当前位置：文档之家 › 高等几何第4章(新)

高等几何第4章(新)

  • 格式：ppt
  • 大小：1.70 MB
  • 文档页数：46

下载文档原格式

  / 46

合集下载

大学高等几何课件

大学高等几何课件
空间几何体的分类
多面体、旋转体、组合体等。
空间几何体的性质
体积、表面积、重心等。
平面几何与立体几何的关系
平面几何是立体几何的基础
01
立体几何中的许多概念和性质都可以从平面几何中推广而来。
空间几何体的投影
02
通过投影将三维空间中的几何体投影到二维平面上，从而将三
维问题转化为平面问题。
空间几何体的展开
数形结合的思想方法
数形结合
在高等几何中，数和形是密不可分的，通过数形结合可以将几何问 题转化为代数问题，或者将代数问题转化为几何问题。
代数方法
利用代数方法研究几何问题，如线性代数中的矩阵和向量等，可以 更深入地研究几何图形的性质和关系。
几何直观
通过几何直观来理解代数概念和性质，使得代数问题更加直观易懂。
05
CATALOGUE
高等几何中的数学思想与方法
抽象思维与具体表达的结合
1 2
抽象思维
高等几何中，点、线、面等基本元素不再是具体 的实物，而是通过抽象思维来定义和理解。
具体表达
高等几何中，通过几何图形、图像等方式将抽象 的数学概念具体化，便于理解和应用。
3
结合应用
抽象思维与具体表达的结合，使得高等几何能够 更深入地探索和研究几何学中的本质和规律。
差异性
然而，射影几何和仿射几何也存在差异性。例如，在射影空 间中，无穷远点是重要的元素，而在仿射空间中则不重要。 此外，射影变换通常会改变图形的形状和大小，而仿射变换 则不会。
04
CATALOGUE
欧式几何与非欧式几何
欧式几何的基本概念
欧式几何
基于平面的二维空间，研究点 、线、面及其性质和关系。
不同空间结构

高等几何教案与课后答案

高等几何教案与课后答案

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。

2. 掌握空间解析几何的基本知识。

3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。

教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。

2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。

3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。

教学准备：1. 教案和教材。

2. 多媒体教学设备。

教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。

2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成教材中的练习题。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。

教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。

2. 理解线性变换和矩阵运算。

3. 学会运用向量空间解决实际问题。

教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。

2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。

高等几何(第三版 朱德祥)参考答案

高等几何(第三版 朱德祥)参考答案

第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。

∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。

因此线段中点是仿射不变性。

∵在等腰△ABC 中，β=γ。

设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。

∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD 가BC ，由于T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。

由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。

得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。

由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。

设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)∵G ∈AD ，由结合性得G '∈A'D'；又∵（AGD ）=（A'G'D'）即 31AD A D GD G D ''=='' 3311BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：， ∴G'是△A'B'C'的重心。

高等几何 总复习

高等几何 总复习

a 2 (b c ) d 0,
一维射影变换的分类：
(ad bc 0)
( 2)
相异实根 相异实二重元 双曲型 0 0 (2)有两个相同实根 (1)有两个相同实二重元 称为 抛物型 0 共轭虚根 共轭虚二重元 椭圆型
18
第三章 一维射影几何学
③将每一个特征根λ 分别代入方程组(A’-λ E)u=0，求 出固定线的坐标.
(a11 ) y1 a12 y2 a13 y3 0 a21 y1 (a22 ) y2 a23 y3 0 a y a y (a ) y 0 33 3 31 1 32 2
28
相应的变换群
射影群
3
仿射群
运动群
变换式
xi aij x j , x a1 x b1 y c1
j 1
i 1,2,3,
y a2 x b2 y c2
x x y h y x y k
aij 0
考试重点：作图题
22
第四章 德萨格定理，四点形与四线形
A
几何构形的代号：
完全四点形
4 3 2 6
B C
D
完全四线形 三角形 德萨格构形 帕普斯定理
6 2 3 4
a
d
b c
23
第五章
射影坐标系和射影变换
5.1 一维射影坐标系 5.2 平面内的射影坐标系 5.3 射影坐标的特例 5.4 坐标转换 5.5 射影变换 5.6 二维射影几何基本定理 5.7 射影变换的二重元素（或固定元素） 5.8 射影变换的特例 5.9 换群 5.10 变换群的例证 5.11 变换群与几何学

高等几何讲义第4章

高等几何讲义第4章

c// s
b//
q
共线．
c/
a
b/
§1. 配极与二次曲线
在完全四点形 sa//cb// 的对角线 ab上，有
(ba; pc//) 1，
因 a、b 在曲线上，故 p 与 c//是一对共轭点．
又 p 在 c/ 的极线 ab上，故 p 与 c/ 共轭．
因此，p 的极线是 c/c//．
同理，q 的极线是 a/a//， p
➢3. 二次曲线方程的简化形式
➢ 因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标 准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为： b1x12 b2x22 b3x32 0．
➢ 下面是另一种简化形式： ➢ 定理6 以二次曲线的一个二切线点和由此点作出
的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则 曲线方程可写为：
§1. 配极与二次曲线
➢ 推论 不在曲线上的点是无切线点 其极线是
无切点线．
➢ 例1 已知二次曲线 : x12 3x22 x32 2x1x2 4x1x3 0 和点 a(1, 0, 1)，试判定点 a 是二次曲 线 的哪一类点．
解法1： 方程可改写为：
1 1 2x1
(x1, x2, x3) 1 3
➢ 下面证明此处定义的切线与通常的切线定义一致．
➢ 例7 证明：直线为二次曲线的切线 此直线与 二次曲线交于二重点．
证明：选取如推论中的坐标系，则 的点坐标方 程为：x12 x2x3 0，其对应矩阵为
2 0 0 (aij) 0 0 1．
0 1 0
§1. 配极与二次曲线
1 0 0
此矩阵的伴随矩阵为：
两条切线 、 的切点分
别为 y、z．
y
因 y、z 的极线 、 过 x，

高等数学第4章

高等数学第4章

第四章 微分方程
y
3
2 (1,2)
1
O
x 一阶微分方程的概念
图4-1
x 1时, y 2 , 简记为 y |x1 2 (称为初始条件) (2)
5
第四章 微分方程
例 1 一曲线通过点 (1, 2) (见图 4-1), 且在该曲线上任一点 M (x, y) 处的切线的斜率 为 2x , 求该曲线的方程
F ma , 若取物体降落的铅垂线为 x 轴, 其正向朝下, 物
体下落的起点为原点, 并设开始下落的时间是 t 0 , 物体
下落的距离 x 与时间 t 的函数关系为 x x(t) (见图 4-2), 则
可建立起函数 x(t) 满足的微分方程
d2x dt 2
g
其中 g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
17
第四章 微分方程
4､微分方程的初值问题: 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解, 此时, 这类附加条件就可 以用来确定通解中的任意常数, 这类附加条件称为初始条件. 例如, 条件(2)和(5) 分别是微分方程(1)和(4)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
18
第四章 微分方程
Advanced mathematics
高等数学
第四章 微分方程
第四章
微分方程
人民邮电出版社
1
第三章
第四章 微分方程
内容导航
第一节 微分方程的概念 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程 第四节 微分方程的实际案例
2
课前导读
微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究
F (x,(x),(x),(x), (n) (x)) 0, 则称函数 y (x) 为微分方程(10)在区间 I 上的解.

高等几何课后答案(第三版)

高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经耳A（-3「2）和的直成AB与真级* + 3.丫一6二D相交于P点，衣EBP）=?U苴线A8的方程为工+%「一15 =山P点的坐标为（y-y）；（ABP）= —1.n求一仿射变披，它使直睡工+2了- 1 =o上的每个点都不也且使点（1,-1）变为点（-L2）.2.在白线量十卷一13）上任取网点1.1）.由于AUQm）・BmEJb i>?又点u, - n-i⑵I仿射变换式｛, •可解得所求为3-求仿射变挨= 7.r - y + 11项=4/ +电+ 4的不变点和不受直线.3.不变点为- 2）.怀变直线为2/ -23,一3 = 0与4工一;y = 0.4.问在仿射变换下，下列图形的对应图形为何？①箓形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形"2）平行四边形；G）梯形"4）三角形.5.下述桂质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线共点；③三角形内接于一圆；® 一角的平分线上的点到两边等孑站5. Q）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一I.下列娜些图形具有射蛇性员？平行直哉；三点共线；三宜钱共教；两点月的距离；两直鼬的夹角；两相箸浅段1.答:⑵.⑶具有射影性质」2.求证：任意四边奉可以射影嵌平行四边形. |2. 提示:将四边形两对对边的交点连线业作影消线，作+ 心射影射得.3. 在平（8 w上.有一定直线儿以0方射心，校射到平面/上得到直线”,求证当。

变动时/'通过•定点.3「提示』…平面（O I，A I>-（O"E皆充于直线△，它们与平面虹的交线为/J；* P；,如果口与/交于点P*则p" P〉…都通过点P・如果P是无绑远点，则p'pw…彼此平行.町以选取射豺中心V与另•平面/,将OS二点射影成平面/上的无穷远点.如圈2-2-3,这时LLM'N•皆为平行四边形的对角线文点，容易证明它们共线，且所共直线与匕■"平行, 根据姑合性是射影性质，所以JM,N共技,旦此直线与桐口上共点.5, 试用梅萨格症理死明：任意四边形告对封边中点的连线与二耐角线中点的连找相文于「点.5.捉泌如图」2-4,设四边形AT3CD四边中点依次为E, F, H,对种线AC所的中点是P.。

高等几何4.1


§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的射影定义
定理1 不同心的两个成射影对应的线束对应直线交点的全 体构成一条经过二次曲线的射影定义
定理2 设二阶曲线 由射影线束O(P) O'(P)生成. 则在上任 意取定相异二点 A, B, 与上的动点 M 连线可得两个射影线束 A(M ) B( M ).
i , j 1
3
的所有点(x1, x2, x3)的集合称 为一条二阶曲线. 其中(aij)称为 二阶曲线的矩阵, 且秩(aij)≥1.
的所有直线[u1, u2, u3]的集合称 为一条二级曲线. 其中(bij)称为 二级曲线的矩阵, 且秩(bij)≥1.
注1: 二阶曲线与二级曲线的代数形式完全相同, 都表示三元实 二次型全体零点的集合, 统称为二次曲线.
2 例 x 2 px1x3 与 u u1u3 表示同一条二次曲线. p
2 2
2 2
2 2 x1 x2 c2 x3 与 4c2u1u2 u3 表示同一条二次曲线.
或
S S S Sp p3 . p1 p2 x1 x2 x3
例 设二阶曲线 : S x12 2x22 6x1x3 6x2 x3 0, 求过点P(2, 1, –1)的切线方程.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
a11 a12 a13 u1 a12 a22 a23 u2 a13 a23 a33 u3 u1 u2 u3 0 0.
2 展开, 得 T Aijui u j 0. 且Aij Aji , | Aij || aij | 0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
注: Maclaurin定理中的二阶曲线与二级曲线为同一条二次曲 线, S aij xi x j 0 和 T Aij uiu j 0 分别为该二次曲线的点 坐标方程和线坐标方程. 推论 若bij= Aij(≠0), 则S = 0与T = 0表示同一条二次曲线.

2017年《高等几何》教学课件


主要困难
必须注意
来自传统笛氏坐标的干扰
齐次坐标与笛氏坐标的根本区别在于齐次性， 因此，学习诀窍是在齐次性的前提下灵活运用 线性代数知识。 尽管针对拓广平面, 但是今后通用
齐次性问题
几乎无处不在的非零比例常数和比例关系
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
一、n 维实向量类
n 维实向量的集合 定义等价关系 ~ n 维实向量类的集合 (用圆括号记向量)
§1.1 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行. 2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线： 平 行 无穷远点 两直线 不平行 交于惟一 有穷远点 平面上任二直线总相交
( RP ) ( R \ {0}) / ~
n
n1 *
(n 2)
事实上, 关于齐次坐标的运算就是上述两个集合中向量类的运算 本课程仅涉及n=2, n=3.
§1.2 拓广平面上的齐次坐标
二、齐次点坐标
1. 一维齐次点坐标 定义1.4 非齐次 关系 齐次坐标
有穷远点
无穷远点 注
x
x= x1 / x2
Rn {x ( x1, x2 ,, xn ) | xi R} (Rn )* {x [ x1, x2 ,, xn ]| xi R}
x ~ y 0 R, 使得x y.
RP
n1
( R \ {0}) / ~
n
(n 2)
n维实向量空间的商空间 n 维实向量类的集合 [用方括号记向量]

大学高等几何课件第四讲


同样, 在平面上, 我们把非齐次的笛卡尔坐标( x, y )推广为齐次笛 卡尔坐标( x1 , x2 , x3 ), 使 x1 x2 x , y , x3 0. x3 x3 并规定对于任何 ( 0), ( x1 , x2 , x3 ) (x1 , x2 , x3 )和( x1 , x2 , x3 )代表 平面上的同一个点.当x3 0, 而x1 , x2不同时为零时, ( x1 , x2 ,0)代表以x1 , x2为方向参数的直线上的无穷远点. (0,0,0)不代表任何点. (1,0,0)代表 x轴上的无穷远点, (0,1,0)代表y轴上的无穷远点, (0,0,1)代表原点. 一点为无穷远点的特征是x3 0, 所以x3 0取作无穷远直线的方 程. 按射影的观点, x3 0跟其它的点没有区别.
由此可见, 用矢量表示, 则直线a, 即a x 0和直线b, 即b x 0 的交点坐标为 x a b. 以上讲的是点坐标, 下面介绍线坐标.
直线 a : a1 x1 a2 x2 a3 x3 0 ( 0)和[a1 , a2 , a3 ]代表同一直线. 我们把不全为零的三个数 u1 , u2 , u3称为直线 u x u1 x1 u2 x2 u3 x3 0 何值, 线坐标[1,0,0], [0,1,0], [0,0,1]分别表示y轴, x轴和无穷远直线. 两点a (a1 , a2 , a3 ), b(b1 , b2 , b3 )联线的方程可写为 x1 x2 a1 a2 b1 b2 x3 a3 0, 即(a2b3 a3b2 ) x1 (a3b1 a1b3 ) x2 (a1b2 a2b1 ) x3 0, b3
2.2
齐次坐标 点和直线的概念已经拓广,描述点和直线的代数表示也应作
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
云南师范大学
第四章 德萨格定理、四点形与四线形
本章地位 由一维射影几何学开始往二维 几何学过渡。
本章内容
从本章起介绍二维射影几何即 平面上的射影几何，首先讲德 萨格三角形定理，其次是关于 完全四点形与四线形的调和性 质以及德萨格对合定理，最后 讲帕普斯定理。
3
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
17
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 二、 平面构形 为了刻画平面形，我们引入“平面构形”，用 如下的符号表示：
点（1） 线（2）
点（1） 线（2）
a11
a21
a`12
a22
a11 a12 或 a a 21 22
a a 其中 a11 表示平面形中点的个数， 22 表线的个数，12 a 表过每个点的线的数目， 21 表每条线上点的数目， a a 且 aii ij a jj ji
27
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形
c
S
R
Q
(ⅰ)过点Ｃ任作一直线
T
A
C
B
D
c
S
T
R
Q
ｃ,于其上任取两点Ｑ和 Ｓ； (ⅱ)作点Ｒ=AS×BQ， T=AQ×BS; (ⅲ)连ＲＴ交直线AB于 Ｄ，则Ｄ为所求作。
A
D
B
C
28
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 (3)调和比的作图 作法二(此即习题3.13) （参看下页图） (ⅰ)以AB为直径作圆； (ⅱ)过C作AB的垂线交圆于点T（过C作圆的切线，T 为切点）； (ⅲ)以Ｔ为切点作圆的切线交AB于D（过T作AB的垂 线交AB于D）；则D即为所求作。
11
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲 2.应用
例1 证明三角形三中线共点。 证：设 ABC三边中点分别为A、B、C （见右图）考察 ABC和 ABC ，它们的 对应边BC / / BC ,因此 BC BC P .同理， CA C A Q，AB AB R
24
D
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 （2）完全四点形调和性质的 证明（取对角点A为例） 设SRQT为一完全四点形， 要证A(RT，BE）=-1. 以直线RD截线束，得： A(RT，BE）=A（RT，DE). =(RT,DE) S A 而RTED ABCD ,所以 A(RT，BE)=(RT,DE) =(AB,CD)=-1
C
Q
20
R
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义
定义4.1 平面内无三线共点的四直线及其两两交点 所构成的图形，称为完全四线形（完全四边形）。 （见右图）其中：
a, b, c, d 称为完全四线形的边
a
b
d
a b, b c, c d , d a, a c, b d
8
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
其中 a b ( a b) 从左边看表示两线 a,b 的交点 c ，从右边看表示两线a’,b’的 交点c’ 。故代表直线CC’，其余类推。 由于: AA BB CC 0 而组合系数1，1，1不为0，所以三线线性相 关，因而共点 。
22
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 定理' 完全四线形的每一条对 定理 完全四点形通过每一个对 角线上有一组调和点列，即这直 角点有一组调和线束，即通过这 线上的两个顶点和对角三角形的 对角点的两边和对角三角形的两 两个顶点. 条边.
云南师范大学
• 在射影平面上以点、直线所组成的图形叫 做平面形。
• 平面形分为：
简单平面形 完全平面形
16
云南师范大学
1.简单平面形 （1）点形：n点（无三点共线）及它们顺次 两两的连线构成的图形。 （2）线形： n线（无三线共点）及它们顺次 两两的交点构成的图形。 2.完全平面形： （1）点形：n点（无三点共线）及每两点连 2 Cn 条） 构成的图形。 线（ （2）线形： n线（无三线共点）及每两线的 2 交点（ Cn 个） 构成的图形。
德萨格三角形定理及对 偶定理示意图
6
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
1.证Desargues三角形对偶定理: [证]以直线 a, b, c, a, b, c 既表示直线 又表示这些直线的线坐标向量，要证三 线 AA, BB, CC 共点，只需证它们 线性相关即可。 由于直线 l 过直线 a 和 a 的交点， 故 l 可表示为 a 与 a 的线性组合：
称为顶点
c
p , q , r 称为对顶线 pqr 称为对角三角形
r
p
q
21
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 1.定义 说明： (1)完全四点形的构形代号为
4 3 2 6 6 2 3 4
完全四线形的构形代号为 （2）这两个图形互为对偶图形.
S
R E
Q
C
T
B
D
图4.8
25
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 注意：图4.8上的共线四点 A,B,C,D具有这样的性质： 有一个完全四点形QRST存 在，它的一双对边通过A， 一双对边通过B,另一双对边 分别通过C和D.我们可以把 这样的四点纯射影地定义为 调和点列.这样可以使调和 点列脱离前面利用距离的度 量定义。
一、本节主要内容
Desargues三角形定理
Desargues三角形对偶定理 应用
在初等几何中 在射影几何中
4
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
二、定理 Desargues三角形定理：ABC和ABC中，若
AA, BB, CC 共点，则
P BC BC, Q CA CA, AB AB R
l a a
①
7
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
同理:
l b b ② l c c ③
③ - ① 得：
①-② ②-③
CC a b ( a b) AA b c ( b c) BB c a ( c a)
_
（1）完全四线形调和性质的证明 设AB、SQ、RT是完全四线形的三 S 条对角线，SQ、RT 交AB于C、D， Q S 则ABCD RTED _ BACD，于是 R E ABCD BACD T 从而（AB，CD）=（BA，CD） Q 1 = ( AB, CD) C B A 而，A、B、C、D互异，所以 图4.7 （AB，CD）=-1
18
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
二、 平面构形 例如三角形的构形为：
3 2 10 3
2 3 3 10
德萨格构形为：
注：如果是在三维空间，由于多一个第三类元 素平面，其构形常用三阶矩阵表示。
19
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三点共线
Desargues三角形对偶定理： ABC和ABC中，若
P BC BC, Q CA CA, AB AB R
三点共线，则
AA, BB, CC
三线共点。
5
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理 S
B
b
A
c
a
b
C
P
Q
l
R
A
C
a
c
B
图4.1
三、完全四点形与完全四线形 1.定义 定义4.1 平面内无三点共线的四点及其两两连线 所构成的图形，称为完全四点形（完全四角形）。 （见右图）其中： A A,B,C,D称为完全四点形的顶点, AB,BC,CD,DA,AC,BD称为边, P B D P,Q,R称为对边点(对角点), PQR 称为对角三角形.
A
C’
B’
B
A‘
C
而三点P 、Q、R 共线(均位于无穷远线上)， 故由Des arg ues 对偶定理知， 、BB、CC AA 共点，即三角形三中线共点.
12
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
三、 重要内容例讲
例2 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分 别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三 点共线. 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找 出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应 边的交点恰为X, Y, Z即可. 由题设, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个 字母, 试想： BC EF X A D AD CA FD Y 三点共线. B E BE 共点于垂心G AB DE Z C F CF
S
R E
Q
T
A
C
B
D
图4.8
26
云南师范大学
4.2完全四点（角.调和性质 (3)调和比的作图 ①设已知共线三点A、B、C,求作点D，使(AB,CD)=-1 [解]（作法一）（参看下页图） 首先过点Ｃ任作一直线ｃ,于其上任取两点Ｑ和Ｓ； 其次，作点Ｒ＝AS×BQ，T=AQ×BS; 最后，连ＲＴ交直线AB于Ｄ，则Ｄ为所求作。 事实上，由所作，QTSR为一完全四线形，由完全 四线形的调和性质，即知（AB,CD）=-1