探求和差运算中无穷小的等价代换方法_李胜正

等价无穷小替换公式所谓等价无穷小替换公式，是数学中一类常用的极限计算方法。

当在求极限过程中遇到无穷小量时，我们可以将它替换为一个与之等价但更易计算的无穷小量，从而简化求解过程。

以下是一些常用的等价无穷小替换公式：1. $\sin x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sinx$ 可以被替换为 $x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\sin x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

2. $\tan x$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tanx$ 可以被替换为 $x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tan x$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$。

3.$e^x-1$等价无穷小替换公式：当$x$趋近于$0$时，$e^x-1$可以被替换为$x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x - 1$等价于 $x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$。

4. $\ln(1+x)$等价无穷小替换公式：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以被替换为 $x$。

证明：根据极限的定义，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$。

因此，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$等价于 $x$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$。

等价无穷小代换在含有和差运算式中的应用郭欣红【摘要】利用等价无穷小代换求极限是一种非常实用的方法,教材上一般只介绍2个等价无穷小相除的代换定理,并且指出在加减法中不要随意使用无穷小代换.针对在含有和差运算式中求极限的问题,论述如何使用无穷小代换定理的条件,用等价无穷小进行代换,扩大等价无穷小代换的使用范围.【期刊名称】《北京工业职业技术学院学报》【年(卷),期】2018(017)003【总页数】4页(P26-29)【关键词】极限;和差运算;等价无穷小;代换【作者】郭欣红【作者单位】辽宁金融职业学院,沈阳110122【正文语种】中文【中图分类】O13;B270 引言极限计算是高等数学中一个重要内容，除了四则运算法则、2个重要极限公式和洛必达法则之外，等价无穷小代换也是求极限常用的一种方法。

目前教材上一般只给2个等价无穷小相除的代换定理，并且指出无穷小代换的使用范围是乘除法，在加减法中不要随意使用无穷小代换。

为此学生往往会出现疑惑，是所有含有和差形式的运算式都不能使用无穷小代换吗？为什么有些含有和差运算式的极限问题使用无穷小代换结果是正确的，有时又是错误的呢？等价无穷小代换还有其他形式吗？针对这些疑问，本文对无穷小代换定理在含有和差运算式的情形进行补充，并对如何应用加以阐述。

1 乘除运算式中等价无穷小代换定理回顾定理1 设α,β,α＇,β＇是自变量在同一变化过程中的无穷小量，且α～α＇,β～β＇，存在，则推论1[1] 设α,α＇是自变量在同一变化过程中的无穷小量，α～α＇，且limα＇f(x)存在，则limαf(x)=limα＇ f(x)推论2 设α,α＇是自变量在同一变化过程中的无穷小量，α～α＇，则定理2 (等价无穷小代换的传递性) 在自变量的同一变化过程中，若α～β,β～γ，则α～γ。

例1 求分析：此题属于“”型未定式，如果利用洛必达法则来解，求导过程会非常复杂。

解当x→0时，因为arcsin(sin2x)～sin2x-x2，原式2 和差运算式中等价无穷小代换定理定理3 在自变量的同一变化过程中，α～α＇,β～β＇，且α与β不等价。

变限积分等价无穷小替换证明说到变限积分，这个话题对很多人来说就像个大难题一样。

其实呢，变限积分就好像在游乐园里玩过山车，起初你可能觉得有点恐怖，但一旦坐上去，发现它其实也没那么难。

今天咱们就来聊聊变限积分中的一个小技巧——等价无穷小替换。

你别看这名字长得吓人，其实就像做一道简单的数学题，考验的只是你能不能抓住那几个小窍门。

什么是等价无穷小呢？简单来说，等价无穷小就是两个数学式子在“无限小”的时候长得越来越像，就像是两个人长得特别像，站在一起都分不清楚谁是谁。

你想，咱们知道，很多时候咱们做积分，那个积分区域的上下限可能会随着变量变化而变化。

那时候，积分就变得更复杂了，问题也多了，然而通过换个角度看，它其实能变得简单。

这就像你在做菜，突然发现少了点什么，可是你加了一点别的东西，突然一切都变得美味起来。

现在，回到咱们的数学题。

如果给你一个变限积分，你可能第一眼就会觉得头大，眼前一片迷茫，变限积分是什么？什么叫无穷小？等等问题一起涌上来。

别急，慢慢来。

首先要搞清楚一点，积分的上限和下限其实是关于某个变量的函数，跟普通的固定积分不一样。

就拿我们最熟悉的，定积分来说，积分的上下限都是常数，而变限积分的上下限是可变的，它们随着某个参数变化。

这时候，你可能就得调整思路，动脑筋找找看有没有什么更简便的方法，能帮你更快地解决。

等价无穷小替换就派上用场了。

就像你在地图上找路，碰到一个难题，突然有个捷径就出来了。

假设有一个函数，在趋近于某个点时，和另一个函数的行为越来越相似，那我们就可以用那个相似的函数来代替原函数。

就好比你去找一个比你自己还懂的人来帮忙，轻松许多。

通过等价无穷小替换，咱们可以把复杂的变限积分简化成一个更容易求解的积分。

举个简单的例子吧，咱们就用一个常见的无穷小替换来试试。

假设咱们有这么一个函数 (frac{sin x{x)，它在(x to 0)的时候，大家都知道，直接计算会出问题。

可是，如果你稍微动点脑筋，会发现它其实在趋近零时就变得特别“乖巧”——它和 1 越来越像。

等价无穷小等价替换公式一、等价无穷小等价替换的概念等价无穷小等价替换是指在求解极限、积分、微分等数学问题时，将一个无穷小量替换为与它具有相同极限的无穷小量，从而简化计算的过程。

等价无穷小等价替换的基本思想是在保持原有极限不变的前提下，用一个更便于计算的表达式替代原有函数或者无穷小量。

二、等价无穷小等价替换的原理等价无穷小等价替换的原理可以用极限的定义来解释。

假设函数f(x)和g(x)在x=a的一些邻域内定义，且f(x)和g(x)在x=a处连续，如果有lim(x→a)g(x)=0，lim(x→a)g(x)≠0，则称g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小。

根据无穷小的定义，对于任意一个无穷小g(x)，它满足lim(x→a)g(x)=0。

那么如果g(x)是f(x)在x=a点处的等价无穷小，就意味着lim(x→a)(f(x)-g(x))=0。

这样，我们可以用g(x)替代f(x)，从而简化计算的过程。

1.当x趋于0时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1) sin(x) ~ x(2) tan(x) ~ x(3) arcsin(x) ~ x(4) arctan(x) ~ x(5) ln(1+x) ~ x(6)e^x-1~x2.当x趋于正无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^x~+∞(2)a^x~(x→+∞)+∞(其中a>1)(3)(1+x)^n~+∞(其中n为正整数)3.当x趋于负无穷时，有以下等价无穷小等价替换公式：(1)e^(-x)~0(2)a^(-x)~0(其中a>1)四、例子下面通过具体的例子来说明等价无穷小等价替换的应用。

例1：求极限lim(x→0)sin(x)/x。

解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有sin(x)~x。

所以原极限可以等价替换为lim(x→0)x/x=1例2：求极限lim(x→0)(ln(1+x))/x。

解：根据等价无穷小等价替换公式，当x趋于0时，有ln(1+x)~x。

等价无穷小常见替换公式在我们学习数学的漫漫征途中，等价无穷小可是个相当厉害的“武器”，它能帮我们在解决极限问题时，披荆斩棘，轻松过关。

今天咱就来好好聊聊等价无穷小常见的替换公式。

先来说说啥是等价无穷小。

简单讲，就是当两个函数在某个变化过程中，它们的比值趋向于 1 ，那这两个函数就叫做等价无穷小。

比如说，当 x 趋向于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

常见的等价无穷小替换公式有不少呢。

比如当 x 趋向于 0 时，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 1/2 x²，ln(1 + x) 等价于 x 等等。

我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别可爱。

他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。

假如我们要计算极限：lim(x→0) (tan x - sin x) / x³。

如果直接算，那可就头疼了。

但如果我们用等价无穷小替换，把 tan x 换成 x ，sin x换成 x ，式子就变成了lim(x→0) (x - x) / x³ = 0 ，是不是一下子就简单多啦？等价无穷小的替换在计算极限的时候，能大大简化运算过程，提高解题效率。

但这里要注意一个重要的点，那就是等价无穷小的替换只能在乘除运算中使用，如果是加减运算，就得小心啦，不能随便替换，不然可能会出错。

比如说，计算极限lim(x→0) (sin x - x) / x³，如果直接把 sin x 换成x ，那就错啦，因为这是个加减运算。

再给大家举个例子加深印象。

计算极限lim(x→0) (1 - cos x) / x²，因为 1 - cos x 等价于 1/2 x²，所以可以替换，结果就是 1/2 。

等价无穷小的替换公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂极限问题的大门。

但要记住，使用的时候一定要谨慎，遵循规则，不然可就打不开这扇门咯。

万方数据论述利用等价无穷小代换求极限作者：蒋开宽作者单位：杭州师范大学钱江学院刊名：科技信息英文刊名：SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION年，卷(期)：2009，""(26)被引用次数：0次1.同济大学应用数学系高等数学 20022.李花妮利用等价无穷小代换方法求极限 2005(24)3.吴信贤用"等价无穷小替代法"求极限的研究 2003(02)4.王绍乾.赵进超利用等价无穷小代换求函数的极限 2003(06)5.谢黎东利用"等价无穷小的替换"求函数的极限 2007(03)1.期刊论文李胜正.王茂强.房毅宪.LI Sheng-zheng.WANG Mao-qiang.FANG Yi-xian探求和差运算中无穷小的等价代换方法-山东轻工业学院学报（自然科学版）2008,22(2)等价无穷小代换求极限的一般原则是无穷小因子进行等价代换,对于和差运算中的无穷小一般不能直接代换.本文讨论了在一定条件下,和差运算中的无穷小可直接进行等价代换,否则和差运算中的无穷小可按泰勒公式适当提高等价无穷小的阶数进行代换,从而使某些极限运算大大简化.2.期刊论文冯变英.FENG Bian-ying幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨-运城学院学报2006,24(5)幂指函数的极限若能恰当地使用等价无穷小代换可使求极限问题大大简化.本文主要通过对三种形式的幂指函数极限的无穷小表达式的变形、分析,确定幂指函数可使用等价无穷小代换求极限的条件,使人们能尽快判断和使用等价小代换求幂指函数的极限.3.期刊论文刘克勤.张效成.Liu Keqin.Zhang Xiaocheng含加减运算极限式中等价无穷小代换的研究-高等理科教育2005,""(6)在求极限时如果遇到分子或分母中含有加减项时能否进行等价无穷小代换?如果能,怎样进行代换?这是在教学中难以回避的一个问题.本文对此进行了讨论,并提出了一个寻找可代换的等价无穷小的"待定系数法".4.期刊论文于延荣关于等价无穷小代换的若干结论-工科数学2001,17(4)陈汝栋等在[1],[2]中讨论了等价无穷小的代换问题.本文对无穷小代换问题再给出若干充分条件,从而解决了一批加减乘除混合运算的等价无穷小代换问题.5.期刊论文张明会.高婷婷用等价无穷小代换求极限-甘肃科技纵横2009,38(3)极限理论是数学分析的核心,贯穿在数学分析的全部内容之中,也是从初等数学到高等数学的第一道坎.对极限理论的理解和处理是专业数学与其它学科的分水岭之一,因而熟练掌握求极限的方法 和技巧对于学习和研究这门课程至关重要.本文讨论了用等价无穷小代换求一般极限的方法 ,并对具有高阶导数的函数给出了求其等价无穷小的一般方法 .6.期刊论文吴维峰.Wu Weifeng对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨-潍坊教育学院学报2008,21(2)本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.7.期刊论文郑国彪等价无穷小代换定理的一个结论及其应用-青海师专学报(教育科学版)2004,24(5)未定型极限是极限问题中的重点和难点之一.等价无穷小代换定理及其推论1、2为计算x→x0时0/0型的极限带来了方便.但推论2不一定总是成立,如果只从形式上套用该推论,而对其成立的条件不加分析与判断,便会造成错误.本文给出推论2之补充结论,从而弥补这一不足.8.期刊论文廖仲春等价无穷小代换在求不定型极限中的应用-长沙民政职业技术学院学报2008,15(4)文中介绍了如何利用等价无穷小代换求不定型极限,从而简化了不定型极限的计算.9.期刊论文王剑红.杨素芳等价无穷小应用探析-太原城市职业技术学院学报2008,""(3)等价无穷小代换法是解决极限问题的重要方法,我们既要理解等价无穷小的定义,还要熟悉常见的等价无穷小形式,既要能灵活应用等价无穷小代换,又要清楚其使用的前提,还能灵活自如地运用等价无穷小的性质和结论.10.期刊论文李花妮利用等价无穷小代换方法求极限-中国科技信息2005,""(24)等价无穷小代换方法是求极限过程中最常用的方法之一,同时也是高等数学的重要知识点之一,但学生在应用此方法时往往会出现一些常见错误,本文对错误的根源进行了相应的理论分析,并对等价无穷小代换定理作了相应的推广,这对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义.本文链接：/Periodical_kjxx200926369.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：7d371a18-5028-40ce-b45e-9dca00fe3ec1下载时间：2010年8月6日。

无穷小等价替换公式在数学中，无穷小是一种极限的概念，指的是当自变量趋于其中一值时，相应的函数值无限接近于零的量。

无穷小等价替换则是指当无穷小之间相互替换时，它们可以在一些操作下被视为等价的。

下面详细介绍无穷小等价替换公式及其应用。

一、无穷小等价替换公式的基本概念1. 定义：设f(x)和g(x)是x趋于a时的无穷小，如果lim(x→a) [f(x)/g(x)] = 1，则称f(x)与g(x)是等价无穷小。

2.等价无穷小的性质：设f(x)和g(x)是x趋于a时的等价无穷小，则有以下性质：-基本性质：f(x)±g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-符号性质：当f(x)为正无穷小时，g(x)也为正无穷小，反之亦然；-乘法性质：f(x)g(x)也是x趋于a时的等价无穷小；-除法性质：f(x)/g(x)也是x趋于a时的等价无穷小。

1.x趋于零时的等价无穷小：-当n为正整数时，x的n次幂x^n是x趋于0时的等价无穷小；-当n为正整数时，x的n次方根x^(1/n)也是x趋于0时的等价无穷小；- sin(x)、tan(x)、arcsin(x)、arctan(x)等三角函数在x趋于0时都是等价无穷小。

2.无穷大替换为无穷小：-当x趋于无穷时，常数C是x趋于无穷时的等价无穷小；-当x趋于无穷时，指数函数a^x是x趋于无穷时的等价无穷小；- 当x趋于无穷时，对数函数log_a(x)是x趋于无穷时的等价无穷小。

三、无穷小等价替换公式的应用范围1.极限计算：在计算极限时，可以利用等价无穷小替换掉原函数中的无穷小项，从而将复杂的问题简化为计算等价无穷小的极限问题。

2.微分方程：在研究微分方程的解时，可以将微分方程转化为等价的无穷小方程，从而更容易求解。

3.泰勒展开：在进行泰勒展开时，可以用等价无穷小替代高阶无穷小，从而简化泰勒展开的计算过程。

4.渐近线研究：在研究函数的渐近线时，可以用等价无穷小替代函数中的无穷大项，从而找到函数的渐近线方程。