高等几何第三版课后答案

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。

2. 掌握空间解析几何的基本知识。

3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。

教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。

2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。

3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。

教学准备：1. 教案和教材。

2. 多媒体教学设备。

教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。

2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成教材中的练习题。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。

教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。

2. 理解线性变换和矩阵运算。

3. 学会运用向量空间解决实际问题。

教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。

2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。

第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD 가BC ，由于T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；又∵（AGD ）=（A'G'D'）即 31AD A D GD G D ''=='' 3311BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：， ∴G'是△A'B'C'的重心。

1.2 课后习题详解第1节数域1．举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子．解：集合Q＋＝{a∈Q|a＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭．2．举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子．解：集合对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭．3．举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子．解：集合与集合{m|p∤m，p素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭．4．试证C的子集P若对减法封闭，则必对加法封闭．证：可设P≠∅，于是有a∈P，因此a－a＝0∈P．又因为0－a＝－a∈P，若有b∈P，则必有a＋b＝b＋a＝b－(－a)∈P．故P若对减法封闭，则必对加法封闭．5．试证C的子集P若对除法封闭，则必对乘法封闭．证：设P≠∅，P≠{0}，于是有a∈P，a≠0，因此a÷a＝1∈P．又因为，故若b∈P成立，则有ab＝ba＝b÷a-1∈P．因此P若对除法封闭，则必对乘法封闭．6．令试证是一个数域．证：由题目易知，则有即对加法和减法都封闭．又因为则对乘法封闭．下面需证明对除法是封闭的．由于对乘法封闭，故只需证明下面结论：，则成立．下面分为三种情形讨论：（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，．（2）c＝0，b≠0，此时可设，于是，且a3＋5≠0．因此．（3）c≠0，此时可设，于是因此有由情形（2）及乘法的封闭性可知．故是数域．第2节一元多项式1．设P是数域．f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意知f(x)＋g(x)＝f(x)＋h(x)，于是有故结论成立．2．设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且f(x)≠0，f(x)g(x)＝f(x)h(x)．试证g(x)＝h(x)．证：由题意有f(x)g(x)＝f(x)h(x)，则f(x)(g(x)－h(x))＝0，再由f(x)≠0，因此结论成立．3．设f(x)，g(x)∈P[x]，f(x)≠0，g(x)≠0，又deg(f(x)g(x))＝degg(x)．试证f(x)＝c∈P．证：因为degf(x)＋degg(x)＝deg(f(x)g(x))＝degg(x)，所以degf(x)＝0，故f(x)＝c∈P．4．设m，n∈N，f(x)∈P[x]．归纳定义f1(x)＝(f(x))1＝f(x)，f n(x)＝(f(x))n＝f(x)f n-1(x)，试证这里f0(x)，g0(x)定义为1．证：1）对m，n作双重归纳证明．由f n(x)的定义，可知对任何m有f(x)f m(x)＝f1+m(x)．现设对于n，有f n(x)f m(x)＝f n+m(x)成立，则因此结论1）成立．2）当m＝1时，结论显然成立．设m时，结论成立，于是由结论1）有则结论2）成立．3）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论3）成立．4）n＝1时，结论显然成立．设n时，结论成立，于是有因此结论4）成立．第3节带余除法1．求用g(x)除f(x)的商式q(x)与余式r(x)：1）f(x)＝x3－3x2－x－1，g(x)＝3x2－2x＋1；2）f(x)＝x4－2x＋5，g(x)＝x2－x＋2．解：分别用q(x)，r(x)表示所求的商和余式．1）由则可得．2）由则可得q(x)＝x2＋x－1，r(x)＝－5x＋7．2．m，p，q适合什么条件时，有1）x2＋mx－1|x3＋px＋q；2）x2＋mx＋1|x4＋px＋q．解：1）观察两个多项式的首项与常数项．则有因此q＝m，p＝－m2－1．2）观察两个多项式的首项与常数项，于是有则有于是可得q＝m2－1，p＝m(m2－2)．。

高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经耳A（-3「2）和的直成AB与真级* + 3.丫一6二D相交于P点，衣EBP）=?U苴线A8的方程为工+%「一15 =山P点的坐标为（y-y）；（ABP）= —1.n求一仿射变披，它使直睡工+2了- 1 =o上的每个点都不也且使点（1,-1）变为点（-L2）.2.在白线量十卷一13）上任取网点1.1）.由于AUQm）・BmEJb i>?又点u, - n-i⑵I仿射变换式｛, •可解得所求为3-求仿射变挨= 7.r - y + 11项=4/ +电+ 4的不变点和不受直线.3.不变点为- 2）.怀变直线为2/ -23,一3 = 0与4工一;y = 0.4.问在仿射变换下，下列图形的对应图形为何？①箓形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形"2）平行四边形；G）梯形"4）三角形.5.下述桂质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线共点；③三角形内接于一圆；® 一角的平分线上的点到两边等孑站5. Q）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一I.下列娜些图形具有射蛇性员？平行直哉；三点共线；三宜钱共教；两点月的距离；两直鼬的夹角；两相箸浅段1.答:⑵.⑶具有射影性质」2.求证：任意四边奉可以射影嵌平行四边形. |2. 提示:将四边形两对对边的交点连线业作影消线，作+ 心射影射得.3. 在平（8 w上.有一定直线儿以0方射心，校射到平面/上得到直线”,求证当。

变动时/'通过•定点.3「提示』…平面（O I，A I>-（O"E皆充于直线△，它们与平面虹的交线为/J；* P；,如果口与/交于点P*则p" P〉…都通过点P・如果P是无绑远点，则p'pw…彼此平行.町以选取射豺中心V与另•平面/,将OS二点射影成平面/上的无穷远点.如圈2-2-3,这时LLM'N•皆为平行四边形的对角线文点，容易证明它们共线，且所共直线与匕■"平行, 根据姑合性是射影性质，所以JM,N共技,旦此直线与桐口上共点.5, 试用梅萨格症理死明：任意四边形告对封边中点的连线与二耐角线中点的连找相文于「点.5.捉泌如图」2-4,设四边形AT3CD四边中点依次为E, F, H,对种线AC所的中点是P.。

高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经过几（一3,2）和^（6,1）的直纯AB与直线工+ 3，一6二0 相交于P A^（ABP）=?U 4 线AB 的方程为x+9j^- 15 = （1：P点的坐标为住存）;（ABP）= -L2,求一仿射变换，它使直线工+2$- 1 =0上的每金点都不变j且使点仃，-1）变为点（-L2）.2.在岂线工十為-1=0上任取两点A（.lA）>,Ii（-hl）.±T-A<1,0）^A<1.0）• B<- L （- b L>?又点（L -H-l心[j1=竝“丁+应位¥+0沁1仿射变换式 < . 、可解得所求为ly=細/ 4 gy+ 如 * 工"=2工十2y 一1 * [$ = _芬_切寺.3.求仿射变换” =7.r —于+ 11 y = 4Hy + 4 的不变点和不亶直线.3.不变点为（一*卩一2）・不殳山线为2r -2$ - 3 = 0与4 ar- y-0.4 •问在仿射变换下，于列图形的对应图形为何？①菱形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（D半行卩U边形;（2）平行网边形；（3）梯形；<4）三宦形.5.节述性质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线*点；③三角形内接于一國；④一角的平分线上的点到两边等距.5. 0）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一1.下列哪些图带具有射影性质？平行宣蝕；三点共线；三武錢共点；两点阿的陌离；两亶统的先角；两相聘找段L答:（2）＞具有射影性质.2.求证：仟宦四边涉可以射齡虑甲行四边影. |2.捉示:将四边竝两对对也的交点连线収作燈消线，作•屮心射影即得.3・在平闻2上有一定直线宀以0対射右.投对封平面『上得到直线//•求证当Q变动时•”通过•定点.3.提灵平面（0-0）宀皆交于总线和它们与平而孑的交线为P；■如果p 口 J交于点FS则嵐皿二…都通过点P. 如果P是无穷远点*则pjp.…彼此平行.4・设三直线.交于一点S”JVQ (Qj ・Rj 心分别 交二直线/, J 2于P I >Q I >«I 与码・Q ■局，求iff ：直线P 、Q 2与 g 的 交点・Q 局与Q,乩的交点・乩几与K 3P.的交点•三点共线，且此直线与可以选取射彩中心F 与另•平面*，将O 、S 二点射繆成平 面t 上的无穷远点.如圏2-2-3,这时L',M ,N‘皆为平行四 边形的对和线交点，容易证明它们共线，11所其血线与l\.r 2平行』 根抑:給合性是射彩性质，所以JM ，、「兀线.且此血线与 人“共点.5.试用1«萨格定理证明：任慮四边形各对时边中点的连线与二对角线 中点的连线相交于「点.5.提爪:如图2-27.设四边形A/3CD 四边中点依次为E, F. G.6.捉小：如图2-2-5.研究三点形HQA 和RSD,对应边交点PQ x RS = X,QA x SI) = C,APx DR 二B •因为X.B.C 共线，根据徳萨格定埋的逆 定理，必有刈应顶点的连线兀点.H,对角线AGED 的中点是P,Q,研究三点形PEH 和QGF,利 用德萨格定理的逆定理，可以证明其对应顶点连线EG,FH,PQ 共点.6.ABCD 星四面体』K 在BC •上•一直线運过X 分别交AB.AC TP, Q,另一直线通过X,分别交DH,DC 干乩头求iE ：PR 与QS 交于AD.A习题二下列谱点•若它的非齐Ifc 量标存在■晴挹它写出来：（2,4 …,0几（0沖」）JAM 』）. J2：-八俘厂驾）,无,（0•胡无-J.当正负号ffjg 选取时才问（ ± L + l.±l ）^示几个相异点？3.答：四个相异点. 取求下列各直线的齐冼线坐标】「0 丁辆；（2），轴汀3）无穷五直如⑷ 通过原点且斜車为2的直践 4答：|<1> [山1,0〕 （2）CbO.D]⑶ Q ）,Oi 1] ⑷ C2* - 1/B 桌T 列诸线坐标所表肓线的方程：（OJ llJLUJjjH-UOj5. S：| , fJTj +屯=U*工| +忙壬一王i = 0卩工1 + ZTj二（L丈］-X r=0・6-下列诸方ftfr*示什么图弦？k L = - w A = 0h K| + u3 u5=0T2H（ + Bf? - O.iiJ ^5«i tii =0. |心答’点点（0d, - 1 儿点<hbl>点Q7L»两点心-4.0）和（1, 一1卫）・习题二2 •写出下利命魁的对偶命題-（0爾点决定一直01 ：<2）对电平贡上至少存庄四条倉线十其中怪何三圣不共点：（3）设~亍蹩翡的三点晤*它的两边SiHS一个定点■術三15点奁共点的三直统上■则第三边也通过一节定点”2.答：（1）M线必交T-C2）射膨平血上至少存在四个点，贞;中任何三点不北线；⑴设•变功的三线形，它的两顶点各在烷山线上川if三边齐经过技线的三个点「则第三个顶点也在僚定n饭上・3：已懼点人“工」几片《4一仃1耳几（真・E3）^证F 片舄共线，并以,的值，曲P3= ZP| + FTiPj若鬥』"旳为三＜»«?3- ftY ： / = 11 w = 2.|軾设A,£.C：为三帽异共线点证,可适当Jiff A,B的齐次蛙标S 乩而使丁〜T由中t是C点的坐标•写出耳对傅情兄|4.证明J设儿乩匸的齐次坐标勞别为⑷""门则根据定理3・4 •存在常数Zim f使亡二仙+血「因为儿时C为不同的点，所以fHO,加工山取A点的座标为In |»B点的坐标为mb|，则有u = a b ・习题四1■⑴求逹接南点（1 +i+2+i t l）+（l -i t2+i T l）的直线方注.⑺求亘线（】・"g "2和）心+卫工厂0上的吴点1.答；（1）工［一工上+ JTg = 0＞Q＞实点为Q.-1；D・r 2.求证’三点“卫）江1儿0）、（1・一1卫）共堤・擀量舀一点的坐标表示为前两点的统性纽合.2, ® fi<l* -Ld&ifiQ-bOJirdB -liO)由于故三点共线.3・求证俩坦点所定直线与菖間共純复点所定直規为两条共寵克线* 乳证明’设两复点“」所定更直线为人卿共純逐点衽应在f的共總复克线』上■同理b也在「匕故矗由确定复対梢命題；两复宜线所交之复点「及这两归线的共觇复宜线所交之复点，为两共舰复点・g求圆甘匕；二g -i^y+^=8*;的交点.4.答：四个交点为；<lUrQ>» (lr-LiO)»Or2rl)r(一1・2, -1).第三章射影变换与射影坐标习题一1.设儿乩口门用为其蜒五点求址’(AB,CD)-(>iB t DE>*(AB,EC)= L1 .证附h(AH-C7J)* (AH-/JE)* (Art. EC)_ (ABC).(AM・ D) . (AHE) _ .-JWP GSB；E)T AHC T-1*2.若A (2 J. ・1 ・lW(「(h(n*fJfL』r -时皆共线四点. ^(ABXn).2.執(：= 4-CA t H) 可号旳(?= A * li./J=2A -3B- 町写为□二八一斗■也所口C/Vl .(!?)= 一〒亠■3. a巴门门J).巳(1.• i」hPj门・DJ)为其坡三点•且(”巴. 円FJ -4卓巧的圭标.3・執设Pj=p t+必则 人二2. 所以所求为卩」（3・一1・3）・4.巳知直线的方程分别为2丄| 十才2 一刁3 =0 ■才 | - ♦ J 3 =0f^| =0R且-寺■求6的方程.4.答：厶的方程列11巧-2.巾+ 2.巧=0」5.设P l .P 2.P J .P 4,P 5,P,是六个不同的共线点，求址: (O(PlP 2.P ?PJ(P|P 2.P J P #>-(PpP I .P>（2）如果（巴P ：,P.,PJ 珂f\P-PO 则（件巴，鬥巴2 -1. 5.证明（I ）与第I 题类似•根据定义证明.⑵ （PR ，几匕）=I -（件匕,P J P 4） = 1- （P 2P 3,PJ\）因为Pj 是不同的点.所(U(P I P J P F 2F 4) = -1.8如图3 - 12*AB 为ISO 直径・C 为AB 延长线上一点.Cf 为圈的切 线、M 为切点，求证M 在/!£上的5J B H 是C 关于的谢和共純点. 证法一：MH • MA 是Z CMH 的内外角平分线（图2-3-1）. 根据原书第三章§1例题乩得（AB.HC ） = -L证法二：先匹明命题：设（AB, CD ） = - L O 为CD Z 屮点•则（X ：1 - OA-OB-反之亦真.在术题川可以先证明OA 2~OH-（：X.\ 利用上述命题即可得证.9.已S：直线U 占丄的方程分剖为2^ - >+ 1 = 0T3x+ > -1=^0,?^ -y= O（5^ -1 = 0,求证儕直绸共点，并感⑴ n9・答丄2#仃V二右嵌4氐6 ry =^2^ +打心：$二岭工+ 4打初工+心北农n j * f. （4t _ijX^i ~共i*求H：上“比心）■（爲一上：）（右二打）12.眾启过原加1：分别打此四杠线平帶的口线,得:/;：y^ k2.Tr!v = i 17 -即心=虽寸・仃：y = ij,T・即和二札百・选基线a: 7'j =(ii 6：Ti — 0Md Z| ：a- 4|6- /2： a —jfci6«Zj：E、h f Z4: a —i4 ft.则（ZM仏心站心门:心驾习题二1.求证侦I躍一维时怡对虫便直践I上的无勢远点讨应克线厂上的无霸远点•則这片对应一定是彷殆对应.k提示：因为仿射对应是保持共线三点的单比不变的，【殳A, B>C是直线r上的任意三点•其射影对应点是厂上的用；廿& 又/上的卩“刘应广上的卩「所iy （AZi,CP w）=悯此（AbC）=（AliC）.2.血果三倉幣ABC的fflBC.CAMB 通过在同一直绘的三刈P.又顼熾在一来定直线上求证；瓦点X泡在一条定盘找上.2.证明：如图设三点形①血匸.足满足条件的力•三点形，则有佃，耳,…）K （C, （\,…〉p（C, C,,-）悯为PQ与RQ是同寸线，即PR是门对应元素，故有P（B,〃「・••）天R（C,（.「…）|所以，对应直线的交点A, A,,…共线.*3-如果点列（卩）A（r）fc其屁八广交点、垠UE：P,P：与PF.的交点K的轨迹足一条克垛3・证明：如果O是口对应点•则八』巧天厂（r'）| I所以P』；通过透视中心V（定点）・如图2-3-9. |闵为WM是完金四点形的村边三点形.故有：||（//\ OVOX） = - I由于頁线I.l .ov是固宦的•所以0X是一条固定直线.如果0不是白对应点;设0作为2王的点时0二旷甘在d 上儿0作为厂上的点时UFb 如阳2-3 - 10*则有（OU.Pf J = ^VO.P\P\） =（OV\/）；P f ）.由业得到O 点门村应•所以（3 rj v\ 巴」；）・ SW=S 线 uv\ mPf ；共曲ih ］盲线UW 是周应M 所以卩』；£卩；巴的交点X 在周应阿胃 线cn 厂上・Ii\在 I 上P “mQ，R -R .岡为〔戸 P\Q I R ）矣 <fj>（FtEt^AtB ）天（「』・F ・Q ） f 听以这是一个姑笑变换. W ・QR \二 umQ ）|（/m ）= ""◎J 根据定理2.4如，这射彫变换是一个对合.习题二L,燒苴绘/上的点P 「QhP 】UnP 、（2）经射总对JSLWllfc 对宜厂上的 点P ； （--2）.求射豪对应武、并化为齐Ifc 堂标或■求出t 上的无穷远点的对应点一■JZ* 直數与完全四点丿E ABC Q 的三对对边的交点为P - N ；Q.P 4证明二任童一羸不通过完全四点罡顶虐的宜蜒导完全四点孫的三对 时边的交点‘是用于同一对合的三对对应虑+ 4 r pr2=3TJ -4T3非齐次坐标式\4r 1.答:齐次坐标式:严:八" =3;\43.r 一4F w（I 川）f 卩（一4・3）•卩（4・3）f P；（1.0）2.求直线，到自身的射够变檢式，便PJOJ.Pifl）,?.分SI对应点3.已知①轴上的射形变換式为._2上一1文"TTJ试求坐标原点•无勞远点的对应点一3.答：（Q,1）f（-1・3儿|（1卫）・（2・I）」4.求以尸射影变换的自时应元索的$«:（1} U' - 2A + 1^0:（2） 2H+ 1=64.答：（1）1: L（2）-y；＜x＞fc（3）2:3.5.求对合的方程，这个对仑的二it元索的塞«t为:（1） 2 与3$（2）方程血1十2庐十0的根.5.答：⑴ 2U -5（A t A z）十12 = 0：（2） aAA' */（入 +人'）＞ /=（!・6记知对合的两对对直点曲蠡敕为：3-2.5-1.试求时合的方程和二載点的赫敕6・答乂 + CA * 厂）-1=（l （ -1±2j3.习题四I 求-射影变换，餐点（―“・{01.门.“・「1）・5』」）用次对应点 <i,o^j,{oa,oh （o r oj ）xi J 4）.1. 答;所求变换式为:2. 壊射幣徑恢{fl^t ~2^1 才J 丰占：\ 貝兀；=+ 2xj - Xy■ pF ； - *T I 4 T a + T 3馬i£变袂式•井末出昭潸ete 旳=0対对应直线的方程2・答：根据公式（4.4）,求出逆变换为.曲 i — 3 rj + 2ri —.带；申 oij = — 2,r | + 乂； + 3 J ?J ! o ：j ：j =—工；-3工；+ 5.工;・ 兀=0的对应直线为：乳+ 3丁； — 5丁；二0・ 3, 求射誓禮换* ftr 卩=心 的不霓点坐拆一3・解：根据公成5.G 列出特征方程：5 - 1P = （L fi - 1 {三重根）.将f£ — I 代入不变戌方程组（4. 5）■得rj = 0 - = 0上的点都是不变点■即斗=0是不变点列乂）4.求射屢迎换*的不宜无索・［甘;-4j| - J?阿；-3J-J 血F -孔「Ml4・解.特征方程为勺心二_ 2r/^ =3*i 1）S 十2）（产- 3、= 0p 解得——1 F将特征值代入不变点方程组•得不变点为({hOdi),(bL0)- tl 16*5).不变/(线为：叮一工二十工】二巧一巧=0« 5x( -巧二氛第四章变换群与几何学第五章二次曲线的射影理论习题一—・三点理A«?利A®「同时外切于僚二次曲蜿■琳迹它们也同时内摄于一築二次曲毀5 ■证明：设三点形ABC和A H匕同时外切于一二诜曲线S・如图2-51-有a伶・<r)7Va(/j ■—林* f、Iiflj a (Z J * 厂M f ) K 八‘ U3 * f 二li') * [a' (61 c» ft i )天A (C i B- J" • B ) i所以"气G B. C\ H^7\A((：・"■ m很据二阶线的射影定义.ABC：和A方厂内接于二択ffi线7求由胸卩成肘举对应“三陽的线束叭-- 0 W T!= O 所禰感的二阶曲战的芳思.7.解匕两射影线束可以写为’习题二E写出布利安桑定理的逆定理并加以证明.捉示:利用二级曲线的射影定义.3.给定二阶曲线上去个点’可认产生多少条帕斯卡线？对偶地■对于二红曲纯悄况如何？3-提示二利用州比A,人A,九六平元素的环狀耳列的性质及A,A1A J A^A S A A 4 A fl A s A+A3 A±J%裂示同一选取♦因此已知六点形龍加定磐二“）条怕斯卡线•对偶地I对于：级曲线的z b外切六边形也有60个布利安桑点.4.已打射衫平面上的五个点（无三者共线h利用荫斯卡定理）求作其中一点的切?V4,解：LS 阶曲线s上的卫个点为A. 九，比，试作/h点的切线■如圏2-5-2.作4^ A>x AM5=P IX 14^A)—tj tA,A^PQ = R.则A S R为二阶曲线的切线.5.在内接于圆的曲金三点形AHC欷ABC中、设AB汎Ali^PdiC^BC=Q^CA f x CA^R7证明巴三点携线，5.握示I将三兰点形之顶点扌I#列枕序为AHCAMf 圆为：次曲线■由帕斯卡定理可知F、Q. R三点共线.6T证明柏斯卡定理的逆定理.6.捉示：利用二阶曲线的射澎定义.习题三1.思肴：若_L接从二级曲线出发，如忖君虑极点.概践的槪念及农法？1.捉示，用对偶甌则.可光讨论直线的极点.2.证明定理乳5推论3:囉PA . Pti为二阶曲线妁切线'若其中儿H为切点.则AH为卩点的极IV・2.梃示：用配枫瓯则证明.3.已钿一条直钱〃求作/>关于二阶曲钱舗极点・工捉示匸在p上任収一•点，作它们的极线的交点.4.已知二阶曲线上一点从求作P点的极线.4.捉示『过P任作一直线，作出此直线的极点.5.已知二阶曲钱（C' ）:2卅十4T1T;十6丁］工、+ 丁；⑴求点p（1,1717*于（⑴的极氟（2）求直线也=0关于（「）的枫点.5 .答：⑴了斗十2T2+6工、=0：（2> 匕-6-7）.6-亲点（5」7）关于二阶曲线：2Xj + 3工；+工；—6J T|工士_2JTJ兀—4工丄工」=0的极线■6-答—门=0.设ABCD是二阶曲线制内接四点形杲对边三点求证 * 处的切线交在直线上、八」丿处的切线也交在YZ 直钱上.7.捉示：设乩匸处的-切线交丁卩，则P的极线& HC\而B（'x AD=Xi 所IU X的极线必过卩点+又知对边三点形XVZ是自极的，即X的极线定Y乙所以F在浮1：*同理可证A、D处的切线也交在YZ上.&根据帕斯卡定理证明布利安桑定理.8,证明’设心仏仏&足九是二级曲线Z外班六边形■翌证对顶点的连线人/一A J A『人役共点，设此外切六边形每边的切点为P」凡，珂，卩获巴，P"则巴P;P』斗巴代构成此二阶曲线之内接六心形’市帕斯卡定理知L =HE X F4F4(J W=k/^x卩J J N=儿匕x p.p^三点共线，但卩i巴的极点为A屮巴几的機点足A,所以L的械线是如A「同理的械线圧入的极线是儿比，宙于L、WN北线，故它们的极线丸丄A弋・A 心N A/ A i 共点** f—第六章二次曲线的仿射性质与度量性质。

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。

2. 掌握几何图形的性质和相互关系。

3. 理解几何变换的基本原理。

教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。

2. 几何图形的性质和相互关系。

3. 几何变换的基本原理。

教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。

2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。

3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。

3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。

教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。

2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。

3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。

课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。

2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。

3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。

教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。

2. 理解平面的性质和方程。

3. 学会利用直线和平面解决几何问题。

教学内容：1. 直线的性质和方程。

2. 平面的性质和方程。

3. 直线与平面的相互关系。

教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。

2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。

3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。

2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。

3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。

教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。

2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。

3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。

课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。

高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。

2. 掌握几何图形的表示方法和性质。

3. 理解几何公理体系和演绎推理方法。

教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。

2. 几何图形的表示方法和性质。

3. 几何公理体系和演绎推理方法。

课后答案：1. 高等几何是研究几何图形性质和相互关系的学科。

2. 几何图形可以用点和线段来表示，具有大小、形状和位置等性质。

3. 几何公理体系是用来建立几何证明的基础，演绎推理方法是用来推导几何结论的。

教案章节二：直线与平面教学目标：1. 了解直线的性质和表示方法。

2. 掌握平面的性质和表示方法。

3. 理解直线与平面的位置关系。

教学内容：1. 直线的性质和表示方法。

2. 平面的性质和表示方法。

3. 直线与平面的位置关系。

课后答案：1. 直线是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。

2. 平面是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。

3. 直线与平面可以相交、平行或者包含于平面。

教案章节三：圆与圆锥教学目标：1. 了解圆的性质和表示方法。

2. 掌握圆锥的性质和表示方法。

3. 理解圆与圆锥的位置关系。

教学内容：1. 圆的性质和表示方法。

2. 圆锥的性质和表示方法。

3. 圆与圆锥的位置关系。

课后答案：1. 圆是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。

2. 圆锥是由一个圆和一个顶点组成的，具有旋转对称性。

3. 圆与圆锥可以相交、包含或者平行。

教案章节四：三角形与多边形教学目标：1. 了解三角形的性质和表示方法。

2. 掌握多边形的性质和表示方法。

3. 理解三角形与多边形的位置关系。

教学内容：1. 三角形的性质和表示方法。

2. 多边形的性质和表示方法。

3. 三角形与多边形的位置关系。

课后答案：1. 三角形是由三个顶点和三条边组成的，具有稳定性。

2. 多边形是由多个顶点和多条边组成的，具有闭合性。

3. 三角形与多边形可以相交、包含或者平行。

教案章节五：坐标系与解析几何教学目标：1. 了解坐标系的性质和表示方法。

194习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4t =; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4t =的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭当π4t =时， ,,222a b c x y z ===切线方程为2220a b c x y z a c---==-. 法平面方程为0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22022a c ax cz --+=. （2）联立方程组22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得d d 2220d d d d 10d d y z x y z x xy z x x⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 解得d d ,,d d y z x z x yx y z x y z--==--195在点M 0（1，-2，1）处，00d d 0,1d d M M y zx x ==- 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为121101x y z -+-==- 法平面方程为1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0即x -z =0.(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得d d 22,21d d y z ym z x x==- 于是d d 1,d d 2y m z x y x z==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2my z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为 00000,112x x y y z z m y z ---==-法平面方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

高等数学第三版上册课后习题答案高等数学是大学数学的一门重要课程，它为学生提供了丰富的数学知识和解决问题的能力。

而课后习题作为巩固和拓展知识的重要方式，对于学生来说是非常重要的。

然而，由于高等数学的复杂性和抽象性，许多学生在解题过程中会遇到困难。

因此，本文将为大家提供高等数学第三版上册课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

第一章：极限与连续1. 习题1：设函数f(x) = x^2 + 3x - 2，求f(x)在x = 2处的极限。

解答：将x = 2代入f(x)，得到f(2) = 2^2 + 3*2 - 2 = 10。

因此，f(x)在x = 2处的极限为10。

2. 习题2：求函数f(x) = (x - 1) / (x + 1)在x = -1处的极限。

解答：将x = -1代入f(x)，得到f(-1) = (-1 - 1) / (-1 + 1) = 0/0。

由于0/0是一个不确定形式，我们需要进行进一步的计算。

通过分子有理化，可以得到f(x) = (x - 1) / (x + 1) = (x + 1 - 2) / (x + 1) = 1 - 2 / (x + 1)。

当x趋近于-1时，2 / (x + 1)趋近于无穷大，因此f(x)在x = -1处的极限为负无穷大。

第二章：导数与微分1. 习题1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的导数。

解答：对f(x)进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

2. 习题2：求函数f(x) = e^x在x = 0处的导数。

解答：e^x的导数等于其本身，因此f'(x) = e^x。

将x = 0代入f'(x)，得到f'(0) = e^0 = 1。

因此，函数f(x) = e^x在x = 0处的导数为1。

第三章：微分中值定理与导数的应用1. 习题1：证明函数f(x) = x^3 - 3x在[-1, 1]上满足罗尔定理的条件，并找出满足罗尔定理的点。

第1章 多项式第1节 数域1．举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子。

解：集合Q ＋＝{a ∈Q|a ＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭。

2．举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子。

解：集合1{}33n n n ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭Z Z Z ∣对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭。

3．举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子。

解：集合S ＝{2n|n ∈N}，{1}，{2m ＋1|m ∈Z}与集合{m|p ∤m ，p 素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭。

4．试证C 的子集P 若对减法封闭，则必对加法封闭。

证明：可设P ≠∅，于是有a ∈P ，因此a －a ＝0∈P 。

又因为0－a ＝－a ∈P ，若有b ∈P ，则必有a ＋b ＝b ＋a ＝b －（－a ）∈P 。

故P 若对减法封闭，则必对加法封闭。

5．试证C 的子集P 若对除法封闭，则必对乘法封闭。

证明：设P ≠∅，P ≠{0}，于是有a ∈P ，a ≠0，因此a ÷a ＝1∈P 。

又因为1÷a ＝a －1∈P ，故若b ∈P成立，则有ab ＝ba ＝b ÷a －1∈P 。

因此P 若对除法封闭，则必对乘法封闭。

6．令{,,}a a b c =++∈Q Q试证明是一个数域。

证明：由题目易知1,0Q∈，若1,2)i i d a b c i =+=则有()((12121212d d a a b b c c ±=±+±+±Q即Q 对加法和减法都封闭。

又因为()((12121212122112122112555 d d a a b c c b a b a b c c a c a c b b =++++++++Q则Q 对乘法封闭。

下面需证明Q 对除法是封闭的。

由于对乘法封闭，故只需证明下面结论： 若d a=++≠则1d-∈Q成立。

下面分为三种情形讨论：（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，11d a--=∈Q。