使用等价无穷小求极限造成误差的讨论

浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
于荣娟;陈红红;梁显丽
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2012(000)028
【摘要】在高等数学中，极限的计算是一个很重要的问题。

本文主要针对一种求
极限的方法——应用等价无穷小及无穷小替换定理求极限。

在无穷小及等价无穷
小替换定理的基础上，研究了和它有关的几个性质、结论，并以某些类型题为例，对其性质进行了举例和应用；同时本文对等价无穷小替换求极限问题进行了总结归纳，扩大了等价无穷小替换在极限计算中的范围，使一些复杂的求极限问题简单化。

【总页数】1页(P198-198)
【作者】于荣娟;陈红红;梁显丽
【作者单位】内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学
职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.浅谈用等价无穷小替换法求极限 [J], 赵文菊;张秀全
2.泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用 [J], 郑瑞根
3.等价无穷小替换在求极限中的应用及推广 [J], 马艳丽;聂东明
4.浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用 [J], 杨录胜
5.等价无穷小替换求极限的推广及应用 [J], 苏燕玲;
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关于等价无穷小替换教学的探讨通过本次课程的学习受益匪浅。

乐教授谈到的高等数学教学中的一些问题，的确是我们在教学中经常遇到的问题。

等价无穷小替换在极限中的应用，教科书中不作为重点强调，但实际计算中确实实用，所以，我在讲授等价无穷小替换时，也特别强调了等价无穷小替换求极限的方法的重要性，以下是我在讲授此部分内容时的一些做法，不知合适不合适，请乐教授指教。

我会在课堂上我们要告诉学生，要注意正确的使用等价无穷小替换，两个函数相减时不能滥用等价无穷小替换。

比如求：（1）30tan sin lim x x x x→-， （2）0sin lim x x x x →- 第（1）题利用重要极限和运算法则直接求为：30t a n s i n l i m x x x x →-230t a n 2s i n 2l i m x x x x →⋅=20sin 1tan 2lim 22x x x x x →⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12= 若用等价无穷小替换则得到如下错误的结论：30t a n s i n l i m x x x x →-30l i m 0x x x x →-== 而第（2）题利用重要极限和运算法则直接求为： 0sin lim x x x x →-0sin lim(1)0x x x→=-= 利用等价无穷小计算的结果也为： 0sin lim x x x x →-0sin lim(1)0x x x →=-= 学生会问：为什么会这样？为什么有的作等价替换后，结果出错，而有一些就可以？我怎么能够知道两个函数相减时用等价无穷小替换什么时候是对的，什么时候错的。

其实只要告诉学生等价无穷小代换的实质，让学生知道，原因就出在它的余项上就可以了。

第（1）题若用等价无穷小，实际上应当为30tan sin lim x x x x →-3300()(())()lim lim x x x o x x o x o x x x→→+-+==，由于分子只是x 的高阶无穷小，而不是3x 的高阶无穷小，所以30()limx o x x →不一定等于零。

用等价无穷小大患求极限的误区及一点补充摘要：等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，利用等价无穷小代换求极限可以简化计算。

分析了学生用等价无穷小代换求极限的常见错误；探讨了极限式中的和差项用等价无穷小代换的条件，并给出了相应的实例。

关键词：等价无穷小；代换；极限等价无穷小代换方法是求极限中最常用的方法之一，恰当地选择要代换的无穷小，可以简化计算，因而也倍受青睐，但学生在应用时玩玩会出现一些常见的错误，下面就错误的根源做了相应的理论分析，并对等价无穷小代换定理做了一些补充，解决了困扰学生的问题，对学生掌握等价无穷小代换方法有着重要意义。

为了叙述方便，在以下讨论中，极限过程都指同一个变量的变化过程。

若'lim αα=1，则称α与'α是该过程中的等价无穷小，记作α~]2['~αα。

关于等价无穷小代换，最常用的定理是：定理1 设α~'α，'~ββ，且''lim βα存在，则βαlim 存在，且βαlim = ]1[''limβα。

推论1 设α~'α，'~ββ，且()''limβχαf 存在，则()'lim βχαf 存在，且()'lim βχαf = ()]2[''limβχαf 。

推论 2 设α~'α，且()χαf 'lim 存在，则()χαf lim 存在，且()χαf lim =()]2['lim χαf 。

有上述定理及其推论可知，等价无穷小的代换，是分子或分母的整体代换，或分子、分母的分因式代换，是对极限式中的积商因子的代换，这是很多教材中都会提到的。

学生在利用等价无穷小代换计算极限时往往容易出错，究其原因，是弄不清楚代换的原理及对象，另外就是对无穷小的等价概念不清楚。

见下例。

例1：χχχχ3tan sin lim -→错解：当0→χ时，χχ~sin ，χχ~tan ，故有以下几种错误的结果;(1)χχχχ3tan sin lim -→=χχχχ3lim -→ =0；(2)χχχχ30tan sin lim -→=χχχχ30tan lim -→=31-； （3）χχχχ3tan sin lim -→=χχχχ3sin lim -→=61-。

等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。

浅析用等价无穷小计算极限易入的误区
宋伟灵
【期刊名称】《中国科教创新导刊》
【年(卷),期】2012(000)020
【摘要】利用等价无穷小计算函数极限是一种方便而有效的方法,但对于一些特殊函数,简单地用等价无穷小替换容易出错.本文通过例子详细分析了出错的原因,并给出了在使用该方法解题时的注意事项.
【总页数】1页(P100)
【作者】宋伟灵
【作者单位】南京林业大学理学院应用数学系江苏南京 210037
【正文语种】中文
【中图分类】O171
【相关文献】
1.对《用等价无穷小代换求极限的两个误区》一文的修正和补充 [J], 杨丽娜;
2.用等价无穷小代换求极限的两个误区 [J], 赵琼
3.用等价无穷小代换求极限的误区及一点补充 [J], 殷君芳
4.利用“等价无穷小替换”简化极限的计算 [J], 田秋野;王刚
5.巧用等价无穷小代换计算极限的方法推广 [J], 胡珍妮; 王奕闰
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等价无穷小在求极限运算中的应用
作者：孙卫卫杜美华孙建英
来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2014年第10期
孙卫卫，杜美华，孙建英
（青岛理工大学琴岛学院，山东青岛 266106）
摘要：本文主要是讨论等价无穷小在极限运算中的应用.通过应用极限的四则运算法则证明,得到这样的结论：在求极限中的乘除运算与幂指函数的求极限当中，等价无穷小可以做到无条件的替换，而在加减运算中可以做到有条件的替[1]换.这样使得等价替换在0/0，0·∞，
∞-∞，00，∞0型未定式的计算中可以有效的减少计算量，在一定程度上比洛必达法则求解问题更加的简捷.
关键词：极限；等价无穷小；等价替换；洛必达法则；未定式
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2014）05-0003-02
在高等数学中，我们都了解等价无穷小在求极限的乘除运算中是可以替换的.
1 定理1
在自变量的同一变化过程中，若α1(x)~α2(x)，β1(x)~β2(x)，则有以下结论：
如果在本题的分子中直接采用等价无穷小替换，也会得到同样的结果，即
如果在本题的分子中直接采用等价无穷小替换，也会得到同样的结果，即
我们似乎感觉等价无穷小在加减运算中也是可以替换的，但是在例1中的（1）、（2）中若用等价替换：
这样又会得到错误的结果.
2 定理2
从本文中的例题中可以看出掌握等价替换的条件对我们求函数，数列的极限会有很大帮助，在某种程度上可以大大减少计算量.
参考文献：
〔1〕同济大学数学系.高等数学（上册）第六版[M].北京：高等教育出版社，2007.。

浅谈利用等价无穷小量代换求函数的极限
房广梅
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2009(000)031
【摘要】阐述了利用等价无穷小量代换求函数的极限是极限计算中的一个简便方法,同时列出了一些常用的等价无穷小量,并给出了证明.
【总页数】1页(P338)
【作者】房广梅
【作者单位】扬州工业职业技术学院基础部,江苏,扬州,225127
【正文语种】中文
【相关文献】
1.考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方法探讨
2.关于用等价无穷小量代换定理求极限的一个推广命题
3.关于用等价无穷小量代换定理求极限的一个推广命题
4.用等价无穷小量代换求极限的探讨
5.等价无穷小量代换求函数极限的深度拓展
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用等价无穷小代换求极限的两个误区
等价无穷小替换的误区：代数和或差的各个部分无穷小不能分别做替换；复合函数的中间变量不能做等价无穷小替换。

在一个变化过程中，a趋于0的速度和b趋于0的速度一样快，而且，在这个变化过程中它们比值的极限为1，比值的极限是1。

用等价无穷小替换原则是：整个识式子中的乘除因子可用等价无穷小替换，而加减时一般不能用等价无穷小替换。

这些等价无穷小的式子来源于泰勒公式展开式，一般取了前面的1到3项。

如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数。

用得较多的是泰勒公式在x ＝0处的展开式。

在出现加减的式子中，如果要使用等价无穷小，就需要注意了，否则易算错。

对于f（x）／g（x）型：在使用等价无穷小替换时，如果分母（分子）是x的k次方，本着上下同阶的原则，应把分子（分母）展开到x的k次方。

求解极限常见错误的教学剖析杨雄【摘要】纠错教学应用于高数教学,能让学生深入理解定理、定义,运用动态的、发展的观点看待数学,并且能更好的应用数学知识解决实际问题;例举无限数列的极限、极限四则运算法、无穷小代换和洛必达法则等计算极限的常见错误,并进行错因的剖析,使学生树立科学的思维意识,进而培养学生的优良的思维品质,并逐步形成严谨的学习态度,避免一些求解极限的错误产生,同时为极限的教学和学习提供参考.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2019(038)002【总页数】4页(P13-16)【关键词】极限;错解;分析;极限四则运算;无穷小代换;洛必达法则【作者】杨雄【作者单位】娄底职业技术学院,湖南娄底417000【正文语种】中文【中图分类】O13极限的思维贯穿了导数、微积分等内容，也是高等数学学习的起点，尤其极限的思维是学习高数的重要组成部分，而进入大学的学生，数学的思维方式停留在中学阶段，是常量、静态、宏观、有限的思维，可极限已突破了中学的思维，转向了变量、动态、微观、无限思维。

因此，在求解极限过程中，难免不出现错误，所以通过纠错，让学生深入理解错误的原因，引导学生以动态的、发展的思想学习高等数学。

1 有限与无限在极限思维中的错误例1 求解数列极限错解：正解：分析：学生在中学时接触过极限，所以产生了极限思想，可对一些知识理解不透，常常硬套记忆中的定理、公式，进而把初等数学中的一些知识直接移植到高数中去，导致了有限变量与无限变量的思维不分，从而出了求解极限的错误。

如极限四则计算公式是有限项的[1]，还推广到无限项，不一定成立，而学生是不考虑条件，把求极限的四则运算法则直接推广到无限项，这是学生常容易犯的错误。

求极限时，从有限到无限发生了质的改变，例1是无限个零之和，即使保证各项的极限的存在的前题下，也不能直接用和的极限等于极限的和计算法则直接求解。

教师应从量变到质变的过程中联系教材，深度揭示知识的联系和变化，辅助学生正确理解数学的公式、定理的内在的联系，即要把学生旧知识拓展到新领域，要进行易导致出错的原因分析，进而引导学生对新知识有效学习，通过推断、思考新案例或思索解题错误原因，培养学生的发散思维[2]和动态思维，更重要的是要让学生在新情境或条件改变中正确运用所学知识解决实际问题。

等价代换在极限计算中的问题
tan x 在0x =处的Taylor 展开式为：
(2)(2)(52)3171217tan 31532(21)(2)(112)5!
n n n x x B n x x x n x -=+++-+-+ sin x 在0x =处的 Taylor 展开式为：
等价无穷小代换的本质是利用函数在0x =处的Taylor 展开式进行计算的，当计算中出现无穷小量相加或者相减时，不能不加考虑的使用等价代换。

例如，在求30tan sin lim sin 2x x x x
→-时，若直接用tan ~(0)x x x →与sin ~(0)x x x →进行代换就会得到如下错误的结果：
3300tan sin lim
lim 0sin 28x x x x x x x x
→→--== 但实际上 ()()33535333000111()tan sin 1362lim lim lim sin 28816
x x x x x x x o x x o x x x x x x →→→+--++-===。

事实上，虽然当0x →时，tan x 与sin x 都等价于x ，即tan sin 0x x -=，但这是忽略了关于x 的高阶无穷小量后得到的结果；本质上，tan sin 0x x -≠，而是等价于x 的高阶无穷小312
x 。

所以，在加减中进行等价代换的时候，一定要注意高阶项对结果的影响。

这也是为什么人们简单地总结为不能用在加减上，只能用在乘除上。

35
2122sin (1)()3!5!
(21)!n n n x x x x x r x n ++=-+-+-++。