高等几何讲义(第2章)

§1. 扩大仿射平面
3. 直线的齐次仿射坐标方程
仿射坐标系下，直线的方程为 Ax + By + C = 0． 扩大直线的齐次仿射坐标方程为： Ax1 + Bx2 + Cx3 = 0 (A、B、C不全为0)． (1) 无穷远直线： (2) 无穷远直线 x3 = 0 ． 例．设 α = 0 为非无穷远直线，β = 0 为无穷远直 线，则λα + µβ = 0 (λ, µ为参数)表示什么图形？ 答：为一束平行直线． 直线(1)上的无穷远点为(B, − A, 0)． 当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)； 当不平行于 y 轴时，无穷远点可写为 (1,−A/B,0)．
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§1. 扩大仿射平面 中心射影具有性质： 中心射影具有性质 1. 将点变成点； 2. 将直线变成直线； 3. 保持点与直线的结合关系． 这是平行射影也具有的性质． 但中心射影不保持平行性，这 与平行射影不同！(如图)
S
π η ζ ξ
M
π/
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§2. 射影平面
3. 射影坐标与射影坐标变换
射影平面上，所有点、所有直线地位应平等，但 无穷远直线仍有特殊性：其方程为 x3 = 0． 下面引入射影坐标．为此进行下述分析： 射影平面上的点 x，在代数上其坐标可分解为： (x1, x2, x3) = x1(1, 0, 0) + x2(0,1, 0) + x3(0, 0,1), (2.1) 其中，(1, 0, 0)、(0,1, 0)分别是 x 轴、y 轴上的无 穷远点 o∞(1)、 o∞(2) 在坐标，(0, 0,1)是仿射坐标系 的原点 o(3) 的坐标． 因 o∞(1)、o∞(2)、o(3) 的齐次坐标也可写为： (λ1, 0, 0)、(0, λ2, 0)、(0, 0, λ3)．
第二章 射影平面____§1. 扩大仿射平面 ____§
1.中心射影 中心射影
S
ξ η
π
D A
η /∞
A/ D /∞
π/
ξ/
C/
B(≡B/)
C
设 π 与 π /是二相交平面，S 是不在π 和π /上的一定 点，取作射影中心．对π上的任意点 A，作直线SA 交π /于 A/．将点 A/ 称作点 A 在π /上的中心射影 中心射影， 中心射影 从中心 S 引出的直线 SA 称为投射线 投射线． 投射线
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§2. 射影平面
丛模型
所谓丛，指三维欧氏空间中 丛 过原点 o 的全体直线和平面 的集合， o 称为丛的中心 丛的中心． 丛的中心 1. 丛的直线对应于 一维子空间； 2. 丛的平面对应于 V3 中的二 维子空间． 丛是射影平面的一个模型： 丛的直线 ↔ 射影平面的点； 丛的平面 ↔ 射影平面的直线．
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a l m o
b
ξ π
n
V3 中的
§2. 射影平面
半球面模型
规定：对径点合为 规定 一点． 1. 点看作射影点； 2. 大圆及截口都看 作射影直线．
b a
o
a b c
π
k
c/
以球心为中心，可建立半球面模型与扩大仿射 平面模型的一一对应关系．
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a
c b
ξ
射影平面
I VI II III
面
I II I
射 影 平 面
II
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§2. 射影平面
2*. 射影平面 P2 的定义及模型
射影平面 P 2 的定义 射影平面 P2 是由点与直线两类元素组成的集 合．它与向量空间 V3 有下面的关系： 1．P2 的点一一对应于 V3 的一维子空间； 2．P2 的直线一一对应于 V3 的二维子空间； 3．在 P2 中，若点对应的一维子空间包含在直线 对应的二维子空间中，则称点与直线结合 点与直线结合． 点与直线结合 在射影平面 P2 中，点用小写英文字母 a、b、…、 x、y、 …表示；直线用小写希腊字母 ξ、η、…、 ϕ、 ψ、 …表示．
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§1. 扩大仿射平面
无穷远元素的坐标表示
分析：平面仿射坐标系下，二直线 分析 ξ(1): A1x + B1y + C1 = 0，ξ(2): A2x + B2y + C2 = 0， 若相交，则交点坐标为： B1 C1 B2 C2 A1 B1 A2 B2 ， C1 A1 C2 A2 A1 B1 A2 B2 ．
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§1. 扩大仿射平面 因 k = − A/B 是直线 (1) 的方向数，故 方向数为 k 的直线上的无穷远点为 (1, k, 0)； 方向数为 ∞ 的直线上的无穷远点为 (0, 1, 0)． 可见，方向数与无穷远点一一对应． 几个结论： 几个结论： 1. 每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点； 2. 平行直线有同一无穷远点； 3. 不平行直线有不同无穷远点； 4. 两点确定唯一直线． 符号约定： 符号约定： 齐次坐标为 (x1, x2, x3) 的点记为 x； 点x的任一组确定的齐次坐标记为(x) ≡ (x1, x2, x3)．
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§2. 射影平面 射影平面上直线的特殊性质： 射影平面上直线的特殊性质： I 1. 直线是“封闭”的； a II 2. 任二不同直线有且仅有一个 交点． b ξ 3. 对射影平面的区域划 普通平面 分．(如图) ( ) I II III
普 通 平
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§2. 射影平面 故又可写成分解式： (x1, x2, x3) = (x1/λ1)(λ1, 0, 0) + (x2/λ2)(0, λ2, 0) + (x3/λ3)(0, 0, λ3)， (2.2) 代数形式上，(x1/λ1, x2/λ2, x3/λ3) 与 (x1, x2, x3) 应 表示同一点的坐标． 等价于要求(λ1, λ2, λ3 )是点 e(1, 1, 1)的齐次仿射坐标． 结论：为得到齐次仿射坐标，须以每三点不共线 结论 的四点构成齐次仿射标架 σ = [o∞(1), o∞(2), o(3); e]， 其中， o∞(1)、o∞(2)是无穷远点，而点 e 的作用则在 于由表达式：(e) = (o∞(1)) + (o∞(2)) + (o(3)) 限制点 o∞(1)、o∞(2)、o(3)的坐标选取任意性．
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§2. 射影平面
射影平面P 射影平面 2的几何模型
扩大仿射平面模型 若扩大仿射平面上点 x 齐次坐标为(x1, x2, x3)，则 1. 点 x 对应于 V3 中非零向量 (x1, x2, x3) 生成的一 维子空间； 2. 过点 a 和点 b 的直线 a×b 对应于由非零向量 (a) 和 (b) 生成的二维子空间； 3. 点 c 与直线 a×b 的结合对应于由 (c) 生成的一 维子空间包含在由 (a) 和 (b) 生成的二维子空间．
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§1. 扩大仿射平面 引入了无穷远点的平面称为扩大 仿射 平面 扩大(仿射 平面， 扩大 仿射)平面 引进了无穷远点的直线称为扩大直线 扩大直线． 扩大直线 注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原 注意 来的作为点集的仿射平面或欧氏平面．
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§1. 扩大仿射平面
2. 点的齐次仿射坐标
定义 设σ = [O; e1, e2 ]是平面仿射坐标系．在σ 之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) ≠ (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标 点的齐次仿射坐标： 点的齐次仿射坐标 1．若 ρ ≠ 0，则 (ρ x1, ρ x2, ρ x3) 与 (x1, x2, x3)为同 一点的齐次仿射坐标； 2．若 x3 ≠ 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点 无穷远点． 无穷远点 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标 注意 与齐次仿射坐标之间互化的方法．
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§1. 扩大仿射平面 例1 三点a、b、c共线 ⇔ 它们的齐次坐标满足 a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 0． c1 c2 c3 证明：若有至少二点相同，则显然成立． 证明 不同三点共线 ⇔ 存在直线 A1x1 + A2x2 + A3x3 = 0， 使三点坐标均满足此方程，即关于 A1、A2、A3 的 齐次线性方程组 a1A1 + a2A2 + a3A3 = 0 a1 a2 a3
ξ/
η/
§1. 扩大仿射平面 另外，中心射影不是双射．(如上图中的点 M； 再如下图中，直线间的中心射影下，点 P 无对 应点) S Q/ ξ /
ξ
P M M/
P/∞
Q∞ 分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线． 分析 方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射． 方法 新问题：无穷远元素如何表示？ 新问题
b1A1 + b2A2 + b3A3 = 0 有非零解 ⇔ b1 b2 b3 = 0． c1 c2 c3 c1A1 + c2A2 + c3A3 = 0