用等价无穷小代换求幂指函数的极限

目 录目 录............................................................................................................................................... 0 摘 要............................................................................................................................................... 1 Abstract ........................................................................................................................................... 2 1.幂指函数的概念 ........................................................................................................................... 3 2.幂指函数的求极限 .. (3)2.1 )(x f ，)(x g 的极限均为有限常数，即BA 型的极限求法 ...................................... 3 2.2 利用重要极限 .. (4)2.3 应用洛必达法则求极限 ................................................................................................ 6 2.4 用等价无穷小 .. (7)2.4.1 00中的等价无穷小代换 .................................................................................... 7 2.4.2 0∞中的等价无穷小代换 ................................................................................... 8 2.4.3 ∞1中的等价无穷小代换. . (9)2.5 利用微分中值定理 ....................................................................................................... 10 3.幂指函数的求导 . (11)3.1 复合函数求导法 ........................................................................................................... 11 3.2 对数求导法 ................................................................................................................... 12 3.3 多元函数求导法 ........................................................................................................... 13 总 结............................................................................................................................................. 16 参考文献 .. (17)摘要本文主要讨论了幂指函数00，0∞，∞1型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。

用等价无穷小代换求幂指函数的极限
杨凤
【期刊名称】《科技视界》
【年(卷),期】2013(000)034
【摘要】本文讨论了幂指函数求极限的方法，重点探讨了00，肄0，1肄型幂指函数在求极限的过程中利用等价无穷小代换的问题，并提出了相应的定理，给出了证明以及实例。

%How to solve the limit of the power-exponential function has been discussed. The methods and examples are showed as to how to apply the methods to calculate limit, especially by the replacement of equivalent infinitesimal. The theorems have been provided and proofed.【总页数】2页(P197-198)
【作者】杨凤
【作者单位】湖北文理学院数学与计算机科学学院，湖北襄阳441050
【正文语种】中文
【相关文献】
1.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用 [J], 沐国宝
2.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨 [J], 冯变英
3.论述利用泰勒公式求极限和利用等价无穷小的代换求极限及二者的关系 [J], 陈丽
4.等价无穷小代换中含加减因式求极限的思考 [J], 徐清华;王瑞星;赵清波;吴克坚;
刘烁
5.用等价无穷小代换求极限的几个问题 [J], 周继振;张晓亮;许峰
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毕业论文题目：幂指函数极限的计算学院：数学与信息科学学院姓名：何晓岭指导教师：魏喜凤幂指函数极限的计算【摘要】函数极限是《数学分析》中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好《数学分析》的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式(B A型)和不确定式（00型、1∞型、0∞型）的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过实例说明这些方法的实用性.【关键词】幂指函数；极限；确定式；不确定式；计算方法The Calculation of the Power Exponent Function Limit【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the subjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples.【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problem目录1 引言 (1)2 幂指函数的定义 (1)2.1指数函数 (1)2.2幂函数 (1)2.3幂指函数 (1)3 幂指函数的极限 (1)3.1确定式 (3)3.2不确定式 (3)4 幂指函数极限的计算方法 (3)4.1直接法 (3)4.2重要极限 (4)4.3对数解法 (5)4.4等价无穷小代换 (8)5 结论 (9)参考文献 (9)致谢 (11)1引言函数极限问题是《数学分析》中的一个重点知识，是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环，使许多问题得以解决.其中，幂指函数极限的计算是难点，因为幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性.分析发现，这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧.因此，对幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结，让更多的学习者很好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题的能力和解决问题的能力.2 幂指函数的定义2.1指数函数一般地，形如函数(0,1)x y a a a 叫作指数函数，其中x 是自变量，定义域为R .2.2 幂函数一般地，形如函数()y x x R α=∈叫作幂函数，其中x 是自变量，定义域为(0,).2.3 幂指函数设()u x 、()v x 是定义在区域D 上的两个函数，形如()()v x y u x =的函数叫作区域D 上的幂指函数，其中()0u x >.以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义，目的是更好地理解幂指函数，不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈，幂指函数具有幂函数和指数函数的两重特性.3 幂指函数的极限对自变量0,x x x →→∞情形下的幂指函数()()v x y u x =的极限问题进行探讨：求幂指函数的极限时，因为()0u x >，可以把它改写为指数函数()()ln ()()v x v x u x y u x e ==，再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限lim (()ln ())()()ln ()lim ()lim x x v x u x v x v x u x x x x x u x ee→→→==,其中假设所写出的极限存在.这样，就把求幂指函数的极限0()lim ()v x x x u x →转化为求极限0lim(()ln ())x x v x u x →.所以，很自然地考察lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，而对于极限0lim ()x x u x →和0lim ()x x v x →，若至少有一个不存在（不包括极限为无穷的情况），则幂指函数()()v x y u x =的极限问题极为复杂，且在实际问题中几乎不出现，没有其研究意义.因此，假设0lim ()0x x u x A →=≥, 0lim ()x x v x B →=(包括A 、B 为无穷的情形).下面，将给出讨论：（1）01,A B <<≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.(2) 01,A B <<=∞; 则0()0,,lim (),,Bv x Bx x B A B u x B A B →⎧=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨+∞=-∞=-∞⎪⎩⎩. （3）1,A B =≠∞; 则0()lim ()11v x B B x x u x A →=== .（4）1,A B ==∞时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（5）1,A B <<+∞≠∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=.（6）1,A B <<+∞=∞; 则0(),,lim ()0,,Bv x B x x B A B u x B A B →⎧+∞=+∞=+∞⎧⎪==⎨⎨=-∞=-∞⎪⎩⎩ . （7）,0A B =+∞=时, 0()lim ()v x x x u x →是不确定式.（8）,0A B =+∞<<+∞时, 0()lim ()v x B x x u x A →= .,0A B =+∞-∞<<时, 0()lim ()v x B x x u x A →=.(9) ,A B =+∞=+∞; 则0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.(10),A B =+∞=-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A →==.（11)0,0A B =<<+∞时，0()lim ()0v x B x x u x A →==.0,0A B =-∞<<时，0()lim ()v x B x x u x A →=+∞=.（12）0,A B ==+∞; 则0()lim ()00v x B x x u x A +∞→=== .（13）0,A B ==-∞; 则0()lim ()0v x B x x u x A -∞→==+∞=.（14）0,0A B ==时，0()lim ()v x x x u x →是不确定式 .上述情况（4）记作1∞ 型、（7）记作0∞ 型 、（14）记作00 型，1∞ 型、0∞ 型、00 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式，其余情况为幂指函数极限问题的确定式.自变量x →∞时，幂指函数的极限类型与0x x →的极限类型有相同的情况，就不再列出.注1 若A 为小于1的非负数，而B 为无穷时，则极限0()lim ()v x x x u x →并不是不确定式. 其中包括易误认为是不定式的0∞型，因为，当指数趋于无穷大时有00+∞=，而当指数趋于负无穷大时有0-∞=+∞ .注2 对于幂指函数()()v x y u x =的不确定式极限问题，它的底数部分()u x 与指数部分()v x 的极限过程是同步进行的，也就是说，它是一个整体的极限，而不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限，更不能有求极限的先后次序.4 幂指函数极限的计算方法 4.1直接法直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型.当幂指函数的底数部分和指数部分二者的极限都存在，且底函数()u x 的极限大于零时，即当lim ()0x x u x A →=> ，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，则利用指数函数的连续性得0lim ()()lim ()(lim ())x x v x v x B x x x x u x u x A →→→== .有一道求极限的问题121lim()3x x x x -→∞++ ，如果对底数部分和指数部分分别求极限11lim 1,lim 32x x x x x →∞→∞+-==∞+ ，则由1的任何次幂都等于1得121lim()113x x x x-∞→∞+==+的解法是错误的.错误之一在于对幂指函数底数和指数部分分别求极限，不理解只有当0lim ()0x x u x A →=>，0lim ()x x v x B →=（B 为正常极限）时，才可以用直接法求极限，错误之二在于认为不管幂的值α为多少都有11α=，其实，1的任何次幂都等于1指的是1的有限次幂.下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限：例4.1.1 求极限01lim(2x x x→++.解 因为011lim022x x x →+=>+ ，01x →= 为正常极限 ,所以用直接法就得到极限011lim(22x x x →+=+.例4.1.2 求极限 11lim(2x x x→++.解 因为112lim023x x x →+=>+ ，112x x →→==为正常极限,所以用直接法就得到极限11lim(2x x x →+=+4.2重要极限利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式1∞型.（1）1lim(1)x x e x→∞+= （4.2.1）等价于同时成立以下两个极限：1lim (1)x x e x→+∞+=1lim (1)x x e x→-∞+=（2）将（4.2.1）可变型为：10lim(1)xx x e →+= （4.2.2）（3）在（4.2.1）的基础上可以用下列方法解决许多1∞型的不确定式问题，就是对于lim ()0,lim ()xaxaf xg x 的情况，有1lim(()())()()()()lim(1())lim[(1())]x af xg x g x f x f x g x xaxaf x f x e （4.2.3）于是只要计算lim(()())x af xg x → 即可.例4.2.1 求极限101lim()1x x x x→+- .解 这是一个1∞型不确定式极限，可用重要极限求解,将1()1x f x x +=- 化为2()11x f x x =+- ，则指数部分需出现12xx- ， 所以利用重要极限得1122210012lim()lim(1)11x x x x x x x xe x x-⋅-→→+=+=--. 例4.2.2 求极限2221lim()1x x x x →∞+- .解法1 将括号内的分子分母同时除以2x 后即可利用（4.2.1）如下求极限：22122222111lim()lim(1)(1)1x x x x x e e e x x x→∞→∞+=+-=⋅=- . 解法2 这是一个1∞型不确定式极限，用（4.2.3）的方法就得到222222lim212212lim()lim(1)11x x x x x x x x e e x x →∞-→∞→∞+=+==--. 4.3 对数解法对幂指函数()()(()0)v x y u x u x =>，等式两边可以同时取对数，便得到()ln ln(())()ln ()v x y u x v x u x == ,通过求ln y 的极限0lim ln lim(())ln ()x x x x y v x u x →→= ，便可以得到幂指函数的极限0lim ln ()ln lim ()lim x x yv x y x x x x u x e e →→→==.对数解法解决幂指函数极限的不确定式00型、1∞型、0∞型，这三种不确定式极限一般经过对数变换后，均可化为00型或∞∞型的不定式极限，我们在题目中解决不定式极限00型、∞∞型用到更多的方法是洛必达法则.我们在转化为00型或∞∞型不定式极限后利用洛必达法则求极限时，应注意以下几点内容：定理4.3.1【1】若函数()f x 和()g x 满足: （ⅰ）0lim ()0lim ()0x x x x f x g x →→=== ;（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的某空心邻域0()U x 内可导，且()0g x '≠ ; （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为∞ ) 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 定理4.3.2【1】 若函数()f x 和()g x 满足： （ⅰ）0lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→=∞==∞（ⅱ）()f x 和()g x 在0x 的右邻域0()U x + 内可导，且()0g x '≠ （ⅲ）0()lim()x x f x A g x →'=' (A 可为实数，也可为,±∞∞ ) 则 00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'==' 以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则. 注1 在定理4.3.1中，如果0()lim()x x f x g x →''仍是00型不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛必达法则，即考察极限0()lim()x x f x g x →''是否存在，这时()f x ' 和()g x ' 在0x 的某邻域须满足相应的条件【1】.定理4.3.2中，若有可能，也可再次利用洛必达法则.注2 由洛必达法则条件的充分性可得，若极限0()lim()x x f x g x →''不存在，并不能说明0()lim()x x f x g x → 存在，在利用洛必达法则求极限时若遇到此类情况，我们应另找其他的方法来求极限.注3 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次看是否满足洛必达法则的其他条件【1】.注4 在利用洛必达法则之后，如果题目变得越来越复杂，则说明题目不适合用洛必达法则求极限，我们应分析题目，寻找其他合适的方法.例4.3.1 求极限1ln 0lim (sin )kxx x ++→ （k 为常数）.解 这是一个00型不确定式极限， 令1ln (sin )kxy x +=，两边取对数，得1ln ln sin ln ln[(sin )]1ln k xk xy x x+==+ ,0ln sin lim 1ln x k x x +→+是∞∞型不定式极限，由 0000cos ln sin sin lim ln lim limlim cos 11ln sin x x x x k xk x x x y k x k x xx++++→→→→===⋅=+ ，（洛必达法则） 得到 0lim ln ln 1ln 0lim(sin )lim lim x k yyk xx x x x y e ee +→++++→→→====(0,k k ≠为常数).当0k =时上面所得的结果仍然成立.例4.3.2 求极限xx xx cos 110)sin (lim -→. 解 这是一个1∞型不确定式极限，令xxx y cos 11)sin (-=，两边取对数，得1sin ln ln 1cos x y x x =-，因为0x →时，2~cos 12x x -，所以 2000sin sin lnlnlimln limlim 1cos 2x x x x xx x y x x →→→==- , 20sin lnlim2x x x x → 是00型不定式极限，下一步可用洛必达法则， 由 2200x cos sin sin lnsin limlim 2x x x x x xx x x x x →→-⋅= 20xcosx sin limsin x x x x →-=30cos sin limx x x x x →-=20-sin lim 3x x xx →=13得到31cos 110)sin (lim --→=e xx xx .例4.3.3 求极限xx x x ln 12)1(lim +++∞→.解 这是一个0∞型不确定式极限，令1ln ()xy x =+ ，两边取对数，得1ln ln ln(xy x =+=,ln(lim ln x x x →+∞是∞∞型不定式极限由ln(limlim 1ln x x x xx→+∞→+∞+==，（洛必达法则） 得到1lim ln ln ln lim ()lim lim x yy xx x x x y e e e →+∞→+∞→+∞→+∞+====.4.4等价无穷小代换定理4.4【7】 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 、()v x 均是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α、()~()v x x β，则有()()lim ()lim ()v x x x x x x u x x βα→→=.推论1 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()u x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()u x x α，则有0()()lim ()lim ()v x v x x x x x u x x α→→=.推论2 设()u x 和()v x 为0x 去心邻域内的连续函数，()v x 是变化过程0x x →时的无穷小量并且()~()v x x β，则有0()()lim ()lim ()v x x x x x x u x u x β→→= .例4.4.1 求极限x x x tan 0)(sin lim +→.解 0lim sin 0,lim tan 0x x x x ++→→== ，此问题为00 型不确定式极限， 因为x x x x ~tan ,~sinx 0时，+→，所以由定理4.4，tan 0lim(sin )lim x xx x x x ++→→=, 令x y x = ,两边取对数，得ln ln ln 1xy x x x==， 由00ln lim ln lim 01x x x x x x++→→== ,得到 0lim ln tan 00lim(sin )1x y x x x e e +→+→===. 例4.4.2 求极限sin 01lim ()x x x+→ . 解 001lim ,lim sin 0x x x x ++→→=+∞= ，此问题为0∞ 型不确定式极限， 因为0x +→时，sin ~x x ，所以由推论2，sin 0011lim()lim()x x x x x x++→→=, 令1()x y x= ，两边取对数，得ln ln ln 1xy x x x =-=- ,由 00ln lim ln lim 01x x xx x x++→→-=-= ,得到 sin 01lim ()x x x +→=1. 等价无穷小代换应用到幂指函数极限的计算时，通常会结合洛必达法则及对数法，使得计算快捷简便.注： 当0→x 时，有下列常用的一组等价无穷小：x x ~sin ； x x ~tan ； x x ~arcsin ； x x ~arctan ； x e x ~1-； x x ~)1ln(+；2~cos 12x x -； a x a x ln ~1-； n x x n ~11-+；x x αα~1)1(-+ .5 结论通过对幂指函数与指数函数、幂函数概念上的对比分析，对幂指函数极限类型的归纳总结以及对计算方法的整理分析，我们更好地认识了幂指函数，对其每一极限类型适用的计算方法也已经掌握，对以后的学习会有很大的帮助.但值得我们注意的是，在求解幂指函数的极限时，题目中不可能只会用到一种计算方法，计算过程中可能会用到几种方法，比如说例4.4.1、例4.4.2用到等价无穷小代换和对数解法，我们在求解时应该对每一步仔细分析，掌握计算的技巧,找到正确快速的解题方法.参考文献[1]华北师范大学数学系.数学分析(上册)[M].第三版.北京:高等教育出版社，2001：56-131.[2]邵剑,李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].上海：同济大学出版社，2008：37-38.[3]沐定夷.谢惠民.吉米多维奇数学分析习题集学习指引（第一册）[M].北京:高等教育出版社，2010:116-118.[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2001.[5]冯加才.幂指函数的极限问题[J].焦作工学院学报，1999,18(5).[6]康佳鑫.浅谈应用洛必达法则求不定式极限[J].哈尔滨师范大学自然科学学报，2015,31(2).[7]陈茜，舒慧颖.浅谈幂指函数的极限问题[J].衡水学院学报，2011,13（4）.[8]钱吉林.数学分析题解精粹[M].第二版.湖北：湖北辞书出版社，2003.致谢这篇文章包含了许多老师和同学的宝贵建议，同时也有来自参考著作中的启示，如高等教育出版社出版的数学分析、冯加才老师的幂指函数的极限问题等，还要感谢我的指导老师——魏老师的亲切关怀和悉心指导，她严谨的科学态度、精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我从课题的选择到论文的最终完成，魏老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持，在此谨致以诚挚的谢意和崇高的敬意.。

关于求幂指函数极限的方法幂指函数：(),()0.指其中f x x()g x f()求幂指函数的极限通常有四种方法：lim()g xf x⑴直接求极限.⑵利用第二个重要极限求极限.⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.⑷利用夹逼准则求极限.⑴直接计算.0lim (),lim (),f x A g x B =>=如果则sin30lim( 2)1x xx x →+求例.00sin 3lim(2)20lim 3, x x xx x →→+=>=,解所以sin33lim(2)=2=8xxx x →+.()()ln ()ln lim ()=lime =e=.g x g x f x B ABx A f⑵利用第二个重要极限求极限.1lim ()1,lim ().f xg x ∞==∞此方法适用于型未定式，即情形21lim(cos )2 x x x →例求..1∞此极限属于型未定式解210lim(cos )x x x →0lim 1(cos 1)x x →=+−1cos 1[]x −2cos 1{}x x −12e .−=⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.()()ln ()()eg x g x f x f x =先换底为,然后诸如综合复合函数极限法则、()lim ().g x f x 连续性、等价无穷小代换及洛必达法则等方法求极限212lim(cos )3 x x x →再解例，求例.210lim(cos ) xx x →解21lncos 0=lime x xx →22011lim ()2=ex x x →⋅−210lncos ~.2x x x →−当时，12e .−=21limlncos =ex x x→⑷利用夹逼准则求极限.0(),lim ()0.m f x M g x <≤≤=此方法适用于情形2lim(1sin 4 ) xx x →+例.211sin 2x ≤+≤解由于，所以21(1sin )2x xx ≤+≤，lim1lim 21xx x →→=又=，2lim(1sin )=1.xx x →+故由夹逼准则得总结()lim()g xf x本讲介绍通常有四种方法：⑵利用第二个重要极限求极限.⑶利用换底公式后综合其它方法求极限.⑷利用夹逼准则求极限，⑴直接计算.各种方法之间有交叉，方法⑶具有一般性.。

幂指函数内部可以等价无穷小代换幂指函数是指形如$f(x)=a^x$的函数，其中$a>0$。

在幂指函数的求极限、求导数等运算中，我们可以使用无穷小代换来简化计算。

无穷小代换是一种常用的数学手段，它可以将一个数或者函数替换为一个无穷小，从而简化运算。

在幂指函数中，我们常用的无穷小代换有两个，即$\ln(1+x)$代换和$x^n$代换。

首先，考虑一个常用的无穷小代换$\ln(1+x)$代换。

我们知道，当$x$趋近于0时，$\ln(1+x)$的值非常接近于$x$。

因此，在计算幂指函数的极限时，我们可以将幂指函数替换成$\ln(1+x)$来进行计算。

例如，考虑求极限$\lim_{x\to 0}a^x$，其中$a>0$。

我们可以用$\ln(1+x)$代换来简化计算。

首先，我们将幂指函数表示为$\ln(a^x)$，然后再利用对数函数的特性，将其变形为$x\ln(a)$。

接下来，我们将$x$用$\ln(1+x)$来替换，得到$x=\ln(1+x)-\ln(1)$。

将其代入之前的公式中，我们得到：$\lim_{x\to 0}a^x = \lim_{x\to 0}a^{\ln(1+x)-\ln(1)}$再利用指数函数和对数函数的性质，我们可以将其变形为：$\lim_{x\to 0}a^x = \lim_{x\to 0}e^{x\ln(a)} = e^{\lim_{x\to 0}(x\ln(a))}$由于$\ln(a)$是一个常数，我们可以继续简化计算，得到：$\lim_{x\to 0}a^x = e^{\ln(a)\cdot \lim_{x\to 0}x} = e^0 = 1$因此，通过使用$\ln(1+x)$代换，我们可以将幂指函数的极限求解简化为指数函数的极限求解，从而得到最终的结果。

另外一个常用的无穷小代换是$x^n$代换。

在求导数或者进行其他计算中，我们可以将幂指函数中的指数用$x^n$来代替，从而简化计算。

等价替换在和差极限和幂指极限中的应用作者：陈彦恒贾松芳来源：《课程教育研究》2018年第27期【摘要】给出了无穷小和差极限的等价替换定理，在此基础上给出了底数是无穷小和差，指数是无穷小和差的幂指函数的等阶替换定理，推广了前人的结果，并通过具体例题说明它们的应用。

【关键词】和差极限幂指极限等价无穷小替换【基金项目】该文由重庆市教委科研资助项目（KJ1710254），重庆三峡学院重点项目（14ZD16），重庆三峡学院数学与统计学院教改项目资助。

【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）27-0118-02在求某些极限的过程中，利用等价无穷小替换定理，往往能够简化极限的计算过程，给极限求解带来方便，因而等价无穷小是简化极限运算的有力工具。

在微积分教学过程中，教师往往只强调函数乘除极限中可以应用等价无穷小替换求极限，同时也叮嘱千万不要在函数和差极限中应用，否则将会出现错误。

该文给出了无穷小的和差极限可以用等价无穷小替换的条件，并在此基础上探讨了等价无穷小替换在幂指函数极限中的应用，推广了文献[1-2]的结果。

为了方便，该文仅对自变量趋于有限值情形给出相关结论，对自变量趋于无穷大的情形不再赘述但相关结论也是成立的，其它未说明的数学符号与文献[3-4]保持一致。

1.等价无穷小替换在函数和差极限中的应用由等价无穷小替换定理，我们知道等价无穷小替换只能做无穷小的因式替换，没有涉及到无穷小的和差替换。

很容易举出反例说明无穷小的和差替换一般是不正确的。

例如文献[3]中的第72页的第9（4）题，如果如下计算：= =0那肯定是错误的。

实际上，= （1-cosx）·= · =那么在什么条件下，无穷小的和差能进行无穷小的替换呢？我们得到下面无穷小和差的等价替换定理：定理1 设g（x），g （x），h（x），h （x）在（x ）上有定义，且当x→x 时，g （x）～g （x），h（x）～h （x），若 =k，则（1）当k≠1时，有g（x）-h（x）～g （x）-h （x）（x→x ）；（2）当k≠-1时，有g（x）+h（x）～g （x）+h （x）（x→x ）。

等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ． 例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1lim xx x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．(6):112~114。