机变量的特征函数、大数定理与中心极限定理、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度、随机序列通过离散线性系统共计五项内容的知识点进行总结，并以中心极限定理为专题示例，介绍中心极限定理在大气激光通信同步帧中的应用，从大气激光通信的信道特点入手，建立了大气激光通信信道模型。

一、自学内容小结与分析：1、随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。

1.1随机变量X 的特征函数定义C (ju )=∫p(x)e jux dx +∞−∞C(ju)是概率密度函数的傅里叶变换，我认为它与通常意义上的傅里叶正变换在指数因子上差一个符号，因此也可以看成是傅里叶变换的一个复共轭，那么关于特征函数的一些运算就可以采用傅里叶变换的方式，从而可以简化运算的过程和减少运算量。

由傅里叶反变换的公式可以从特征函数求出密度函数，即p (x )=12π∫C(ju)e −jux du +∞−∞1.2特征函数的性质性质1：两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积，即若Y =∑X K N K=1，式中X 1，X 2，…，X N 为N 个两两互相独立的随机变量，则：C Y (u )=∏C X K NK=1(u)性质2：求矩公式 E [Xn ]=(−j)n d nC X (u)(du)u |u=0性质3：级数展开式。

将特征函数在原点用台劳级数展开，可得：C X (u )=∑d n C(u)(du)n ∞n=0|u=0u n n!=∑E[X n]∞n=0(ju)nn!举例：求N(0,σ2)分布的随机变量的均值与方差？ 解：C X (u )=exp⁡(−σ2u 22)E [X ]=−j dC X (u )du |u=0=(−j )(−uσ2)exp (−σ2u 22)|u=0=0方差 D [X ]=E [X 2]−E 2[X ]=E [X 2]=(−j)2d 2C X (u )(du)2|u=0⁡⁡⁡⁡⁡=[σ2exp (−σ2u 22)−σ4u 2exp (−σ2u 22)]u=0=σ22、大数定理与中心极限定理大数定律是叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的均值的算术平均值；中心极限定理则是确定在什么情况下，大量随机变量之和的分布逼近于正态分布。

上海大学2013～2015学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》`课程编号：07275061报告题目：大数定理与中心极限定理的实际应用学生姓名：陈璐学号：.任课教师：任艳丽成绩：评阅日期：…大数定理与中心极限定理的实际应用摘要：概率论是研究随机现象统计规律性的学科。

而随机现象的规律性在相同的条件下进行大量重复试验时会呈现某种稳定性，而这种稳定性就是我们将要讨论的大数定律的客观背景。

在数学的应用中，一般都是利用大数定律和中心极限定理一起来应用。

本文根据在不同的条件下存在的大数定律和中心极限定理做了具体的分析，给出了一些相关应用，并进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。

一、自学小结随机变量的特征函数（1）随机变量的特征函数定义为。

'由定义式可见，C(u)和f(x)是一对傅立叶变换对，同理C*(u)和f*(x)也是一对傅立叶变换对。

（2）特征函数的性质：①两两独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。

②随机变量的N阶原点矩可由特征函数的N次倒数求得。

③将特征函数在原点用台劳级数展开，该级数说明随机变量的密度函数可由它的各阶矩唯一地确定。

…大数定理与中心极限定理（1）大数定理：随着试验次数的增多，事件发生的频率逐渐趋于其概率；大量测量值的算术平均值随着测量次数的增加也具有稳定性，这就是大数定律。

数学表达式如下：；其中X1~Xn是相互独立的随机变量，且具有相同的E(Xk)=u，D(Xk)= 。

（2）中心极限定理：，对于，两个随机变量，它们的分布函数Fn(x)满足，。

其中，X1~Xn是相互独立的随机变量，且具有相同的E(Xk)=u，D(Xk)= 。

由式子可以看出当n很大的时候，Y(n)和Z(n)近似服从正态分布N(0，1)。

由以上又可以推出对于任意区间（a，b]有，其中是具有参数为n，p的二项分布。

随机序列及其统计特性（1）定义：将连续随机过程X （t ）以ts 为间隔进行等间隔抽样（记录），即可获得随机序列。

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概率论总结及心得体会08班08211106号史永涛班内序号：01目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1)第二章随机变量及其分布 (5)第三章多维随机变量及其分布 (10)第四章随机变量的数字特征 (13)第五章极限定理 (18)二、学习概率论这门课的心得体会 (20)一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。

在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。

2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。

3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B⊃A或A⊂B。

若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。

定义：和事件“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。

记为A∪B。

用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。

定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。

定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e∉B} 。

定义：互不相容事件或互斥事件如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。

定义6：逆事件/对立事件称事件“A 不发生”为事件A 的逆事件，记为Ā 。

上海大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号： 07275061 题目: 学生姓名: 王文良学号: 13124562 评语:成绩: 任课教师: 王春华评阅日期:概率论与随机过程内容小结与专题应用范例书面报告2015-10-24摘 要：本报告主要是对随机变量的特征函数、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度、随机序列通过离散线性系统共计四项内容的知识点的总结，并以其中的随机变量的特征函数为例，来介绍并分析其中涉及到的理论与原理一、自学内容小结 1. 随机变量的特征函数1.1一维特征函数：随机过程X(t)在任一特定时刻t 的取值是一维随机变量，其特征函数为:其反变换为： 1.2 n 维特征函数：2. 随机序列及其统计特性2.1 随机序列的均值与自相关函数： 2.2 随机序列的自相关矩阵：2.3随机序列的协方差矩阵:其中TXX X M M R -=XC3. 随机序列的功率谱密度功率谱密度可定义为自相关函数的傅里叶变换：sjwkT sk xX ekT R G -∞-∞=∑=)()(ω在随机过程中我们学习到功率谱密度是随机过程X （t ）在单位频带内在1Ω电阻上消耗的平均⎰∞∞-==dx t x f e e E t u C X jux t juX X );()();()(⎰∞∞--=du e t u C t x f jux X X );(21);(π))]()([exp(),,;,,(1111n n n n X t X ju t X ju E t t u u C ++=ΛΛΛ⎰⎰∞∞-∞∞-++=nn n X x u x u j dx dx t t x x f e n n ΛΛΛΛΛ111)(),,;,,(11),,;,,(11n n X t t x x f ΛΛnx u x u j n n X ndu du e t t u u C n n ΛΛΛΛΛ1)(1111),,;,,()2(1++-∞∞-∞∞-⎰⎰=π[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E =NN N N N N r r r r r r r r r .....................X X R 212222111211TX []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--=NN N N N N ΧΧX C ...C C ............C ...C C C ...C C )Χ)(Χ(ΕC 212222111211TM M []jij i ij C m m C ji=-X -X E =X X ))((TXX =R R 0≥X T F R F [][]TX ,,X 21NXX X =E =M m m m ，Λ[][]),(),(i j R j i R r i j j i ij =X X E =X X E ==功率，在平稳随机过程下，时间平均自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。

《概率统计与随机过程》知识总结第1章 随机事件及其概率一、随机事件与样本空间 1、随机试验我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验， 〔1〕重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；〔2〕多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都已知； 〔3〕随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。

随机试验一般用大写字母E 表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的基本结果。

2、样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S ，样本空间中的元素，即E 的每个基本结果，称为样本点。

3、随机事件称随机试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件。

随机事件通常利用大写字母A 、B 、C 等来表示。

在一次试验中，当且仅当这一子集〔事件〕中的某个样本点出现时，称这一事件发生。

特别地，将只含有一个样本点的事件称为基本领件；样本空间S 包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S 为必然事件；事件∅〔S ∅⊂〕不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称∅为不可能事件。

4、随机事件间的关系及运算 〔1〕包含关系：假设B A ⊂，则称事件A 包含事件B ，也称事件B 含在事件A 中，它表示：假设事件B 发生必导致事件A 发生。

〔2〕相等关系：假设B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记为A B =。

〔3〕事件的和：称事件{|A B x x A ⋃=∈或}x B ∈为事件A 与事件B 的和事件。

事件A B ⋃发生意味着事件A 发生或事件B 发生，即事件A 与事件B 至少有一件发生。

类似地，称1n i i A =⋃为n 个事件12n A A A ⋯、、、的和事件，称1i i A ∞=⋃为可列个事件12 A A ⋯、、的和事件。

〔4〕事件的积：称事件{|A B x x A ⋂=∈且}x B ∈为事件A 与事件B 的积事件。

事件A B ⋂发生意味着事件A 发生且事件B 发生，即事件A 与事件B 都发生。

应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。

1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。

符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。

本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。

其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。

3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。

条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。

二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。

因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。

同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。

1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。

因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。

2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。

若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：学号：任课教师：成绩：评阅日期：随机序列在通信加密的应用2015年10月10日摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。

但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。

本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。

1. 引言在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。

从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。

长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。

本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。

2. 自学容小结与分析2.1 随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。

特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==⎰+∞∞- (1)性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。

性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。

类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。