2004D数学建模试题

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题奥运会临时超市网点设计感谢：北京市市政管理委员会提供场馆规划图北京市城市规划委员会2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。

奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。

在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。

图1给出了比赛主场馆的规划图。

作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。

为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。

假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。

请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。

2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。

依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。

3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS 网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。

4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。

说明1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。

影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。

2004数学建模试题及答案1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知： )()(1n n p f p =-ϕ 9431+-=+-n n kp p即： kp k p n n 531+-=-经递推有：kk p kk k k p k p n nn nn n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑p 表示初始时的市场价格:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k<<<-。

某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手)由遗传学原理有： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n cb ac c b a b c b a a设向量Tn n n n c b a x )..(= 1-⋅=n n X M x 式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M递推可得：0X M X n n ⋅=对M 矩阵进行相似对角化后可得： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ100021000其相似对角阵1111012001-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n nM10101010))21(1())21(1(0)21()21(0b ac c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。

A题奥运会临时超市网点设计2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。

奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做MS）网，以满足观众、游客、工作人员等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。

在比赛主场馆周边地区设置的这种MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。

图1给出了比赛主场馆的规划图。

作为真实地图的简化，在图2中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。

为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场（图3）通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。

假设我们在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据，在附录中给出。

请你按以下步骤对图2的20个商区设计MS网点：1．根据附录中给出的问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。

2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。

依据1的结果，测算图2中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。

3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图2中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。

4．阐明你的方法的科学性，并说明你的结果是贴近实际的。

说明1．商业上用“商圈”来描述商店的覆盖范围。

影响商店选址的主要因素是商圈内的人流量及购物欲望。

2．为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为10万人，国家体育馆容量为6万人，国家游泳中心（水立方）容量为4万人。

2004哈尔滨工业大学数学建模竞赛试题A：西大直街的交通线联动信号控制问题城市的交通管理是众所周知的难题。

当你乘车时令你烦心的是刚通过了一个十字路口就被不远处另一十字路口的红灯止住。

能否通过交通信号的联动控制使得在主干线上最大可能的解决这一问题，请你对西大直街从护军街到通达街一线的考察研究，用数学建模的方法给出一个最优联动红绿灯控制方案。

要求：1.对西大直街从护军街到通达街一线17时至18时的交通现状进行现场调查，采集建模所需的数据；2.对现行交通信号系统的合理性进行分析；3.给出你的最优联动红绿灯控制原理和方案；4.给当地报纸写一篇短文（不超过两页），阐述你的方案的可行性。

B：股市全流通方案的设想全国人大常委会副委员长成思危日前在"第八届(2004)资本市场论坛"上指出,股权的流动性分裂给资本市场的发展带来了很多弊病,因此股市要在规范的同时,重视发展,在发展中实现全流通。

股市的全流通问题应该考虑到：一、有利于资本市场的改革开放和稳定发展；二、有利于保护中小投资者的合法权益。

推进全流通,要注意可行性,同时一定要有周密的策划（附件一）。

张卫星提出了中国股市的全流通改造三条原则（附件二）。

依据以上原则对股市全流通方案通过数学建模提出你的设想，要求：1.对上证50（1.浦发银行、2.白云机场、……、50.长江电力）的最近20日均价与总股本、流通股（A、B股）占总股本的比例、03年每股收益、净资产、概念（国企大盘、民企、全流通、其他类）做出相关性分析。

2.分析哪些因素对股市全流通方案是至关重要的，提出你的全流通方案设想。

要求兼顾国家、企业、中小投资者的利益，为稳定市场，设定一个方案实施后的股价最大振幅（比如3%）。

3.按照你的方案给出以下股票的具体实施办法：01浦发银行、08民生银行、10宝钢股份、18中国联通、20清华同方、25安阳钢铁、32申能股份、36哈药集团、37上海石化、43东方集团、46四川长虹、49张江高科。

2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目B题电力市场的输电阻塞管理摘要本文是基于电力市场交易规则和输电阻塞管理原则，对电力市场的输电阻塞管理进行研究，提出合理假设，建立了较完善的模型，很好的解决了在电力市场中存在的一些问题。

问题一：首先作图分析数据，得出单个机组与线路潮流有线性关系，建立多元线性回归模型，用matlab进行拟合求出各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。

问题二：序内容量不出力的部分按清算价与修改后方案中该机组最后被选入段价之差补偿，序外容量多出力的部分根据该机组最后一个被选入的段价为进行补偿，两部分的补偿即阻塞费用。

问题三：先找到各机组在爬坡速率限定下下一时段出力值的变化范围，在此基础上逐步找出保证满足下一时段的负荷需求且总的购电费用最小的最无法通过调整预案使输电阻塞完全消除，故建立非线性优化模型，使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。

【关键词】一、问题重述我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。

2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。

可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。

我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。

电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。

输电阻塞管理的优化调整摘 要本问题是一个输电阻塞管理的优化调整问题，即是在发生输电阻塞时，制订既安全又经济的方案对预案进行调整，安排机组的出力分配问题。

首先我们用多元线性回归的方法分析了题设给出的实验数据，得到各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式，同时对表达式作了相应的显著性检验，认为所得近似表达式是可信赖的；其次我们用序内容量不出力部分的损失和序外容量出力部分的损失进行加权补偿的办法，给出了阻塞费用的计算规则；然后我们以电力市场交易原则为前提，在0方案发生时段为当前时段等一系列合理假设的基础上，以各机组爬坡速率和段容为限制条件，设计了按段价从低到高排序搜索的算法，对给定的下一时段的的负荷需求作出各机组出力分配预案，并利用上述近似表达式求出每条线路上的有功潮流值，将之与线路潮流限值相比，判断该方案是否引起输电阻塞。

对发生输电阻塞的出力方案需进行优化调整，使调整后的出力分配方案既安全又经济。

根据输电阻塞管理原则，我们建立了一系列的求解模型：① 可消除输电阻塞的调整方案的非线性规划模型：以阻塞费用最小为目标，以序 外容量出力部分和序内容量不出力部分为决策变量② 在上述模型解空间内没有最优解的情况下，建立使用安全裕度输电的非线性规划模型：以线路上潮流值超过限值百分比之和最小为目标，以序内容量不出力部分和序外容量出力部分为决策变量，同时给出安全与经济约束下的调整模型 ③ 在模型②仍没有最优解的情况下，建立拉闸限电的线性规划模型因此，只要给定下一时段的负荷预报，顺次用这几个模型求解，直至可以求出最优解则认为已经得到调整后的优化出力分配方案。

最后我们对上述模型进行了分析并给出了改进方向。

我们仅以经济补偿权重1122αβ==，为例，得到问题四调整后的出力分配方案，相应的我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。

电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

D题研究生录取问题根据素质教育和培养高素质合格人才的要求，目前各学校都对硕士研究生的录取方法进行改革，即在录取的过程中改变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试的作用。

一般是根据初试的成绩，在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例选择进入复试的名单。

复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平等综合素质。

专家组一般由多名专家组成，每位专家根据自己看法和偏好对所有参加复试学生的５个方面都给出相应的评价，可以认为专家组的面试整体评价是客观的，最后由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。

某学校Ｍ系计划招收10名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15名学生参加复试，专家组由8位专家组成。

在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试学生的以上５个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为A,B,C,D四个等级，并将其填入面试表内。

所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的５个方面专长的评分如表（１）～表（8）所示。

该系现有10名导师拟招收研究生，分为四个研究方向。

导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以及对学生的期望要求见表(9)。

在这里导师和学生的基本情况都是公开的。

要解决的问题是：(1) 首先，请你综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。

然后，要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，即学生可根据自己的专业发展意愿（依次申报２个专业志愿，如表(10)所示）、导师的基本情况和导师对学生的期望要求来选择导师；导师根据学生所报专业志愿、专家组对学生专长的评价和自己对学生的期望要求等来选择学生。

请你给出一种10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名研究生），使师生双方的满意度最大。