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高等几何讲义(第4章)

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大学高等几何授课讲义

大学高等几何授课讲义
为 x y 0, x y 0, x 2y 1 0的仿射变换。
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
第一章、仿射坐标与仿射变换
复习仿射坐标 及代数表示式
• 正交变换
x'
y
•
所以：
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
第一章、仿射坐标与仿射变换
例 已知三点 O(0,0), E(1,1), P(1, 1)求仿射变换T使顺次 变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习：1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
五、课程简介
• 周学时3，一个学期，学习第一章～第六章
• 主要参考书：
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版， 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出 版社出版，2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月； •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:vΒιβλιοθήκη v1v2l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2

高等几何讲义第4章

高等几何讲义第4章
所以，x 与 x/ 是 的共轭点对 (x)(aij)(x/)T 0
[ + ](u)(aij)(v)T 0 +0
(uv; xx/) 1． ➢ 注意：此定理将共轭与调和共轭联系了起来．
§1. 配极与二次曲线
➢ 例2 由二次曲线的内接三点形 abc 的各顶点作
此曲线的切线，构成外切三点形 a/b/c/，从不在
上述各直线上任一点 s 与 a、b、c 分别连直线
交对边于 a//、b//、c//．
求证： a/ a//、b/ b//、c/ c// 共点．
证明：因三点形 abc 与三 p
a/
点形a//b//c//对应顶点连线
共点，故对应边交点 (ab)(a//b//) p，
b
a// r
c
(bc)(b//c//) q， (ca)(c//a//) r
因点 (0, 1, 0) 和 (0, 0, 1) 在上，
故代入方程可得
a22 a33 0． 又点(1, 0, 0)的极线为(1, 0, 0) ，故a12 a13 0． 再令 k 2a23/a11即得证．
§1. 配极与二次曲线
➢ 推论 若在定理6中，选单位点在二次曲线上，则 曲线方程为： x12 x2x3 0．
➢ 方程 (2) 和 (2)/ 分别是二次曲线的点坐标方程和 线坐标方程．
➢ 由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的 集合，它与二阶曲线是对偶的．
➢ 定理3 不在二次曲线上的
点为二切线点 其极线是
y
二切点线，且极线与曲线
的两交点与此二切线点所
连直线是切线．
x
z
§1. 配极与二次曲线
➢ 证明：设过二切线点 x 的
➢ 由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念 移植到曲线．

高等几何教案与课后答案

高等几何教案与课后答案

高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。

2. 掌握空间解析几何的基本知识。

3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。

教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。

2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。

3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。

教学准备：1. 教案和教材。

2. 多媒体教学设备。

教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。

2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。

3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。

2. 完成教材中的练习题。

教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。

教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。

2. 理解线性变换和矩阵运算。

3. 学会运用向量空间解决实际问题。

教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。

2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。

教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。

高等几何复习分解

高等几何复习分解

［课外训练方案］部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点. 此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点. 无穷远点记为P ，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点. 因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线. 一般记为l，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面. 若对仿射平面上无穷远元素(无穷远点、无穷远直线)与有穷远元素(有穷远点、有穷远直线)不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线x 1 0 与直线x 3y 4 0 上无穷远点的齐次坐标解：( 1)直线x 1 0 即x 1它与y 轴平行所以位y 轴上的无穷远点(0,1,0)1 4 1(2) 由直线x 3y 4 0 得y x 故无穷远点为(1, ,0) 或( 3，1，0)3 3 32、求证：两直线x1 x2 x3 0 和2x1 x2 2x3 0 的交点C 与两点A( 3, 1,B2), ( 2三,点共线x1 x2 x3 0证明：解方程组：1 2 3的交点C(1, 4, 3)2x1 x2 2x3 0143因为行列式 3 1 2 0 所以三点共线2 5 53、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明：设a=(u 1,u 2,u 3),与a (u 1,u 2,u 3)是共轭复点，两点连线为 l 由定理 a 在l 上，a 在l上，又 a 在l 上，所以 a 的共轭 a 也在直线 l 上u 1 u 1 ( u 1 )即u1 与u1 都为实数u 3 u 3 u 3 u 2 u 3所以 u 1:u 2 : u 3与一组实数成比例，即直线为实直线。

高等几何4.3

高等几何4.3

| aij | 0,
(2)
决定的同底点场与线场之间的变换为关于非退化二阶曲线 的 配极变换. 注1: (2)表示点 x与直线u是关于 的极点极线关系. 注2: 任一 都决定了平面上的一个配极变换. 注3: 配极变换是点的集合到直线的集合之间的变换, 也称为 异素变换.
§ 4.3 配极变换
配极变换的最基本的几何性质:
(iii) 求p与q的交点R(ri), 则PQR必为关于 的一个自极三点形.
例 已知点P(1, 0, 0), 求关于二阶曲线 2 2 : x12 x2 x3 6x1x2 2x1x3 2x2 x3 0.
的一个自极三点形PQR.
§ 4.3 配极变换
定理3 内接于非退化二阶曲线 的完全四点形的对边三点形 是关于 的一个自极三点形.
a11 ( p1 , p2 , p3 ) a12 a 13 a12 a22 a23 a13 q1 a23 q2 0)，B(–1, 1, 4)关于二阶曲线 :
2 2 x12 4x2 x3 4x1x2 2x1x3 6x2 x3 0.
定理2(配极原则)点P关于 的极线p通过点Q点Q关于 的极线q通过点P.
定理2'(配极原则) 直线p关于 的极点P在直线q上直线q关 于 的极点Q在直线p上.
推论1 两点连线的极点为此二点极线的交点; 两直线交点的极线为此二直线极点的连线.
推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.
注1: 自极三点形的任一顶点不在上. 注2: 自极三点形恰有一个顶点在 的 “内部”. 注3: 自极三点形任意两顶点相互共轭.
§ 4.3 配极变换
3. 配极变换的应用 (1). 极点极线作图 例 已知非退化二阶曲线 及 外一点P, 求作点P关于 的极线 p.

高等几何第4章(新)

高等几何第4章(新)
2
云南师范大学
第四章 德萨格定理、四点形与四线形
本章地位 由一维射影几何学开始往二维 几何学过渡。
本章内容
从本章起介绍二维射影几何即 平面上的射影几何，首先讲德 萨格三角形定理，其次是关于 完全四点形与四线形的调和性 质以及德萨格对合定理，最后 讲帕普斯定理。
3
云南师范大学
4.1 德萨格三角形定理
17
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 二、 平面构形 为了刻画平面形，我们引入“平面构形”，用 如下的符号表示：
点（1） 线（2）
点（1） 线（2）
a11
a21
a`12
a22
a11 a12 或 a a 21 22
a a 其中 a11 表示平面形中点的个数， 22 表线的个数，12 a 表过每个点的线的数目， 21 表每条线上点的数目， a a 且 aii ij a jj ji
27
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形
三、完全四点形与完全四线形
c
S
R
Q
(ⅰ)过点Ｃ任作一直线
T
A
C
B
D
c
S
T
R
Q
ｃ,于其上任取两点Ｑ和 Ｓ； (ⅱ)作点Ｒ=AS×BQ， T=AQ×BS; (ⅲ)连ＲＴ交直线AB于 Ｄ，则Ｄ为所求作。
A
D
B
C
28
云南师范大学
4.2完全四点（角）形与完全四线（边）形 三、完全四点形与完全四线形 2.调和性质 (3)调和比的作图 作法二(此即习题3.13) （参看下页图） (ⅰ)以AB为直径作圆； (ⅱ)过C作AB的垂线交圆于点T（过C作圆的切线，T 为切点）； (ⅲ)以Ｔ为切点作圆的切线交AB于D（过T作AB的垂 线交AB于D）；则D即为所求作。

高等几何


第六章 二次曲线的射影性质
6. 1 6. 2 6. 3 二次曲线与二级曲线 二次曲线的射影定义 巴斯卡与布利安双定理
6. 4 二次曲线的极与极线 6. 5 6. 6 配极对应 二次曲线的射影分类
习题及解答
高等几何
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 仿射几何的基本概念 欧氏平面的拓广 一维射影几何学 笛沙格定理、四点形与四线形 笛沙格定理、 射影坐标与射影变换 二次曲线的射影性质 二次曲线的仿射性质 二次曲线的度量性质
第一章 仿射几何学的基本概念
1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 1. 5 平行射影与仿射对应 仿射不变性与仿射不变量 平面到自身的透视仿射 平面内的一般仿射 仿射变换的代数表示
习题及解答
第二章 欧氏平面的拓广
2. 1 2. 2 2. 3 2. 4 中心投影与理想元素 齐次坐标 对偶原理 复元素
习题及解答
第三章 一维射影几何学
3. 1 3. 2 3. 3 3. 4 3. 5 3. 6 平面内的一维基本形 点列的交比 线束的交比 一第四章 笛沙格定理、 四点形与四线形
4. 1 4. 2 笛沙格三角形定理 完全四点形与完全四线形
习题及解答
第五章 射影坐标系与射影变换
5. 1 一维射影坐标系 5. 2 平面内的射影坐标系 5. 3 射影坐标的特例 5. 4 坐标转换 5. 5 射影变换 5. 6 二维射影几何 基本定理 5. 7 射影变换的 二重元素 5. 8 射影变换的特例 5. 9 变换群 5. 10 变换群的例证 5. 11 变换群与几何学 习题及解答

《高等几何》 教学大纲

《高等几何》教学大纲一、课程名称《高等几何》（Projective Geometry）二、课程性质数学与应用数学专业限选课。

它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。

本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。

本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。

通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。

本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。

前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。

三、课程教学目的通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。

尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。

四、课程教学原则和方法1、理论与实践相结合的原则；2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则；3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则；4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则；5、讲解法与自学相结合的原则。

五、课程总学时72学时，习题课占1/5。

六、教学内容要点及建议学时分配课程教学内容要点及建议学时分配第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6）一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。

二、本章主要内容：第一节透视仿射对应1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。

2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。

第二节仿射对应与仿射变换1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。

《高等数学讲义》（上、下册）--目录---樊映川

《高等数学讲义》（上、下册）--目录---樊映川《高等数学讲义》（上、下册）樊映川等编第一篇解析几何第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化第五章极坐标1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例12.平面束的方程第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I.常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T-函数II.函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。

高等几何4.1


§ 4.1 二次曲线的射影定义
二、二次曲线的射影定义
定理1 不同心的两个成射影对应的线束对应直线交点的全 体构成一条经过二次曲线的射影定义
定理2 设二阶曲线 由射影线束O(P) O'(P)生成. 则在上任 意取定相异二点 A, B, 与上的动点 M 连线可得两个射影线束 A(M ) B( M ).
i , j 1
3
的所有点(x1, x2, x3)的集合称 为一条二阶曲线. 其中(aij)称为 二阶曲线的矩阵, 且秩(aij)≥1.
的所有直线[u1, u2, u3]的集合称 为一条二级曲线. 其中(bij)称为 二级曲线的矩阵, 且秩(bij)≥1.
注1: 二阶曲线与二级曲线的代数形式完全相同, 都表示三元实 二次型全体零点的集合, 统称为二次曲线.
2 例 x 2 px1x3 与 u u1u3 表示同一条二次曲线. p
2 2
2 2
2 2 x1 x2 c2 x3 与 4c2u1u2 u3 表示同一条二次曲线.
或
S S S Sp p3 . p1 p2 x1 x2 x3
例 设二阶曲线 : S x12 2x22 6x1x3 6x2 x3 0, 求过点P(2, 1, –1)的切线方程.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
a11 a12 a13 u1 a12 a22 a23 u2 a13 a23 a33 u3 u1 u2 u3 0 0.
2 展开, 得 T Aijui u j 0. 且Aij Aji , | Aij || aij | 0.
§ 4.1 二次曲线的射影定义
注: Maclaurin定理中的二阶曲线与二级曲线为同一条二次曲 线, S aij xi x j 0 和 T Aij uiu j 0 分别为该二次曲线的点 坐标方程和线坐标方程. 推论 若bij= Aij(≠0), 则S = 0与T = 0表示同一条二次曲线.
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高 等 几 何 ( Higher Geometry )
配极对应的二级曲线方 程为： 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(1)/ 3 即 Aijij 0, Aij Aji． 若配极为双曲型，则其 对应二级曲线有无穷多 实直线，故也称为二次 线束． (如下图)
定理3 不在二次曲线上的 点为二切线点 其极线是 二切点线，且极线与曲线 的两交点与此二切线点所 连直线是切线．
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
y

x

z
§1. 配极与二次曲线 证明：设过二切线点 x 的 y 两条切线 、 的切点分 别为 y、z． 因 y、z 的极线 、 过 x， x 故 x 的极线过 y、z．
q
c/
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
a
b/
§1. 配极与二次曲线
二次曲线 对应的配极的自极三点形称为二次 曲线 的自极三点形． 定理5 二次曲线的内接完全四点形的对角三点 形是曲线的自极三点形． u 证明：设的内接完全四点形 a x abcd 的对角三点形为 uvw， v d 并设 x (uv)(ad)， y (uv)(bc)， 则 (ad; xw) 1， y c w b 故由定理4 知 x 与 w 共轭， 即 w 的极线过 x； 同理，w 的极线过 y． 因此，w 的极线为 xy uv．
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q
§1. 配极与二次曲线 在完全四点形 sa//cb// 的对角线 ab上，有 (ba; pc//) 1， 因 a、b 在曲线上，故 p 与 c//是一对共轭点． 又 p 在 c/ 的极线 ab上，故 p 与 c/ 共轭． 因此，p 的极线是 c/c//． p a/ 同理，q 的极线是 a/a//， r 的极线是b/b//． b a// r 从而，因 p、q、r 共线， c /a//、b/b//、 故a c// s /c// 共点． b// c
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§1. 配极与二次曲线
2. 极点与极线 二次曲线
配极的极点和极线，称为其对应二阶曲线和二级曲 线的极点和极线．
对于二阶曲线 x1 (x1, x2,x3)(aij)x2 0．(2) x3 点 y 的极线方程为 x1 (y1, y2,y3)(aij)x2 0．(3) x3
由于配极有两种类型，故曲线也如此．
§1. 配极与二次曲线
若配极是椭圆型的，则 若配极是椭圆型的，则 其对应二阶曲线不存在，其对应二级曲线不存在， 或说对应虚二阶曲线． 或说对应虚二级曲线．
由于配极与曲线的对应，故可将配极的相关概念 移植到曲线． 下面就双曲型配极对应的曲线讨论点、直线与曲 线的关系．

z
从而 x 的极线 与曲线交于 y、z 两点．即 是 二切点线． 反之，设点 x 的极线 与曲线交于 y、z 两点． 因点 x 的极线 过 y、z 两点，故 y、z 的极线 、 过x． 这即是说 、 就是过 x 的两条切线．
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下述定理表明，二阶曲线与二级曲线就其本质而 言是一样的．
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§1. 配极与二次曲线 定理2 二阶曲线 定理2/ 二级曲线 x1 1 (x1, x2,x3)(aij)x2 0．(2) (1, 2, 3)(bij)2 0． x3 3 的切线集合为二级曲线 的切点集合为二阶曲线 x1 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(2)/ (x1, x2,x3)(Bij) x2 0． x3 3 其中， Aij是(aij)中 aij 的 其中， Bij是(bij)中 bij 的 代数余子式． 代数余子式．
§1. 配极与二次曲线 推论 不在曲线上的点是无切线点 其极线是 无切点线． 例1 已知二次曲线 : x12 3x22 x32 2x1x2 4x1x3 0 和点 a(1, 0, 1)，试判定点 a 是二次曲 线 的哪一类点． 解法1： 方程可改写为： 1 1 2 x1 (x1, x2, x3) 1 3 0 x2 0． (*) 2 0 1 x3 由此可得 a 关于 的极线 : x1 x2 x3 0， 解得 x3 x1 x2，代入 方程得
所以，x 与 x/ 是 的共轭点对 (x)(aij)(x/)T 0 [ + ](u)(aij)(v)T 0 +0 (uv; xx/) 1． 注意：此定理将共轭与调和共轭联系了起来．
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§1. 配极与二次曲线 例2 由二次曲线的内接三点形 abc 的各顶点作 此曲线的切线，构成外切三点形 a/b/c/，从不在 上述各直线上任一点 s 与 a、b、c 分别连直线 交对边于 a//、b//、c//． 求证： a/ a//、b/ b//、c/ c// 共点． a/ 证明：因三点形 abc 与三 p 点形a//b//c//对应顶点连线 b 共点，故对应边交点 a// r c (ab)(a//b//) p， c// s (bc)(b//c//) q， b// (ca)(c//a//) r 共线． a c/ b/
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§1. 配极与二次曲线



b
a c
1. 切线： 的自共轭直 1. 切点： 的自共轭 线．切点为该直线上的 点．切线为过该点的自 自共轭点；(其等价定义：共轭直线；(其等价定义： 切线是有唯一属于二阶 切点是有唯一属于二级 曲线的点的点列) 曲线的直线的线束) 2. 二切点线(割线)：过 2. 二切线点：有二自共 二自共轭点的直线； 轭直线通过的点； 3. 无切点线(离线)：不 3. 无切线点 ：无自共轭 过自共轭点的直线． 直线通过的点．
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定理1
定理1/ 对于二级曲线
1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(2)/ 3 直线 的极点方程为 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0．(3)/ 3
§1. 配极与二次曲线 推论1 直线 关于二阶曲 推论1/ 点 y 关于二级曲线 线 (2) 的极点坐标为 (2)/ 的极线坐标为 (x1,x2,x3) (1,2,3)(Aij)． (1,2,3) (y1, y2, y3)(aij)． 推论2 在二阶曲线(2)上的 推论2/ 属于二级曲线(2)/ 的 任意点 y 的切线方程为 任意直线的切点方程为 x1 (y1, y2,y3)(aij)x2 0． x3 1 (1, 2, 3)(Aij)2 0． 3
a: 1 3 0，
将 a 的线坐标方程代入 的线坐标方程，得
712 212 222 0，
其判别式 22 472 52 < 0， 故线束 a 中无 的切线，即 a 是 的无切线点．
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§1. 配极与二次曲线 若一对点是配极 的共轭点对，则称它们是 对应的二次曲线的共轭点对． 定理4 若过点对 x、x/ 的直线 交二次曲线 于 u、v 两点，则 x 与 x/ 是 的共轭点对 (uv; xx/) 1． 证明：设 ：(x)(aij)(x)T 0． 因 x、x/、u、v共线，故可设 (x) (u) (v)， x u x/ v /) (u) + (v)． (x 又 (x)(aij)(x/)T [(u) + (v)](aij)[(u) + (v)]T
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§1. 配极与二次曲线 同理，u 的极线为 wv； v 的极线为 uw． 所以三点形 uvw 是自极三点形． 利用定理5可以解决一些作图问题． 例3 作不在曲线上的已知点 v 关于的极线． u a v b
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因以自极三点形为坐标三点形时，配极可化为标
准形式，故二次曲线的点坐标方程可简化为：
b1x12 b2x22 b3x32 0． 下面是另一种简化形式： 定理6 以二次曲线的一个二切线点和由此点作出 的二切线的切点构成的三点形为坐标三点形，则
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§1. 配极与二次曲线 因上述二相互对偶的定理，二阶曲线与二级曲线 统一了起来，将二者统称为二次曲线． 方程 (2) 和 (2)/ 分别是二次曲线的点坐标方程和 线坐标方程．
由此可知：二级曲线是配极变换的自共轭直线的 集合，它与二阶曲线是对偶的．
第四章 二次曲线的射影理论
§1. 配极与二次曲线
1. 二阶曲线与二级曲线
射影平面上，配极的自 射影平面上，配极的自 共轭点的轨迹称为二阶 共轭直线的轨迹称为二 曲线． 级曲线． 给定配极 (1, 2, 3) (x1, x2, x3)(aij) ： (x1, x2, x3) (1, 2, 3)(Aij)． 其中，aij aji，Aij 是 (aij) 中 aij 的代数余子式．
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§1. 配极与二次曲线
(u)(aij)(u)T + [ + ](u)(aij)(v)T + (v)(aij)(v)T．
因 u、v 为 上二点，故 (u)(aij)(v)T 0 且
(x)(aij)(x/)T [ + ](u)(aij)(v)T．
其对应的二阶曲线和二级曲线方程为：
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§1. 配极与二次曲线 配极对应的二阶曲线方 程为： x1 (x1, x2,x3)(aij)x2 0．(1) x3 即 aijxixj 0, aij aji． 若配极为双曲型，则其 对应二阶曲线有无穷多 实点，故也称为二次点 列．(如下图)