第七节 利用等价无穷小量代换求极限

函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。

掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。

以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。

时的极限。

1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。

方能利用极限四则运算法则进行求之。

不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。

但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。

而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。

例 1求lim( x 2 − 3x + 5).x→ 2解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。

一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。

利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)' = 1 / (cosx)^2(x)' = 1原式= lim 1/(cosx)^2当x --> 0 时,cosx ---> 1原式= 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；②分子上取正弦的角必须与分母一样。

无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。

下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈000x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。

显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0l i m =-∞→x x e ， +∞=+∞→xx e lim ，所以xe 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大，则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x x f x A f x A x α®=?+其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),x x f x A ®=令()(),x f x A α=-则有0lim ()0,x x x α®=).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α=+其中()x α是当0x x ®时的无穷小，则lim ()lim(())x x xx f x A x α =+ )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α»给出了函数在附近的近似表达式误差为 3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(lim =-∞→n nn ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinx x x x x x®当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α¹(1)lim0,,();o ββαβαα==如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα=特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC C k k ββαα=?如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-xe ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa -～ln a x *用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim=αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有 例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim20xx x -→求； （2）1cos 1lim20--→x e x x 解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x ®== 8（2）原极限=2lim 220xx x -→=21- 例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx ®=.161=【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

创作时间：二零二一年六月三十日讲义之巴公井开创作无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷年夜的概念；2、掌握无穷小的性质与比力会用等价无穷小求极限；3、分歧类型的未定式的分歧解法.【教学内容】1、无穷小与无穷年夜；2、无穷小的比力；3、几个经常使用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法.【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比力用等价无穷小求极限.难点是未定式的极限的求法.【教学设计】首先介绍无穷小和无穷年夜的概念和性质（30分钟）, 在理解无穷小与无穷年夜的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）.最后归纳总结求极限的经常使用方法和技巧（25分钟）, 课堂练习（15分钟）.【授课内容】一、无穷小与无穷年夜前面我们研究.界说：,＊下的无穷小,例如【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数, 任何非零常量都不是无穷小.界说：,＊下的无穷年夜,显然都是无穷年夜量,【注意】不能把无穷年夜与很年夜的数混淆；无穷年夜是极限不存在的情形之一.无穷小与无穷年夜是相对的, 在分歧的极限形式下, 同一个函数可能是无穷小也可能是无穷年夜, 如, 时为无穷年夜.2．无穷小与无穷年夜的关系：在自变量的同一变动过程中,,, , 为无穷年夜.小结：无穷年夜量、无穷小量的概念是反映变量的变动趋势, 因此任何常量都不是无穷年夜量, 任何非零常量都不是无穷小, 谈及无穷年夜量、无穷小量之时, 首先应给出自变量的变动趋势.:定理lim (x xxf 自变量在同一变（或x 的无穷小.证：（需要性）设lim (xf 令则有lim (x α（充沛性）(),x α小, 则 【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比力0,,x x时x1sin不存在极限分歧, 反映了趋向于零的“快慢”水平分歧.1．界说:设,αβ是自变量在同一变动过程中的两个无穷小, 例例2．经常使用等价无穷小（1（2（3（4（5（6（7（8（9用等价无穷小可给出函数的近似表达式:3．等价无穷小替换例3 （1（2解: （1）故原极限0(2)lim12xxx（2）原极限例错解正解2lim(2)xxx【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换, 只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换.5 tanlim求2215()()2lim3()xx o x x o xx o x xlim=三、极限的简单计算1. 代入法：,若, 即为其极限,在, 我们也能知道属于哪种未定式, 便于我们选择分歧的方法.例如, , 我们可以用以下的方法来求解.2. 分解因式, 消去零因子法例如3. 分子（分母）有理化法例如又如4. 化无穷年夜为无穷小法例如2221773lim lim142422x xx x xx xx x, 实际上就是分子分母同这个无穷年夜量.由此不难得出又如12111lim2==+++∞→xxx, （分子分母同除.再如.5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如（无穷小量乘以有界量）. 又如由无穷小与无穷年夜的关系,再如, 等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5. 6. 利用两个重要极限求极限（例题拜会§—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限例如解左右极限存在且相等【启发与讨论】 110,sin yx x 时是无界变量吗？是无穷大吗？2210+=k x ππ取)(,0x y k >充分大时当,δ<πk x y sin 2)(=但结论：无穷年夜是一种特殊的无界变量,可是无界变量未必是无穷年夜.思考题2：论？试举例说明.解：不能保证.例思考题3：任何两个无穷小量都可以比力吗？解：,.【课堂练习】求下列函数的极限（1解：原极限（2【分析】, 拆项.解：原极限（3；【分析】“抓年夜头法”,解：原极限55522lim x x （4 【分析】分子有理化解：原极限（5【分析, 是不定型, 四则运算法则无法应用, 需先通分, 后计算.解（6【分析】, 是不定型, 四则运算法则失效, 使用分母有理化消零因子.解：原极限（7解.【内容小结】一、无穷小（年夜）的概念无穷小与无穷年夜是相对过程而言的.1、主要内容:两个界说;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1) 无穷小（年夜）是变量,不能与很小（年夜）的数混淆, 零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷年夜.二、无穷小的比力:, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但其实不是所有的无穷小都可进行比力.高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.2.等价无穷小的替换:求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（分歧类型的未定式的分歧解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.。

Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。

但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。

一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。

在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。

课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。

大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。

如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。

鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。

对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。

而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。

例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。

例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。

例析等价无穷小代换求极限的方法微积分是数学中的一个重要的分枝。

就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。

微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。

极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。

求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。

在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。

用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。

对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。

无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,, 恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。

那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。

或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。

下面就各种情况意义说明。

1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有证明:例如:求解:当时,推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有例如:求解:当时,推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,例如:2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则∴例如:求解:定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若则∴例如:求解:当时,3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误例如:代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。

) x3 32 sin x n (2&x 2 222 3浅析极限的若干求法孟金涛( 郑州航空工业管理学院数理系 河南 郑州 450015 )摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。

关键词: 极限; 表达式; 等价无穷小极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之a +a +⋯+aa - 1一。

中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。

两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。

反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。

x x【解】由于lim 1 2 x →0n1na i ( i=1, 2, ⋯, n ) ,所以有x n=1, lim 1 =+∞ 且当 x →0 时 i →x →0 x xxxx利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 lim 1 %a 1 +a 2 +⋯+a n - 1 &= 1 lim (a 1- 1)+(a 2 - 1)+⋯+(a n - 1) 猜测值。

通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表x xxx →0xn x →0 x情况进行具体的分析和处理。

下面概括了高等数学中常用的若干求极 n ’limx+limxxx+⋯+lim x x 达式来求出极限值呢? 对于这一问题, 没有统一的方法, 只能根据具体 = 1x →0a 1 - 1x →0a 2 - 1x →0a n - 1限的方法。

更多的方法, 有赖于人们去创造和发现。

= 1 (1na +1na +⋯+1na )=1n na a ⋯a 一、利用等价无穷小量代换求极限n1 2 n ) 1 2 n n在求乘除表达式的极限时, 其因子可以用等价无穷小量来代替, 不但可以简化求极限的过程且极限值不变。

当 x →0 时, 常用的等价无 穷 小 代 换 : sinx~x arcsinx~x tanx~x arctanx~x 1- cosx~x e x - 1~xa x - 1~x1na 1n(1+x)~x (1+βx)α- 1~αβx【例 1】求下列极限 3由上面( 2) 式可知lim f(x)= a 1 a 2 ⋯a n 。

等价无穷小替换-极限的计算无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。

【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟）。

最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）【授课内容】一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了 n 数列x n的极限、XX 、X )函数 f X 的极限、X x (x X 0、X X ) 函数f(X)的极限这七种趋近方式。

下面我们用 X *表示上述七种的某一种趋近方式，即衣 nX X X X X o X X o X X o定义：当在给定的X *下，f(x)以零为极限， 则称f(x)是X 水下的无穷小，即lim f X 0。

*函数sin x 是当X 0时的无穷小 函数-是当X 时的无穷小.X【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可 以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是 无穷小。

定义：当在给定的X *下，|fx |无限增大， 则称fX 是X *下的无穷大，即凹f X 。

显然， n 时，n 、n 2、n 3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大 是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相 对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是 无穷小也可能是无穷大，如例如,lim si nx 0,X 0lim - 0, li m(1)nn0,数列是当nn时的无穷小0 e x 0 ,lim e x,x所以e x 当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同 一变化过程中，如果f x 为无穷大，则丄为无穷小；反之，如果 f x 为无穷小，且 f xf x 0，则亠为无穷大。