关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。

它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。

接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。

首先，我们要明白什么是等价无穷小。

当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。

例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。

而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。

下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。

我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。

2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。

3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。

4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。

5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。

这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。

6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。

7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。

这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。

在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。

一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。

常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。

接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。

首先，我们要明白什么是等价无穷小。

当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。

比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。

那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。

下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。

一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。

举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。

如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。

实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。

再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。

等价无穷小在求极限中的应用摘要：在数学分析中，极限的计算占据着重要的地位，合理的应用等价无穷小的代换，在某些极限运算中可以使计算更加简便。

本文主要对无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小及误区进行介绍，并总结代换定理加以证明。

关键词：极限等价无穷小代换引言：利用等价无穷小的代换求极限，在求函数极限中是一种比较重要的方法，也是数学分析学习中重要的知识点，而在函数极限运算过程中趋近方式有多种，计算方法比较类似，本文主要对的情况进行介绍，那么了解什么是极限、什么是无穷小和什么是等价无穷小就非常重要了，接下来我们就对极限、无穷小和等价无穷小进行介绍。

、极限：设在某个空心邻域内的函数，现在讨论当时。

对应的函数值能否趋于某个定数 .这类函数极限的精准定义如下:设在某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的 ,存在正数使得当时有 ,则称函数当时的极限为记作:或者、无穷小：设在某个空心邻域上有定义，若则称为当时的无穷小、等价无穷小:设当时与均为无穷小量，若，则称与是当时的等价无穷小记作：、常用的等价无穷小当时以下常用无穷小相互等价、、一、无穷小代换中的四则运算1.1乘法运算定理1设函数在上有定义且，若证明：1.2除法运算定理2设函数在上有定义若则二、特殊等价无穷小当时接下来我们对进行证明证明：利用公式求解，因为所以因为 ,所以证明利用公式求解,因为所以又因为，所以结束语这篇文章我主要对等价无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小代换以及误区进行了介绍，并总结了代换定理，等价无穷小的代换在我们的极限运算过程中比较重要合理利用使我们的计算更加简便，但是并不是所有的极限计算都能利用等价无穷小代换，比如加减法的运算过程有时候就不能直接运用等价无穷小的代换，而且是一个非常容易出错的地方，所以在运用等价无穷小代换的时候一定要看该题是否满足等价无穷小代换定理。

参考文献[1]同济大学应用数学系高等数学上[M].5版.北京.高等教育出版社.2000[2]华东师范大学数学系.数学分析上[M].2版.北京.高等教育出版社.1991[3]唐加冕.等价无穷小代换在求极限中的应用[J].赤峰学院学报.2010.2。

等价无穷小求极限（精选1篇）以下是网友分享的关于等价无穷小求极限的资料1篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

等价无穷小求极限篇一等价无穷小求极限摘要：极限的计算方法多样灵活, 计算巧妙. 等价无穷小的替换是求极限的重要方法之一. 在求和、差形式的函数极限, 1型函数的极限, 积分上限函数的极限等方面, 等价无穷小的替换具有很好的作用, 掌握并充分利用好它的性质, 往往会使一些复杂的问题简单化, 起到事半功倍的效果.关键词：等价无穷小; 函数的极限; 级数收敛Equivalent Infinitesimal in limit researchAbstract : The limits of the calculation methods are various flexible, clever calculation. Equivalent infinitesimal replacement is one of the important methods for limit. In sum, poor function limit, type function limit, the limit of integral upper limit function and so on, the equivalent infinitesimal replacement with good properties, grasp and make full use of the good properties, tend to make some complex problem is simplified, have twice the result with half the effort.Keywords : Equivalent infinitesimal, The limit of the function, Replace, The series converges.目录引言 .................................................... 1 1乘积因子等价无穷小的替换. .............................. 2 2变上限积分的极限 ...................................... 3 3极限中含加减因子的等价无穷小替换....................... 4 41 型不定式极限的替换................................... 9 5级数敛散性的等价无穷小替换. ........................... 11 6用洛必达法则求极限................................... 12 6.1 对非不定式极限使用洛必达法则 . (13)6.2 过分依赖洛必达法则的优越性 (15)6.3洛必达法则与等无穷小替换的结合 ............................. `16 6.4 洛必达法则是充分条件而非必要条件............................157小结...........................................................................16 8参考文献..................................................................... 17 9致谢 (18)引言等价无穷小代换是高等数学中求极限的最重要的方法之一，由于其便利快捷，化繁为简, 它现在已经成为很多行业进行研究分析的一种重要工具。

高等数学等价交换分式
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

在同一点上，这两个无穷小之比的极限为1，称这两个无穷小是等价的。

等价无穷小也是同阶无穷小。

从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

常用等价无穷小公式是什么
常用等价无穷小公式=1-cosx。

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

当x趋近于0时：
e^x-1~x；
ln(x+1)~x；
1-cosx~(x^2)/2；
(1+bx)^a-1~abx。

等价无穷小替换公式加减使用条件1.当常数a为有限值时，有以下等价无穷小替换公式：-a*ε≈0（其中ε为无穷小量）-ε/a≈0（其中ε为无穷小量）2.当函数f(x)为有界函数时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)*ε≈0（其中ε为无穷小量）3.当函数f(x)在其中一点x=a处连续且不为零时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)≈f(a)（当x趋近于a时）-ε/f(x)≈0（当x趋近于a时）在加减运算中使用等价无穷小替换公式的条件如下：1.替换公式的使用要满足数学定义的条件。

例如，进行除法运算时，被除数不能为零。

2.进行替换时，需要将等价无穷小放在有界函数或常数的前面进行替换。

即等价无穷小应该在乘法或除法运算中作为因子，而不是作为被乘数或被除数。

3.在进行替换时，需要注意确保替换后的函数与原函数在极限点处的极限值是相等的。

如果替换后的函数与原函数的极限值不相等，可能导致计算结果的误差。

举例说明，在计算极限的过程中使用等价无穷小替换公式：例题1：计算极限lim(x->0) (3x - sinx) / x由于sin(x)是一个连续函数且lim(x->0) sinx = 0，因此可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0。

即lim(x->0) (3x - sinx) / x ≈ lim(x->0) (3x - 0) / x =lim(x->0) 3 = 3例题2：计算极限lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx)由于lim(x->0) sinx = 0且lim(x->0) 1 - cosx = 0，所以可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0，cosx替换为1即lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx) ≈ lim(x->0) (0 - 0) / (1 - 1) = 0在以上例题中，都是通过使用等价无穷小替换公式简化计算过程，但在应用中需要注意使用等价无穷小替换公式的条件，确保计算结果的准确性。

如何正确理解等价无穷小量替换?等价无穷小量替换是我们进行极限运算的一个重要方法,我们在初学时经常会对无穷小替换的条件理解不够透彻.下面我们试图通过几个定理和例子来加深同学们对等价无穷小量替换方法的理解.先来回顾一下等价无穷小量替换的定理,这里我们把标准教材上的定理做了修改. 定理1:设,αα是同一极限过程中的无穷小量,αα,又lim αβ存在,则lim αβ存在且lim lim αβαβ=.证明:直接利用极限的四则运算法则得: lim lim lim ααβαβαβα=⋅=. 也可以利用()o ααα=+得:()lim lim[]lim o ααβαβαβαβα=+⋅=. 注: 因为没有要求lim 0αβ=,所以这里结论没有写成αβαβ.另外第二种做法会在处理其它问题时会更具有一般性.从本定理可以看到当因子α与β做乘法时可将α用它的等价无穷小α来替换,即lim lim αβαβ=.如果因子α与β做加法,那么能不能用α来替换呢?(此时要使αβ+是无穷小量,要求β也是无穷小量.)一般来说不可以用α来替换,请看下面的例子. 例1. 考虑0x →时,22(),x x o x α=+ 2(),x x o x x αβ=+=-. 容易看到虽然αα,但是22x αβ+=与2x αβ+=并不是等价无穷小,因而无法用等价无穷小量替换进行极限计算.如果我们仔细的观察例1,会发现22x αβ+=与2x αβ+=不等价是因为x β=-与,αα异号,因而它们相加后改变了原来无穷小量αβ+的阶数.那么自然会想到如果β与,αα同号相加之后不就可以不改变原来无穷小量的阶数了,所以我们如下结论.定理2: 设,,ααβ是同一极限过程中的无穷小量,αα,0αβ⋅>,则αβαβ++. 证明:不防设0,0αβ>>,因为αα,则0α>.所以01ααβ<<+,那么()()()111o o o αβααβααααβαβαβααβ+++==+=+⋅→++++.谈到这里,我们会发现其实我们是把αβ+看成一个整体,只要替换不改变αβ+的阶数,那么替换后就是等价的,比如我们把例1中的β稍做修改:例2. 考虑0x →时,22(),x x o x α=+ 2(),2x x x o x αβ=+=-. 此时222,22x x x x αβαβ+=++=+,那么仍然有αβαβ++.当然如果替换改变αβ+的阶数,也有可能会有αβαβ++,比如下面的例子.例3. 考虑0x →时,23(),x x x o x α=++ 22(),2x x x o x x αβ=+=--. 此时223,22x x x αβαβ+=++=,那么仍然有αβαβ++.最后我们来谈一下如果出现因子相加且不能简单地做等价无穷小替换时,那么应该如何处理呢?一般来说,有两个途径.一是通过提取因子化加法为乘法再利用各个因子的等价无穷小来分析,二是利用Taylor 展开直接分析出αβ+的准确的阶数.来看下面的例子. 例4. 考虑0x →时,求无穷小量tan sin x x -的等价无穷小.因为tan ,sin x x x x ,如果同时用x 替换tan ,sin x x ，则改变了无穷小量tan sin x x -的。

无穷小 极限的简单计算一、无穷小与无穷大1.定义前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极限、0x x →（+→0x x 、-→0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。

下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim=∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即()∞=→x f x ＊lim 。

显然，∞→n 时， 、、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0lim =-∞→x x e ， +∞=+∞→x x e lim ，所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则()x f 1为无穷大。

小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim ()()(),x x xf x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0x x →（或∞→x ）中的无穷小.证：（必要性）设0lim (),xx f x A 令()(),x f x A α则有0lim ()0,xx x α).()(x A x f α+=∴（充分性）设()(),f x A x α其中()x α是当0xx 时的无穷小，则lim ()lim(())xx xx f x A x α )(lim 0x A x x α→+= .A =【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）0()(),().f x x f x A x α给出了函数在附近的近似表达式误差为3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn 1,,∞→ .11不是无穷小之和为个但n n 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：01)1(lim =-∞→n n n ，01sin lim 0=→xx x ，0sin 1lim =∞→x x x 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210,,,sin ,sinxx x x x x当时都是无穷小，观察各极限： xx x 3lim 20→,0=;32要快得多比x x xxx sin lim0→,1=;sin 大致相同与x x2201sinlimx x x x →x x 1sin lim 0→=.不存在不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,αβ是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0.α(1)lim0,,();o ββαβαα如果就说是比高阶的无穷小记作 ;),0(lim )2(是同阶的无穷小与就说如果αβαβ≠=C Clim 1,~;ββααβα特殊地如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim (0,0),.k C C k k ββαα如果就说是的阶的无穷小例1 .tan 4,0:3的四阶无穷小为时当证明x x x x →证：430tan 4lim x x x x →30)tan (lim 4xx x →=,4=.tan 4,03的四阶无穷小为时故当x x x x → 例2 .sin tan ,0的阶数关于求时当x x x x -→ 解30sin tan limx x x x -→ )cos 1tan (lim 20x x x x x -⋅=→,21=.sin tan 的三阶无穷小为x x x -∴ 2．常用等价无穷小:,0时当→x（1）x sin ～x ； （2）x arcsin ～x ； （3）x tan ～x ； （4）x arctan ～x ； （5）)1ln(x +～x ； （6）1-x e ～x（7）x cos 1-～22x （8）1)1(-+μx ～x μ （9）1xa ～ln a x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,1lim =αβ ,0lim =-∴αβα),(αβαo =-即).(αβαo +=于是有例如),(sin x o x x +=).(211cos 22x o x x +-= 3．等价无穷小替换定理：.lim lim ,lim ~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 证：αβlim)lim(αααβββ'⋅''⋅'=αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=例3 （1）.cos 12tan lim 20xx x -→求； （2）1cos 1lim 20--→x e x x解: （1）.2~2tan ,21~cos 1,02x x x x x -→时当 故原极限202(2)lim 12x x x = 8 （2）原极限=2lim220x x x -→=21-例4 .2sin sin tan lim30xxx x -→求 错解: .~sin ,~tan ,0x x x x x 时当→30)2(limx xx x -=→原式=0正解: ,0时当→x ,2~2sin x x )cos 1(tan sin tan x x x x -=-,21~3x 故原极限33012lim (2)x xx .161= 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。