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： ∆ 切 切 边 点 证 例题 设 ABC内 圆 三 BC, CA, AB于 D, E, F, 求 : D(CA, EF) = −1. 其 D(CA, EF)表 以 为 束 心 四 直 DC, DA, DE, 中 示 D 线 中 的 条 线 DF的 比 交 .
： 点 BC 平 线 交 G DF H 证明 过 A作 的 行 ， DE于 , 交 于 , 则 ∠ = ∠2 = ∠3 = ∠4. 1 故 = AE,同 , 有 AG 理 AH = AF. 由 AE = AF, 故 = AH,即 是 段 的 点 P 表 于 以 AG A 线 GH 中 . ∞ BC HG 交 ， 直 GH 线 ， 示 与 的 点 用 线 截 束 得 D(CA, EF) = (P A, GH), ∞ HA 但 P A, GH) = (HG, AP ) = (HGA) = ( ∞ = −1 , ∞ GA 故 (CA, EF) = −1. D
二、线束的交比 设 a,b,c,d为 一线 中 束 的四 直 ， a和 作 条 线 取 b 为基 ， 它们 线 把 的 齐 坐 依 次 标 次表 a, b, c = a + λ1b, d = a + λ2b(a, b既 表 线 又 为 代 直 ， 代 表 线 坐 直 的 标向 ). 量 设 直 s截 一 线 此四 于 A, B, C, D,则 线 点 这四 的 点 坐标 次 顺 为 a× s, b× s, c× s = a× s + λ1(b× s), ( AB, CD) = d × s = a× s + λ2 (b× s). 故四 的 比为 点 交
一维射影几何学 : 和线束 一维基本图形 点列 : 射影变换的不变量交比 一、点列的交比 设射影 平面上 A的 点 齐次坐 标为a = (a1, a2 , a3 ),点B的齐次 坐标 为b = (b1, b2 , b3 ), 则 X在 连 点 AB 线上⇔∃λ, µ ∈R, 使点 的齐 X 次坐 标 x = (x1, x2 , x3 )可 表为x = λa + µb. 对 偶地 设 , 直线l的坐标 a = (a1, a2 , a3 ), 直线 的线坐 为 m 标为b = (b1, b2 , b3 ), 则 直线l与m重 ⇔矢量 与b线性相 . 直线 与 相 合 a 关 l m 异 ⇔矢量 与 线 a b 性无 . 关
四直线交比的几何意义 取 束 心 为 交 卡 坐 原 ， 一 不 四 线 , b, 线 中 O 正 笛 尔 标 点 取 条 与 直 a c, d任 条 行 直 作 y轴 设 直 的 程 y = ki x(i =1 一 平 的 线 为 ， 四 线 方 为 , 2,3,4), 其 ki为 率 由 截 可 意 取 不 取 线 =1 中 斜 ， 于 线 任 选 ， 妨 直 x 作 A x 于 M 四 的 坐 为 为 线 交 , b, c, d于 , B, C, D, 交 轴 点 . 这 点 纵 标 截 ， a MA = k1, MB = k2 , MC = k3, MD = k4 , 于 是 (ab, cd) = ( AB, CD) = AC ⋅ BD AD⋅ BC (MC − MA)(MD − MB) (k3 − k1)(k4 − k2 ) . = = (MD − MA)(MC − MB) (k4 − k1)(k3 − k2 ) (tanθ3 − tanθ1) ⋅ (tanθ4 − tanθ2 ) . (tanθ4 − tanθ1) ⋅ (tanθ3 − tanθ2 )
α
以 五 情 又 分 以 三 : 上 种 况 可 为 下 类 (a)α =1 , 六 交 值 为 ,1,0, ∞,0, ∞. 时 种 比 各 1 , 0 α = 0时 六种交比值各为 , ∞,1,1, ∞,0. 1 1 (b)α = −1 , 六 交 值 为−1,−1,2, ,2, . 时 种 比 各 2 2 1 1 1 , α = 时 六种交比值各为 ,2, ,2,−1,−1. 2 2 2 1 1 , 2 α = 2时 六种交比值各为 , ,−1,−1, ,2. 2 2 1 3 (c)α = ± i时 交 为 数 研 实 点 时 会 生 , 比 复 , 究 的 列 不 发 . 2 2 因 ,讨 实 点 的 比 ,只 在 a), (b)两 情 下 此 论 的 列 交 时 有 ( 种 况 , 交 值 不 互 . 比 才 全 异
若 线 与 相 , 则 线 过 : a ⋅ x = 0与 : b⋅ x = 0 交 直 l m 异 直 p l m 的 点 ⇔直 p的 坐 u = λa + µb. 线 线 标
基 : A(a), B(b) 点 基 : l(a), l(b) 线
由 使 的 齐 坐 ,可 计 次 标 比 因 ,因 于 用 是 次 标 不 齐 坐 的 例 子 此 若 λ′ = 令
推论: 设点列上四点A, B, C, D的齐次坐标为νi p + µi q, i =1,2,3,4.
ν1 ν3 则 AB, CD) = ( ν1 ν4
µ1 ν2 ⋅ µ3 ν2 µ1 ν2 ⋅ µ4 ν3
µ2 µ2 . µ2 µ3
, , . 定理: 将某两点互换同时互换其余两点 则交比值不变 例如: ( AB, CD) = (BA, DC) = (CD, AB) = (DC, BA). , . 定理: 只限于一对点之间的交换 则交比值变为其倒数 1 1 即 AB, DC) = ( , (BA, CD) = . ( AB, CD) ( AB, CD) , 1 , 定理: 交换中间两点 则交比值变为 与原值之差 即 ( AC, BD) =1− ( AB, CD).
µ ,则 列 线 可 一 独 参 表 为 + λ′b. 点 或 束 用 个 立 数 示 a λ 底 素 应 规定: 基 元 b对 λ′ = ∞.
AC⋅ BD A 共 四 , 为 四 按 顺 这 点 这 序 定义: 设 , B, C, D为 线 点 称 AD⋅ BC 的 比 记 ( AB, CD),即 交 , 为 AC⋅ BD ( AB, CD) = . AD⋅ BC 注: 上 右 使 的 有 线 ,而 距 . 式 端 用 是 向 段 非 离 ( ABC) ⇒( AB, CD) = . ( ABD)
： 直 a 交 为 定理 四 线 , b, c = a + λ1b, d = a + λ2b的 比
λ1 (ab, cd) = . λ2 ： 直 a 定理 四 线 = p + µ1q, b = p + µ2q, c = p + µ3q, d = p + µ4q
的 比 交 为 (µ1 − µ3 )(µ2 − µ4 ) (ab, cd) = = (µ1µ2 , µ3µ4 ). (µ1 − µ4 )(µ2 − µ3 )
比 有 为 如 : 六 第一种情况 设 个交 值中 一个 1, 例 α =1, 则 (µ1 − µ3 )(µ2 − µ4 ) = (µ1 − µ4 )(µ2 − µ3 ), 化 简即 (µ1 − µ2 )(µ3 − µ4 ) = 0. 可 见若 点 与B重 (µ1 = µ2 ), 便 非 A 合 是点 与 D重合 µ3 = µ4 ). C 点 ( 因此 四点 中当 仅当 两点 合 , 六个 且 某 重 时 交比 能有 于 ,0, ∞的 值 等 1 , . : 六 比 有 为 如说 = −1,则 α 第二种情况 设 个交 值中 一个 −1, 例 AC⋅ BD = −1, ( AB, CD) = AD⋅ BC AC AD 亦 即 =− , BC BD 也 就是 ,点 分 说 C 割线 AB的 段 值和 D分割 点 线段 的 AB 值只 一 差 个符 C 号因 一个 内分 ,一 ( 而 是 点 个是 分点 这 外 ), 时称 , D两 点调 分割 和 线 段 ,或C与D对 AB 于线 AB成调 段 和共 点偶 轭 .
λ1 . λ2
s 选取 关 这 比 完全 线 本 由 束 身决 ， 截线 的 定 与 无 . 注： 交 值 ： 一 束 四 直 被任 直 (不 过 束 一 线 通 线 中心 顶 或 定义 把 线 中的 条 线 点 )所 四 的 O 截 点 交比 称 四 ， 为 直线 交 , 记 (ab, cd). 的 比 为
1 逐 令 等 其 五 交 值 得 = ⇒α = ±1 α =1−α ⇒α = ; 次 α 于 它 个 比 , α ; α 2 1 1 3 α −1 1 3 α α= ⇒α = ± i;α = ⇒α = ± i;α = ⇒α = 0或 . ∞ 1−α 2 2 α 2 2 α −1 1
(3)( AC, BD) = (BD, AC) = (CA, DB) = (DB, CA) =1−α 1 (4)( AC, DB) = (BD, CA) = (CA, BD) = (DB, AC) = 1−α α −1 (5)( AD, BC) = (BC, AD) = (CB, DA) = (DA, CB) =
注意:由 ( AB, CD) = −1 ⇔ (CD, AB) = −1 可 ,当 , D调 分 AB时 A, B也 和 割 . 知 C 和 割 , 调 分 CD 总 以 讨 得: 如果排除复点的情况和 结 上 论 有两点相重的情 况不加考虑, 则当且仅当四点适当地 配合能成调和共轭时, 它们 况不加考虑, 配合能成调和共轭时, . 的六个交比才有相同的 例 :一 线 被 的 点 这 线 的 穷 点 调 分 . 子 条 段 它 中 和 直 上 无 远 所 和 割 : (AB,CD) = −1,O为 的 点 则 2 = OA⋅ OB. CD 中 , OC 定理 设
练 题 习 A 1. 设 线 X交 角 AB 的 边 C, CA AB于 ′, B′, C′, 直 O 三 形 C 三 B , 证 : O( AB, CX ) = ( A′B′, C′O). 明 2. 若 λ λ2 , λ3λ4 ) = −1 证 ( 1 , 明 2 1 1 = + . λ2 − λ1 λ3 − λ1 λ4 − λ1 一 情 ， (λ λ2 , λ3λ4 ) = k, 则 般 况 若 1 k 1− k 1 = − . λ2 − λ1 λ3 − λ1 λ4 − λ1
